28.2.2 解直角三角形的应用 基础训练（解析版）

28.2.2解直角三角形的应用基础训练一、单选题：1．如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】在Rt△ACB中，利用正弦定义，sinα=，代入AB值即可求解．【详解】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∴sinα=，∴BC=sinαAB=12sinα（米），故选：A．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键．2．如图，某景区的两个景点A、B处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿方向水平飞行进行航拍作业，与在同一铅直平面内，当无人机飞行至处时、测得景点的俯角为，景点的俯角为，此时到地面的距离为米，则两景点A、B间的距离为多少米（结果保留根号）．（

）A．200米 B．300米 C．米 D．米【答案】C【分析】根据三角函数和直角三角形的性质解答即可．【详解】解：，，,，，米，,米，（米），米．故选：C．【点睛】此题考查了俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意数形结合思想的应用．3．如图，一艘船从处向北偏东的方向行驶千米到处，再从处向正西方向行驶千米到处，这时这艘船与的距离（）A．千米 B．千米 C．1千米 D．千米【答案】B【分析】根据直角三角形的三角函数得出，进而得出，利用勾股定理得出即可．【详解】解：如图：，，千米，千米，千米，千米，千米，故选B．【点睛】此题考查了方向角、解直角三角形的应用，解题的关键是根据直角三角形的三角函数得出解答．4．如图，考古队在处测得古塔顶端的仰角为，斜坡的长为米，坡度，长为米，则古塔的高度为（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】作，由，可设，结合，利用勾股定理可求得的值，解即可得到结论．【详解】如图，作，垂足分别为，则四边形是矩形，则,∵斜坡,，设，∴，∵,则，∴，∵长为，∴，∵，∴，∴，即古塔的高度为米，故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角，坡角问题，解题的关键是能根据题意构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．5．如图，沿方向架桥，以桥两端出发，修公路和，测得，m，，则公路的长为（

）A．900m B．m C．m D．1800m【答案】B【分析】过点C作，垂足为E，根据三角形内角和定理可求出，的度数，进而求出的度数，在直角三角形中，由特殊角三角函数以及直角三角形边角的关系可得答案．【详解】过点C作，垂足为E，，，，，，在Rt中，，m，m，在Rt中，，m，故选：B．【点睛】本题考查解直角三角形和三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键．6．小明去爬山，在山脚A看山顶D的仰角，小明在坡比为的山坡上走1300米到达B处，此时小明看山顶的仰角，则山高为（）米A． B． C． D．【答案】B【分析】根据，可得，从而得到米，米，设米，则米，由，可得米，再由，可得，从而得到，求出x，即可求解．【详解】解：∵，，∴，∵米，∴米，米，设米，则米，∵，∴米，又∵，∴，即：，解得，∴米，∴米．即山高为米．故选：B【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．7．如图，为了测量某建筑物的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡行走100米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米到点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为59°，建筑物底端B的俯角为，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡的坡度．根据以上数据，计算出建筑物BC的高度约为（结果精确到1．参考数据：，，）（）A．158米 B．161米 C．159米 D．160米【答案】D【分析】先利用斜坡的坡度求出，再利用矩形的性质和等腰三角形的性质求出，之后利用正切求出的值，最后通过求和即可得到建筑物BC的高度．【详解】解：如图：过点D作于点F，过点E作于点G，过点E作于点H∵斜坡的坡度∴可设，∵在中，，∴∵在中，∵在中，故选：D．