江苏省某中学2024届高三年级下册二模阳光测试数学试题（含答案与解析）

南航苏州附中2024届第二学期二模阳光测试

高三数学

本试卷满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

2+i.

1.复数z满足z（i为虚数单位），则复数z的共辗复数为（）

Al-2iB.l+2iC.-l+2iD.-l-2i

2.如图，已知集合4={刀|log2X<l},6={x|x<l},则阴影部分表示的集合为（）

A.（1,2）B,[1,2）C.（0,1]D,（0,1）

3.2024年3月19日，新加坡共和理工学院代表团一行3位嘉宾莅临我校，就拓宽大学与中学间的合作、

深化国际人才培养等议题与我校进行了深入的交流.交流时嘉宾席位共有一排8个空座供3位嘉宾就坐，若

要求每位嘉宾的两旁都有空座，且嘉宾甲必须坐在3位嘉宾中间，则不同的坐法有（）

A.8种B.12种C.16种D.24种

4.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池

盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是

（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（）

A.6寸B.4寸C.3寸D.2寸

6

5.已知（1+X）6=%+U^X++…+。6%6,则也—（）

i=l

A.48B.192C.128D.72

6.早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学

家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若

2“+2"=1，贝"4"+1）（4"+1）的最小值为（）

259925

A.—B.—C.-D.—

416416

7.已知数列｛4｝的前几项和为S“，2a〃+l=3S〃，若电,<2"对任意的“eN*恒成立，则实数/的取值

范围为（）

A.（—4,2）B.[-3,2）C.（-6,2）D.（-3,2]

-xer+1,x<0

8.已知函数/（x）=<0,/z（x）=-24（犬）+4（。eR）,若函数妆%）恰有6个零

Inx——

[4

点，则实数a取值范围是（）

A.g+sjB.C.D.（0,+8）

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知圆C关于直线x—y+l=O对称的圆的方程为（x—4y+（y+l）2=4,则下列说法正确的是（）

A.若点是圆C上一点，则上的最大值是-一

x20

B.圆。关于直线2x+y—l=0对称

C.若点P（x,y）是圆。上一点，则|x—y+l|的最小值是6+2行

D.直线2x+y+5=0与圆。相交

10.在一ABC中，角AB,c所对的边分别为。，4C,且c=b（2cosA+l）,则下列结论正确的有（）

A.A=2B

B.若。=技，贝卜ABC为直角三角形

C.若，ABC为锐角三角形，-------L的最小值为1

taaBtanA

V22百、

D.若，ABC为锐角三角形，则工的取值范围为

a7

11.如图，棱长为2的正方体ABC。—中，E为棱。2的中点，尸为正方形GCDR内一个动点

（包括边界），且男尸//平面A|BE,则下列说法正确的有（）

A.动点尸轨迹的长度为J5

B.三棱锥B「D.EF体积的最小值为|

C.与厂与不可能垂直

D.当三棱锥用-ADF的体积最大时，其外接球的表面积为奇无

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.袋中有5个球，其中红黄蓝白黑球各一个，甲乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件A：甲

和乙至少一人摸到红球，事件5：甲和乙摸到的球颜色不同，则。（即）=-------

13.设A,B,C,。为平面内四点，已知|A3|=2,|AC|=1,AB与AC的夹角为60°，M为AB的中

点，则AC•的最大值为.

14.己知定义在R上的偶函数八％）,其导函数为了'（%）,若靖（力―2/（力＞0,/（-1）=1,则不等

式2/（x）＜X2的解集是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.记.ABC的内角A,5c的对边分别为a,4c,已知巴吆sinC-sinB

csinA-sinB

（1）求角A；

(2)若。=6,点M为ulBC的重心，且40=2百，求ABC的面积.

16.已知函数/'(x)=g%2+x+a[n(x+l),tzeR.

(1)讨论了(%)的单调性；

(2)证明:当a<—1时，a2+/(x)>l.

17.如图，在五面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，AB=4,EF^1.

(1)求证：AB//EF；

(2)若H为CD的中点，/为5H的中点，EM_LBH,EM=26再从条件①、条件②这两个条件

中选择一个作为已知，求直线CF与平面ADE所成角的正弦值.

条件①：ED=EA；

条件②：AE=5

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分

18.近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了两个健身中心，要

求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼.

