安徽省六安某中学2024届高三年级下册质量检测数学试卷(一)（含答案与解析）

六安一中2024届高三年级质量检测卷(一)

数学

时间：120分钟满分：150分

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知条件以“不等式4)/+(。+2)%-120的解集是空集”,则条件乙“―2Wa<l，，是条件4的

()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C,充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2.已知角矶0°<1<360。)终边上人点坐标为侬11310°,85310°),则夕=()

A.130°B.140°C.220°D,230°

3.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设。力,机(m>0)为整数，若。和〃

被机除得的余数相同，则称。和力对模机同余，记为。三Z?(modm).若

2

a=Co-2+C；0•2+.+C^-2r0,a=Zj(mod9),则b的值可以是C)

A.2018B,2020C.2022D.2024

22

4.己知K，K是椭圆c：?+?=l的两个焦点，点M在C上，贝娟阕的最大值为()

A.13B.12C.9D.6

5.已知函数/(x)=log3(3'T+3)—；x,若/(a—1)之/(2a+l)成立，则实数a的取值范围为()

A.B.(-oo,-2]U[0,+oo)

4

c.D.(-oo,-2]—,+oo

3

7171，点(；+sina,

6.已知，esin（2，-tz）在直线y=2x—l上，则tantz的取值范围为（）

i'6

V320-1V32拒-1V3-A/36

AB.C.D.

-7'V-7F

v2

7.过双曲线C:二-y2=1的左焦点月作倾斜角为。的直线/交C于两点.若MF[=3F[N,则

4

)

R3M

D.-----C.迈

A等105

8.几何学史上有一个著名的米勒问题：“设召，/是锐角/AP5的一边E4上的两点，试在边PB上找一点

Q,使得NEQB最大.”如图，其结论是：点。为过两点且和射线PB相切的圆的切点.根据以上结论

解决以下问题：在平面直角坐标系龙。丁中，给定两点£（2,4）1（4,2）,点。在>轴上移动，则NEQF的

最大值为（）

A.30°B.45°C.60°D.135°

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知a,b,c分别为—ABC内角A,B,C对边，下面四个结论正确的是（）

A.若acosA=bcos5,贝UABC为等腰三角形

B.在锐角一A5C中，不等式sinA>cos5恒成立

C.若8=m，a=2&，且有两解，则b的取值范围是卜,26）

D.若NABC=120。，/A3C的平分线交AC于点。，BD=1,则4a+c的最小值为9

10.如图，在矩形AEFC中，AE=2s[3，EF=4,B为EF中点、,现分别沿48、BC^AABE,"5翻

折，使点E、尸重合，记为点P,翻折后得到三棱锥P-ABC,则（）

C.直线必与平面P8C所成角的正弦值为:D.三棱锥尸-A5C外接球的半径为叵

32

11.甲、乙两同学参加普法知识对抗赛，规则是每人每次从题库中随机抽取一题回答.若回答正确，得1

分，答题继续；若回答错误，得。分，同时换成对方进行下一轮答题.据经验统计，甲、乙每次答题正确

的概率分别是;和且第1题的顺序由抛掷硬币决定.设第i次答题者是甲的概率为第，次回答问

题结束后中甲的得分是K,,则（）

A.B.P（兄=1）=5

C,之=：叫D.E（K,）=9+卑心2）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台。，已知射线A3,AC为湿地两边

TT

夹角为彳的公路（长度均超过4千米），在两条公路AB，AC上分别设立游客接送点E,F,且

AE=AF=C千米，若要求观景台D与两接送点所成角NEDF与NBAC互补且观景台。在所的右

侧，并在观景台。与接送点E,b之间建造两条观光线路。£与。方，则观光线路之和最长是

（千米）.

（y

F/

D

AEB

13.已知函数“x)=2+ln羽g(x)=a«,若总存在两条不同的直线与函数y=/(x),y=g(x)图象均

相切，则实数。的范围为.

14.已知三棱锥S—ABC,空间内一点/满足SM=S4—3S3+4SC，则三棱锥M—ABC与S—ABC

的体积之比为.

