天津市宝坻区2024届中考数学考前最后一卷含解析

天津市宝塘区2024届中考数学考前最后一卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.而？的一个有理化因式是（）

A.yjm+nB.Jm-nC.yfmD.y[m-\[n

2.纳米是一种长度单位,1纳米=10-9米，已知某种植物花粉的直径约为35000纳米，那么用科学记数法表示该种花粉

的直径为（）

A.3.5x104米B.3.5x10-4米c.3.5xl(T’米D.3.5xl(f9米

3.如图，已知AB〃CD,DEJ_AF,垂足为E,若NCAB=50。，则ND的度数为()

5.若m,n是一元二次方程X?・2x-1=0的两个不同实数根，则代数式n?・m+n的值是（）

A.-1B.3C.-3D.1

6.如图：己知ABJ_BC,垂足为B,AB=3.5,点P是射线BC上的动点，则线段AP的长不可能是（）

B.3.5C.4D.5

7.如图，某小区计划在一块长为31m,宽为IDm的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使

草坪的面积为570ml.若设道路的宽为xm,则下面所列方程正确的是（）

32m

xm20泄

A.(31-lx)(10-x)=570B.31x+lxl0x=31xl0-570

C.(31-x)(10-x)=31x10-570D.31x+lxl0x-lxi=570

8.如图，矩形ABC。中，AB=12,BC=13,以8为圆心，曲为半径画弧，交BC于氤E,以。为圆心，DA为

半径画弧，交BC于点F,则E”的长为（）

D.5

9.如图，AOAB^AOCD,OA：OC=3：2,ZA=a,ZC=P，△OAB与△OCD的面积分别是Si和S2,AOAB

与4OCD的周长分别是G和C2,则下列等式一定成立的是（)

OB3a3

——=-B.—=—

CD2P2

10.已知二次函数产工-4六5,左、右平移该抛物线，顶点恰好落在正比例函数产・x的图象上，则平移后的抛物线解

析式为()

A.y^x2-^-1B.产•x2・4x-2C.j=-x2+2x-lD.y=-x2+2x-2

11.-6的倒数是()

A.-£B.£C.-6D.6

66

12.下列图形中为正方体的平面展开图的是（）

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13.如图，半径为3的。O与RIAAOB的斜边AB切于点D,交OB于点C,连接CD交直线OA于点E,若NB=30。,

弦CA〃OB,延长CO与圆交于点D,则NBOD二

15.计算：(加-3)°-2“=.

16.如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点E是BC边上一点，连接AE,把NB沿AE折叠，使点B落在点B'处,

当4CEB'为直角三角形时，BE的长为.

17.如图，在平面直角坐标系xOy中，A(-2,0),B(0,2),OO的半径为1,点C为。O上一动点，过点B作BP_L

直线AC,垂足为点P,则P点纵坐标的最大值为cm.

18.如图，从直径为4sH的圆形纸片中，剪出一个圆心角为90。的扇形0A&且点0、A、B在圆周上，把它围成一

个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是,

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.(6分)主题班会上，王老师出示了如图所示的一幅漫画，经过同学们的一番热议，达成以下四个观点：

A.放下自我，彼此尊重；B.放下利益，彼此平衡；

C.放下性格，彼此成就；D.合理竞争，合作双赢.

要求每人选取其中一个观点写出自己的感悟.根据同学们的选择情况，小明绘制了下面两幅不完整的图表，请根据图

表中提供的信息，解答下列问题：

观点频数频率

Aa0.2

B12-0.24

C8b

D200.4

(1)参加本次讨论的学生共有人；表中。=,b=-_；

(2)在扇形统计图中，求。所在扇形的圆心角的度数；

(3)现准各从A,C,。四个观点中任选两个作为演讲主题，请用列表或画树状图的方法求选中观点。(合理竞

争，合作双赢)的概率.

A

6.

20.（6分）为了解某校七年级学生的英语口语水平，随机抽取该年级部分学生进行英语口语测试，学生的测试成绩按

标准定为A、B、C、D四个等级，并把测试成绩绘成如图所示的两个统计图表.

七年级英语口语测试成绩统计表

成绩x（分）等级人数

x>90A12

75<x<90Bm

60<x<75Cn

x<60D9

七年级英语口语

测试成绩统计图

请根据所给信息，解答下列问题：本次被抽取参加英语口语测试的学生共有多少人？求扇形统计图中C级的圆心角度

数；若该校七年级共有学生640人，根据抽样结课，估计英语口语达到B级以上（包括B级）的学生人数.

