2024年中考数学总复习真题分类汇编：圆的基本概念与性质

6.1圆的基本概念与性质

一、垂径定理及其推论

1.（2022安徽中考第7题）己知。。的半径为7,48是。。的弦，点尸在弦AB上.若以=4,PB=6,则

OP=（）

A.714B.4C.V23D.5

2.（2023安徽中考第20题）已知四边形ABCD内接于（对角线是「。的直径.

（1）如图1,连接。AC4,若。求证；C4平分/BCD；

（2汝口图2,E为；。内一点，满足AE，BC,CE，A3,若BD=3布,AE=3,求弦8C的长.

3.（2021安徽中考第20题）如图，圆。中两条互相垂直的弦AB,CD交于点、E.

（l）M是C。的中点，0M=3,CD=12,求圆。的半径长；

（2）点尸在CD上，且CE=ER求证：AF±BD.

4.（2018安徽中考第2。题）如图，。。为锐角AABC的外接圆，半径为5.

（1）用尺规作图作出N3AC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E（保留作图痕迹，不写作法）;

（2）若（1）中的点E到弦8C的距离为3,求弦CE的长.

5.（2014安徽中考第19题）如图，在。。中，半径OC与弦AB垂直，垂足为区以OC为直径的圆与弦

A8的一个交点为凡。是CF延长线与。。的交点.若。E=4,OF=6,求。。的半径和CD的长.

6.（2019安徽中考第19题）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1,明朝科学家徐光启在《农政

全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2,筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心。为圆心的圆.已知圆心在

水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，ZOAB=41.3°,若点C为运行轨道的最高点（C,O的连线

垂直于AB）,求点C到弦AB所在直线的距离.（参考数据：sin41.3°~0.66,cos41.3°=0.75,tan41.3°~0.88）

图1

二、圆周角定理及其推论

7.（2021安徽中考第13题）如图，圆。的半径为1,ABC内接于圆。.若NA=60。，4=75。，则48=

O.

BC

8.（2014安徽中考第19题）如图，在。。中，半径OC与弦A8垂直，垂足为E,以OC为直径的圆与弦

AB的一个交点为F。是CF延长线与。。的交点.若OE=4,OF=6,求。。的半径和CD的长.

三、与圆的基本性质相关的最值问题

9.（2016安徽中考第10题）如图，RtAABC+，ABLBC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点,

且满足则线段CP长的最小值为（）

「8后D*

I.--------

13

10.（2015安徽中考第20题）在。O中，直径AB=6,BC是弦，ZABC=30°,点P在BC上，点Q在。O

上，MOP±PQ.

（1）如图1,当PQ〃AB时，求PQ的长度；

（2）如图2,当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值.

参考答案与解析

一、垂径定理及其推论

1.(2022安徽中考第7题)已知。。的半径为7,A8是。。的弦，点尸在弦AB上.若以=4,PB=6,则

OP=()

A.714B.4C..x/23D.5

【答案】D

【详解】解：连接。4过点。作0c148于点C,如图所示，

'：PA=4,PB=6,

：.AB=PA+PB=4+6=10,

'.AC=BC=-AB-5,

2

：.PC^AC-PA=5-4=1,

在RSTIOC中，OC=VCM2一心=夜2-52=2伤,

在RtAPOC中，OP=70c2+PC2=J（2佝之+p=5,

故选：D

2.（2023安徽中考第20题）已知四边形ABCD内接于（。，对角线8。是。的直径.

图I图2

（1）如图1,连接。4,C4,若OAJLBD,求证；C4平分NBCD；

（2）如图2,E为。内一点，满足若50=36，AE=3,求弦BC的长.

【答案】（1）见解析⑵BC=3V2

【详解】（1）••,对角线BD是。。的直径，041BD

：.AB=AD,

C./.BCA=/.DCA,

平分/BCD.

（2）：对角线BD是。。的直径，

：.Z.BAD=乙BCD=90°,

：.DC1BC,DALAB

\"AE1BC,CE1AB,

：.DC||AE,DA||CE,

...四边形力ECD平行四边形，

：.DC=4E=3,

又,：BD=3A/3,

：.BC=J（3⑹2-32=372.

3.（2021安徽中考第20题）如图，圆O中两条互相垂直的弦AB,C。交于点E.

（1）M是CZ）的中点，0M=3,8=12,求圆。的半径长；

（2）点尸在CQ上，且CE=EF,求证：AF±BD.

【答案】（1）3V5；（2）见解析.