四、解答题：本题共2小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，已知四棱台ABC。-A4GR的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面平

面ABCD44=以。=而，点尸是棱。Q的中点，点。在棱BC上.

AQC

(1)若3Q=3QC,证明：PQ〃平面AB4A；

(2)若二面角P—蛮―C的正弦值为士叵，求8。的长.

26

16.已知数列｛%｝的前〃项和为S"("eN*),在数列也｝中，4=q=l,阳,一(〃-1)Q“T=2〃-1,

4她她+i=3”.

(1)求数列｛%｝,也,｝的通项公式；

(2)设c〃=(T)向7；为数列｛.｝的前力项和，求7；的最值.

17.某次比赛中，甲乙二人进入决赛并争夺冠军.比赛规则为：①每局比赛后，胜者获得3分，负者获得1

分，比赛没有平局；②连续2局获胜或积分率先达到11分者可获得冠军，比赛结束.已知在单局比赛中，

甲乙获胜的概率均为g.

(1)求甲乙决出冠军时比赛局数X的分布列与数学期望E(X)；

(2)求在甲获得冠军的条件下其积分达到11分的概率P.

18.已知椭圆C：++%=l(a〉人〉0)的左、右焦点分别为耳，鸟，离心率为且经过点

(1)求椭圆C标准方程；

(2)点P是椭圆C上不在X轴上的任意一点，射线PK，PK分别与椭圆C交于点A,3.设

ss

PFAaPFBPAB的面积分别为S],S2，S3.求证：+为定值.

19.已知函数=ax+(a-l)lnx+—,^zeR.

x

(1)讨论函数/(%)的单调性；

⑵若关于X方程/■(x)=xe*-lnx+!有两个不相等的实数根毛、巧，

(i)求实数〃的取值范围；

一炉小2a

(ii)求证：---1---->----.

X2再石工2

参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.己知条件小不等式("2一4卜2+("+2)12°的解集是空集,，，则条件P：“-2<。<1，，是条件4的

()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】先分4=0和/-420两种情况讨论求出。的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可

得解.

【详解】因为不等式(片―4)尤?+(a+2)龙-120的解集是空集，

所以不等式(/―4*+(a+2)x—1<0的解集是R,

当々2一4=0即a=±2时,

若。=2,贝！J4x—1<0,x<—（舍）；

4

若。=一2,则一lv。，xeR；

6Z2-4<0zC

当々2一4。o时，则<,解得—2<a<—,

A<0

综上所述—24o<g,

所以条件。是条件q的充分不必要条件.

故选：A.

2.已知角以0。<1<360°）终边上A点坐标为（sin310°,cos310°）,则2=（）

A.130°B.140°C.220°D.230°

【答案】B

【解析】

【分析】先确定角々终边所在的位置，再根据诱导公式及商数关系即可得解.

【详解】因为sin310°<0,cos310°>0,

所以角a的终边在第二象限,

cos310°cos（360°-50°）COS50°

又因为tan1=

sin310。sin（360°-50°）--sin500

cos（140°-90°）sin140。

=tan140°,

--sin（140°-90°）cos140°

且0°<。<360°,

所以a=140°.

故选：B.

3.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设""2（加>0）为整数，若。和沙

被m除得的余数相同，则称。和b对模m同余，记为a=b（modm）.若

a=C；o-2+C；o"+.+玛1220,。三》（1110（19）,则8的值可以是（）

A.2018B.2020C.2022D.2024

【答案】D

【解析】

【分析】首先根据二项式定理化简。，再判断余数，结合选项，即可求解.

【详解】a=Ck2+C；o"++C北？2°=(l+2『°—1=91°—1，

所以。除以9的余数是8,

选项中只有2024除以9余8.

故选：D

22

4.已知小工是椭圆。：?+?=1的两个焦点，点M在C上，则|吗1•Mgl的最大值为()

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【解析】

【分析】本题通过利用椭圆定义得至“5|+|咋|=2。=6,借助基本不等式

\MF\-\MF^<闾即可得到答案.

【详解】由题，/=9/2=4,则|峥|+|年|=2a=6,

所以|炳|.惘4区；配1；=9(当且仅当|峥|=|M闾=3时，等号成立).

故选：C.

