2024届天津某中学高一数学第二学期期末联考模拟试题含解析

2024届天津一中高一数学第二学期期末联考模拟试题

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷

及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔

在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，

恰有一项是符合题目要求的

1.在4回。，NC=90。，AB=2BC=4,",N是边A3上的两个动点，且|MN|=1,

则的取值范围为（）

B.民91115

A.C.D.

%4

2.已知函数/G）=cos[2x—；],给出下列四个结论：

①函数/G）满足/G+兀）=/G）；②函数/（X）图象关于直线x=g对称；

③函数/（X）满足/=—/Q）;④函数/（X）在是单调增函

<4JL88_

数；

其中正确结论的个数是（）

A.1B.2C,3D,4

3.给出下面四个命题：①43+54=0；

②AB+BC=AC；③A3—AC=BC；④0-A3=0.其中正确的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.执行如下的程序框图，则输出的S是（）

I结束1

A.36B.45

C.-36D,-45

5.设等差数列｛aj的前n项的和Sn，若az+a8=6,则Sg=（)

A.3B.6C.27D.54

6.在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB

的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为

1124

A.BCD.

6335

在数列｛。｝中11(neN*\则a

7.a=1----一=几\wo的值为（

n1'aa

n+ln

11

A.4950B.4951c.—D.

4950

1

8.a+a+。-a+。：-a=o8,则%--=()

291214207

A.8B.6C.4D.3

9.已知数列的前4项为：1,,则数列的通项公式可能为（）

A.

C.D.

10.设集合AB=x>a,若=则。的取值范围是

()

A.a<lB.a<\C.aM3D.a<3

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11.如图，在直四棱柱ABC。-ARCR中，AB//CD,AB^AA^2,

AD=CD=BC=1,M,N分别为CC,DD的中点，平面ABMn平面C.

给出以下几个说法:

①AR〃/;

②直线AN与/的夹角为45°；

③/与平面BBCC所成的角为60。；

④平面居内存在直线与/平行.

其中正确命题的序号是.

12.已知|a|=l,a•方—砰=1,则。与3的夹角等于.

,，「"兀1、11

13.已知函数/(X)=SH12Xxe--,71，若7(x)2,则X的取值围为_______.

IL22

14,已知正三棱柱木块ABC-qqq,其中AB=2,Aq=3,一只蚂蚁自A点出发

经过线段8凡上的一点M到达点q,当沿蚂蚁走过的最短路径，截开木块时，两部分

几何体的体积比为.

15.在三棱锥P—A8C中，24,平面ABC,A46c是边长为2的正三角形，PA=4,

则三棱锥尸一A3。的外接球的表面积为.

16.已知数列%｝是等差数列，若&=1,a=9,则公差d=.

n15

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

17.已知函数/(x)=sin2x+2sinxcosx+cos2x,%eR.

(1)求函数/(X)的最小正周期；

(2)求函数/G)的最小值和取得最小值时工的取值.

18.有"名学生，在一次数学测试后，老师将他们的分数(得分取正整数，满分为100

分)，按照反,60),160,70),170,80),180,90),190,1001的分组作出频率分布直

方图（如图1）,并作出样本分数的茎叶图（如图2）（图中仅列出了得分在160,70）,

Lojoo］的数据）.

频率

（1）求样本容量”和频率分布直方图中x、y的值；

（2）分数在180,100］的学生中，男生有2人，现从该组抽取三人“座谈”，求至少有两

名女生的概率.

19.已知函数/(x)=Wsinzx+sinxcosx-#

（1）求函数y=/（x）在o,g上的单调递增区间；

（2）将函数y=/（x）的图象向左平移”个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸

6

长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数，=86）的图象.求证：存在无穷多个互不

相同的整数X。，使得g（x0）〉§

20.已知圆。以原点为圆心且与直线y=—1+相切.

（1）求圆。的方程；

（2）若直线/^=立％+2与圆。交于4、8两点，过4、3两点分别作直线/的垂

3

线交工轴于。、。两点，求线段。的长.

21.已知函数/'（x）=］2-（a-l）x+2a（aCR）.

（1）求函数/（X）在［0,1］上的最小值gQ）的表达式；

（2）若函数/（%）在［0,1］上有且只有一个零点，求。的取值范围.

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中,

恰有一项是符合题目要求的

1、A

【解题分析】

由题意，可以点C为原点，分别以CB，6为轴建立平面直角坐标系，如图所示,

则点的坐标分别为直线的方程为y=—3+2jT,不妨设

Cz,—>j3ci+^b,—y/3b+a,be[o,2],不妨设

点的坐标分别为

a>b,

CM-CN=4ab-6（a+b）+12,即CA/.CN=4（8_^丫+L,所以当b=?时,

I4）44

CA/-CN有最小值?，当。=0时，CM-CN有最大值9.故选A.

