2024届河南省淮阳第一某中学中考数学最后一模试卷含解析

2024届河南省淮阳第一高级中学中考数学最后一模试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.如图，已知AABC中，ZC=90°,若沿图中虚线剪去NC,则N1+/2等于（）

A.90°B.135°C.270°D.315°

2.下列运算正确的是()

A.a6-j-a3=a2B.3a2*2a=6a3C.(3a)2=3a2D.2x2-x2=l

3.如图，AD是半圆O的直径，AD=12,B,C是半圆O上两点.若A3=3C=C£＞，则图中阴影部分的面积是

（）

A.67rB.127tC.187rD.247r

4.某校九年级一班全体学生2017年中招理化生实验操作考试的成绩统计如下表，根据表中的信息判断，下列结论中

错误的是（）

成绩（分）3029282618

人数（人）324211

A.该班共有40名学生

B.该班学生这次考试成绩的平均数为29.4分

C.该班学生这次考试成绩的众数为30分

D.该班学生这次考试成绩的中位数为28分

5.三个等边三角形的摆放位置如图，若N3=60。，则N1+N2的度数为（）

2

3

1

A.90°B.120°C.270°D.360°

6.关于x的一元二次方程x2-2x+k+2=0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（）

A.B.

C.D-------0

7.如图，在ABC。中，E为边CD上一点，将ADE沿AE折叠至△AD'E处，AD'与CE交于点F,若N5=52。,

)

C.36°D.40°

8.某几何体由若干个大小相同的小正方体搭成,其主视图与左视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体最少有

A.4个B.5个C.6个D.7个

9.如图，矩形ABCD中，AB=3,AD=4,连接BD,NDBC的角平分线BE交DC于点E,现把△BCE绕点B逆时

针旋转，记旋转后的ABCE为ABUE，.当线段BE，和线段B。都与线段AD相交时，设交点分别为F,G.若△BFD

为等腰三角形，则线段DG长为（）

10.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，有下列结论：①acVl；②a+bVl；③4ac>b?；（4）4a+2b+c<l.其中正确的

个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.如图，抛物线y=-，+2x+3交x轴于A,B两点,交V轴于点C,点C关于抛物线的对称轴的对称点为E,

点G,尸分别在x轴和V轴上，则四边形EDPG周长的最小值为.

12.如图，在△ABC中，NACB=90。，ZABC=60°,A3=6cm,将△ABC以点3为中心顺时针旋转，使点C旋转到

A3边延长线上的点。处，则AC边扫过的图形（阴影部分）的面积是cm1.（结果保留兀）.

32x

13.方程-----=1的解是

x—11—x

14.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a,3）,点B的坐标是（4,b）,若点A与点B关于原点O对称，则ab=

15.分式^^有意义时，x的取值范围是___.

y/2-X

16.抛物线y=2/-1的顶点坐标是.

17.如图，AABC是。O的内接三角形，AD是。O的直径，ZABC=50°,贝（JNCAD=

B'O

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）“垃圾不落地，城市更美丽”.某中学为了了解七年级学生对这一倡议的落实情况，学校安排政教处在七

年级学生中随机抽取了部分学生，并针对学生“是否随手丢垃圾”这一情况进行了问卷调查，统计结果为：A为从不随

手丢垃圾；B为偶尔随手丢垃圾；C为经常随手丢垃圾三项.要求每位被调查的学生必须从以上三项中选一项且只能

选一项.现将调查结果绘制成以下来不辜负不完整的统计图.

所抽出学生、是否随手丢垃圾”调查统计图

请你根据以上信息，解答下列问题：

⑴补全上面的条形统计图和扇形统计图；

⑵所抽取学生“是否随手丢垃圾”情况的众数是；

⑶若该校七年级共有1500名学生，请你估计该年级学生中“经常随手丢垃圾”的学生约有多少人？谈谈你的看法？

19.（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经

过点A、C、B的抛物线的一部分G与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封

闭曲线称为“蛋线已知点C的坐标为（0,二），点M是抛物线C2：y=mx2-2mx-3m（m<0）的顶点.

（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P,使得APBC的面积最大？若存在，求出APBC面积的最大值；若不存在,

请说明理由；

（3）当ABDM为直角三角形时，求m的值.