点睛】

5.己知函数/(x)=log3(3，T+3)—若/(a—1)之/(2a+l)成立，则实数a的取值范围为()

A.(-(»,-2]B.(-co,-2]l[0,+<»)

4

C.D.(-co,-2]—,+co

■3

【答案】C

【解析】

【分析】构造函数g(x)=logs(3*根据函数的奇偶性及复合函数的单调性可得函数为偶函数

且在［0,+。)单调递增，进而了(%)关于直线x=2对称，且在［2,+8)单调递增，结合条件可得

a-l-2|>|2a+l-2|,解不等式即得.

【详解】因为8")=1。83(3工+1)—3工=1083仪+3-)的定义域为口，又

g(-X)=log3卜寸+34)=g(%)，故函数g(x)为偶函数，

又％目0,转)时，3'>1-y=3片单调递增，故由复合函数单调性可得函数y=3'+33在[。,+。)单调

递增，函数y=log3X在定义域上单调递增,

所以g(x)在［0,+。)单调递增，

12

所以/(x)=log3(3'-+3)-1x=l+log3(y-+l)-1x=log3(3>2+i)_g(x_2)=g(x—2),

所以了(%)关于直线x=2对称，且在［2,单调递增.

所以+O|Q_]_2|N|2Q+]—2|,

两边平方，化简得(a+2)(3a—4)W0,解得—2<a<；

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数g(x)=log3(3'+l)-gx,然后根据函数的单调性及对称

性化简不等式进而即得.

兀71,点］;+sintz,sin(2〃-a)

6.已知PG在直线y=2x—1上,则的取值范围为()

i'6tantz

20-1g［272-1币—yj3y/3

A.-------,——D.

33-7'I"'_7'V

【答案】B

【解析】

sina_sin2,

【分析】根据和差角公式可得,进而根据斜率的几何意义即可结合斜率公式求解.

cos6Z2+cos29

［详解1点］g+sina,sin(2/—a)

在直线y=2x-1上，2sina=sin(26一a),

/.2sina=sin2/?cosa-cos2/?sina,「.(2+cos2月)sina=sin2/?cosa,

sinasin2/?sin2尸一0sin24-0(、(^、

cosa=2+cos2£=cos2£-(-2)，cos2^-(-2)表示点(一°)与点(cos2^sin2^)连线的斜率'

点(cos2以sin2/7)在单位圆上，

由，e—,则,可得sin2，e,cos2^e

故点(cos2以sin2〃)为圆上劣弧Ag,

M(-2.0)\O\

20-1V3

则tanaG

故选：B.

7.过双曲线C:?—J?=1的左焦点耳作倾斜角为。的直线/交。于两点.若MR=3F]N,则

Vio3屈

105

【答案】D

【解析】

【分析】根据双曲线的定义，结合焦点三角形以及余弦定理即可求解.

【详解】设双曲线的右焦点为歹,连接MRNF,

由题意可得a=2,b=l,c=y/5)

设=3恒N|=3x,\MF\=2a+3x=4+3x,IFN\=2tz+X=4+X,

忻N「+|£B2-|NF|2\FM^+\FF2-\MF^

由余弦定理可得cosNN耳尸+cosZMF^F=（XX=0.

2山叫公82\FXM\-

222222

BNX+4C-（4+X）9X+4C-（4+3X）的汨1

即---------------乙+-----------------乙=0，解得％=彳，

2-x-2c2-3x-2c3

所以cosNM耳/=F+4（逐）—,+D=_好，故|cose|=g.

2xlx2055,

8.几何学史上有一个著名的米勒问题：“设瓦厂是锐角NAP5的一边上4上的两点，试在边网上找一点

Q,使得NEQR最大.”如图，其结论是：点。为过E,歹两点且和射线PB相切的圆的切点.根据以上结论

解决以下问题：在平面直角坐标系龙。丁中，给定两点£（2,4）1（4,2）,点。在y轴上移动，则NEQF的

最大值为（）

C.60°D.135°

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意得出满足条件的过三点”E,Q的圆的方程，由已知当NEQF取最大值时，圆必与y轴

相切于点。，得出对应的切点分别为Q,即可得出答案.

