2024年中考数学二轮题型突破规律探索（复习讲义）

题型二规律探索(复习讲义)

【考点总结I典例分析】

要点归纳

探索实数中的规律

关于数式规律性问题的一般解题思路：

(1)先对给出的特殊数式进行观察、比较；

(2)根据观察猜想、归纳出一般规律；

(3)用得到的规律去解决其他问题。

对数式进行观察的角度及方法：

(1)横向观察：看等号左右两边什么不变，什么在变，以及变化的数字或式子间的关系；

(2)纵向观察：将连续的几个式子上下对齐，观察上下对应位置的式子什么不变，什么在变，

以及变化的数字或式子间的关系。

给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一

具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性

的结论。这类问题成为探索规律性问题。主要采用归纳法解决。

1.数字猜想型:数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先

猜想，然后通过适当的计算回答问题。

2.数式规律型:数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，

以列代数式即函数关系式为主要内容.

3.图形规律型:多形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和

区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合.

4.数形结合猜想型:数形结合猜想型问题首先要观察冬形，从中发现冬形的变化方式，再将

冬形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出

图形的变化规律，进而解决相关问题.

G典例解析

1.根据图中数字的规律，若第九个图中的4=143,则0的值为（）

【答案】B

【分析】

分别分析n的规律、p的规律、q的规律，再找n、p、q之间的联系即可.

【详解】

解：根据图中数据可知：

n=1,2,3,4,

p=l2,22,32,42,……

^^22-1,32-1,42-1,52-1,....

则p-n2,q=（〃+1）?-1,

:第〃个图中的（7=143,

“=（"+1）2—1=143,

解得：〃=n或八=—13（不符合题意，舍去）

P-"2=121,

故选：B.

【点睛】

本题主要考查数字之间规律问题，将题中数据分组讨论是解决本题的关键.

2.（2023・山东烟台・统考中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为

1个单位长度，以点P为位似中心作正方形尸444,正方形P&AA，…，按此规律作下去,

所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形尸444的顶点坐标分别为

p（-3,0）,A（-2,1）,4（—1,0）,A（—2,-1）,则顶点Aoo的坐标为（）

A.（31.34）B.（31,-34）C.（32,35）D,（32,0）

【答案】A

【分析】根据图象可得移动3次完成一个循环，从而可得出点坐标的规律A“_2（"-3,〃）.

【详解】解：：4（一2，1）,4（-1,2）,4（0,3）,A。。，*L,

•"A"-2（"-3,〃），

V100=3x34-2,贝i]w=34,

,•Aoo（3L34）,

故选：A.

【点睛】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律.

3.将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27,则

位于第32行第13列的数是（）

1719

751521-

91113123-

31292725|-

33----------

A.2025B.2023C.2021D.2019

【答案】B

【分析】

根据数字的变化关系发现规律第n行，第n列的数据为：2n(n-l)+l,即可得第32行，第

32列的数据为：2X32X(32-1)+1=1985,再依次加2,到第32行，第13列的数据，即可.

【详解】

解:观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-l)+l,

.,.第32行,第32列的数据为：2X322(32-1)+1=1985,

根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2,

...第32行，第13列的数据为：1985+2X(32-13)=2023,

故选：B.

【点睛】

本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决

问题.

4.将字母“C”，"H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的

个数是()

H

HI]—

IIc

H—C—HH-C—I

IIH

HH

①②③

A.9B.10C.11D.12

【答案】B

【分析】列举每个图形中H的个数，找到规律即可得出答案.

【详解】解：第1个图中H的个数为4,

第2个图中H的个数为4+2,

第3个图中H的个数为4+2X2,

第4个图中H的个数为4+2X3=10,故选：B.

【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H的个数，找到规律：每

个图形比上一个图形多2个H是解题的关键.

5.如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑

色棋子的个数为()

【分析】观察各图可知，后一个图案比前一个图案多2(n+3)枚棋子，然后写成第n个图

案的通式，再取n=10进行计算即可求解.

【解析】根据图形，第1个图案有12枚棋子,

第2个图案有22枚棋子,

第3个图案有34枚棋子,

第n个图案有2(1+2+…+n+2)+2(n-1)='+711+4枚棋子,

故第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为102+7X10+4=100+70+4=174(枚).