(1)该校学生甲、乙、丙三人某周均从A3两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲、乙、丙该周选择

A健身中心健身的概率分别为求这三人中这一周恰好有一人选择A健身中心健身的概率；

233

(2)该校学生丁每周六、日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心其中一

个，其中周六选择A健身中心的概率为，若丁周六选择A健身中心，则周日仍选择A健身中心的概率为

12

若周六选择B健身中心，则周日选择A健身中心的概率为彳.求丁周日选择8健身中心健身的概率；

43

(3)现用健身指数左(左e[0,10])来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定上值低于1分

的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其左值低于1分的概率为0.02.现

从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取

到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过〃.若抽取次数的期望值不超过23,求〃的最大

值.

参考数据：0.9829~0.557,0.9830«0.545,0.9831»0.535.

19.过抛物线外一点尸作抛物线的两条切线，切点分别为A,B,我们称钻为抛物线的阿基米德三角

形，弦与抛物线所围成的封闭图形称为相应的“冏边形”，且已知“冏边形”的面积恰为相应阿基米德三

角形面积的三分之二.如图，点P是圆Q:V+（y+5）2=4上的动点，P钻是抛物线

「：必=20；（0〉0）的阿基米德三角形，尸是抛物线「的焦点，且|PE|min=6.

（1）求抛物线「的方程；

（2）利用题给的结论，求图中“冏边形”面积的取值范围；

（3）设。是“圆边形”抛物线弧A3上的任意一动点（异于A，B两点），过。作抛物线的切线/交阿基米

德三角形的两切线边外，PB于M,N,证明：

参考答案

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

2+i.

---=1

1.复数Z满足Z（i为虚数单位），则复数Z的共辅复数为（）

Al-2iB.l+2iC.-l+2iD.-l-2i

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数的除法运算和共轨复数定义计算即可

【详解】由题知，复数z=2±l=l—2i,.•二=l+2i.

故选:B.

2.如图，已知集合4={刀|log2x<l},B={x|x<l},则阴影部分表示的集合为（）

A.（1,2）B,[1,2）C.（0,1]D,（0,1）

【答案】B

【解析】

【分析】由阴影部分为以全集为A的集合A与集合B交集的补集求解.

【详解】解：因为A={Hlog2x<1}={x|o<x<2},B={x|x<l},

所以AB=1%|O<%<1},dA（AnB）=^x|l<x<21,

即阴影部分表示的集合为[1,2）,

故选：B

3.2024年3月19日，新加坡共和理工学院代表团一行3位嘉宾莅临我校，就拓宽大学与中学间的合作、

深化国际人才培养等议题与我校进行了深入的交流.交流时嘉宾席位共有一排8个空座供3位嘉宾就坐，若

要求每位嘉宾的两旁都有空座，且嘉宾甲必须坐在3位嘉宾中间，则不同的坐法有（）

A.8种B.12种C.16种D.24种

【答案】A

【解析】

【分析】排列问题，用插空法根据要求即可解决.

【详解】共有8个座位，3个人就坐，所以还剩下5个座位；

因为要求每个人左右都有空座，所以在5个座位的4个空隙中插入3个人，共有C：=4种，

又嘉宾甲必须坐在3位嘉宾中间，所以共有4义2=8种，

故选：A.

4.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池

盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是

（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（）

A.6寸B.4寸C.3寸D.2寸

【答案】C

【解析】

【分析】由题意得到盆中水面的半径，利用圆台的体积公式求出水的体积，用水的体积除以盆的上底面面

积即可得到答案.

如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸，

因为积水深9寸，所以水面半径为gx(14+6)=10寸，

贝U盆中水的体积为g兀义9义(62+1。2+6*10)=588兀立方寸，

所以平地降雨量等于理空=3寸.

71X142

故选：C.

6

5.已知(1+%)6=++…+〃646,则2四二()

i=l

A.48B.192C.128D.72

【答案】B

【解析】

【分析】令/■(X)=(l+X)6,求导，然后令X=1求解.

【详解】解：令〃x)=(l+x)6,

5

则/'(x)=6(1+x)s=/+2a2x+3a3/++6a6x,

6

令x=l,得2也=192.

1=1

故选：B.