【详解】解：设圆心C坐标为（。3），则Q（02），圆的方程为5—幻2+（丁—勿2="2

因为E、b两点在圆上,

解得］a=2a=10

所以《或4

f

（4-Q）=a2b=2"b=lQ

a=lQ

当「，八时，N石。尸为劣弧所对角，故舍去.

b=10

所以Q(0,2),C(2,2),所以旧勺=4,内回=2瓶,但司=2夜，

所以△QEb为等腰直角三角形，所以NEQF=45°,

故选：B.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.己知a,b,c分别为ABC内角A,B,C的对边，下面四个结论正确的是()

A.若acosA=bcos5,贝IABC为等腰三角形

B.在锐角中，不等式sinA>cos6恒成立

C.若2a=2百，且有两解，则b的取值范围是卜,28)

D.若NABC=120。，/A3C的平分线交AC于点D,BD=1,则4a+c的最小值为9

【答案】BCD

【解析】

【分析】A项，用余弦定理统一成边形式化简判断；B项，由为锐角三角形，与正弦函数的单调性

可得；C项，结合图形，根据边角的关系与解的数量判断；D项，根据三角形面积可得到工+工=1,将

ac

4a+c变为(4。+。)(工+工)，展开后利用基本不等式，即可求得答案.

ac

222

■“刀▼小田A47n口口+。2—Q2)1,(a+c-Z?)

【详解】选项A,因为acosA=灰2s5,BP_1_________Z=__________L,

2bc2ac

2

所以有a[b+02-/)=/(Q2+02一/)

整理可得_b2)(〃2+)2一°2)=0,所以a=b或储+/=/,

故-ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误；

TTTTTT

选项B,若为锐角三角形，所以A+3〉一,所以一>A>―-B>0,

222

由正弦函数y=sinx在0,]单调递增,则sinA>sin=cos5,故B正确.

选项C,如图，若有两解，则asinB<b<“,

所以3<6<2逸，则6的取值范围是（3,2石），故C正确.

选项D,/A3C的平分线交AC于点。，BD=1，

由SAABC=S^D+SABCD，由角平分线性质和三角形面积公式得,

得一〃csinl20=—asin60+—csin60,

222

即6zc=a+c,得—I——1,

ac

)|c4〃+5"6=+5=4+5=9,

得4〃+c=(4〃+c)(—+—)=一十—

acac

c4〃

当且仅当一=——，即c=2〃=3时，取等号，故D正确.

ac

故选：BCD.

10.如图，在矩形AMC中，AE=25EF=4,B为所中点，现分别沿AB、BC将AABE、翻

折，使点E、尸重合，记为点P,翻折后得到三棱锥P-A8C,则（）

A.三棱锥尸-A5C的体积为还B.直线出与直线BC所成角的余弦值为鱼

36

C.直线出与平面PBC所成角的正弦值为:D.三棱锥P-ABC外接球的半径为叵

32

【答案】BD

【解析】

【分析】证明平面PAC,再根据LTBC=%.PAC即可判断A；先利用余弦定理求出cosNAPC,将

8C用PC,PB表示，利用向量法求解即可判断B；利用等体积法求出点A到平面尸5c距离d,再根据

直线力与平面PBC所成角的正弦值为卫-即可判断C；利用正弦定理求出△PAC的外接圆的半径，再利

PA

用勾股定理求出外接球的半径即可判断D.

【详解】由题意可得

所以平面尸AC,

在△P4C中，PA=PC=2A/3>AC边上的高为2?=20,

所以％ARC=%='X'X4X20X2=£Z，故A错误；

r-/1DCD—r/IC323

/…12+12-161

对于B'在"AC中，c"APC=2x2而2"马，

BC=V12+4=4

PA（PC—PB）PAPC-PAPB

cos（PA,BC^=PABC

MM2A/3X4-8A/3

2百x2石xg布

873-6

所以直线以与直线BC所成角的余弦值为巫，故B正确;

6

对于C,SPBC=^PB-PC=2s/3,

设点A到平面PBC的距离为d，

由％…入，吗x2-=乎,解得2=孚

4A/6_

所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为巨=2V=迪，故C错误;

PA一28一3

由B选项知，cosZAPC=-,则sin/APC=2^Z

33

1AC3

所以4c的外接圆的半径厂=不二^^=不，

2sinZAPC。2

设三棱锥P-ABC外接球的半径为R,

又因为5。，平面PAC,

则氏2=/+［!总］=2+1=11,所以R=2^1,

UJ222

即三棱锥P-ABC外接球的半径为2三，故D正确.