13

20-(8分)已知‘抛物线产“2-x+z与X轴分别交于4、B两点。点在5点的左侧)，交y轴于点八

(DA点坐标为;5点坐标为;尸点坐标为;

(2)如图1,C为第一象限抛物线上一点，连接AC,8尸交于点M,若在直线AC下方的抛物线上是否

存在点P,使SAACP=4,若存在，请求出点尸的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)如图2,。、E是对称轴右侧第一象限抛物线上的两点，直线A。、AE分别交y轴于M、N两点,若OM・ON=工,

21.(10分)已知：如图所示，抛物线y=-x?+bx+c与x轴的两个交点分别为A(1,0),B(3,0)

⑴求抛物线的表达式；

⑵设点P在该抛物线上滑动，且满足条件SAPAB=1的点P有几个？并求出所有点P的坐标.

22.(10分)先化简，再求代数式(-------二)———的值，其中a=2sin45o+tan45。.

a+1a-1tz+1

23.(12分)(1)(a-b)2-a(a-2b)+(2a+b)(2a-b)

8m2-6m+9

(2)(m-1----------)

m+1m2+m

24.(14分)某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售.市场调查

反映：每降价1元，每星期可多卖30件.已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售

量为y件.

⑴求y与x之间的函数关系式；

⑵当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少元？

⑶若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？

参考答案

一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分)

1、C

【解题分析】

根据四边形的内角和与直角三角形中两个锐角关系即可求解.

【题目详解】

解：•••四边形的内角和为360。，直角三角形中两个锐角和为90。，

.,.Zl+Z2=360°-(ZA+ZB)=360°-90°=270°.

故选：C.

【题目点拨】

此题主要考查角度的求解，解题的关键是熟知四边形的内角和为360°.

2、B

【解题分析】

A、根据同底数塞的除法法则计算；

B、根据同底数幕的乘法法则计算；

C、根据积的乘方法则进行计算；

D、根据合并同类项法则进行计算.

【题目详解】

解：A、a64-a3=a3,故原题错误；

B、3a2»2a=6a3,故原题正确；

C、(3a)2=9a2,故原题错误；

D、2x2-x2=x2,故原题错误；

故选B.

【题目点拨】

考查同底数易的除法，合并同类项，同底数幕的乘法，积的乘方，熟记它们的运算法则是解题的关键.

3、A

【解题分析】

根据圆心角与弧的关系得到NAOB=NBOC=NCOD=60。，根据扇形面积公式计算即可.

【题目详解】

•­•AB=BC=CD，

：.NAOB=NBOC=NCOD=60。.

••・阴影部分面积=处互=6n.

360

故答案为：A.

【题目点拨】

本题考查的知识点是扇形面积的计算，解题关键是利用圆心角与弧的关系得到NAOB=NBOC=NCOD=60。.

4、D

【解题分析】

A.V32+4+2+1+1=40(人)，故A正确；

B.,/(30x32+29x4+28x2+26+18)+40=29.4(分)，故B正确；

C.•.•成绩是30分的人有32人，最多，故C正确；

D.该班学生这次考试成绩的中位数为30分，故D错误；

5、B

【解题分析】

先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60。，用Nl,Z2,N3表示出△ABC各角的度数，再根据三角

形内角和定理即可得出结论.

【题目详解】

•.•图中是三个等边三角形，Z3=60°,

:.ZABC=180o-60°-60o=60°,ZACB=180°-60°-Z2=120°-Z2,

ZBAC=180°-60°-Z1=120°-Z1,

■:ZABC+ZACB+ZBAC=180°,

.,.60°+(120°-Z2)+(12O°-Z1)=180°,

.,.Zl+Z2=120°.

故选B.

【题目点拨】

考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形各内角均等于60。是解答此题的关键.

6、C

【解题分析】

由一元二次方程有实数根可知A>0,即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围.

【题目详解】

••・关于x的一元二次方程x2-2x+k+2=0有实数根，

/.△=(-2)2-4(*+2)>0,

解得：k<T,

在数轴上表示为：

-10

故选c.

【题目点拨】

本题考查了一元二次方程根的判别式.根据一元二次方程根的情况利用根的判别式列出不等式是解题的关键.

7、C

【解题分析】

由平行四边形的性质得出ND=NB=52。，由折叠的性质得：ND，=ND=52。，ZEAD,=ZDAE=20°,由三角形的外角性

质求出NAEF=72。，由三角形内角和定理求出NAED，=108。，即可得出NFED，的大小.

【题目详解】

,/四边形ABCD是平行四边形，

ND=/B=52。，

由折叠的性质得：ND'=ND=52。，NEAD'=NDAE=20°,

/AEF="+"AE=520+20°=72°,/AED'=180°—^EAD'-^D'=108°,

/.^FED'=108°-72°=36°；

故选C.