6.早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学

家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若

2°+2"=1，则(4"+1)(4"+1)的最小值为()

25925

A.—B.——D.—

41616

【答案】D

【解析】

【分析】令m=2"，”=2〃，结合基本不等式可得0<mn<—,化简(半+1)(4"+1)可得

4

(平+1)(4〃+1)=(机—2m"+2,转化为求关于相〃的二次函数在区间(0,：]上的最小值即可.

【详解】不妨设m=2"，〃=2"，则相>0,〃>0,

所以1=根+”之2，嬴，当且仅当m=〃=g时取等号,

即当且仅当m=〃=’时取等号，

42

所以(4"+1)(4"+1)=(〃/+1)("2+1)=(mn)"+〃/+n2+1=(mn)~-2mn+1

=(mn)2—2mn+2={mn—1)"+1.(0<mn

1,25

所以当机”=—时，一一2〃z〃+2取得最小值一，

4v716

故选：D.

7.已知数列｛%｝的前几项和为S“，2a〃+l=3S,,,若电,<2"对任意的“eN*恒成立，则实数/的取值

范围为()

A.(—4,2)B.[―3,2)C.(―6,2)D,(—3,2]

【答案】B

【解析】

【分析】根据给定的递推公式求出S,,再按九为奇数、偶数分类求解即可得/的范围.

3s—1

【详解】由2a,,+l=3S〃，得%二一^—,

3s—1

当时，a“=S〃一S〃T，则^^=S“一Si,

整理得S,：—2S,“+1.即S”—g=-2(S〃T—1)，

而3si=2q+1=25]+1,解得Si=1,

I212

于是耳――=—wo,数列｛S〃——｝是首项为：，公比为—2的等比数列，

3333

因此"一，](一2产，即

由电,<2",得1—(—2)“4<2",

3

1.o"a3

当〃为奇数时，匕土1<2",即/<二^=3———>显然｛3——二｝为递增数列，

31+2"1+2"1+2"

3

当”=1时，(3-J^)min=2，于是/<2，

当九为偶数时，即/〉二三=一3+^^,显然恒有—3+——-<-3,于是年—3,

31-2"1-2"1-2"

所以实数，的取值范围为[—3,2).

故选：B

-xeA+1,x<0

8.己知函数/(x)=<1，//(%)=[/(%)]--2«/'(x)+4(tzeR),若函数网司恰有6个零

Inx,x〉0——

4

点，则实数。的取值范围是()

A.■什0°jB.g"CD.(0,+e)

【答案】A

【解析】

【分析】先利用导数研究当xWO时，函数/(%)的图象和性质，结合对数函数的图象及绝对值的意义作出

函数/(力的大致图象，然后根据题意及一元二次方程根的分布得到关于。的不等式，解不等式即可得到实

数。的取值范围.

【详解】当尤〈0时，/(x)=-xerfI,/,(x)=-(x+l)-er+1,

令/'(x)=0,得x=—1,当x<—1时，r(x)>0,“可单调递增,

当一1<大<0时，r(x)<0,/(x)单调递减,

又/(T)=l，/(0)=0,当x趋近于一8时，〃龙)趋近于0,

结合对数函数的图象及绝对值的意义可作出函数/(力的图象如图所示.

令/(4)=/,则放］)=/一2〃+4,数形结合可知要使秋尤)有6个零点，

则g(0=『-2〃+4=0有两个不相等的实数根彳、t2,不妨令ti>G，有如下两种情况:

若/2=0<%<1,但g(0)=4w0,故排除此种情况，

若乙〉1〉£2〉0,对于二次函数g(。开口向上，又g(0)=4>0,则g(l)=a—2axl+4<0,得a〉g,

综上，实数”的取值范围是

故选：A

【点睛】关键点点睛：解决此类问题需注意以下几点：

(1)会转化，即会将问题转化为方程的根的问题，然后利用函数、方程、不等式的关系进行解答；

(2)会作图，即会根据基本初等函数图象、图象的平移变换法则或函数与导数的关系画出相关函数的大

致图象；

(3)会观察，即会利用数形结合思想列方程(组)或不等式(组).

