26.1.3 反比例函数的图象和性质的的应用 基础训练（解析版）

26.1.3反比例函数的图象和性质的应用基础训练一、单选题：1．已知一次函数与反比例函数的图象有个公共点，则的取值范围是（

）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】构建方程组，利用一元二次方程的根的判别式进行求解．【详解】解：由，消去得到：，一次函数与反比例函数的图象有2个公共点，△，即，或，故选：C．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．2．如图，一次函数的图象与反比例函数（m为常数且）的图象都经过A(-1，2)，B(2，-1)，结合图象，则不等式的解集是（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的的取值范围便是不等式的解集．【详解】解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数为常数且的图象上方时，的取值范围是：或，不等式的解集是或，故选C．【点睛】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．3．如图，矩形的中心为直角坐标系的原点O，各边分别与坐标轴平行，其中一边交x轴于点C，交反比例函数图象于点P．当点P是的中点时，求得图中阴影部分的面积为8，则该反比例函数的表达式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据反比例函数的对称性以及已知条件，可得矩形的面积是8，设，则，根据，可得，再根据反比例函数系数的几何意义即可求出该反比例函数的表达式．【详解】解：如下图所示，设矩形与y轴交于点D，∵矩形的中心为直角坐标系的原点O，反比例函数的图象是关于原点对称的中心对称图形，且图中阴影部分的面积为8，∴矩形的面积是8，设，则，∵点P是AC的中点，∴，设反比例函数的解析式为，∵反比例函数图象于点P，∴，∴反比例函数的解析式为．故选：B．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数系数的几何意义，得出矩形的面积是8是解题的关键．4．如图，直线l和双曲线y=(k>0)交于A、B两点，P是线段AB上的点(不与A、B重合)，过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC的面积为、△BOD的面积为、△POE的面积为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S＝解答即可．【详解】解：根据双曲线的解析式可得所以可得设OP与双曲线的交点为，过作x轴的垂线，垂足为M因此而图象可得所以故选：D．【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．5．同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由于本题不确定的符号，故可以直接由的正负性进行分类，分析确定一次函数与反比例函数的图象经过的象限，然后与各选择项比较，从而确定答案．【详解】当时，一次函数经过一､三､四象限，反比例函数经过一､三象限，如图①所示；当时，一次函数经过一､二､四象限，反比例函数经过二､四象限，如图②所示．故选：C【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数的图象．灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解决问题的关键．6．如图，已知A、B是反比例函数图象上的两点，轴，交x轴于点C．动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C匀速运动，终点为C．过点P作轴于Q．设的面积为S，点P运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致为（