【详解】（1）解：连接OC,

是C。的中点，与圆。直径共线

：.0M1CD,OM平分CD,

•••乙OMC=90°.

vCD=12,.-.MC=6.

在Rt△OMC中，

OC=JM(72+0M2=,62+32=3V5

...圆0的半径为

(2)证明：连接AC,延长AB交于G.

•••CE=EF,AE1FC,.--AF=AC.

又•：CE=EF,.-.zl=Z2.

•••—阮，，Z2=乙DZ1=乙D

在Rt△中

乙0+=90°

..・+匕8=90°

••・乙AGB=90°

・•・AF1BD

4.（2018安徽中考第20题）如图，。。为锐角△ABC的外接圆，半径为5.

（1）用尺规作图作出NBAC的平分线，并标出它与劣弧的交点E（保留作图痕迹，不写作法）;

（2）若（1）中的点E到弦8C的距离为3,求弦CE的长.

B

【答案】（1）画图见解析；（2）CE=V30

【详解】解：（1）如图所示，射线AE就是所求作的角平分线;

（2）连接0E交于点R连接。C、CE,

平分/BAC,

:.腔=CE,

：.OELBC,EF=3,：.OF=5-3=2,

在R30FC中，由勾股定理可得FC=y/OC2-0F2=42i,

在RtAEFC中，由勾股定理可得CE=7EF2+FC2=回.

5.（2014安徽中考第19题）如图，在。。中，半径OC与弦垂直，垂足为E,以OC为直径的圆与弦

的一个交点为E。是CF延长线与。。的交点.若OE=4,OF=6,求。。的半径和CO的长.

【答案】9,6V5

【详解】解：'：OE±AB,

：.ZOEF=9Q°,

:oc为小圆的直径，

AZOFC=90°,

1^ZEOF=ZFOC,

：.RtAOEF^RtAOFC,

：.OE：OF=OF-.OC,即4：6=6：OC,

二。。的半径0C=9；

在Rt/XOCF中，0F=6,OC=9,

：.CF^yJOC2-0F2=3V5,

；OF工CD,

：.CF=DF,

:.CD=2CF=6瓜

6.（2019安徽中考第19题）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1,明朝科学家徐光启在《农政

全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2,筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在

水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，ZOAB=41.3°,若点C为运行轨道的最高点（C,O的连线

垂直于AB）,求点C到弦AB所在直线的距离.（参考数据：sin41.3°«0.66,cos41.3°«0.75,tan41.3°«0.88）

图1

【答案】6.64米

【详解】解：如图：连接CO并延长，交A3于点£>,

"JODLAB,AB=6,

：.AD=-AB=3,

2

在RrAOAD中,/OAB=41.3。，cosZOAD=^,

・“八AD.

..AO=---------=4,

coszOAD

sinNOAD=—,

AO

：.OD=AOsinZOAD=2.64,

CD=OC+OD=AO+OD=4+2.64=6.64米，

答：点C到弦AB所在直线的距离是6.64米.

c

二、圆周角定理及其推论

7.（2021安徽中考第13题）如图，圆。的半径为1,内接于圆。.若NA=60。，4=75。，则AB=

【答案】V2

【详解】解：连接。2、OC、作。

VZ4=60°

ZBOC=2ZA=120°

'：OB=OC

.•.NOBC=30°又NB=75°

ZABO=45°

在RtAOBO中，OB=1

；.B£)==立

2

ODLAB

：.BD=AD=^

2

：.AB=^2

故答案为：V2

8.（2014安徽中考第19题）如图，在。。中，半径OC与弦垂直，垂足为E,以OC为直径的圆与弦

AB的一个交点为F。是CF延长线与。。的交点.若OE=4,OF=6,求。。的半径和的长.

【详解】M：-：OE±AB,

：.ZOEF=9Q°,

：oc为小圆的直径，

：.NOFC=90°,

而/EOF=ZFOC,

：.RtAOEF^RtAOFC,

：.OE：OF=OF：OC,即4：6=6：OC,

二。。的半径OC=9；

在RtZ^OCB中，。尸=6,0c=9,

CF=70C2—0F2=3A/5,

'：OF±CD,

：.CF=DF,

:.CD=2CF=6瓜

三、与圆的基本性质相关的最值问题

9.（2016安徽中考第10题）如图，RtAABC+，ABLBC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点,

且满足乙R48=NPBC,则线段CP长的最小值为（

8A

rV-•--------D"

13

【答案】B

【详解】解：VZABC=90°,

ZABP+ZPBC=90°,

*：APAB=APBC,

：