【题目点拨】

本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质

和折叠的性质，求出NAEF和NAED，是解决问题的关键.

8、B

【解题分析】

由主视图和左视图确定俯视图的形状，再判断最少的正方体的个数.

【题目详解】由主视图和左视图可确定所需正方体个数最少时俯视图(数字为该位置小正方体的个数)为：

则搭成这个几何体的小正方体最少有5个，

故选B.

【题目点拨】本题考查了由三视图判断几何体，根据主视图和左视图画出所需正方体个数最少的俯视图是关键.

【题目详解】

请在此输入详解！

【题目点拨】

请在此输入点睛！

9、A

【解题分析】

25257

先在RtAABD中利用勾股定理求出BD=5,在RtAABF中利用勾股定理求出BF=—，则AF=4--=-.再过G作

888

25

GH〃BF,交BD于H,证明GH=GD,BH=GH,设DG=GH=BH=x,贝!|FG=FD-GD=--x,HD=5-x,由GH〃FB,

8

.FDBDnr_45

得出而=布’即可求解.

【题目详解】

解：在RtAABD中,VZA=90°,AB=3,AD=4,

BD=5,

在RtAABF中，；NA=90°,AB=3,AF=4-DF=4-BF,

.*.BF2=32+(4-BF)2,

525

解得BF=—,

o

AF=4--=—.

88

过G作GH〃BF,交BD于H,

:.ZFBD=ZGHD,NBGH=NFBG,

；FB=FD,

.\ZFBD=ZFDB,

...NFDB=NGHD,

；.GH=GD,

111

VZFBG=ZEBC=-ZDBC=-ZADB=-ZFBD,

222

X*-*ZFBG=ZBGH,ZFBG=ZGBH,

/.BH=GH,

25

设DG=GH=BH=x,贝!|FG=FD-GD=——-x,HD=5-x,

8

；GH〃FB,

25

FDBDan—5

••---=----，即8=------，

GDHD—5-x

x

25

解得x=

13

故选A.

【题目点拨】

本题考查了旋转的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，准确作出辅助线是

解题关键.

10、C

【解题分析】

由抛物线的开口方向判断a与1的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与1的关系，然后根据抛物线与x轴交点及x=l

时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

【题目详解】

解：①根据图示知，该函数图象的开口向上，...aX;该函数图象交于y轴的负半轴，

c<l；ac<0故①正确；

b

②对称轴x=----=1,/.b=-2a,

b

—<0,Z><1；

2a

a+b=a=2a=-a<0,故②正确；

③根据图示知，二次函数与x轴有两个交点，所以上=廿-4ac>0,即^>4ac，故③错误

@4a+2b+c=4a-4a+c=c<0,故本选项正确.

正确的有3项

故选C.

【题目点拨】

本题考查二次函数的图象与系数的关系.二次项系数。决定了开口方向，一次项系数万和二次项系数。共同决定了对称

轴的位置，常数项C决定了与y轴的交点位置.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11、72+758

【解题分析】

根据抛物线解析式求得点D(1,4)、点E(2,3),作点D关于y轴的对称点D，(-1,4)、作点E关于x轴的对称

点E，(2,-3),从而得到四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE=DE+D，F+FG+GE。当点D，、F、G、E，四

点共线时，周长最短，据此根据勾股定理可得答案.

【题目详解】

如图，

在y=-x?+2x+3中，当x=0时，y=3,即点C(0,3),

；y=-x?+2x+3=-(x-1)2+4,

.•.对称轴为x=L顶点D(1,4),

则点C关于对称轴的对称点E的坐标为(2,3),

作点D关于y轴的对称点(-1,4),作点E关于x轴的对称点E，(2,-3),

连结D\W,DE与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点，

四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE

=DE+D,F+FG+GE,

=DE+D，E'

=7(1-2)2+(4-3)2+7(-1-2)2+(4+3)2

=72+758

...四边形EDFG周长的最小值是72+758.

【题目点拨】

本题主要考查抛物线的性质以及两点间的距离公式，解题的关键是熟练掌握抛物线的性质，利用数形结合得出答案.

12、9九

【解题分析】

根据直角三角形两锐角互余求出NBAC=30。，再根据直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半可得BC=gAB,

然后求出阴影部分的面积=S扇形ABE-S扇形BCD,列计算即可得解.