故选：C.

,1,1,1,1

6.已知为为实数，规定运算：4=1--，。3=1-------，。4=1-------，%=1------，

axa2a3

1I

册=l------按上述方法计算：当％=3时，的值等于()

an-l

2112

A.--B.-C.一—D.-

3323

【答案】D

【分析】

21

当〃i=3时，计算出4=§,%=—］，%=3,……，会发现呈周期性出现，即可得到出021的

值.

【详解】

21

解：当。1=3时，计算出生=耳,〃3=-万,。4=3,...,

会发现是以：3,-,--,循环出现的规律，

32

2021=3x673+2,

.__2

..g021="2=§，

故选：D.

【点睛】

本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找

到相应的规律，利用其规律来解答.

7.（2023・四川遂宁•统考中考真题）烷煌是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生

活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护.通常用碳原子的个数命名为甲

烷、乙烷、丙烷......癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、

十二烷……）等，甲烷的化学式为C»4,乙烷的化学式为C2〃6,丙烷的化学式为C34……，

其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为.

【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解.

【详解】解：甲烷的化学式为C4,

乙烷的化学式为GH6，

丙烷的化学式为C34……，

碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个,

十二烷的化学式为G2%6,

故答案为：CnH16.

【点睛】本题考查了规律题，找到规律是解题的关键.

亚-1

6.人们把2这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0618法就应用了

V5-1,V5+1„1,1

黄金分割数.设2,2,贝U"=1,记।l+a1+b,

S+s+

2—1+/i+步，...，—1+3°1+〃°.则H+邑++%=

【答案】10

【分析】

先根据42=1求出S”+----（〃为正整数）的值，从而可得51,邑,，510的值,

1+a1+b

再求和即可得.

【详解】

解：-ab=l,

1a"

\+an+l+bnl+a'l+an(l+bn)（“为正整数），

1an

=-----1---------,

1+a"an+（ab）n

1an

=-----1-----，

1+a"a+1

=1,

Sj=$2==S'JQ=1,

则S1+S2+.+S]o=lO,

故答案为：10.

【点睛】

本题考查了二次根式的运算、分式的运算，正确发现一般规律是解题关键.

9.观察下列等式：x=Jl+4+-4=-=l+-^-；

1VI22221x2

_111_7_11

%2=V1+F+F=6=1+M

1+《+二普=1+，

3242123x4

根据以上规律，计算再+须+%3+一+%2020-2021=

1

【答案】-

2016

【分析】

根据题意，找到第n个等式的左边为J1+4+1

等式右边为1与EJ的和;

）

Vn5+12'

1-2021,然后把g化为1-1

利用这个结论得到原式=1-+1-+1—+-+1

26122020x202122

二化为！—1二一，再进行分数的加减运算即可.

化为

6232015x201620152016

【详解】

11

解：由题意可知，1H—7H----------，1+，工2020=1+

\]("+])2n（n+l）2020x2021

玉+九2+九3++尤2020—2021

J-11

-2021

26122020x2021

1111一1

=2020+1-一+一—+…+------------2021

22320152016

1

=2020+1--------2021

2016

1

2016

1

故答案为:

2016

【点睛】

本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行

简便运算.

10.观察以下等式:

第1个等式：（2xl+l『=（2x2+l）2—（2x2）2,

第2个等式：（2X2+1）2=（3X4+1）2-（3X4）2,

第3个等式：（2X3+1）2=（4X6+1）2-（4X6）\

第4个等式：（2x4+iy=（5x8+l）2-（5x8「……

按照以上规律.解决下列问题：（1）写出第5个等式：；

（2）写出你猜想的第。个等式（用含"的式子表示），并证明.

【答案】（1）（2X5+1）2=（6x10+1）2-（6x10）2

（2）（2n+l）2=［（n+1）-2n+1］2-［（n+1）-2n］2,证明见解析

【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；

（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第0个等式为

（2〃+1）2=［（^+1）.2w+1］2-［（«+1）-2zi］2,利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变

形即可证明.

