新高考数学题型练习05 向量（数学文化）（含答案与解析）

05向（数学文化）

一、单选题

1.（2022•全国•高三专题练习）2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪

花”呈现在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，

又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：

从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉

底边，重复进行这一过程.已知图①中正三角形的边长为6,则图③中OM.ON的值为（）

2.（2023•全国•高三专题练习）庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一个非

常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星中，以A,B,C,D,E为顶点

的多边形为正五边形，且篝=理.下列关系中正确的是（

)

A.BP-TS=^^-RS

2

B.CQ+TP=^^-TS

C.ES-AP=J^-BQ

J5-1

D.AT+BQ=-^—CR

3.（2023・全国•高三专题练习）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角

形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称

为三角形的欧拉线，设点O,G,"分别为任意的外心、重心、垂心，则下列各式一定正确的是()

A.OG=-OHB.OH=-GH

23

cAO+2AHn2BO+BH

C.ACJ=-----------------D.DCJ=---------------

33

4.(2021秋.山东威海.高三统考期中)向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导

方面有重要应用.平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任

意平面向量=，把A5绕其起点沿逆时针方向旋转。角得到向量A尸=(%cos<9-ysina尤sine+ycos。),

叫做把点8绕点A沿逆时针方向旋转〃角得到点尸，已知平面内点4(1,2),点-0,2+20),点B绕点

n

A沿顺时针方向旋转£后得到点P,则点P的坐标为()

4

A.(1,3)B.(-3,1)C.(2,5)D.(-2,3)

5.(2022•高一课时练习)我校八角形校徽由两个正方形叠加变形而成，喻意“方方正正做人”，又寄托南开

人”面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神，如图，在抽象自“南开校徽”的多边形中，已知

其由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转45后的正方形组合而成，已知向量能k，则向量Z()

B.(2+"+3A

A.2n+3k

C.(2+57^)w+(2+左D.(1+5/^)〃+(2+

6.(2022春•黑龙江黑河・高一嫩江市高级中学校联考阶段练习)下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平

面示意图.其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为1,且相邻的圆都相切，A、8、C、。是其中

四个圆的圆心，则AB.CZ)=().

图1

图2

A.14

B.26

C.38

D.42

7.（2022・全国•高三专题练习）伟大的法国数学家笛卡儿（Descartesl596〜1650）创立了直角坐标系.他用平

面上的一点到两条固定直线的距离来确定这个点的位置，用坐标来描述空间上的点，因此直角坐标系又被

称为“笛卡尔系”；直角坐标系的引入，将诸多的几何学的问题归结成代数形式的问题，大大降低了问题的难

度，而直角坐标系，在平面向量中也有着重要的作用；在正三角形ABC中，O是线段上的点，AB=3,

BD=2,则AB.AO=（）.

A.3B.6C.9D.12

8.（2021春・福建福州•高一校考阶段练习）“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数

学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形

ABCD中，.ASC满足“勾3股4弦5"，且AB=3,E为AD上一点，跖，AC.若BE=XBA+,贝1|彳+〃

的值为（）

E

AQ

B

9.（2022春・北京•高一北京市第二十五中学校考期中）据《九章算术》记载，商高是我国西周时期的数学家,

曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯早500年.如图，现有,ABC满足“勾3股4弦5”,

其中AC=3,3c=4,点D是CB延长线上的一点，则ACAO=（）

A.3B.4C.9D.不能确定

10.（2022•全国•高三校联考阶段练习）黄金分割［Go/de”Sec，。“）是一种数学上的比例关系.黄金分割具有

严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值.应用时一般取0.618,就像圆周率在应用时取3.14

一样.高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金数的足迹.人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大

多在画面的0.618处.艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处，能使琴声更加柔和甜美.黄金矩形

（GoldenRectangle）的长宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的长边为短边1.618倍.黄金分割率和黄金矩形

能够给画面带来美感，令人愉悦.在很多艺术品以及大自然中都能找到它.希腊雅典的巴特农神庙就是一个很

好的例子，达・芬奇的《维特鲁威人》符合黄金矩形.《蒙娜丽莎》中蒙娜丽莎的脸也符合黄金矩形，《最后

的晚餐》同样也应用了该比例布局.2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金

分割.所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于

该部分之比，黄金分割比为叵口。0.618.其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽没有古希腊的早，但它