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知圆。关于直线x—y+l=。对称的圆的方程为(x—4y+(y+l)2=4,则下列说法正确的是()

A,若点P(x,y)是圆C上一点，则上的最大值是-一

x20

B.圆。关于直线2x+y—l=0对称

C.若点p(x,y)是圆C上一点，则［的最小值是6+2收

D.直线2x+y+5=0与圆。相交

【答案】AB

【解析】

【分析】根据点关于直线对称可得。（-2,5）,进而可得圆C方程，根据斜率的意义，结合直线与圆相切即

可求解A,根据圆心在直线上即可求解B,根据点到直线的距离公式即可求解CD.

【详解】设圆。的圆心为。（%,均）.

因为圆C关于直线X—y+l=。对称的圆的方程为（x—4）2+（y+1）2=4,

圆（x—4）?+（y+l）2=4的圆心为N（4,—1）,半径为2,所以圆。的半径为2,

%+1=]

x-4，xo=-2,

力o-

两圆的圆心关于直线x-y+l=。对称,解得<

上―ii=o.Jo=5,

22

所以C（-2,5）,故圆C的方程为（x+2『+（y—5『=4.

对于A,上的几何意义为圆C上的点P（x,y）与坐标原点0（0,0）连线的斜率，

如图，过原点。作圆C的切线，当切线的斜率存在时，设切线方程为y=履，即区-y=0,所以圆心

C（—2,5）到直线丘-y=0的距离d=3乜解得』之,

y21

故由图可知一的最大值是----，故A正确;

20

对于B,圆心C（—2,5）在直线2%+,-1=0上，则圆。关于直线2x+y—1=0对称，故B正确；

对于C,|x—y+l|表示圆C上任意一点到直线x—y+l=0的距离的0值，圆心C（—2,5）到直线

x—y+l=。的距离为\=3应，所以忖―y+l|的最小值是J5（3挺—2）=6—2应，故C错误；

/\6

对于D,圆心。（—2,5）到直线2x+y+5=0的距离为忑>2,所以直线2x+y+5=0与圆C相离，故D

错误.

故选:AB.

10.在一ABC中，角A,3,C所对的边分别为"c,且。=可28$4+1）,则下列结论正确的有（）

A.A=2B

B.若。=屈,贝hABC为直角三角形

c.若L/RC为锐角三角形，—1-----匚的最小值为1

tanBtanA

c（Jl2百

D.若JRC为锐角三角形，则一的取值范围为

aI23J

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据正弦定理和三角恒等变换可得sin（A—5）=sinB,即可得A=25,所以A正确；再利用

/Ojrjrjr

°=回由正弦定理计算可得cos5=］，可得C=i,B正确；由锐角三角形可得再由二倍

角公式可得」-----J=l+tan/〉］,即c错误；由正弦定理可得£=2COSB———,结合8的范围

tanBtanA2tanBa2cos3

并利用函数单调性可得D正确.

【详解】对于A,ABC中，由正弦定理得sinC=2sinBcosA+sinB,

由sinC=sin（A+B）,得sinAcosB—cosAsinB=sinB,即sin（A—5）=sinB,

由OVABVTT,则sinB>0,故0<工一5〈兀，所以人一5=5或人一5+5=兀，

即A=25或A=TI（舍去），即A=25,A正确；

对于B,若a=6b，结合4=25和正弦定理知，一=芭”=—也,853=3，

sinAsin2BsinB2

JTJT

又0<43<兀，所以可得A=23=—,C=—,B正确；

32

JiJIJI

对于C,在锐角ABC中，0<3<—,0<A=23<—,0<C=7i—33<一,即

222

—<B<tanB<1.

643

111l-tan2Bl+tan2B"招、口

故-----------=----------------=--------->11,C错误；

tanBtanAtanB2tanB2tanB

对于D，在锐角.ABC中，由三＜B＜三，皂＜cosB（也,

6422

c_sinC_sin3Bsin2BcosB+cos2BsiiiB_1

-------------------------------=2cos8-----------

asinAsin2Bsin2B2cos5

令cosB=t4叵，星c1

KU-=/(r)=2r--,

22

易知函数,。）=27-上单调递增，所以可得£©+，+，D正确;

2ta、23,

故选：ABD.