⑴解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：

（2x5+l）2=（6X10+1）2-（6X10）2,故答案为：（2x5+l）2=（6xl0+l）2-（6xl0）2；

（2）解：第n个等式为（2«+1）2=［（n+l）-2«+l］2-［（n+l）-，

证明如下：等式左边：（2〃+1）2=4/+4〃+1,

等式右边：［（«+1）-2«+1］2-［（»+1）-2«］2

=［（n+l）-2n+l+（H+l）-2n］-［（w+l）-2n+l-（H+l）-2n］

=［（«+1）-4/1+l］xl=4；i2+4«+1,

故等式（2n+1）2=［（；2+l）-2n+1］2-［（n+1）-2nf成立.

【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公

式是解题的关键.

11.正偶数2,4,6,8,10,......,按如下规律排列，

2

46

81012

14161820

则第27行的第21个数是.

【答案】744

【分析】由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2

个数，第三行有3个数.......第0行有n个数，则前"行共有吗1个数，再根据偶数

的特征确定第几行第几个数是几.

【详解】解：由图可知，

第一行有1个数，

第二行有2个数，

第三行有3个数，

第n行有n个数.

前n行共有1+2+3+…+n=/3个数.

，前26行共有351个数,

.•.第27行第21个数是所有数中的第372个数.

•••这些数都是正偶数，

.,.第372个数为372x2=744.故答案为:744.

【点睛】本题考查了数字类的规律问题，解决这类问题的关键是先根据题目的已知条件找出

其中的规律，再结合其他已知条件求解.

12.（2023•四川广安•统考中考真题）在平面直角坐标系中，点片、&、A3、A4在x轴的正

半轴上，点4、与、B3在直线y=上，若点A的坐标为（2,0）,且

△A片4、当A、鸟均为等边三角形.则点当期的纵坐标为.

【答案】22022V3

【分析】过点A作AM，x轴，交直线y=1x(x20)于点M,过点用作B.C1无轴于点c,

先求出NAOM=30。，再根据等边三角形的性质、等腰三角形的判定可得44=。4=2,然

后解直角三角形可得用C的长，即可得点用的纵坐标，同样的方法分别求出点与，居,心的纵

坐标，最后归纳类推出一般规律，由此即可得.

【详解】解：如图，过点4作轴，交直线y=［尤(xNO)于点过点耳作用C，x

轴于点C,

当x=2时，y=当,即与，4眼=手，

.•,幺加记邛,

ZA.OM=30°,

A44是等边三角形,

,44=60°,A4=A4,

ZOB^=30°=Z^OM,

AiBl=O\-2,

.­.BQ=4旦•sin60。=2x¥,即点片的纵坐标为2义号,

同理可得：点层的纵坐标为22、立，

2

点四的纵坐标为23、立，

2

点鸟的纵坐标为2’X1，

2

归纳类推得：点纥的纵坐标为2"x且=2"T道（〃为正整数），

2

则点B2023的纵坐标为22023T6=22022^,

故答案为：2?。22VL

【点睛】本题考查了点坐标的规律探索、等边三角形的性质、正比例函数的应用、解直角三

角形等知识点，正确归纳类推出一般规律是解题关键.