【题目详解】

•••NC是直角，ZABC=60°,

/.ZBAC=90o-60o=30°,

/.BC=—AB=—x6=3(cm),

22

:△ABC以点B为中心顺时针旋转得到4BDE,

ASABDE=SAABC,ZABE=ZCBD=180°-60°=110°,

阴影部分的面积=$扇形ABE+SABDE-S扇形BCD-SAABC

=S扇形ABE-S扇形BCD

_1207右_120万.3、

360360

=lln-3n

=9n(cml).

故答案为97r.

【题目点拨】

本题考查了旋转的性质，扇形的面积计算，直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半的性质，求出阴影部分的

面积等于两个扇形的面积的差是解题的关键.

13、x=-4

【解题分析】

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到X的值，经检验即可得到分式方程的解.

【题目详解】

去分母得：3+2x=x-1,

解得：x=-4,

经检验x=-4是分式方程的解.

【题目点拨】

此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.

14、1

【解题分析】

【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a,b的值，进而得出答案.

【题目详解】•.,点A的坐标为（a,3）,点B的坐标是（4,b）,点A与点B关于原点O对称，

/.a=-4,b=-3,

则ab=l,

故答案为1.

【题目点拨】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的两点的横、纵坐标互为相反数是解题的关键.

15、x<l

【解题分析】

1

要使代数式^^有意义时，必有l-x>2,可解得x的范围.

【题目详解】

根据题意得：l-x>2,

解得：x<l.

故答案为x<L

【题目点拨】

考查了分式和二次根式有意义的条件.二次根式有意义，被开方数为非负数，分式有意义，分母不为2.

16、(0,-1)

【解题分析】

4acb

Va=2,b=0,c=-l,A--=0,^=_1

2a4a

二抛物线y=2d—1的顶点坐标是（o,」）,

故答案为(0,-1).

17、40°

【解题分析】

连接CZ>,贝！|NAOC=NA5C=50。，

是。。的直径，

:.ZACD=9Q°,：.ZCAD+ZADC=9Q°,：.NCW=90°-NAZ>C=90°-50°=40°,故答案为：40°.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(1)补全图形见解析；⑵B；(3)估计该年级学生中“经常随手丢垃圾”的学生约有75人，就该年级经常随手丢垃圾

的学生人数看出仍需要加强公共卫生教育、宣传和监督.

【解题分析】

(1)根据被调查的总人数求出C情况的人数与B情况人数所占比例即可；

(2)根据众数的定义求解即可；

(3)该年级学生中“经常随手丢垃圾”的学生=总人数xC情况的比值.

【题目详解】

⑴•••被调查的总人数为60+30%=200人，

130

•••C情况的人数为200-(60+130)=10人，B情况人数所占比例为一xl00%=65%,

200

补全图形如下：

所抽出学生、是否随手丢飒.调—计图

(2)由条形图知，B情况出现次数最多，

所以众数为B,

故答案为B.

(3)1500x5%=75,

答：估计该年级学生中“经常随手丢垃圾”的学生约有75人，就该年级经常随手丢垃圾的学生人数看出仍需要加强公共

卫生教育、宣传和监督.

【题目点拨】

本题考查了众数与扇形统计图与条形统计图，解题的关键是熟练的掌握众数与扇形统计图与条形统计图的相关知识点.

19、(1)A(-；,0)、B(3,0).

27

(2)存在.SAPBC最大值为—

16

(3)m=—匚或机=—1时，ABDM为直角三角形.

2

【解题分析】

(1)在y=mx2-2mx-3m中令y=0,即可得到A、B两点的坐标.

(2)先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，由SAPBC=SAPOC+SABOLSABOC得到△PBC面积的表达式，根据二次

函数最值原理求出最大值.

(3)先表示出DM2,BD2,MB2,再分两种情况：①NBMD=90。时；②NBDM=90。时，讨论即可求得m的值.

【题目详解】

解：(1)令y=0,贝Umx?-2mx-3m=0，

2

x—2x—3=0»解得：X]=-1,x2=3.

AA(-1,0)、B(3,0).

(2)存在.理由如下：

•••设抛物线G的表达式为y=a(x+l)(x-3)(a/0),

31

把C(0,——)代入可得，a=—.

22

113

•'.Ci的表达式为：y=-(x+l)(x-3),即y=-x?—x——.