11.如图，棱长为2的正方体ABC。—AB|GR中，E为棱。2的中点，尸为正方形GC。，内一个动点

（包括边界），且耳尸//平面ABE,则下列说法正确的有（）

A.动点尸轨迹的长度为J5

B.三棱锥B「QEF体积的最小值为|

C.耳尸与48不可能垂直

D.当三棱锥用-2。口的体积最大时，其外接球的表面积为，兀

【答案】ABD

【解析】

【分析】对A由4尸//平面ABE,联想到存在一个过8]?的平面与平面ABE平行，利用正方体特征找

到平面与MN〃平面切了,进而得到口的轨迹为线段MV,对B,根据棱锥体积公式分析即可，对C举反

例即可；对D,利用勾股定理求出外接球半径即可.

【详解】对A,如图，令CG中点为中点为N,连接肱V,

又正方体ABCD-A4C。中，E为棱DD}的中点，可得BXMI/A.E,MN//CDJ/BA,,

.•.用///平面区41后,上W//平面54£,又用河MN=M,

且31M,MNu平面gMN，，平面gMN〃平面gE,

又男尸//平面ABE,且与€平面4MN,BiRu平面4MN,

又尸为正方形GCDR内一个动点（包括边界），.♦.FG平面4MN一平面GCDR,而肱V=平面

B]MN'平面GCDD],

.\FeMN,即尸的轨迹为线段MV.

由棱长为2的正方体得线段MN的长度为近，故选项A正确；

12

对B,由正方体侧棱耳£_L底面GCD，，所以三棱锥用—2EE体积为V=.SAFE=§SDIFE,

所以D/E面积5°严最小时，体积最小，如图，FwMN,易得尸在N处时S0匹最小，

此时SD、FE=gND]-D]E=g,所以体积最小值为g,故选项B正确；

对C,当尸为线段中点时，由用M=4N可得与又CG中点为M,C2中点为N,

:.MNHD{C,而43//。。，二用尸，43,故选项C不正确；

对D,如图，当歹在M处时，三棱锥用-2。口的体积最大时，

由已知得此时£0=£2=方4=若，所以尸在底面的射影为底面外心，

=2,BR=2夜，=273,所以底面4。2为直角三角形，

所以厂在底面的射影为用。中点，设为。一如图，设外接球半径为R,

由A?=a。；+OB2=OO2+3,R+OO[=FOi=啦,可得外接球半径R=手,

75

外接球的表面积为4万笈=与兀，故选项D正确.

2

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.袋中有5个球，其中红黄蓝白黑球各一个，甲乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件A：甲

和乙至少一人摸到红球，事件5：甲和乙摸到的球颜色不同，则P(3|A)=一.

Q

【答案】-

【解析】

【分析】求出P(AB)和P(A)的值，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】依题意，事件A3:甲、乙只有一人摸到红球，

C1A2Q

则尸(A5)=Jd—,而P(A)=1—

5x525

z.、P(AB)8258

所以⑷=---=一x一=

V17P(A)2599

Q

故答案为：—

9

13.设A,B,C,。为平面内四点，已知|AB|=2,|AC|=1,AB与AC的夹角为60°，〃为AB的中

点，则AC•AD的最大值为.

3

【答案】-

2

【解析】

【分析】建立平面直角坐标系，确定点。的轨迹方程，设。的坐标，分别求出向量AC，的坐标，结合

三角函数性质即可求解.

【详解】以A为原点，A5所在直线为x轴，过M作A3的垂线为J7轴建立平面直角坐标系，如图所示，

因为|A3|=2,|AC|=1,A5与AC的夹角为60°,

回卜“AC—=VAC2+AB2-2AC-AB=^l+4-2xlx2x1=73,

由于A^2=5。2+人。2,故5C_LAC,

所以。（一万，^^），

因为/为AB的中点，|MD|=1,所以。在以加为圆心，半径为1的圆上,

设D（cos仇sin9）,9e[0,2TI）,

则AC=（；,当■）,AD=（1+cos0,sin6）,

WAC-AZ>=—+—cos^+^-sin^=—+sin（^+—）,

22226

7171Tl3

所以当e+=即。=彳时，AC.AD最大，最大值为T,

6232

14.已知定义在R上的偶函数其导函数为/'(%),若靖⑴—2/(%)>0,/(-1)=1,则不等

式2/(x)<%2的解集是.