13.（2023•黑龙江・统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点A在直线

/1:y=^-x±.,顶点3在x轴上，AB垂直了轴，且08=2后，顶点C在直线4：y上，

BC"；过点A作直线的垂线，垂足为G，交x轴于耳，过点与作A用垂直x轴，交《于

点4,连接AG，得到第一个由G；过点A作直线4的垂线，垂足为C?,交x轴于生，

过点层作4与垂直x轴，交4于点4,连接须入得到第二个如此下去，……，

则:4023B2023C2023的面积是-

【答案】24046V3

【分析】解直角三角形得出ZAOB=30。，ZBOC=60°,求出5ABe=6，证明

222

△ABCsWC,ABCs422c2，得出S人的=4sABC,S=4-SABC=（2）.SASC

总结得出Sw=6*ABC=22"S“BC，从而得出SMWC*=2"EX#=24.技

【详解】解：=OB=2近,

B(2A/2,0),

AB/x轴,

点A的横坐标为2后,

%:y力x,

13

点A的纵坐标为也x2应=2收

33

2娓

MAOB啮=靠=*

ZAOB=30",

设C(%,%),则%二百七,

tanN30C=&=6,

%

ZBOC=60°,

OC=OBxcos60°=242x—=A/2,

2

BC=OBxsin60°=2V2x-^=V6,

2

,.・NAOG=ZBOC-ZAOB=30°,

.・・ZAOB=ZAOC,,

・・・Q4平分ZBOC,

ACj1Z2,ABA.OB,

VAB=AClfOA=OAf

：.RtOAB^RtOXCx,

・・・OC\=OB=2枝,

：.CC、=OC「OC=2应-血=血,

・q_7Q_Q-Q

•・0ABC~乙。OAB°ACCj°BOC

=2x^2必友，拒x9二x后义痣

23232

=\/3，

・.・BC1/2,

9

..ZBCO=90°f

：.ZCBO=90°-60°=30°,

・.,BG1Z2,BC1Z2,B2c21Z2,

BC//gG〃B2c2,

.・.NC]BQ=ZC2B2O=ZCBO=30°,

.・・NGBQ=ZC2B2O=ZCBO=ZAOB,

/.AO=ABl,A。=4坊,

轴，轴，

21।2~

轴，A[5]_Lx轴，A/2，无轴，

AB//AJBJ//4打,

.AB_OB_1AB_OB_1

・.・BC//BC//B2c2,

.BCOBBC_OB_1

B2c2一西一"

.AB_BC

・・•丽二而‘

・.・ZABC=NA4C[=90°-30°=60°,

/.Z\ABC,

同理，ABCs&a^Cz，

・q—4c

••0AB1a_2,ABC，

S.A262c2=4之，SAB。=(2?)，S做，

S.A,,B„C„=(2")S诋2

?"\ABC

2x20234046

：.S.Bc=2x73=2^.

•/1202302023'-2023

故答案为：24046g.

【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，解直角三角形，三角形面积的计算，平

行线的判定和性质，一次函数规律探究，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，解题

2H

的关键是得出一般规律s4",,=（2"『sABC=2SMC.

14.观察下列图形规律，当图形中的"。"的个数和个数差为2022时，"的值为.

【答案】不存在

【分析】首先根据"=1、2、3、4时，"•"的个数分别是3、6、9、12,判断出第"个图形中

"」的个数是3"；然后根据"=1、2、3、4,"。”的个数分别是1、3、6、10,判断出第。个"。"

的个数是皿土D；最后根据图形中的“。"的个数和个数差为2022,列出方程，解方程

2

即可求出n的值是多少即可.

【详解】解：时，"•"的个数是3=3x1；

"=2时，"•"的个数是6=3x2；

"=3时，"•"的个数是9=3x3；

n=4时，"•"的个数是12=3x4；

第n个图形中"•"的个数是3n；

又。=1时，"。”的个数是1=1义¥）；

2

n=2时，"。〃的个数是3=2X（^+1）,

n=3时,"。”的个数是6=3"（”,

n=4时，"。”的个数是10=4x?+D,

.•.第n个"。"的个数是"0,

2

由图形中的〃。〃的个数和〃.〃个数差为2022

V7

3n--5L__^=2O220,-3n=20220

解①得：无解

解②得：―+可而-5一产

故答案为：不存在

【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键.

15.(2023•山东东营・统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，直线/：y=JL-石与

X轴交于点A,以。4为边作正方形A4G。点G在y轴上，延长C4交直线/于点4,以G4

为边作正方形482c点C?在＞轴上，以同样的方式依次作正方形3c36，…，正方

【分析】分别求出点点用的横坐标是1,点层的横坐标是1+",点鸟的横坐标是

3

¥+g=[l+g]，找到规律，得到答案见即可.