）A．B．C． D．【答案】A【分析】分别判断当点P在线段OA上运动时，当点P在AB上运动时，点P在BC上运动时的图像变化趋势，即可作出选择．【详解】解：当点P在线段OA上运动时，设直线OA的表达式为y＝ax，点P的坐标满足y＝ax，则S＝（a是大于0的常数，x＞0），图象为抛物线的一部分；当点P在AB上运动时，此时△OPQ的面积S＝k（k＞0），保持不变；点P在BC上运动时，设路线O→A→B→C的总路程为l，点P的速度为b，则S＝OC×CP＝OC×（l﹣bt），因为l，OC，b均是常数，所以S与t成一次函数关系．综上所述，S关于t的函数图象大致为A选项，故选：A．【点睛】本题考查了函数综合题和动点问题的函数图象，解题的关键是根据点的移动确定函数的种类，从而确定其图象．二、填空题：7．正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，则代数式的值是_________．【答案】-2【分析】联立方程组，用含k的式子表示，再代入求解即可．【详解】解：正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，∴解得：或，∴，故答案为：-2．【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题和解二元一次方程组，联立方程组求解是解题的关键．8．如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y=-和y=的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为_____．【答案】8【分析】连接OA，OB，利用同底等高的两三角形面积相等得到三角形AOB面积等于三角形ACB面积，再利用反比例函数k的几何意义求出三角形AOP面积与三角形BOP面积，即可得到结果．【详解】解：如图，连接OA，OB，∵△AOB与△ACB同底等高，∴，∵轴，∴AB⊥y轴，∵A、B分别在反比例函数y=-和y=的图象上，∴，，∴．故答案为：8．【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数y=的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．也考查了三角形的面积．9．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，轴，分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为D、C，若矩形的面积是8，则k的值为________________．【答案】12【分析】先根据反比例函数的图象在第一象限判断出k的符号，再延长线段BA，交y轴于点E，由于AB∥x轴，所以AE⊥y轴，故四边形AEOD是矩形，由于点A在双曲线上，所以S矩形AEOD=4，同理可得S矩形OCBE=k，由S矩形ABCD=S矩形OCBE-S矩形AEOD即可得出k的值．【详解】解：∵双曲线y在第一象限，∴k＞0，延长线段BA，交y轴于点E，∵AB∥x轴，∴AE⊥y轴，∴四边形AEOD是矩形，∵点A在双曲线上，∴S矩形AEOD=4，同理S矩形OCBE=k，∵S矩形ABCD=S矩形OCBE-S矩形AEOD=k-4=8，∴k=12．故答案为：12．【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．10．如图，点在反比例函数第二象限内的图象上，点在轴的负半轴上，若，则的面积为______．【答案】4【分析】设点的坐标为，过点作轴，垂足为，得到，，根据得到，根据三角形的面积公式得，再根据点在反比例函数的图象上得到，从而得到答案．【详解】解：设点的坐标为，过点作轴，垂足为，由题意得，，∵，，∴，∴，∵点在反比例函数的图象上，∴，∴，，故答案为：4．【点睛】本题考查反比例函数、等腰三角形的性质等，熟悉掌握反比例函数的性质、等腰三角形的性质以及三角形的面积公式是本题的解题关键．11．在反比例函数中，已知四边形与四边形BOFE都是正方形，则点C的坐标为_________．【答案】【分析】设，则点，点，由反比例函数图像上点的坐标特征即可得出关于的二元二次方程组，解之取均为正值的解即可．【详解】解：设，则点，点，∵反比例函数的图像过点，∴，解得：或（舍去）或（舍去）或（舍去）∴，，故点C的坐标为．故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、正方形的性质以及解二元二次方程组，根据反比例函数图像上点的坐标特征找出关于的二元二次方程组是解题的关键．12．如图，菱形OABC在第一象限内，∠AOC＝60°，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点A，交BC边于点D，若△AOD的面积为，则k的值为______．【答案】【分析】连接AC，过点A作AE⊥OC于E，根据S△AOE=S△AOC=S△AOD，再根据反比例函数k的几何意义得出k值即可．【详解】解：连接AC，过点A作AE⊥OC于E，∵四边形ABCO是菱形，∴AO∥CB，OA＝OC，且∠AOC=60°，∴△AOC是等边三角形，且AE⊥OC，∴S△AOE=S△AOC，∵OA∥BC，∴S△OAD=S△OAC=，∴S△AOE=S△AOC==，∴k=，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数与菱形性质的综合应用，运用平行线的性质和反比例函数k的几何意义是解决本题的关键．13．矩形中，点的坐标是，动点从点出发，沿着方向向点运动，动点从点出发，沿着方向向点运动，、两点同时运动且速度相同，连接与相交于点，有一双曲线（）经过点，则______．【答案】2【分析】证得四边形OPBQ是平行四边形，根据平行四边形的性质得到OD=BD，即可求得D的坐标，代入（k≠0）即可求得k的值．【详解】解：连接OQ、PB，由题意可知OP=BQ，∵OABC，∴四边形OPBQ是平行四边形，∴OD=BD，∵点B的坐标是（4，2），∴D（2，1），∵双曲线（k≠0）经过点D，∴k=2×1=2，故答案为：2．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，平行四边形的判断和性质，求得D的坐标是解题的关键．14．如图，正方形ABCD的边长为3，AD边在x轴负半轴上，反比例函数y=（x＜0）的图像经过点B和CD边中点E，则k的值为______．【答案】-9【分析】设B(m，3)，把E点的坐标用含m的代数式表示出来．把B、E两点的坐标都代入y=中，先求出m的值，则可求出k的值．【详解】设B(m，3)，则C((m-3，3)，∵E点是CD的中点，∴(m-3，).∵B、E都在y=的图像上，∴，

解得m=-3，∴B(-3，3)，∴k=-3×3=-9，故答案为-9．【点睛】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的表达式．熟练掌握待定系数法是解题的关键．三、解答题：15．如图，一次函数与反比例函数的图像交于，两点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式：(2)根据图象直接写出时，x的取值范围：(3)求的面积．【答案】(1)，(2)或(3)8【分析】（1）把的坐标代入反比例函数解析式即可求得的值，然后把代入即可求得的值，利用待定系数法可得一次函数的解析式；（2）根据图象可得结论；（3）求出点的坐标，根据即可求解．【详解】（1），在的图象上，，反比例函数的解析式是．．，在函数的图象上，，解得：．则一次函数的解析式是．所以一次函数的解析式是，反比例函数的解析式是；（2）由图象得：当或时，；（3）直线与轴相交于点，的坐标是．．【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，根据待定系数法求出函数的解析式是解题关键．16．如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一、三象限分别交于，两点，连接OA，OB．(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)已知x轴负半轴上有一点M，能使，求M的坐标．【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为(2)M的坐标为【分析】（1）利用待定系数法解题，把代入反比例函数中，解得m的值，进而求出点B的坐标，再把，代入即可求解；（2）设一次函数的图象与x轴交于点C，求出点C的坐标，利用求出，进而求出，设M的坐标为，可得，利用列出等式，即可求解．（1）解：把代入，得，解得，∴反比例函数的解析式为；把代入，得解得，∴，把，代入，得：，解得：，∴一次函数的解析式为．（2）解：设一次函数的图象与x轴交于点C，令，得，解得，即点C的坐标为，∴，∴，∴，设M的坐标为，则，∴，解得，∴M的坐标为．【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、三角形面积公式等，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系内三角形面积的计算方法．17．如图，直线经过点，交反比例函数的图象于点．(1)求k的值；(2)点D为第一象限内反比例函数图象上点B下方的一个动点，过点D作轴交线段AB于点C，连接AD，求的面积的最大值．【答案】(1)8(2)【分析】（1）根据待定系数法确定一