21.（6分）已知关于x的方程人工+公+。一2=0.

（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；

（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.

22.（8分）如图中的小方格都是边长为1的正方形，AABC的顶点和O点都在正方形的顶点上.

以点O为位似中心，在方格图中将△ABC放大为原来的2倍，得到

△人上，。绕点出顺时针旋转90。，画出旋转后得到的△A“B，C“，并求边A，B，在旋转过程中扫过的图形面积.

23.(8分)如图1,在直角梯形ABCD中，AB1BC,AD/7BC,点P为DC上一点，且AP=AB,过点C作CEJLBP

交直线BP于E.

⑴若言寸求证：BP呈

(2)若AR=RC.

①如图2,当点P与E重合时，求竺的值;

PC

②如图3,设NDAP的平分线AF交直线BP于F,当CE=L竺_封，直接写出线段AF的长.

24.(10分)某学校为弘扬中国传统诗词文化,在九年级随机抽查了若干名学生进行测试，然后把测试结果分为4个

等级：A、B、C^D,对应的成绩分别是9分、8分、7分、6分，并将统计结果绘制成两幅如图所示的统计图.请结

合图中的信息解答下列问题:

图②

(1)本次抽查测试的学生人数为,图①中的a的值为、

(2)求统计所抽查测试学生成绩数据的平均数、众数和中位数.

25.（10分）小明和小刚玩“石头、剪刀、布”的游戏，每一局游戏双方各自随机做出“石头”、“剪刀”、“布”三种手势

的一种，规定“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，相同的手势是和局.

（1）用树形图或列表法计算在一局游戏中两人获胜的概率各是多少？

（2）如果两人约定：只要谁率先胜两局，就成了游戏的赢家.用树形图或列表法求只进行两局游戏便能确定赢家的概

率.

26.（12分）计算：（"・3・14）o・2Gcos30°+d）-2•卜3|.

2

27.（12分）用A4纸复印文件，在甲复印店不管一次复印多少页，每页收费0.1元.在乙复印店复印同样的文件，一

次复印页数不超过20时，每页收费0.12元；一次复印页数超过20时，超过部分每页收费0.09元.

设在同一家复印店一次复印文件的页数为x（x为非负整数）.

⑴根据题意，填写下表：

一次复印页数（页）5102030•••

甲复印店收费（元）

0.5—2—•••

乙复印店收费（元）

0.6—2.4—…

（2）设在甲复印店复印收费yi元，在乙复印店复印收费yz元，分别写出yi,yz关于x的函数关系式:

⑶当x>70时，顾客在哪家复印店复印花费少？请说明理由.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、B

【解题分析】

找出原式的一个有理化因式即可.

【题目详解】

Vm-n的一个有理化因式是Jm-n»

故选B.

【题目点拨】

此题考查了分母有理化，熟练掌握有理化因式的取法是解本题的关键.

2、C

【解题分析】

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axlO7与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是

负指数累，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

【题目详解】

35000纳米=35000x10-9米=3.5x10-5米

故选C.

【题目点拨】

此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为axlOZ其中B|a|V10,n为由原数左边起第一个不为零的

数字前面的。的个数所决定.

3、R

【解题分析】

试题解析：・・[〃〃CD,且NC4B=50。，

.•."8=50。，

VED1AE,

ZCED=90°,

・••在RLCED中，ZD=90°-50°=40°.

故选B.

4、B

【解题分析】

根据最简二次根式必须满足两个条件：（D被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式判断即可.

【题目详解】

A、J48=4\/3»不符合题意；

B、商”是最简二次根式,符合题意；

C、g号,不符合题意；

D、而二叵,不符合题意；

10

故选B.

【题目点拨】

本题考查最简二次根式的定义.最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得

尽方的因数或因式.

5、B

【解题分析】

把小代入一元二次方程』一21一1=0,可得用2—2加—1=0,再利用两根之和加+〃=2,将式子变形后，整理代

入，即可求值.

【题目详解】

解：•・•若"是一元二次方程工2一2工一1=0的两个不同实数根，

•e•nr-"Im—1=0>tn+n=2>

••nf—m=\+m

，一机+〃=i+m+〃=3

故选B.

【题目点拨】

本题考查了一元二次方程根与系数的关系，及一元二次方程的解，熟记根与系数关系的公式.

6、A

【解题分析】

根据直线外一点和直线上点的连线中，垂线段最短的性质，可得答案.