2

是我国数学家独立创造的.如图，在矩形ABC。中，AC,BO相交于点。，BF1AC,DH^AC,AE±BD,

CGtBD,BE=^^~BO,则（）

2

B.+

210

D.+—BG

25

11.（2022秋・宁夏银川・高三银川一中校考阶段练习）圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱

满”，是自古以和为贵的中国人所崇拜的图腾.如图，48是圆。的一条直径，且|AB|=4.C,。是圆。上

的任意两点，1。1=2,点P在线段CO上，则PAP5的取值范围是（）

A.[-1,2]B.[V3,2]C.[3,4]D.[-1,0]

12.（2023•全国•高三专题练习）下如图是世界最高桥——贵州北盘江斜拉桥.下如图是根据下如图作的简易

侧视图（为便于计算，侧视图与实物有区别）.在侧视图中，斜拉杆抬，PB,PC,的一端P在垂直于水

平面的塔柱上,另一端A,3,C,。与塔柱上的点。都在桥面同一侧的水平直线上.已知AB=8m,30=16m,

PO=12m,网下。=0.根据物理学知识得?%+所）+1尸。+尸。）=2尸0,则CD=（）

A.28mB.20mC.31mD.22m

13.（2022•全国•高三专题练习）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称为“赵

爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示,若D4=m，DC=n，

,2,LtUUUl/、

AF=-AE,则£>E=()

14.（2022春•江苏南京•高三金陵中学校考阶段练习）2021年第十届中国花卉博览会兴办在即，其中，以“蝶

恋花”为造型的世纪馆引人注目（如图①），而美妙的蝴蝶轮变不仅带来生活中的赏心悦目，也展示了极致

的数学美学世界.数学家曾借助三角函数得到了蝴蝶曲线的图像，探究如下：如图②，平面上有两定点。，

A,两动点3,Q,且=OA绕点。逆时针旋转到OB所形成的角记为。.设函数

l,x>0

“e)=4-sign⑻-sin5，，］)，其中，sign(x)=<0,x=0,令p=于(9),作00=2随着6的

-l,x<0

变化，就得到了Q的轨迹，其形似“蝴蝶”.则以下4幅图中，点Q的轨迹（考虑糊蝶的朝向）最有可能为（）

,Q

il

D.

15.（2023秋•云南・高三云南师大附中校考阶段练习）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的

汉族传统民间艺术之一，它历史擢久，风格独特，深受国内外人士所喜爱.如图甲是一个正八边形窗花隔

断，图乙是从窗花图中抽象出的几何图形示意图.已知正八边形ABCDEFG//的边长为2&，M是正八边

形ABC-DEFG”边上任意一点，则的最大值为（）

乙

C.26+160D.24+160

16.（2022•全国•高三专题练习）古代典籍《周易》中的“八卦”思想在我国建筑中有一定影响.如图是受“八

圭卜''的启示，设计的正八边形的八角窗，若。是正八边形ABCDEFGH的中心，且则（）

A.A〃与CF能构成一组基底B.ODOF=0

C.OA+OC=-/2OBD.ACCD=^-

17.（2022春・广东揭阳.高一校考阶段练习）“圆累定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个

结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆。的

半径为2,点P是圆。内的定点，且。尸=0，弦AC、8。均过点P,则下列说法正确的是（）

'B

A^--------7

A.尸4PC为定值B.。4℃的取值范围是[-2,0]

C.当AC13D时，AB.8为定值D.，。.忖斗的最大值为12

18.（2021春・江苏常州.高一常州市北郊高级中学校考阶段练习）（多选）古代中国的太极八卦图是以同圆内

的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，

互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.图2（正八

边形ABCDEFGH）是由图1（八卦模型图）抽象而得到，并建立如下平面直角坐标系，设。4=1.则下述四

个结论，正确结论是（）

图1图2

A.以直线为终边的角的集合可以表示为夕=彳+2左万,左eZ

TT

B.在以点。为圆心、Q4为半径的圆中，弦A3所对的弧长为了

4

C.OAOD=—

2

D.BF=（-72,-72）

19.（2022.甘肃张掖.高台县校考模拟预测）八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型

图，其平面图形记为图2中的正八边形A8CCEFGH,其中。4=1,则下列结论正确的有（）

E

B.OB+OH=-JiOE

C.AHHO=BCBO

D.向量OE在向量AB上的投影向量为-qAB

20.（2020春・广东东莞•高一校考阶段练习）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次

位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定

理则被称为欧拉线定理.设点O、G、H分别是ABC的外心、重心、垂心，且M为8C的中点，则（）

A.GA+GB+GC=0B.AB+AC=2HM-4MO

C.AH=3OMD.|OA|=|OB|=|OC|

21.（2021・全国•高三专题练习）奔驰定理：已知。是，ABC内的一点，BOC,_AOC,一AO3的面积分别

为S"SB，S,，则SA-Q4+SB-O3+SC-OC=0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个