【点睛】本题考查坡度的意义，等腰直角三角形的性质和解直角三角形，选取恰当的方法正确求出线段长度是解题关键．二、填空题：8．如图，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行．请你根据图中数据计算回答，请你根据图中数据计算回答：小敏身高米，她乘电梯会有碰头危险吗？______．（填是或否）（可能用到的参考数值：，，）【答案】否【分析】求出长，比较大小即可．【详解】解：根据天花板与地面平行，可知，（米）．因为，所以小敏不会有碰头危险．故答案为：否．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题关键是熟练运用三角函数求解．9．一艘观光游船从港口以北偏东的方向出港观光，航行海里至处时发生了侧翻沉船事故．一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东方向，马上以海里每小时的速度前往救援．海警船大约需_____小时到达事故船处，()【答案】【分析】过点作交延长线于．先解得出海里，再解中，得出(海里)，然后根据时间=路程÷速度即可求出海警船到达事故船处所需的时间．【详解】解：如图，作交延长线于，在中，∵，∴，在中，，∴(海里)，∴海警船到达事故船C处所需的时间大约为：(小时)．故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．10．如图，同学们利用所学知识去测量三江源某河段某处的宽度，小童同学在A处观测对岸点C，测得，小郑同学在距点A处米远的B点测得，请计算：河宽______米．（精确到米，，）【答案】【分析】设河宽为未知数，那么可利用三角函数用河宽表示出、，然后根据就能求得河宽．【详解】解：过C作于E，设米，在中：，，在中：，，∴，解得：．答：河宽约为米．故答案为：．【点睛】此题主要考查了三角函数的概念和应用，解题关键是把实际问题转化为数学问题，抽象到三角形中，利用三角函数进行解答．11．如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测量“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，边与点B在同一直线上，已知直角三角纸板中，测得眼睛D离地面的高度为米，他与“步云阁”的水平距离为，则“步云阁”的高度是___________m．【答案】【分析】在中，根据正切定义求出，再在中根据求出，即可得到答案．【详解】解：∵在中，，∴，在中，，且，解得：，∴，故答案为．【点睛】本题考查利用三角函数解实际问题，解题的关键是选择合适的三角函数并且掌握其求法．12．如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为α，，无人机沿水平线AF方向继续飞行80米至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为．无人机距地面的垂直高度用AM表示，点M，C，D在同一条直线上，其中米，则河流的宽度CD为______．【答案】米【分析】根据题意，作构造直角三角形和矩形，根据锐角三角函数得到AM、DE的长，然后计算出CD的长度．【详解】作于点E，如图所示，则四边形是矩形，由已知可得：，，米，，米，，米，米米解得米米故答案为：米【点睛】本题考查了解直角三角形的实际问题，涉及到仰角俯角问题、锐角三角函数，解答本题的关键是理清题目条件，构造适当辅助线，灵活运用相关知识．13．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，此时各叶片影子在点M右侧成线段，设太阳光线与地面的夹角为，测得，，风车转动时，叶片外端离地面的最大高度等于_____m．【答案】【分析】作平行线，根据平行线分线段成比例定理可知，由与影子的比为，可得的长，同法由等角的正弦可得的长，从而得结论．【详解】解：如图，过点O作，交于P，过P作于N，则，∵，∴，∴∵∴，∴∵，∴，∴∵，∴，∴，即∴，以点O为圆心的长为半径作圆，当与共线时，叶片外端离地面的高度最大，其最大高度等于米．故答案为：．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．14．如图，在一街道的两旁有甲、乙两幢建筑物，某广告公司在甲建筑物上悬挂一条广告条幅，现在乙建筑物的顶部测得条幅顶端A的仰角为，条幅底端B的俯角为，已知街道宽，则广告条幅AB的长是______．（结果保留根号）【答案】##【分析】过点作于点，根据，得出，即可得出，根据等腰三角形的判定，得出，在中，根据正切函数，得出，即可得出结果．