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文档简介
山东青岛市新高考数学三模试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.关于圆周率,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发,某同学通过下面的随机模拟方法来估计的值:先用计算机产生个数对,其中,都是区间上的均匀随机数,再统计,能与构成锐角三角形三边长的数对的个数﹔最后根据统计数来估计的值.若,则的估计值为()A. B. C. D.2.已知点P在椭圆τ:=1(a>b>0)上,点P在第一象限,点P关于原点O的对称点为A,点P关于x轴的对称点为Q,设,直线AD与椭圆τ的另一个交点为B,若PA⊥PB,则椭圆τ的离心率e=()A. B. C. D.3.已知a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且a⊂α,b⊂β,aβ,bα,则“ab“是“αβ”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.曲线在点处的切线方程为,则()A. B. C.4 D.85.已知为虚数单位,若复数满足,则()A. B. C. D.6.抛物线的准线方程是,则实数()A. B. C. D.7.设,则复数的模等于()A. B. C. D.8.已知,,则的大小关系为()A. B. C. D.9.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计,烟台苹果(把苹果近似看成球体)的直径(单位:)服从正态分布,则直径在内的概率为()附:若,则,.A.0.6826 B.0.8413 C.0.8185 D.0.954410.函数的最大值为,最小正周期为,则有序数对为()A. B. C. D.11.过双曲线的左焦点作直线交双曲线的两天渐近线于,两点,若为线段的中点,且(为坐标原点),则双曲线的离心率为()A. B. C. D.12.已知中内角所对应的边依次为,若,则的面积为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在《九章算术》中,将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图,若四棱锥为阳马,侧棱底面,且,,设该阳马的外接球半径为,内切球半径为,则__________.14.函数的定义域是.15.已知一个四面体的每个顶点都在表面积为的球的表面上,且,,则__________.16.设实数满足约束条件,则的最大值为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知数列中,,前项和为,若对任意的,均有(是常数,且)成立,则称数列为“数列”.(1)若数列为“数列”,求数列的前项和;(2)若数列为“数列”,且为整数,试问:是否存在数列,使得对任意,成立?如果存在,求出这样数列的的所有可能值,如果不存在,请说明理由.18.(12分)某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试,每位同学彼此独立的从五所高校中任选2所.(1)求甲、乙、丙三名同学都选高校的概率;(2)若已知甲同学特别喜欢高校,他必选校,另在四校中再随机选1所;而同学乙和丙对五所高校没有偏爱,因此他们每人在五所高校中随机选2所.(i)求甲同学选高校且乙、丙都未选高校的概率;(ii)记为甲、乙、丙三名同学中选高校的人数,求随机变量的分布列及数学期望.19.(12分)已知两数.(1)当时,求函数的极值点;(2)当时,若恒成立,求的最大值.20.(12分)在直角坐标系xOy中,直线的参数方程为(t为参数,).以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.(l)求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程:(2)若直线与曲线C相交于A,B两点,且.求直线的方程.21.(12分)试求曲线y=sinx在矩阵MN变换下的函数解析式,其中M,N.22.(10分)设函数.(1)当时,解不等式;(2)设,且当时,不等式有解,求实数的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
先利用几何概型的概率计算公式算出,能与构成锐角三角形三边长的概率,然后再利用随机模拟方法得到,能与构成锐角三角形三边长的概率,二者概率相等即可估计出.【详解】因为,都是区间上的均匀随机数,所以有,,若,能与构成锐角三角形三边长,则,由几何概型的概率计算公式知,所以.故选:B.【点睛】本题考查几何概型的概率计算公式及运用随机数模拟法估计概率,考查学生的基本计算能力,是一个中档题.2、C【解析】
设,则,,,设,根据化简得到,得到答案.【详解】设,则,,,则,设,则,两式相减得到:,,,即,,,故,即,故,故.故选:.【点睛】本题考查了椭圆的离心率,意在考查学生的计算能力和转化能力.3、D【解析】
根据面面平行的判定及性质求解即可.【详解】解:a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α,由a∥b,不一定有α∥β,α与β可能相交;反之,由α∥β,可得a∥b或a与b异面,∴a,b是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α,则“a∥b“是“α∥β”的既不充分也不必要条件.故选:D.【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断,考查面面平行的判定与性质,属于基础题.4、B【解析】
求函数导数,利用切线斜率求出,根据切线过点求出即可.【详解】因为,所以,故,解得,又切线过点,所以,解得,所以,故选:B【点睛】本题主要考查了导数的几何意义,切线方程,属于中档题.5、A【解析】分析:题设中复数满足的等式可以化为,利用复数的四则运算可以求出.详解:由题设有,故,故选A.点睛:本题考查复数的四则运算和复数概念中的共轭复数,属于基础题.6、C【解析】
根据准线的方程写出抛物线的标准方程,再对照系数求解即可.【详解】因为准线方程为,所以抛物线方程为,所以,即.故选:C【点睛】本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题.7、C【解析】