定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的/ogo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.若。、P是锐角

ABC内的点，A、B、C是ABC的三个内角，且满足PA+P8+PC=gcA,OAOB=OBOC=OCOA，

B.ZA+ZBOC=7i

C.|OA|:|OB|:|oc|=cosA:cosB:cosC

D.tanA-OA+tanB-OB+tanC-OC=0

三、填空题

22.（2020秋.四川成都.高阶段练习）早在两千多年前，我国首部数学专著《九章算术》中，

就提出了宛田（扇形面积）的计算方法:“以径乘周，四而一（直径与弧长乘积的四分之一）.已知扇形A03的弧

长为2匹面积为6肛设=川Aq，则实数2等于.

23.（2022秋•四川内江•高三四川省隆昌校考开学考试）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的

古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形一八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴

阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为2,P是正八边形

ABCDEFGH所在平面内的一点，则PAPB的最小值为.

24.（2022秋・全国•高二校联考开学考试）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为

《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以直角三角形的斜边为边得到的正方形）.

类比“赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大

等边三角形，且。产=2AF,点M为A3的中点，点尸是尸内（含边界）一点，且=

则2的最大值为.

c

25.（2022•全国•高三专题练习）中国文化博大精深，“八卦”用深邃的哲理解释自然、社会现象.如图（1）

是八卦模型图，将共简化成图（2）的正八边形ABCDEFGH,若9=1,则ACAE=.

图⑴图⑵

26.（2022春•福建泉州•高一校考期中）著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次

位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理

被称为欧拉线定理.已知的外心为。，重心为G,垂心为H,M为8c中点，且AB=5,AC=4,则

下列各式正确的有.

®AGBC=-3®AOBC=-6

®OH=OA+OB+OC®AB+AC=4OM+2HM

27.（2022・全国•高三专题练习）笛卡尔坐标系是直角坐标系与斜角坐标系的统称，如图，在平面斜角坐标

系中，两坐标轴的正半轴的夹角为60。，e；,e；分别是与x轴，V轴正方向同向的单位向量，若向量

a=xq+ye2,则称有序实数对（％可为£在该斜角坐标系下的坐标.若向量小，九在该斜角坐标系下的坐标分

别为（3,2）,（2,左）,当左=时，=

28.（2021.湖南•校联考二模）根据《周髀算经》记载，公元前十一世纪，数学家商高就提出“勾三股四弦五”,

故勾股定理在中国又称商高定理.而勾股数是指满足勾股定理的正整数组（a,b，c）,任意一组勾股数都可以表

a=k^m2-a。)，

示为如下的形式:<b=2kmn,其中左，m”均为正整数，且根>〃.如图所示，！PEF中，PELPF,

c=k^m2+〃2),

PF=12>PE,三边对应的勾股数中上=1,〃=2,点V在线段EF上，且五加二根，则.

四、解答题

29.（2022春・江苏泰州•高一校考阶段练习）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人

以对称的美感.莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC,再分别以点A5,C为圆心，线段48长为半径画

圆弧，便得到莱洛三角形.如图所示，已知4?=2,点尸,Q分别在弧AC，弧42上，RNPBC=a,/QCB=/3.

JT

(1)若。=五时，求8尸.8C的值.

JTJTULIUUU

(2)若a=%,/?=］时，求BP•CQ的值.

专题05向量专题（数学文化）

一、单选题

1.（2022•全国•高三专题练习）2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，

一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成

雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分

形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份,

然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程.已知

图①中正三角形的边长为6,则图③中OMON的值为（）

【答案】A

【分析】在图③中，以。为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，由向量的运算求得

OM,QN的坐标，再由数量积的坐标表示计算.

【详解】在图③中，以。为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，

|OM|=4,OM=(2cosy,2siny)=(2,273),

,।QQ

\MP\=-,即MP*],。)，

=由分形知尸N〃a0,所以PN=d，虫■)，

11333

所以ON=OM+MP+PN=(5,?)，

所以OMON=2x5+2岛拽=24.