4

点睛：此题主要考查了向量数量积的坐标运算，以及直线方程和两点间距离的计算等方

面的知识与技能，还有坐标法的运用等，属于中高档题，也是常考考点.根据题意，把

运动(即〃,N的位置在变)中不变的因素(|MV|=1)找出来，通过坐标法建立合理

的直角坐标系，把点〃，N的坐标表示出来，再通过向量的坐标运算，列出式子，讨论

其最值，从而问题可得解.

2、C

【解题分析】

求出余弦函数的周期，对称轴，单调性，逐个判断选项的正误即可.

【题目详解】

函数/(x)=cos(2x—；),函数的周期为兀，所以①正确；

x=g时，/(x)=cos(2xl-l)=cos0=l,函数取得最大值，所以函数/'(无)图象

884

关于直线X=g对称，②正确；

O

函数/1(X)满足了("一%)=—f(x)即cos(与一2x-^-)=-cos(2x-。)=一/(%).所

4244

以③正确；

因为x=g时，/(x)=cos(2xl-l)=cos0=l,函数取得最大值，所以函数F(x)在

884

r兀3兀,一

上不是单调增函数，不正确；故选C.

OO

【题目点拨】

本题主要考查余弦函数的单调性、周期性以及对称轴等性质的应用.

3、B

【解题分析】

①X月+的=。；②+=®AB-AC=CB；

④02月=0,所以正确的为①②，选B.

4、A

【解题分析】

列出每一步算法循环，可得出输出结果s的值.

【题目详解】

i=lW8满足，执行第一次循环,s=0+(-1)x12=—1,,=1+1=2；

i=2W8成立，执行第二次循环,S=-1+(-1>X22=3,Z=2+1=3；

i=3W8成立,执行第三次循环,S=3+(-1>X32=-6,Z=3+1=4；

i=4W8成立,执行第四次循环,S=-6+(-l>x42=10,z=4+l=5；

/=5<8成立,执行第五次循环,S=10+(-1)x52=-15,z=5+1=6；

i=6W8成立,执行第六次循环,S=-15+(-1>X62=21,i=6+1=7；

i=7W8成立,执行第七次循环,S=21+(-1>X72=-28,z=7+1=8；

i=8«8成立,执行第八次循环,S=-28+(-1)x82=36,z=8+1=9；

i=9W8不成立，跳出循环体，输出S的值为36,故选：A.

【题目点拨】

本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分

析问题和计算能力，属于中等题.

5、C

【解题分析】

利用等差数列的性质和求和公式，即可求得S9的值，得到答案.

【题目详解】

由题意，等差数列｛。｝的前n项的和S,

nn

由a+a=6,根据等差数列的性质，可得。+。=6,

2819

故选：C.

【题目点拨】

本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式的应用，着重考查了

推理与运算能力，属于基础题.

6、C

【解题分析】

试题分析：设AC=x,则BC=12-x(0<x<12)

矩形的面积S=x(12-x)>20

.'.X2-12X+20<0

.•.2<x<10

10-22

由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率p=——-=-

12—03

考点：几何概型

7、C

【解题分析】

1

利用累加法求得一，由此求得。的表达式，进而求得巴的的值.

dn100

n

【题目详解】

依题意;一——=所以

nn-\

——=——+----------+…+————+一=(〃-1)+(〃-2)+…+1+1

aaaaaaaa

nnn-ln-ln-2211

(l+/i-l)G-l)“2一”+22,

=-------------------+1=-----------，所以。=---------当"=1时，上式也满足.

22«n2-n+2

21

所以a=-----------------=------.

wo1002-100+24951

故选：C

【题目点拨】

本小题主要考查累加法求数列的通项公式，属于基础题.

8、D

【解题分析】

设等差数列的公差为a,根据题意，求解％+10d=4,进而可求得

13

即可得到答案.

a--a3=—(a1+lQd),

944

【题目详解】

由题意，设等差数列的公差为d,

则Q+Q+Q-a+a-a=2a+20d=2(a+10d)=8,即。+10d=4

291214207111

113

又由a——U-a+8d——(a+2d)=—(a+10d)=3,故选D.

3111

9444

【题目点拨】

本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，其中解答中设等差数列的公差为a,利

用等差数列的通项公式化简求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础

题.

9、D

【解题分析】

分母与项数一样，分子都是1,正负号相间出现，依此可得通项公式

【题目详解】

正负相间用(一表示，二.

故选D.

【题目点拨】

本题考查数列的通项公式，属于基础题，关键是寻找规律，寻找与项数有关的规律.