【题目详解】

解：由AB_LBC,垂足为B,AB=3.5,点P是射线BC上的动点，得

AP>AB,

AP>3.5,

故选：A.

【题目点拨】

本题考查垂线段最短的性质，解题关键是利用垂线段的性质.

7、A

【解题分析】

六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm,根据草坪的面积是570mL即可列出方程:(31-lx)(10r)=570,

故选A.

8、B

【解题分析】

连接DF,在RtADCF中,利用勾股定理求出CF的长度，则EF的长度可求.

【题目详解】

连接DF,

；.AB=CD=BE=12,AD=BC=DF=13

在RfAJDCF中,ZC=90°

:.CF=yjDF2-CD2=^132-122=5

•：EC=BC-BE=\3-\2=\

:.EF=CF-EC=5-\=4

故选：B.

【题目点拨】

本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是解题的关键.

9、D

【解题分析】

A选项，在AOABSZ\OCD中，OB和CD不是对应边，因此它们的比值不一定等于相似比，所以A选项不一定成立;

B选项，在AOABs/\ocD中，NA和NC是对应角，因此二=夕，所以B选项不成立；

C选项，因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以C选项不成立；

D选项，因为相似三角形的周长比等于相似比，所以D选项一定成立.

故选D.

10、D

【解题分析】

把这个二次函数的图象左、右平移，顶点恰好落在正比例函数产・x的图象上，即顶点的横纵坐标互为相反数，而平

移时，顶点的纵坐标不变，即可求得函数解析式.

【题目详解】

解：,.,y=・xJ・4x-5=-（x+1）1-1,・,•顶点坐标是（・L-1）.

由题知：把这个二次函数的图象左、右平移，顶点恰好落在正比例函数｝的图象上，即顶点的横纵坐标互为相反

数.

「左、右平移时，顶点的纵坐标不变，・•・平移后的顶点坐标为（1,・1）,・••函数解析式是：）=-（x-1）l-l=-x'+lx

-1,即：y=-x*+lx-1.

故选D.

【题目点拨】

本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律，上下平移时，点的横坐标不变；左右平移时，点的

纵坐标不变.同时考查了二次函数的性质，正比例函数产的图象上点的坐标特征.

11、A

【解题分析】

解：・6的倒数是故选A.

6

12、C

【解题分析】

利用正方体及其表面展开图的特点依次判断解题.

【题目详解】

由四棱柱四个侧面和上下两个底面的特征可知A,B,D上底面不可能有两个，故不是正方体的展开图，选项C可以

拼成一个正方体，故选C.

【题目点拨】

本题是对正方形表面展开图的考查，熟练掌握正方体的表面展开图是解题的关键.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、6

【解题分析】

要求AE的长，只要求出OA和OE的长即可，要求OA的长可以根据NB=30。和0B的长求得，OE可以根据NOCE

和OC的长求得.

【题目详解】

解：连接OD,如图所示，

由已知可得，ZBOA=90°,OD=OC=3,ZB=30°,ZODB=90°,

/.BO=2OD=6,NBOD=60°,

AZODC=ZOCD=60°,AO=BOtan30°=6x£=2、6,

3

VZCOE=90°,OC=3,

AOE=OCtan60°=3x超=3栏,

AAE=OE-OA=373-25/3=73»

【点晴】

切线的性质

14、30°

【解题分析】

试题分析：VCA/7OB,ZAOB=30°,AZCAO=ZAOB=30°.

VOA=OC,/.ZC=ZOAC=30o.

・・・/C和NAOD是同弧所对的圆周角和圆心角，AZAOD=2ZC=60o.

.\ZBOD=60o-30o=30°.

15、1

2

【解题分析】

分别利用零指数募a0=l（a邦），负指数幕a"三，门邦）化简计算即可.

（f

【题目详解】

解：（冗-3）°-2u=l-/=/.

22

故答案为：，.

2

【题目点拨】

本题考查了零指数嘉和负整数指数累的运算，掌握运算法则是解题关键.

3

16、1或二.

2

【解题分析】

当ACEB，为直角三角形时，有两种情况：

①当点B，落在矩形内部时，如答图1所示.

连结AC,先利用勾股定理计算出AC=5,根据折叠的性质得NAB，E=NB=90。，而当△CEB，为直角三角形时，只能得

到NEBX>90。,所以点A、B，、C共线，即NB沿AE折叠,使点B落在对角线AC上的点B，处，则EB=EBSAB=ABr=l,

可计算出CB，=2,设BE=x,贝ljEB，=x,CE=4-x,然后在CEB，中运用勾股定理可计算出x.