3

故选：A.

2.(2023・全国•高三专题练习)庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.正

五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的正五角星

中，以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形，且二m=必二L下列关系中正确的是

AT2

()

4

A.BP-TS=^^-RS

2

B.CQ+TP^J^-TS

C.ES-AP=^^-BQ

J?-1

D.AT+BQ=^—CR

【答案】A

【分析】利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义，便可解决问

题.

【详解】解：在如图所示的正五角星中，以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形，

PT^5-1

且

~AT~2

uuruuuirUHuir叵已患，故A正确;

在A中,BP-TS=TE-TS=SE=

2

uumuirutruirun4-1"

在B中,CQ+TP=PA+TP=TA=^—ST,故B错误;

在C中,ES-AP=RC-QC=RQ=^hl^hlQB,故C错误;

2DR=2

AT+BQ=SD+RD,^^-CR=RS=RD-SD,

在D中,

若AT+3Q=41CR,则S£»=0，不合题意，故D错误.

故选：A.

3.（2023・全国•高三专题练习）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次

提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到

垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点QG,“分别为任意&ASC的外心、重

心、垂心，则下列各式一定正确的是（）

A.OG^-OHB.OH=

23

「“AO+2AH2BO+BH

33

【答案】D

【分析】根据三点共线和长度关系可知AB正误；利用向量的线性运算可表示出AG,BG,

知CD正误.

O,G,"依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,

113

OG=-GH,:.OG=—OH,OH=-GH,A错误，B错误；

232

AG=AO+OG=AO+-OH=AO+-(AH-AO}=2'AO+AH,c错误；

33、,3

BG=BO+OG=BO+-OH=BO+-(BH-BO}=2B0+BH,D正确.

33、,3

故选：D.

4.（2021秋・山东威海.高三统考期中）向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，

在电子信息传导方面有重要应用.平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹

方程具有明显优势，已知对任意平面向量=（无y）,把AB绕其起点沿逆时针方向旋转0角

得到向量AP=（%cose-ysine,%sine+ycos。）,叫做把点区绕点A沿逆时针方向旋转。角得到点

P,已知平面内点A（l,2）,点2（1-0,2+20）,点5绕点A沿顺时针方向旋转?后得到点

P,则点尸的坐标为（）

A.（1,3）B.（-3,1）C.（2,5）D.（-2,3）

【答案】C

【分析】表示出向量A8后，根据平面向量旋转公式可求得AP，由此可求得尸点坐标.

【详解】A（l,2）,B（l-72,2+272）,:.AB=（-6,2塔,

点B绕点A沿顺时针方向旋转［等价于点8绕点A沿逆时针方向旋转号，

44

AP=^-A/2COS-2^2sin,-A/2sin+2A/2COS=（1,3）,P（2,5）.

故选：C.

5.（2022.高一课时练习）我校八角形校徽由两个正方形叠加变形而成，喻意“方方正正做人”,

又寄托南开人”面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神，如图，在抽象自“南

开校徽”的多边形中，已知其由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转45后的正方

形组合而成，已知向量”，k则向量a（）

A.2〃+3左B.（2+五）〃+3左

C.（2+痣）〃+（2+夜伙D.（1+0）-+（2+0）%

【答案】D

【分析】根据对称性可得线段的长度关系以及点共线，再由向量的加法法则可求解.

【详解】根据题意可得问=可，

由该图形是由正方形中心为中心逆时针旋转45后与原正方形组合而成，如图

由对称性可得|=忸［=\CD\=\DE\=\EQ\=\QF\,

\CE\=\EF\=\FG\=y/2\AB\=y/2^

由对称性可得点氏CE,。共线，点Q,£G共线.

所以BQ=BC+CE+EQ=（2+0袂,QG=QF=FG=（\+^n

所以a=20+23=（2+逝）左+（1+应）〃

6.(2022春•黑龙江黑河・高一嫩江市高级中学校联考阶段练习)下面图1是某晶体的阴阳离

子单层排列的平面示意图.其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为1,且相邻的圆

都相切，A、B、C、。是其中四个圆的圆心，则AB.CD=().

【答案】B

【分析】如图所示，取e；为一组基底的基向量，其中Re；|=1且e；、e2的夹角为60。,

将A8和C。化为基向量，利用平面向量的数量积的运算律可得结果.

