8.6.3平面与平面垂直课件（第1课时判定定理）高一下学期数学人教A版

第八章立体几何初步8.6空间直线、平面的垂直8.6.3平面与平面垂直（第1课时）角度？垂直？

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.③棱记作l,这个二面角记作二面角α-l-β或P-l-Q.记法：①棱为AB,面为α、β的二面角记作二面角α-AB-β.②也可在α、β内(棱以外的半平面部分)分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角P-AB-Q.二面角

如右图,在日常生活中,我们常说“把门开大一些”，是指哪个角大一些?受此启发,你认为应该怎样刻画二面角的大小呢?思考：怎样才能找到这样的一个角，它的大小唯一，且由二面角的大小决定？

在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.二面角的平面角OAB思考：在二面角的平面角的定义中O点是在棱上任取的，那么∠AOB的大小与点O在棱上的位置有关系吗？

二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.二面角的大小α的取值范围是0°≤α≤180°.

D【优化P147例1】

已知四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=AB.求:(1)二面角A-PD-C的平面角的度数;(2)二面角B-PA-D的平面角的度数;(3)二面角B-PA-C的平面角的度数.解:(1)∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD.又四边形ABCD为正方形,∴CD⊥AD.∵PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD,又CD⊂平面PCD,∴平面PAD⊥平面PCD.∴二面角A-PD-C的平面角为90°.(2)∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA,AD⊥PA.∴∠BAD为二面角B-PA-D的平面角.由题意可得∠BAD=90°,∴二面角B-PA-D的平面角为90°.(3)∵PA⊥平面ABCD∴AB⊥PA,AC⊥PA.∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.∵四边形ABCD为正方形∴∠BAC=45°.即二面角B-PA-C的平面角为45°.

教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角?分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及其度数.

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直，记作α⊥β.平面与平面垂直的概念书P159练习3如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？如果系有铅锤的细线紧贴墙面,工人师傅就认为墙面垂直于地面,否则他就认为墙面不垂直于地面.这种方法说明了什么道理

类似结论也可以在长方体中发现.如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,平面ADD'A'经过平面ABCD的一条垂线AA'，此时，平面ADD'A'垂直于平面ABCD.

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.平面与平面垂直的判定定理:线面垂直

面面垂直定理：

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，

那么这两个平面互相垂直.

证明：在平面β内过B点作直线BE⊥CD，则∠ABE就是二面角α-CD-β的平面角，设α∩β=CD，AB在α上，则B∈CD.∵AB⊥β，CDβ，∴AB⊥CD.∪∪∵AB⊥β，BEβ，∴AB⊥BE.

∴二面角α-CD-β是直二面角，∴α⊥β.例1

已知：如右图,正方体ABCD-A'B'C'D'.

求证：平面A'BD⊥平面ACC'A'.证明：∵ABCD-A'B'C'D'是正方体，∴AA'⊥平面ABCD.又BD

平面ABCD∴BD⊥AA'.

又BD⊥AC，AC∩AA'=A，AC、AA'

平面ACC'A'∴BD⊥平面ACC'A'，又BD

平面A'BD∴平面A'BD⊥平面ACC'A'.1.关键：

在利用线面垂直证明面面垂直时,关键是确定“垂线”,即在其中一个平面内找一条直线与另一个平面垂直.一方面要分析图形中已有的垂直关系,另一方面要注意积累常见的线面垂直关系模型,能够直观进行判断选择.2.步骤：面面垂直证明的步骤与关键

书P159练习4作业：学困生：