利用复数的除法运算法则进行化简,再由复数模的定义求解即可.【详解】因为,所以,由复数模的定义知,.故选:C【点睛】本题考查复数的除法运算法则和复数的模;考查运算求解能力;属于基础题.8、D【解析】
由指数函数的图像与性质易得最小,利用作差法,结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较和的大小关系,进而得解.【详解】根据指数函数的图像与性质可知,由对数函数的图像与性质可知,,所以最小;而由对数换底公式化简可得由基本不等式可知,代入上式可得所以,综上可知,故选:D.【点睛】本题考查了指数式与对数式的化简变形,对数换底公式及基本不等式的简单应用,作差法比较大小,属于中档题.9、C【解析】
根据服从的正态分布可得,,将所求概率转化为,结合正态分布曲线的性质可求得结果.【详解】由题意,,,则,,所以,.故果实直径在内的概率为0.8185.故选:C【点睛】本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题,考查了正态曲线的对称性,属于基础题.10、B【解析】函数(为辅助角)∴函数的最大值为,最小正周期为故选B11、C【解析】由题意可得双曲线的渐近线的方程为.∵为线段的中点,∴,则为等腰三角形.∴由双曲线的的渐近线的性质可得∴∴,即.∴双曲线的离心率为故选C.点睛:本题考查了椭圆和双曲线的定义和性质,考查了离心率的求解,同时涉及到椭圆的定义和双曲线的定义及三角形的三边的关系应用,对于求解曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出,代入公式;②只需要根据一个条件得到关于的齐次式,转化为的齐次式,然后转化为关于的方程(不等式),解方程(不等式),即可得(的取值范围).12、A【解析】
由余弦定理可得,结合可得a,b,再利用面积公式计算即可.【详解】由余弦定理,得,由,解得,所以,.故选:A.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形,考查学生的基本计算能力,是一道容易题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径,由此能求出,内切球在侧面内的正视图是的内切圆,从而内切球半径为,由此能求出.【详解】四棱锥为阳马,侧棱底面,且,,设该阳马的外接球半径为,该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径,,,侧棱底面,且底面为正方形,内切球在侧面内的正视图是的内切圆,内切球半径为,故.故答案为.【点睛】本题考查了几何体外接球和内切球的相关问题,补形法的运用,以及数学文化,考查了空间想象能力,是中档题.解决球与其他几何体的切、接问题,关键是能够确定球心位置,以及选择恰当的角度做出截面.球心位置的确定的方法有很多,主要有两种:(1)补形法(构造法),通过补形为长方体(正方体),球心位置即为体对角线的中点;(2)外心垂线法,先找出几何体中不共线三点构成的三角形的外心,再找出过外心且与不共线三点确定的平面垂直的垂线,则球心一定在垂线上.14、【解析】解:因为,故定义域为15、【解析】由题意可得,该四面体的四个顶点位于一个长方体的四个顶点上,设长方体的长宽高为,由题意可得:,据此可得:,则球的表面积:,结合解得:.点睛:与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.16、【解析】
试题分析:作出不等式组所表示的平面区域如图,当直线过点时,最大,且考点:线性规划.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)存在,【解析】
由数列为“数列”可得,,,两式相减得,又,利用等比数列通项公式即可求出,进而求出;由题意得,,,两式相减得,,据此可得,当时,,进而可得,即数列为常数列,进而可得,结合,得到关于的不等式,再由时,且为整数即可求出符合题意的的所有值.【详解】因为数列为“数列”,所以,故,两式相减得,在中令,则可得,故所以,所以数列是以为首项,以为公比的等比数列,所以,因为,所以.(2)由题意得,故,两式相减得所以,当时,又因为所以当时,所以成立,所以当时,数列是常数列,所以因为当时,成立,所以,所以在中令,因为,所以可得,所以,由时,且为整数,可得,把分别代入不等式可得,,所以存在数列符合题意,的所有值为.【点睛】本题考查数列的新定义、等比数列的通项公式和数列递推公式的运用;考查运算求解能力、逻辑推理能力和对新定义的理解能力;通过反复利用递推公式,得到数列为常数列是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题.18、(1)(2)(i)(ii)分布列见解析,【解析】
(1)先计算甲、乙、丙同学分别选择D高校的概率,利用事件的独立性即得解;(2)(i)分别计算每个事件的概率,再利用事件的独立性即得解;(ii),利用事件的独立性,分别计算对应的概率,列出分布列,计算数学期望即得解.【详解】(1)甲从五所高校中任选2所,共有共10种情况,甲、乙、丙同学都选高校,共有四种情况,甲同学选高校的概率为,因此乙、丙两同学选高校的概率为,因为每位同学彼此独立,所以甲、乙、丙三名同学都选高校的概率为.(2)(i)甲同学必选校且选高校的概率为,乙未选高校的概率为,丙未选高校的概率为,因为每位同学彼此独立,所以甲同学选高校且乙、丙都未选高校的概率为.(ii),因此,.即的分布列为0123因此数学期望为.【点睛】本题考查了事件独立性的应用和随机变量的分布列和期望,考查了学生综合分析,概念理解,实际应用,数学运算的能力,属于中档题.19、(1)唯一的极大值点1,无极小值点.(2)1【解析】
(1)求出导函数,求得的解,确定此解两侧导数值的正负,确定极值点;(2)问题可变形为恒成立,由导数求出函数的最小值,时,无最小值,因此只有,从而得出的不等关系,得出所求最大值.【详解】解:(1)定义域为,当时,,令得,当所以在上单调递增,在上单调递减,所以有唯一的极大值点,无极小值点.(2)当时,.若恒成立,则恒成立,所以恒成立,令,则,由题意,函数在上单调递减,在上单调递增,所以,所以所以,所以,故的最大值为1.【点睛】本题考查用导数求函数极值,研究不等式恒成立问题.在求极值时,由确定的不一定是极值点,还需满足在两侧的符号相反.不等式恒成立深深转化为求函数的最值
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