【详解】如图所示，建立以e；、e；为一组基底的基向量，

其中|qHe?|=1且q、e2的夹角为60。，

AB=2ex+44，CD=4q+24，

AB-CD=(2^+4^)-(4^+2e2)=8e：+8@；+20e「e2=8+8+20xlxlx；=26.

故选：B.

7.(2022・全国•高三专题练习)伟大的法国数学家笛卡儿(Descartesl596〜1650)创立了直

角坐标系.他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定这个点的位置，用坐标来描述空

间上的点，因此直角坐标系又被称为“笛卡尔系”；直角坐标系的引入，将诸多的几何学的问

题归结成代数形式的问题，大大降低了问题的难度，而直角坐标系，在平面向量中也有着重

要的作用；在正三角形ABC中，。是线段BC上的点，AB=3,BD=2,则AB.AO=().

A.3B.6C.9D.12

【答案】B

【解析】以A8、AC为一组基底，表示出AO,再根据向量的数量积的定义及运算律计算

可得；

【详解】解：在正三角形ABC中，O是线段BC上的点，AB=3,BD=2,所以

22/\12

AD=AB+-BC=AB+-(AC-AB]=~AB+-AC

33、>33

所以AO=+AB=LX32+2X3X3X^=6

(33133332

故选：B

A

BD0

8.(2021春・福建福州•高一校考阶段练习尸勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，

西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理

早了500多年，如图，在矩形A3CD中，ABC满足“勾3股4弦5"，且AB=3,E为上

一点，BE±ACBE=ABA+^iBC,则彳+〃的值为()

【答案】B

【分析】建立平面直角坐标系，进而利用向量的坐标表示，设3E=(a,3),由AC-BE=0可

9___._一

得a=[,再由=+利用坐标表示建立方程组求解即可.

【详解】由题意建立如图所示直角坐标系

因为AB=3,3c=4,则3(0,0),4(0,3),C(4,0),BA=(0,3),AC=(4,-3),设BE=(a,3),

9

因为JBE_LAC,所以BE=4〃-9=0，解得〃.由5A=43月+4人。，得

9心史,

（0,3）=噌,31+〃（4,一3）,所以不一/1+44=0,25

解得

9

3A—3/7=3,〃=---

25

7

所以彳+〃=—,

故选：B.

【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示，属于基础题.

9.（2022春.北京.高一北京市第二十五中学校考期中）据《九章算术》记载，商高是我国西

周时期的数学家，曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯早500年.如图,

现有满足“勾3股4弦5"，其中AC=3,3c=4,点。是CB延长线上的一点，贝U

ACAD=（）

A.3B.4C.9D.不能确定

【答案】C

【解析】根据一ABC满足“勾3股4弦5”可得ACLCB,再利用平面向量的线性运算以及两

个垂直向量的数量积为0,可求得结果.

【详解】因为AC=3,CB=4,AB=5,所以AC?,

所以AC_LCB,所以AC.C3=0，所以AC.CD=0,

所以ACAQ=AC（AC+CZ））=AC?+AC。=9+0=%

故选：C

【点睛】本题考查了勾股定理，考查了平面向量的线性运算，考查了两个垂直向量的数量积

为0,属于基础题.

10.（2022.全国•高三校联考阶段练习）黄金分割（GoldenSection）是一种数学上的比例关

系.黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值.应用时一般取0.618,

就像圆周率在应用时取3.14一样.高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金数的足迹.人们还发

现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618处.艺术家们认为弦乐器的琴马

放在琴弦的0.618处，能使琴声更加柔和甜美.黄金矩形（Go/dewRectang/e）的长宽之比为黄

金分割率，换言之，矩形的长边为短边1.618倍.黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，

令人愉悦.在很多艺术品以及大自然中都能找到它.希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例

子，达•芬奇的《维特鲁威人》符合黄金矩形.《蒙娜丽莎》中蒙娜丽莎的脸也符合黄金矩形，

《最后的晚餐》同样也应用了该比例布局.2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧

道克萨斯首先提出黄金分割.所谓黄金分割，指的是把长为工的线段分为两部分，使其中一

部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比，黄金分割比为更匚。0.618.其实有关

2

“黄金分割”，我国也有记载，虽没有古希腊的早，但它是我国数学家独立创造的.如图，在

矩形ABCD中，AC,8D相交于点0,BF1AC,DHLAC,AE±BD,CGLBD,

BE=^-^BO,贝（）

2

B.+

210

C浮BA+个BGD3-书小RC

U•--------D/\H------JDLJ

25

【答案】D

【分析】利用平面向量的线性运算和平面向量基本定理即可求解.