【详解】解：过点作于点，如图所示：∵，，∴，∴，∴，∵在中，，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，特殊角的三角函数值，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握三角函数的定义，记住特殊角的三角函数值，是解题的关键．三、解答题：16．北京时间2022年6月5日10时44分，神舟十四号载人飞船在酒泉发射升空，为弘扬航天精神，某校在教学楼上从楼顶位置悬挂了一幅励志条幅．如图，已知楼顶到地面的距离为18.5米，当小亮站在楼前点B处，在点B正上方点A处测得条幅顶端G的仰角为37°，然后向教学楼方向前行15米到达点D处（楼底部点E与点B，D在一条直线上），在点D正上方点C处测得条幅底端F的仰角为42°，若，均为1.7米（即四边形为矩形），请你帮助小亮计算：(1)当小亮站在B处时离教学楼的距离；(2)求条幅的长度．（结果精确到，参考数据：，，，，，）【答案】(1)小亮站在B处时离教学楼的距离为米(2)条幅的长度约为米【分析】（1）延长交于H，根据矩形的性质得到米，，，根据三角函数的定义即可得到结论；（2）由（1）知米，解直角三角形即可得到结论．【详解】（1）解：延长交于H，则米，，，∵米，∴（米），在中，，∴，∴，∴（米），（2）解：由（1）知米，在中，∵，∴，∴，∴（米），答：条幅的长度约为米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．16.某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图所示，秋千拉绳的长为3m，静止时，踏板到地面距离的长为0．6m（踏板厚度忽略不计）．为安全起见，乐园管理处规定：“安全高度”为秋千荡起时，踏板与地面的最大距离．儿童的“安全高度”为hm，成人的“安全高度”为2m（计算结果精确到0.1m）(1)当摆绳与成夹角时，恰为儿童的安全高度，则h应为多少米？请说明理由．(2)某成人在玩秋千时，摆绳与的最大夹角为，问此人是否安全？请说明理由．（参考数据：，，，）【答案】(1)h应为1.5米(2)此人安全，理由见解析【分析】（1）过作，得到等腰直角三角形，求出，利用，即可得到h；（2）过点作，解直角三角形，求出，利用求出到地面的距离，与成人的“安全高度”进行比较，即可得解．【详解】（1）解：过作，∵，∴，∴；∴h应为1.5米．（2）解：过点作，垂直于地面，则：，∵，∴，∴，∴，∵，∴此人安全．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是锐角三角函数，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形．17．如图，海上有一座小岛C，一艘渔船在海中自西向东航行，速度为60海里/小时，船在A处测得小岛C在北偏东方向，1小时后渔船到达B处，测得小岛C在北偏东方向．（参考数据：，，）(1)求的距离；（结果保留整数）(2)渔船在B处改变航行线路，沿北偏东方向继续航行，此航行路线记为l，但此时发现剩余油量不足，于是当渔船航行到l上与小岛C最近的D处时，立即沿方向前往小岛C加油，加油时间为18分钟，在小岛C加油后，再沿南偏东方向航行至l上的点E处．若小船在D处时恰好是上午11点，问渔船能否在下午5点之前到达E处？请说明理由．【答案】(1)164海里(2)不能【分析】（1）由题意先得到，，利用和中的三角函数表示，进行求解即可得出结论；（2）根据题意可得，利用和中的三角函数求得和的长度，由路程=时间×速度求得时间，再进行比较即可．【详解】（1）解：过点作，由题意得(海里)，在A处测得小岛C在北偏东方向，则，在B处测得小岛C在北偏东方向，则，设海里，在中，，则，，则，在中，，则，且，，解得，答：的距离为164海里；（2）解：与小岛C最近的D处，即，在B处沿北偏东方向继续航行，则,在小岛C加油后，再沿南偏东方向航行，则，，由（1）得的距离为164海里，在中，，，在中，，，渔船所用时间为：，答：渔船不能在下午5点之前到达E处【点睛】本题主要考查了解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键．18．如图，坡的坡度为：，坡面长米，，现计划在斜坡中点处挖去部分坡体用阴影表示修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡请将下面两小题的结果都精确到米，参考数据：．(1)若修建的斜坡的坡角即恰为，则此时平台的长为______米；(2)坡前有一建筑物，小明在点测得建筑物顶部的仰角为，在坡底点测得建筑物顶部的仰角为，点、、、、在同一平面内，点、、在同一条水平直线上，问建筑物高为多少米？【答案】(1)7.0(2)建筑物高约为米【分析】（1）先利用勾股定