【答案】(-M)

【解析】

【分析】先判断尤=0为不等式的解，再当XRO时，根据题意令8。)=驾，求导后结合已知条件可得

X

g(x)在(0,+8)上递增，且g(x)为偶函数，由/(-1)=工，得g(l)=1,则将2/(x)<%2转化为g(x)<g⑴，

22

再利用g(x)的奇偶性和单调性可求得结果.

【详解】当x=0时，由？'(x)—2/(x)>0,得—2/(0)>0,则〃0)<0,

所以2/(0)<。2成立，所以％=0符合2/(x)<f,

当心0时，令g(x)=驾，则g，(x)=一八，二2V(x)=\'(x)[2/(x),

XXX

因为靖(x)—2/(x)>0,

当x>0时，g'(x)>0,

所以g(X)在(0,+8)上递增，

因为/(%)定义在R上的偶函数，所以/(—%)=/(%),

所以g(—x)=4与=1^=g(x),所以g(x)为偶函数，

(-X)X

因为/■(—1)=J，/(%)定义在R上的偶函数，所以/(1)=：，

22

所以g⑴=*=;

由2/(%)<_?,得所以g(x)<g⑴，

x2

所以g(|x|)<g⑴，

因为g(x)在(0,+00)上递增，

所以忖<1,且工力0,得一1<X<1,且XHO,

综上，即不等式2/(x)的解集是(fl),

故答案为：(-1,1)

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查函数奇偶性和单调性的应用，解题的关键是根据题

意构造函数g(x)=1学，求导后判断函数的单调性，再结合函数的奇偶性解不等式，考查数学转化思想

x~

和计算能力，属于较难题.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.记.ABC的内角AB,C的对边分别为a,4c,己知"2=任£二史坦.

csinA-sinB

(1)求角A;

(2)若a=6,点/为的重心，且AM=26，求」工5。的面积.

【答案】(1)4=]

⑵9^/3

【解析】

【分析】(1)根据正余弦定理边角互化即可求解；(2)根据重心的性质可得AD=3百，进而根据余弦定理

可得Z?c=36,由面积公式即可求解.

【小问1详解】

a+bsinC-siiiB，由正弦定理可得"c-b

因为----=-------：—

csinA-sinBCa-b

i2.22i

整理得b2+c2-a2=bc，由余弦定理可得cosA=―。=

2bc2

又因为Ae(O,7i),所以A=；.

【小问2详解】

设40的延长线交于点。，因为点/为ABC的重心，所以点。为中点,

又因为4加=2百，所以AD=3jL

在中，由Z??+02一々2=儿和。=6,可得=/+/一36.

在△ABZ)和ACD中，有cos/AD5=—cos/ADC,

由余弦定理可得,MG)-」=3?+(36)42

2x3x362x3x3一

故〃+。2=72,所以匕0="+02—36=72—36=36，

所以ABC的面积为工AcsinA='x36xsin巴=96.

223

A

16.已知函数/(x)=；/+x+aln(x+l),aeR.

(1)讨论了(%)的单调性；

(2)证明：当a<—1时，a2+/(%)>1.

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)求导得/'(X),再分a20和a<0两种情况讨论即可.

(2)由⑴知/(力向/从而片+l+fULn，即证明/―l+/(x)1nm>0,再构造

新函数g(a),利用导数得证.

【小问1详解】

r(x)=x+l+-^=(X+D：q,(x〉一］),

X+1X+1

当a20,/'(x)>0在xe(-1,+8)上恒成立，故/(X)在(-1,+“)上单调递增；

当a<0时，令/'(1)〉0得；1〉一l+^/^■；

令/'(尤)<0得一I<x<—1+石，

故/(%)在(-1+/工,+e)上单调递增，在(-1,-l+J-a)上单调递减.

【小问2详解】

证明：由(1)知，当a<—1时，/(x).=+4^)=—](a+1)+万疝乂—a),

1

所以。2—1+/(x)2“2-1+/(x)min="-1—-(tz+l)+—tzln-a).

2

1

令g(a)=a2_1——+1^+—aln(_a),(a<_]),

2

贝!Jg，(a)—2a+—In-a).

令/z(a)=2a+gln(-Q),(a<-l),

则"(a)=2+(.