10、A

【解题分析】

{r|x(4-x)>3)={r|(x-l)Cr-3)<0)=(1,3),B={x^x>a}

因为&=,且

AnB=A,即所以aWl.故选A.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、①③.

【解题分析】

利用线面平行的性质定理可判断①；利用平行线的性质可得直线AN与/的夹角等于直

线AN与48所成的角，在A4BN中即可判断②；/与平面班］QC所成的角即为AB

与平面8Vqe所成的角可判断③；根据直线与平面的位置关系可判断④；

【题目详解】

对于①，由AB//CD,平面ABMn平面=/,则AB//I,

久AJJAB,所以A、BJl,故①正确；

对于②，连接BN,BD,由AB〃/,

即直线AN与I的夹角等于直线AN与AB所成的角,

在AABN中，ANf,AB=2,BN=2,显然直线AN与/的夹角不为45。,

故②不正确；

对于③，/与平面8vqe所成的角即为A3与平面Bqqc所成的角，

根据三棱柱为直棱柱可知NABC为AB与平面BBCC所成的角，

在梯形ABCQ中，AB//CD,AB=2,AD=CD=BC=1,

可解得48与平面所成的角为60,故③正确；

对于④，由于/与平面相交，故平面内不存在与/平行的直线.

故答案为：①③

【题目点拨】

本题是一道立体几何题目，考查了线面平行的性质定理，求线面角以及直线与平面之间

的位置关系，属于中档题.

71

12、3

【解题分析】

Q—石)再结合已知条件即可求解

利用\a-b\2

【题目详解】

由%_42=^_5)=滔+万2_2£力=回2+忏_2£石=1+|邛_1,

即网=1,

a-b==p||Z?|cos0=1=>cosO=；=>®=；

yr

故答案为：—

【题目点拨】

本题考查向量的夹角计算公式，〃=忖2在考题中应用广泛，属于中档题

717171371

13、—，——D—，--

2444

【解题分析】

]_COSy|

由函数/OOnsiinxn1——--,根据得到cos2xW0,再由

xe-兀，得到2xe1—兀,2兀],结合余弦函数的性质，即可求解.

【题目详解】

]_cos^,x

由题意，函数/(%)=sin2x=——--,

又由即I-即cos2xW0,

71，兀，则2%£[-兀,2兀],

因为~2

_兀兀兀7171713兀

所以一九V2xV一弓或5V2%V方-,即一《1《一]■或

乙乙乙乙I什什

兀兀TC3TC

所以实幽的取值围为一,「Wu45T

兀兀兀3兀

故答案为：—k—u一

44"T

【题目点拨】

本题主要考查了余弦的倍角公式，以及三角不等式的求解，其中解答中熟练应用余弦函

数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

14、1：1

【解题分析】

将正三棱柱ABC-ABC的侧面沿棱85展开成平面，连接AC与BB的交点即为满

111111

足AM+A/q最小时的点M,可知点M为棱5。的中点，即可计算出沿着蚂蚁走过

的路径截开木块时两几何体的体积之比.

【题目详解】

将正三棱柱ABC-ABC沿棱BB展开成平面，连接AC与38的交点即为满足

111111

最小时的点

A

由于A8=2,4*=3,再结合棱柱的性质，可得,

一只蚂蚁自A点出发经过线段Bq上的一点"到达点q,当沿蚂蚁走过的最短路径,

.•.M为BB1的中点，因为三棱柱是正三棱柱，所以当沿蚂蚁走过的最短路径，截开木

块时，

两部分几何体的体积比为：1口:V=1:1.

A-CBMC{

故答案为：1:1.

【题目点拨】

本题考查棱柱侧面最短路径问题，涉及棱柱侧面展开图的应用以及几何体体积的计算,

考查分析问题解决问题能力，是中档题.

64

15、

【解题分析】

设三棱锥P—A5C的外接球半径为R,利用正弦定理求出AABC的外接圆半径r,再

PA

利用公式R=可计算出外接球半径R,最后利用球体的表面积公式可计

算出结果.

【题目详解】

由正弦定理可得，AABC的外接圆直径为2厂=一~=+叵，，「二卬

sin6033

设三棱锥P—A5C的外接球半径为R,・・・PA，平面A5C,

(4/3Y64K

因此，三棱锥尸一A5c的外接球表面积为4兀尺2=4兀x=亍，故答案为

64K

【题目点拨】

本题考查多面体的外接球，考查球体表面积的计算，在求解直棱柱后直棱锥的外接球,

h

若底面外接圆半径为广，高为力，可利用公式尺=得出外接球的半径R,

解题时要熟悉这些结论的应用.

16、1

【解题分析】

利用等差数列的通项公式即可得出.

【题目详解】

设等差数列M｝公差为。。=1,a=9,二a=a+4d,解得d=i.

n1551

故答案为：1.