【详解】解：当尸0,0=瓜-拒,解得x=l,

...点A(1,0),

••・4与G。是正方形,

o\=4与=oc1=i,

•••点片(u),

•••点四的横坐标是1,

当y=l时，1=后-6，解得x=l+理，

3

(V3)

点41+~r~/，

452c2cl是正方形，

**•A^B2=GG=4G=i+-~，

.•.点与］1+(，2+¥、，

IJJ)

即点B2的横坐标是1+3，

3

当y=2+^^时，2+^^~=6x—出,解得x=］(V^+2),

•••点4辟+*2+斗

A3B3GG是正方形，

2、64

AB3=C2C3=4C2=^-+--

•••点名的横坐标是F+g=ji+g］，

以此类推，则点不期的横坐标是

故答案为:

【点睛】此题是点的坐标规律题，考查了二次函数的图象和性质、正方形的性质等知识，数

形结合是是解题的关键.

16."勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向

外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名.假

设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，

则第六代勾股树中正方形的个数为.

第一代勾股树第三代勾股树

【答案】127

【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数.

【详解】解：•••第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），

第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），

第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），

，第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），

故答案为：127.

【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律.

17.人们把避二1处0,618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的"0.618法”就应用

2

了黄金比.设0=叵1V5+11122

,记------+--------------7

1+a1+b1+Q1+b

100100

则豆+邑+・+5100=

【答案】5050

【分析】利用分式的加减法则分别可求52=2,5/00=100,利用规律求解即可.

【详解】解："叵土）=在±1,

2222

112+a+Z?2+Q+Z?1

S.=------+------=------------------=------------=I,

l+al+bl+a+b+ab2+a+b

。222+a2+b2.2+cr+b2.

S=——+——-=2x——-_-_—=2x-------------=2

2一l+a-?\+b-1+/+6~+矿6~2+a~+b-

_100100_1+/°+1+附＞_inn

cl+―i1n0n0\+陵+即+储。沙。-100

S；+52+.+S]OO=1+2+......+100=5050故答案为：5050

【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得向=1,找出的规律是本题

的关键.

18.(2023•湖南张家界•统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方

形，点A的坐标为(U),叫是以点B为圆心，54为半径的圆弧；44是以点。为圆心，。4

为半径的圆弧，4A是以点c为圆心，C4为半径的圆弧，44是以点A为圆心，A&为

半径的圆弧，继续以点B,o,c,A为圆心按上述作法得到的曲线AAAA4A称为正

方形的“渐开线”，则点&。23的坐标是.

【分析】将四分之一圆弧对应的A点坐标看作顺时针旋转90。，再根据A、4、4、4、4

的坐标找到规律即可.

【详解】点坐标为(1,1),且4为A点绕2点顺时针旋转90。所得，

••・A点坐标为(2,0),

又：4为A点绕o点顺时针旋转90。所得，

•••4点坐标为(0.-2),

又A3为4点绕C点顺时针旋转90。所得，

.••4点坐标为(一3,1),

又•••4为4点绕A点顺时针旋转90°所得，

点坐标为(1,5),

由此可得出规律：4为绕2、。、C、A四点作为圆心依次循环顺时针旋转90。，且半径为1、

2、3、一、”，每次增加1.

V2023-5=505-3,

故&)23为以点c为圆心，半径为2022的4022顺时针旋转90°所得

故&)23点坐标为(-2023,1).

故答案为：(-2023,1).

【点睛】本题考查了点坐标规律探索，通过点的变化探索出坐标变化的规律是解题的关键.

19.(2023・湖南怀化•统考中考真题)在平面直角坐标系中，AO3为等边三角形，点A的

坐标为(1,0).把A08按如图所示的方式放置，并将.AOB进行变换：第一次变换将AOB

绕着原点。顺时针旋转60。，同时边长扩大为工4。5边长的2倍，得到；第二次旋转

将旦绕着原点。顺时针旋转60。，同时边长扩大为"。耳，边长的2倍，得到

AA,OB2,....依次类推，得到^2033^^2033>则△4023。82033的边长为，点4(123的

坐标为.

【分析】根据旋转角度为60。，可知每旋转6次后点A又回到x轴的正半轴上，故点4叱在

第四象限，且。4侬=22侬，即可求解.

【详解】解：：493为等边三角形，点A的坐标为(1,0),

OA=1,

:每次旋转角度为60。，

,6次旋转360。，

第一次旋转后，4在第四象限，。4=2,

第二次旋转后，4在第三象限，04=22,