因为a<-l,所以"(a)>0,

所以h(a)在—1)上单调递增.

又/z(-l)<0,所以g'(a)=2a+gln(—a)<0,

所以g(a)在-1)上单调递减.

因为g(—l)=O，所以g(a)>g(-l)=O,

所以片―1+/(%”"-1+/(X濡>0,

即当。<一1时，a2+/(x)>1.

17.如图，在五面体ABCDEE中，底面ABCD为正方形，AB=4,EF^1.

(1)求证：AB//EF；

(2)若”为CD的中点，/为5H的中点，EMLBH,EM=26,再从条件①、条件②这两个条件

中选择一个作为已知，求直线CF与平面ADE所成角的正弦值.

条件①：ED=EA；

条件②：AE=5.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分

【答案】(1)证明见解析

⑵^2-

14

【解析】

【分析】(1)先证明A3〃平面跳C£>,再利用线面平行的性质证明A5〃石尸;

（2）选①②：证明石版，平面ABCD,建立以M为原点的空间坐标系，求出平面ADE的法向量，利

用线面角公式求解

【小问1详解】

证明：底面ABCD为正方形，则AB//CD,又AB<z平面所CD,CDu平面EFCD,

则AB//平面跳C£）,又平面EFCD）平面=ABu平面EF£4,故AB〃£F.

【小问2详解】

选①，取A。中点G,连接EG,MG,因为石D=E4,所以EGLAD,

易知GW为梯形的中位线，则MGLAO,

又MGcEG=G,MG,EGu平面EGW,故平面EGM,EMu平面EGM,

则AD±EM,EM±BH,AD,BHu平面ABCD,且AD,由/必相交，故EM，平面ABCD,

延长GM交8c于P,则尸为中点，易得EF//MP,EF=MP,故£7艺欣为矩形.

以"为原点，所在直线为z轴，MG所在直线为x轴，过M作CB平行线为y轴，建立空间直角坐标

系如图：

则4（3,2,0）,。（3,—2,0）,。（—1,—2,0）,石（0,0,2如），F（-l,0,2^）,

则4)=(0,-4,0),AE=(-3,-2,2A/3),CF=(0,2,273),

设平面ADE的法向量为加=（苍y,z）,

m•AD=0-4y=0ir~\

则,即《厂,令尤=26，则刈=(2。3,0,3),

m•AE=0—3x—2y+2,3z—0

6n3s_3币

设直线与平面ADE所成角为仇sin。=cos/m,CF\「

、/V21-V16

选②：取AO中点G连接GM,易知GM为梯形ABHD的中位线，GM=3,

则4〃=抽，由题AE=5,EM=26，则AE?=EM2+AM2，故EM_LAM,

又£^，5瓦4^^^笈=跖川%3笈＜=平面ABC。，故EM,平面ABC。，

延长GM交8c于P,则P为中点，易得EF//MP,EF=MP,故瓦加0为矩形.

以"为原点，所在直线为z轴，MG所在直线为x轴，过M作C8平行线为y轴，建立空间直角坐标

系如图：

则A（3,2,0）,0（3,—2,0）,C（—1,-2,0）,石（0,0,2班），尸卜1,0,2班），

则而=（0,-4,0）,AE=（-3,-2,273）,CF=（0,2,2^）,

设平面ADE的法向量为加=（x,y,z）,

m•AD=0~4y=0/i—\

则,即《'r,令x=26，则7九=（2。3,0,3）,

m-AE=0-3x-2y+2,3z=0''

设直线CF与平面ADE所成角为0,sin0=cos（机Cb）60_3币—3s

-211J167x214

18.近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了AB两个健身中心，要

求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼.

（1）该校学生甲、乙、丙三人某周均从A3两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲、乙、丙该周选择

A健身中心健身的概率分别为求这三人中这一周恰好有一人选择A健身中心健身的概率；

233

（2）该校学生丁每周六、日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心其中一

个，其中周六选择A健身中心的概率为，若丁周六选择A健身中心，则周日仍选择A健身中心的概率为

12

若周六选择B健身中心，则周日选择A健身中心的概率为彳.求丁周日选择8健身中心健身的概率；

43

（3）现用健身指数左（左e[0,10]）来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定上值低于1分

的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其左值低于1分的概率为0.02.现

从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一