②当点T落在AD边上时，如答图2所示.此时ABEB，为正方形.

【题目详解】

当ACEB，为直角三角形时，有两种情况：

①当点B，落在矩形内部时，如答图1所示.

连结AC,

在RIAABC中，AB=1,BC=4,

/.AC=742+32=5,

TNB沿AE折叠，使点B落在点T处,

AZABrE=ZB=90°,

当△CEB，为直角三角形时，只能得到NEB，C=90。，

，点A、B\C共线，即NB沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点十处,

.\EB=EBr,AB=AB=1,

.\CBr=5-l=2,

设BE=x,则EBr=x,CE=4-x,

在RtACEB，中,

VEB,2+CB，2=CE2,

3

Ax2+22=(4-x)2,解得x=一,

2

3

.\BE=-；

2

②当点B，落在AD边上时，如答图2所示.

此时ABEB，为正方形，/.BE=AB=1.

3

综上所述，BE的长为：或1.

2

故答案为：;3或1.

2

17、业

2

【解题分析】

当AC与。。相切于点C时，P点纵坐标的最大值，如图，直线AC交y轴于点D,连结OC,作CH±x轴于H,PM±x

轴于M,DNJ_PM于N,

AOC1AC,

在AAOC中，VOA=2,OC=1,

.,.ZOAC=30°,ZAOC=60°,

在RtAAOD中，•・・ZDAO=3()°,

石CA26

••OD・OA—，,

33

在RtABDP中，VZBDP=ZADO=60°,

在RtADPN中，・.・NPDN=30。,

APN=-DP=--2^,

226

而MN=OD=^^-，

3

•DN"DZ,NfZ1出261+G

..PM=PN+MN=1-——+------=---------，

632

即P点纵坐标的最大值为匕立.

2

【题目点拨】

本题是圆的综合题，先求出OD的长度，最后根据两点之间线段最短求出PN+MN的值.

JLJ5、---

2

【解题分析】

设圆锥的底面圆的半径为「，由于乙403=90。得到A3为圆形纸片的直径，则08=1=2贬cm,根据弧长公式

2

计算出扇形044的弧,48的长，然后根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长进行计算.

【题目详解】

解：设圆锥的底面圆的半径为，，

连结如图，

:扇形0AB的圆心角为90°,

，/4。8=90。，

・・・A8为圆形纸片的直径，

；.AB=4cm,

：.OB=—AB=2>j2cm,

2

，扇形0AB的弧AB的长=90•乃一应=五穴,

180

/.2nr=及元，

..r=-----\cm).

2

故答案为巫.

4

0

【题目点拨】

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线

长.也考查了圆周角定理和弧长公式.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)50、10、0.16；(2)144°；(3)

2

【解题分析】

(1)由B观点的人数和所占的频率即可求出总人数；由总人数即可求出a、b的值，

(2)用360。乘以D观点的频率即可得；

(3)画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解

【题目详解】

解：(1)参加本次讨论的学生共有12旬.24=50,

则a=50x0.2=10,b=8-i-50=0.16,

故答案为50、10、0.16；

(2)D所在扇形的圆心角的度数为360°x0.4=144°；

(3)根据题意画出树状图如下：

由树形图可知：共有12中可能情况，选中观点D(合理竞争，合作双赢)的概率有6种，

所以选中观点D(合理竞争，合作双赢)的概率为之

122

【题目点拨】

此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图.用到的知识点为：概率二所求情况数与总情况数之比.

20、(1)60人;(2)144。;(3)288人.

【解题分析】

(l)D等级人数除以其所占百分比即可得；

（2）先求出A等级对应的百分比，再由百分比之和为1得出C等级的百分比，继而乘以360即可得；

（3）总人数乘以A、B等级百分比之和即可得.

【题目详解】

解：（1）本次被抽取参加英语口语测试的学生共有9・15%=60人；

19

（2）A级所占百分比为二xl00%=20%,

，C级对应的百分比为1-（20%+25%+15%）=40%,

则扇形统计图中C级的圆心角度数为360x40%=144;

（3）640x（20%+25%）=288（A）,

答：估计英语口语达到B级以上（包括B级）的学生人数为288人.

【题目点拨】

本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力•利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究

统计图，才能作出正确的判断和解决问题•也考查了样本估计总体.

13

21>（1）一一；（2）证明见解析.