1,3

设P(p,—p'—p—),

22

.3.3.227

4216

3327

a=----<0,.,.当p=一时，SAPBC最大值为—•

4216

(3)由C2可知：B(3,0),D(0,-3m),M(1,-4m).

222222

.,.BD=9m+9,BM=16m+4,DM=m+l.

,/ZMBD<90°,二讨论/BMD=90。和/BDM=90。两种情况：

当NBMD=90。时，BM2+DM2=BD2,BP16m2+4+m2+l=9m2+9，

解得：nil==史^(舍去).

22

当NBDM=90。时，BD2+DM2=BM2,BP9m2+9+m2+l=16m2+4,

解得：mi=-1,m2=l(舍去).

综上所述，m=-/或加=—1时，ABDM为直角三角形.

2

3

20、(1)(1,0),(3,0),(0,-)；(2)在直线AC下方的抛物线上不存在点P,使S"〃=4,见解析；(3)见解析

4

【解题分析】

(1)根据坐标轴上点的特点建立方程求解，即可得出结论；

(2)在直线AC下方轴x上一点，使SAACH=4,求出点H坐标，再求出直线AC的解析式，进而得出点〃坐标，最

后用过点H平行于直线AC的直线与抛物线解析式联立求解，即可得出结论；

(3)联立直线。E的解析式与抛物线解析式联立，得出一丁―(左+l)x+——根=0,进而得出。+归4+4左，

44

33—4m,再由AZM8AM4O得出型=也，进而求出—3),同理可得ON=4S—3),再根据

MOAO44

OM-ON=-(a-3)--(b-3)=~,即可得出结论.

444

【题目详解】

1,3

(1)针对于抛物线y=—x+巳，

-44

An1-3

令x=0,则丁=一,

4

3

・・・F(0,-),

4

令y=0,贝!J—/一元+—=0,

44

解得，x=l或％=3,

AA(l,0),3(3,0),

3

综上所述：A(l,0),B(3,0),F(0,-)；

4

3

(2)由(1)知，B(3,0),F(0,-),

4

•••A(1,O),

，直线AC的解析式沏尸六一3_

~4

33

y=-x——

联立抛物线解析式得：<-；44々

123

y=—x-x+—

U44

X=6

x.=12

解得：或<15，

71=°P=7

C(6,—),

4

如图1,设H是直线AC下方轴x上一点，A8=a且SAACH=4,

115，

・・-cix—=4

24f

…32

解得：a=—,

47

二H(—,0),

15

过"作1//AC,

347

直线/的解析式为y=而

联立抛物线解析式，解得5f—35x+62=0,

.*•A=49-49.6=-0.6<0,

即：在直线AC下方的抛物线上不存在点P,使SMP=4;

(3)如图2,过O,E分别作x轴的垂线，垂足分别为G,H,

设。(a,-4—a+—),E(b,-b--b+~),直线OE的解析式为丁=履+加,

4444

193

联立直线DE的解析式与抛物线解析式联立，得一炉—(左+1)%+——m=09

44

a+Z?—4+4k,cib—3-4-m，

；OG_Lx轴，

：.DG//OM,

NDAG^AMAO，

.DGAG

""Md~Ad'

即;

OM—1

：.OM=-(a-3),同理可得ON=！S—3)

44

：.OM-ON^-(a-3)--(b-3)=-,

444

cib—3((7+Z?)+5=:0,

即3—4w—3(4+4左)+5=0,

二直线DE的解析式为y—kx—3k—\=k{x—3)—l,

二直线DE必经过一定点(3,-1).

图2

【题目点拨】

本题主要考查了二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数与一次函数的综合应用，交点的求法，待定系数法求函数解

析式等方法式解决本题的关键.

21、⑴y=-x?+4x-3；（2）满足条件的P点坐标有3个，它们是（2,1）或（2+及，-1）或（2-立,-1）.

【解题分析】

（1）由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可利用交点式求出抛物线解析式；

（2）根据二次函数图象上点的坐标特征，可设P（t,矛+4匕3）,根据三角形面积公式得到g.2.|-t2+4t-3|-l,然后去

绝对值得到两个一元二次方程，再解方程求出t即可得到P点坐标.

【题目详解】

解:⑴抛物线解析式为y=-(x-1)(x-3)=-x2+4x-3；

⑵设P(t,-t2+4t-3),

因为SAPAB=1,AB=3-1=2,

所以;-t2+4t-31=1,

当-t2+4t-3=l时，h=t2=2,此时P点坐标为(2,1)；

当-t?+4t-3=-1时，ti=2+