2

故选：BD.

11.甲、乙两同学参加普法知识对抗赛，规则是每人每次从题库中随机抽取一题回答.若回答正确，得1

分，答题继续；若回答错误，得。分，同时换成对方进行下一轮答题.据经验统计，甲、乙每次答题正确

的概率分别是;和且第1题的顺序由抛掷硬币决定.设第i次答题者是甲的概率为匕，第i次回答问

题结束后中甲的得分是K,,则（）

A.弓=；B.尸（6=1）=5

C.么D.E（K,）=U+Ki”2）

【答案】BCD

【解析】

【分析】由全概率公式和均值的概念逐项判断.

［详解】设“第z•次答题者是甲”为事件A,,“第，次答题者是乙”为事件用,

由第1题的顺序由抛掷硬币决定可得P（A）=P（4）=g，

又打4+/4）=:,网心|耳）=；,

由全概率公式，得

P（A）=P（442Hp（3H）=P（4）P（阕A）+P（3jP（阕用）=*；+：］=J故A错误；

乙\乙DJJL乙

第2次回答问题结束后甲的得分是a=1，即两次回答中只有一次答对，

故B正确；

^LUP（^2=I）=1P（A）-1XA=A,

由题意知p（a）=4，P（B）=I-E，

P（4M）=p（）+p（为％）=p（a）P（4MIA）+P（4）p（4+/4）

所以匕i=，；+（iM）］=卜+；，故c正确;

第i次答题结束后，甲得分可分为两种情况：①第i次答题后甲的得分加上1分，则第7•次必由甲答题且得

1分；

②第z•次答题后甲的得分加上0分，则第i次由甲答题且不得分或第，次由乙答题，

所以E（&）=+1）+（54+1—金］&_］=+&_］,其中,22,故D正确.

故选：BCD.

【点睛】思路点睛：全概率公式的使用要点：

（1）如果所考虑问题的试验分两步，第一步试验结果可确定为样本空间的一个划分，求与第二步试验结果

有关的事件的概率，此时可用全概率公式解决；

（2）用全概率公式解题的关键是确定样本空间的一个划分，这可以从第一步试验的结果确定.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台。，已知射线A5，AC为湿地两边

TT

夹角为二的公路（长度均超过4千米），在两条公路A3，AC上分别设立游客接送点E,F,且

AE=AE=6千米，若要求观景台。与两接送点所成角/EDF与NBAC互补且观景台。在斯的右

侧，并在观景台。与接送点E，尸之间建造两条观光线路OE与。尸，则观光线路之和最长是

（千米）.

C

F,

D

EB

【答案】2

【解析】

【分析】根据余弦定理，结合基本不等式进行求解即可.

【详解】在所中，因为AE=AE=6，Z£AF=|,

所以所=AE==g，

2兀

又NEDF与NBAC互补,所以NEDF=——，

3

在」)EF中,由余弦定理得：EF2=DE2+DF2-2DE-DF-cosZEDF.

即。石2+£＞尸2+.叱=3,即(OE+)2一OE=3,

19

因为DE.。方，

所以(DE+0尸)2—DE.£＞尸=32(DE+DF)2-^-(DE+DF)2,

所以QE+Q产＜2,当且仅当DE=D/=1时，取等号，

所以观光线路之和最长是2.

故答案为：2

13.已知函数“无)=2+lnx,g(九)=a«,若总存在两条不同的直线与函数y=/(x),y=g(x)图象均

相切，则实数。的范围为.

【答案】(0,2)

【解析】

【分析】将有两条公切线转化为九(x)="(I""+I与直线？=未有两个不同交点,后利用导数研究函

数"(x)=40+I单调性与极值情况画出"(X)=4On%+1)大致图象,即可得答案.