22

【解题分析】

试题分析：（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可.

（2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可.

试题解析：（1）设方程的另一根为XI,

1a3

1+%=X[=

・・•该方程的一个根为1,・・・{]解得，।・

.a-21

13

・・・a的值为一，该方程的另一根为

22

（2）VA=^12-41（^-2）=a2-46z+8=a2-46z+4+4=（«-2）2+4>0,

，不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.

考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2.一元二次方程根根的判别式；3.配方法的应用.

22、（1）作图见解析；（2）作图见解析；5兀（平方单位）.

【解题分析】

(1)连接AO、BO、CO并延长到2AO、2B0、2co长度找到各点的对应点，顺次连接即可.

(2)△A\C绕点顺时针旋转90。得到对应点，顺次连接即可.AB在旋转过程中扫过的图形面积是一个

扇形，根据扇形的面积公式计算即可.

【题目详解】

解:(1)见图中△ABC'

(2)见图中AA"B，C"

扇形的面积S=粉4(22+42)=；乃.20=5万(平方单位).

【题目点拨】

本题主要考查了位似图形及旋转变换作图的方法及扇形的面积公式.

23、(1)证明见解析；(2)①与②3.

2

【解题分析】

(1)过点A作AF_LBP于F,根据等腰三角形的性质得到BF=BP,易证RSABFSRQBCE,根据相似三角形的性质

得到/p,即可证明BP=3CE.

BC=CB='CE=4

(2)①延长BP、AD交于点F,过点A作AG_LBP于G,证明△ABGgZXBCP,根据全等二角形的性质得BG=CP,设

BG=1,则PG=PC=1,BC=AB=JJ,在RSABF中，由射影定理知，AB2=BGBF=5,即可求出BF=5,PF=

5-1-1=3,即可求出的值；

五

②延长BF、AD交于点G,过点A作AH_LBE于H,证明△ABH@2\BCE,根据全等三角形的性质得BG=CP,设

BH=BP=CE=1,又竺=竺=2，得到PG=2，BG=〃，根据射影定理得到AB2=BH・BG,即可求出AB=^,根

PC~PB~422~

据勾股定理得到

4"二厢％京=亭'根据等腰直角三角形的性质得到，击=a〃=3・

【题目详解】

解：⑴过点A作AF_LBP于F

VAB=AP

/.BF=BP,

VRtAABFsRtABCE

z

AB

BC=CE=方=4

，BP=3CE.

⑵①延长BP、AD交于点F,过点A作AG_LBP于G

VAB=BC

/.△ABG^ABCP(AAS)

ABG=CP

设BG=L贝IJPG=PC=1

/.BC=AB=A/j

在RSABF中，由射影定理知，AB2=BGBF=5

/.BF=5,PF=5-1-1=3

♦••竺_竺_3

~PC=BP~2

②延长BF、AD交于点G,过点A作AH_LBE于H

VAB=BC

AAABH^ABCE(AAS)

设BH=BP=CE=1

VPD_PG_7

~PC=~PB=1

/.PG=7,BG=〃

VAB2=BHBG

1・AB="

^AH=4AB2-BH2=挈

TAF平分NPAD,AH平分NBAP

/.ZFAH=ZBAD=45O

AAAFH为等腰直角三角形

【题目点拨】

考查等腰三角形的性质，勾股定理，射影定理，平行线分线段成比例定理等，解题的关键是作出辅助线.难度较大.

24、(1)50、2；(2)平均数是7.11；众数是1：中位数是1.

【解题分析】

(1)根据4等级人数及其百分比可得总人数，用。等级人数除以总人数可得。的值;

(2)根据平均数、众数、中位数的定义计算可得.

【题目详解】

12

(1)本次抽查测试的学生人数为14・21%=50人，a%=—xl00%=2%,即a=2.

故答案为50、2；

14x9+20x8+12x7+4x6

(2)观察条形统计图，平均数为----------------------------------------=7.11.

50

•・•在这组数据中，1出现了20次，出现的次数最多，，这组数据的众数是1.

QiQ

・・•将这组数据从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是1,・・・一「二1,・,・这组数据的中位数是1・

2

【题目点拨】

本题考查了众数、平均数和中位数的定义.用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.将

一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中

位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.平均数是指在一组数据中所有

数据之和再除以数据的个数.

开始

布£

25、(1)剪子石头

剪子石头布

剪子石头布剪子石头布

【解题分析】

解：（1）画树状图得:

开始

布

剪子石头