【详解】解：BE=^^BO,显然BE=DG,BO=OD^-BD,

22

下-1、8。=蓄8。，

所以BG=|2-

5+A/5

BO=LBG=

2BG,

5-A/510

•=SA+A人朋+怨4。=姑+程但。-即=1册+程3。，

25

故选：D.

11.（2022秋.宁夏银川・高三银川一中校考阶段练习）圆是中华民族传统文化的形态象征，

象征着“圆满”和"饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇拜的图腾.如图，AB是圆。的一条

直径，且|AB|=4.C,。是圆0上的任意两点，1。1=2,点尸在线段CO上，则PA.ps的

取值范围是（）

.）

B

A.[-1,2]B.[V3,2]C.[3,4]D.[-1,0]

【答案】D

【分析】设。为圆心，连接OP,根据数量积的运算律得到尸4尸8=|尸。|2-4,根据点尸在

线段CD上，即可求出|PO|的取值范围，即可得解.

【详解】解：如图，。为圆心，连接OP,

222

PAPB=(PO+OA)(PO+OB)=PO~+POOB+POOA+OAOB=PO+PO(OB+OA)-OA=\PO\2-4

9

因为点P在线段8上且IC£>|=2,则圆心到直线CD的距离d=亚=F=£，

所以例4Poi2,

所以琬F4,则-倒|PO『-40,

即PAPB的取值范围是[T,。].

故选：D.

12.(2023・全国•高三专题练习)下如图是世界最高桥一贵州北盘江斜拉桥.下如图是根据

下如图作的简易侧视图(为便于计算，侧视图与实物有区别).在侧视图中，斜拉杆力，PB,

PC,尸。的一端尸在垂直于水平面的塔柱上，另一端A,B,C,。与塔柱上的点。都在桥

面同一侧的水平直线上.已知A8=8m,50=16m,PO=12m,P2.PC=0.根据物理学知

识得;（PA+PB）+:（PC+PO）=2PO,贝！|CD=（）

A.28mB.20mC.31mD.22m

【答案】D

【分析】由PB-PC=0，得PB工PC,则可得尸O?=O8-OC,可求得OC=9m,M,N分

别为AB,C£>的中点，则由己知可得。为MN的中点，再结合已知的数据可求得结果

【详解】因为P3.PC=0，所以P5_LPC,

因为PO人8C,所以APOCsABOP,

POOC

所以或=£，所以PC>2=OBOC,

（JDr（J

因为3O=16m,PO=12m,

所以OC=9m,

设M,N分别为AB,8的中点，

因为:（PA+PB）+；（PC+PO）=2PO,

所以「M+PN=2尸O，

所以。为MN的中点，

因为AB=8m,BO=16m,所以QW=20m,

所以ON=20m,

所以C7V=ON-OC=20-9=llm,

所以CD=2GV=22m

故选：D

13.（2022•全国•高三专题练习）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，

后人称为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形,

如图所示，若。4=加，DC=n,AF=^AE,则关=（）

D

【答案】B

213-24

【分析】由已知可得出=利用平面向量的线性运算得出=-再

结合平面的基本定理可得结果.

【详解】由题意得OE=|EB=|（42——|义［4石=|"一［（4£（+05），

所以13-=2——4—AD,^DE=6—DC+4—DA=4—m+6—n,

93913131313

故选：B.

14.（2022春.江苏南京,高三金陵中学校考阶段练习）2021年第十届中国花卉博览会兴办在

即，其中，以“蝶恋花”为造型的世纪馆引人注目（如图①），而美妙的蝴蝶轮变不仅带来生

活中的赏心悦目，也展示了极致的数学美学世界.数学家曾借助三角函数得到了蝴蝶曲线的

图像，探究如下：如图②，平面上有两定点0,A,两动点8,Q,且10Al=|oq=l,OA绕

点。逆时针旋转到08所形成的角记为。.设函数/（。）=4・sign-sin5。，（-%W夕W万），

l,x>0

其中，sign（尤）=0,x=0,令P=/（6）,作0。=2。8随着6的变化，就得到了。的轨迹,

-1,x<0

其形似“蝴蝶则以下4幅图中，点。的轨迹（考虑糊蝶的朝向）最有可能为（）

图①图②

【答案】B

【分析】考虑特殊值，用排除法，取。=0,土万确定。。的的位置，排除错误选项得结论.