【详解】设切线在/(x)=2+ln无,g(x)=a4上的切点分别为(为2，%)-

因尸(x)=Lg'(x)=会.则切线方程可表示为：丁——(%-玉)+2+In%

Xxi

a

,也可表示为：y+,其中x，%2>0.

1

2、反4(lnx+1),

则《二〉0,八一^一^=矿.则总存在两条不同的直线与函数

X]

1+lnx；=^~

y=/(x),y=g(x)图象均相切,

4nx+4nx+1)

等价于hx与直线》有两个不同交点.”X则

Xx

"3二三詈

令〃(%)〉0=>0<尤<1n/z(x)在(0,1)上单调递增,

〃(九)<0=>%>1=>/Z(X)在(l,+8)上单调递减，则〃("ax=丸(1)=心

(o

注意至!Jxf0,/z(x)ffo,h=0,x-8,-»0,可得7i(x)大致图象如下，则

\eJ

a>0

=>0<a<2.

。</0<4

故答案为：(0,2)

14.已知三棱锥S—ABC,空间内一点M满足SM=S4—3s3+4SC，则三棱锥M—ABC与S—ABC

的体积之比为

【答案】1

【解析】

113-

【分析】根据题意，化简得到一SM=—-一SB+2SC,结合空间向量的基本定理，得到在平面ABC

222

1一一

内存在一点。，使得5sM=SD,得到%一ABC=%TBC，即可求解.

-13--

【详解】由空间内一点M满足&0=S4-3SB+4SC=2(-SA--SB+2SC),

22

113•

可得一=—SA-三SB+2SC,

222

13

因为——+2=1,根据空间向量的基本定理，可得在平面ABC内存在一点O,

22

-13-1

使得S£>=—S4-2S5+2SC,所以一S"=SD,即点。为的中点，

222

可得%.ABC=ys-ABc>所以三棱锥M-ABC和S—ABC的体积比值为1.

故答案为：1.

四、解答题：本题共2小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，已知四棱台ABC。-A4G。的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面441A。，平

面ABC。，==旧，点尸是棱。2的中点，点。在棱2C上.

(1)若3Q=3QC,证明：PQ〃平面

(2)若二面角P—QD—C的正弦值为士叵，求8。的长.

26

【答案】(1)证明见解析；

(2)1.

【解析】

【分析】(1)取AA］的中点先证明四边形BMPQ是平行四边形得到线线平行，再由线面平行性质定理

可得；

(2)法一：应用面面垂直性质定理得到线面垂直，建立空间直角坐标系，再利用共线条件设CQ=4CB

(0<2<1),利用向量加减法几何意义表示所需向量的坐标，再由法向量方法表示面面角，建立方程求解可

得；法二：同法一建立空间直角坐标系后，直接设点。坐标。(4/0)(-1WY3),进而表示所需向量坐标

求解两平面的法向量及夹角，建立方程求解九法三：一作二证三求，设BQ=x(OWxW4),利用面面垂

直性质定理，作辅助线作角，先证明所作角即为二面角的平面角，再利用已知条件解三角形建立方程求解可

得.

【小问1详解】

证明：取A4的中点连接MP,MB.

在四棱台ABC。—aqGR中，四边形AADDi是梯形，4。=2,AD=4,

人力+AD

又点、M,尸分别是棱4A,的中点，所以且=_=3.

在正方形ABC。中，BC//AD,BC=4,又BQ=3QC,所以3。=3.

从而MP/75。且MP=5Q,所以四边形是平行四边形，所以

又因为Affiu平面AB44，PQ•平面AB与A，所以PQ〃平面ABB,；

在平面抽2。中，作AO_LA£>于O.

因为平面AAQQ，平面A3CD,平面A41Aoe平面ABCD=A。，Afi1AD,^Ou平面

A\DXD,

所以平面A3CD.

在正方形ABC。中，过。作A8的平行线交8C于点N,则ON_LO£).

以｛ON,。。,加｝为正交基底，建立空间直角坐标系O—孙z.