【题目点拨】

本题考查了等差数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步

骤。

17、（1）71；（2）当了=—?+左兀（keZ）时，/G）=0.

4min

【解题分析】

（1）利用二倍角公式将函数y=/（x）的解析式化简得/（x）=l+sin2x,再利用周期

公式可得出函数y=/G）的最小正周期；

（2）由2x=-^-+2kn（左eZ）可得出函数y=/（x）的最小值和对应的x的值.

【题目详解】

（1）••f（x）=sin2x+2sinxcosx+cos2%=l+sin2x,

因此，函数y=/G）的最小正周期为言=兀；

（2）由（1）知，当2%=—三+左兀（左eZ）,即当％=—巴+左兀。eZ）时，

24

函数y=/Q）取到最小值/（X）=i-i=o.

min

【题目点拨】

本题考查利用二倍角公式化简，同时也考查了正弦型函数的周期和最值的求解，考查学

生的化简运算能力，属于基础题.

7

18、⑴〃=25,x=0.024,y=0.012；⑵__

【解题分析】

（1）利用bo,ioo］之间的人数和频率即可求出"，进而可求出了、丁；

（2）列出所有基本事件，再找到符合要求的基本事件即可得解.

【题目详解】

2

⑴由题意可知，样本容量〃=即而=25,X=—X-=0.024

10

y=0.100-0.008-0.016-0.024-0.040=0.012.

(2)由题意知，分数在［80,10。］的学生共有5人，其中男生2人，女生3人，分别设

编号为4，幺和4，％A，则从该组抽取三人“座谈”包含的基本事件：(％巴巴)，

(a,a,b),(a,a,b),(a,a,b),(a,a,b),(a,a,b),(a,a,b),(b,b,a),

121131231122132232121

(b,b,a),(b,b,a),共计10个.记事件A“至少有两名女生”，则事件A包含的基

122123

本事件有：(〃，〃，〃)，(a,a,b),(a,a,b),(a,a,b),(a,a,b),(a,a,b),

・123121131231122132

(%,a幺)，共计7个.所以至少有两名女生的概率为2(4)=].

2321(J

【题目点拨】

本题考查了频率分布直方图和古典概型概率的求法，属于基础题.

-5兀一

19、(1)单调递增区间为0,—；(2)见解析.

【解题分析】

(1)利用二倍角的降嘉公式以及辅助角公式可将函数y=/G)的解析式化简为

/(x)=sin^2x-1^|,然后求出函数y=/G)在R上的单调递增区间4,与定义域

取交集可得出答案；

(2)利用三角函数图象变换得出g(x)=sinx,解出不等式gQ)〉#的解集

12k兀+：,2跋+个卜€2),可得知对keZ中的任意一个左，每个区间

\2kn+l.,2kn+^\内至少有一个整数尤使得gG)〉g从而得出结论.

<33)o02

【题目详解】

(1)

J、q.V3V3(1-COS2X)1.73

f\x)=J3sin2x+sinxcosx--=------------+—sin2x--

z2222

=—sin2x--cos2x=sin2x~—.

22I3J

兀TCTC/\TC5兀(\

令——+2左兀<2x--<—+2kJtG£Z),解得左兀一一<x<kJi+——\kEZ)

23212129

所以，函数/Q)=sin[2x-g]在R上的单调递增区间为

A=+—(kez)

12129

vAQ0,1=0,-1,因此，函数y=/G)在0,1上的单调递增区间为

（2）将函数y=/（尤）的图象向左平移今个单位长度，得到函数

6

.J兀、兀1.c

y=sm2x+-=sm2x的图象，

I6；3_

再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）=sinx的

图象，

由s（x）=sinx>—=4>xef2左兀+—,2kn+—eZ）,

2I33）

（兀2兀।

对于keZ中的任意一个左，区间［2左兀+1,2左兀+亍）长度始终为三，大于1,

每个区间2左兀+9,2左兀+?QeZ）至少含有一个整数，

（%）>乎.

因此，存在无穷多个互不相同的整数%,使得g

【题目点拨】

本题考查正弦型三角函数单调区间的求解，同时也考查了利用三角函数图象变换求函数

解析式，以及三角不等式整数解的个数问题，考查运算求解能力，属于中等题.

4r-

20、（1）X2+y2=4；（2）-V3.

【解题分析】

（1）计算原点到直线y=—x+2j，的距离，作为圆。的半径，从而可得出圆。的方

程；

（2）计算出圆心到直线/的距离，利用勾股定理可计算出|A5|,过C点作CELBD,

垂足为E,求出直线/的倾斜角为30,再利用锐角三角函数的定义可求出|CD|.

【题目详解】

（1）把直线V=-X+2J5化为一般式，即x+y-201=O,