【详解】先考虑与。4共线的蝴蝶身方向，令6=0,土万，。。=-408=404要满足，故排

除A,C；

再考虑与OA垂直的方向，令e=］TT，-08要满足，故排除「，

故选：B.

15.（2023秋・云南•高三云南师大附中校考阶段练习）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,

是中国古老的汉族传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，深受国内外人士所喜爱.如

图甲是一个正八边形窗花隔断，图乙是从窗花图中抽象出的几何图形示意图.已知正八边形

ABCDEFGH的边长为2啦,M是正八边形ABC-DEFG”边上任意一点，则的最

大值为（）

甲乙

A.30+472B.28+8后C.26+16点D.24+16应

【答案】D

【分析】取的中点O,连接MO,通过转化得=-2，则转化为求1知。1的最

大值，由图得当点M与点尸或点E重合时，1〃。1取得最大值，计算最值即可.

【详解】如图，取A8的中点O,连接M0,连接BE,OE,分别过点C,点。作BE的垂线,

垂足分别为/，/，

所以M4.MB=(MO+OA)-(MO+OB)=(MO+OA)-(MO-OA)=MO,-OA=MO2-2，

当点/与点/或点E重合时，|MO|取得最大值，

易得四边形CD〃为矩形，一为等腰直角三角形，则〃=20，

BI=EJ=2,则2石=4+2忘，BO=B

MO2取得最大值为BO。+2炉=(应了+(4+=26+163，

所以肱4・M3的最大值为24+160,

故选：D.

二、多选题

16.(2022•全国•高三专题练习)古代典籍《周易》中的“八卦”思想在我国建筑中有一定影响.如

图是受“八卦”的启示，设计的正八边形的八角窗，若。是正八边形ABCDEFGH的中心，且

\AB\=1,则()

A.A4与C产能构成一组基底B.ODOF=0

C.OA+OC=42OBD.ACCD=^-

【答案】BCD

【分析】连接BG,CF,由正八边形的性质可知，AH//BG,CF//BG,可判断选项A；

171

hKWn^DOF=-x2Tt=-,可判断选项B；连结AC交于点可判断选项C；先判

42

断出ABLCD,结合向量的加法和数量积的运算性质可判断选项D.

【详解】连接3G,CF,由正八边形的性质可知，AH//BG,CF//BG,

所以々/〃C尸，所以与C/是共线向量，所以A”与C/不能构成一组基底，A项错误;

1兀

又NDOF=-义2兀=—,所以所以0»0尸=0，B项正确；

42

由上过程可知OALOC,连结AC交03于点

在直角三角形Q4C中，M为AC的中点，

则OA+OC=2QW,

y.\OM\=^\AC\=^\OA\=^\OB\,

222

所以。4+0。=及06,C项正确；

1QJT

又正八边形的每一个内角为：-（8-2）x7t­—,

8'4

延长DC,如相交于点N,则QN=4CN力

TT

所以/BNC=—,故ASLCD,

2

所以AC.C£>=(AB+BC)-C£>=AB-8+8。8=|BC|cos(7t-电)=理，D项正确.

42

故选：BCD.

17.（2022春・广东揭阳•高一校考阶段练习）“圆塞定理”是平面几何中关于圆的一个重要定

理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段

长的积相等.如图，已知圆。的半径为2,点尸是圆。内的定点，且OP=0,弦AC、BD

均过点P,则下列说法正确的是（）

A.P4PC为定值B.OR.oc的取值范围是［-2,0］

C.当AC时，ARCD为定值D.“H明的最大值为12

【答案】AC

【分析】根据题设中的圆幕定理可判断AC的正误，取AC的中点为连接OM,利用向

量的线性运算可判断B的正误，根据直径的大小可判断D的正误.

【详解】

如图，设直线尸。与圆。于E,F.

则尸4.尸0=-|%忸4=_怪尸||尸盟=_（|0目_|尸0）（|0目+|尸0|）=|尸0「_30「=_2,

故A正确.

取AC的中点为M,连接OM,则

OAOC=^OM+M4）.（OM+MC^=OM2-MC

2/-2\