因为四边形A4QQ是等腰梯形，4。=2,AD=4,所以40=1,又AA=D[D=》,所以

4。=4.

io,：,21,所以DC=（4,0,0）,

易得5（4,—1,0）,D（0,3,0）,C（4,3,0）,Q（0,2,4）,P

。「="，2],CB=（O,-4,O）.

法1：设Q2=XC3=（O,—44O）（OW/lWl）,所以DQ=Z>C+CQ=（4,—4Z0）.

m•DP=0——y+2z=0/个\

设平面尸£)0的法向量为“2=(%,y,z),由＜,得《2,取加二（4%4,1）,

m-DO=

04%-4/ly=0

另取平面DCQ的一个法向量为〃=(0,0,1).

设二面角P-QD-C的平面角为仇由题意得|cos6\=Vl-sin20=一，.

726

又i向ii小尔人Im史-n丽;而1诉'所以不k1后1

33

解得2=±—(舍负)，因此CQ=—x4=3,BQ=1.

44

所以当二面角尸—QD—C的正弦值为士叵时，8。的长为1.

26

法2：设。（4J,O）（—1WM3）,所以迎=（4/一3,0）.

（[1

/、m-DP=0——y+2z=0/、

设平面尸。°的法向量为加=（九,y,z）,由《，得《2，，取机=（3-7,4,1）,

mDQ=°〔4x+（”3）y=0

另取平面DCQ的一个法向量为〃=（0,0,1）.

设二面角P-QD-C的平面角为3,由题意得|cose\=Vl-sin26»=诉.

[11

y|cosO\=|cosm,n\

I"小同J（3T）2+17'所以J（3—j+17V26,

解得/=0或6（舍），因此3Q=1.

所以当二面角P—QD—C的正弦值为金叵时，8。的长为1.

26

法3：在平面4ADA中，作垂足为H.

因为平面AAD。1，平面A3CD,平面AADDJ1平面A5CD=AO,PHA,AD，PHu平面

A}ADD],

所以PH,平面A3CD,又DQu平面A3CD,所以

在平面A8CO中，作“GLDQ,垂足为G,连接PG.

因为PHJ.DQ,HG±DQ,PHHG=H,PH,HGu平面PHG,

所以DQ,平面PHG,又PGu平面PHG,所以。QJ_PG.

因为PGLDQ,所以NPGH是二面角尸一。。—A的平面角.

在四棱台ABC。—A4C。中，四边形AAD"是梯形，

4。1=2,AD=4,AA=〃O=a，点2是棱。。的中点，

所以PH=2,DH=~.

2

设5Q=x(OWxW4),则CQ=4—x,DQ=^42+(4-x)2=Vx2-8x+32,

在△QHD中，—义一x4=—xjf—8x+32x”G,从而HG=/.

~222VX2-8X+32

因为二面角尸―QD—C的平面角与二面角P-QD-A的平面角互补，

且二面角P—QD—C的正弦值为工叵，所以sinNPG〃=d叵，从而tan/PGH=5.

2626

PHi--------------

所以在Rt△尸_HG中，——=8x+32=5,解得*=1或X=7(舍).

HG

所以当二面角尸―QD—C的正弦值为之竺时，8。的长为1.

26

16.已知数列｛4｝的前"项和为S,(“wN*),在数列｛〃｝中，4=%=1,=2n-l,

s

2b3bnbn+l=3".

(1)求数列｛4｝,｛2｝的通项公式；

⑵设C“=(T)H子，7”为数列｛%｝的前〃项和，求T”的最值.

【答案】(1)4=〃，d=3"T

(2)最小值为g,最大值为1

【解析】

【分析】(1)利用累加法和等差数列的通项公式可求%,由伪b1tbz=3$“及S,「S,i=n可求b”；

(2)利用错位相减法求出北，分情况讨论可得答案.

【小问1详解】

由已知得，当2时

na„=[叫,一(〃-1)a,-]+[("-1)a,---2)]+…+阳-+弓

=(2/7-1)+(2«-3)++3+1=".

an=〃(〃N2)

当〃=1时，％=1,也满足上式.所以为二〃(〃21)

当论2时，%=炒=3F=3"，,=3"T(n>3)

2bn

当”=1时，4=1,符合上式

当九=2时，伪也=