2024届浙江省丽水市中考数学最后一模试卷含解析

2024学年浙江省丽水市达标名校中考数学最后一模试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E,D两点，EC=4,△ABC的周长为23,则△ABD的

周长为（）

A.13B.15C.17D.19

2.若一元二次方程x2-2kx+k2=0的一根为x=-1,则k的值为（）

A.-1B.0C.1或-1D.2或0

3.下列运算正确的是（）

A.7?=2B.473-727=1C.屈；也=9D.6义^=2

4.2019年4月份，某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31,35,31,34,30,32,31,这组数据

的中位数、众数分别是（）

A.32,31B.31,32C.31,31D.32,35

5.如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为0的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了（）

A.300sinc米B.300cos（z米C.300tana米D.米

tan。

6.下列计算中，正确的是（）

32523

A.3）3=2/B.a+a=aC.八/=/D.（fl）

7.“可燃冰”的开发成功，拉开了我国开发新能源的大门，目前发现我国南海“可燃冰”储存量达到800亿吨，将800

亿用科学记数法可表示为（）

A.0.8xl0nB.8xl0i°C.80xl09D.800xl08

8.中华人民共和国国家统计局网站公布，2016年国内生产总值约为74300亿元，将74300亿用科学计数法可以表示

为（）

A.743xlO10B.74.3xlO11C.7.43xlO10D.7.43xlO12

9.把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为acm宽为bcm）的盒

子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示.则图②中两块阴影部分周长和是（）

A.4ac7nB.4（a-b）cmC.2（a+b）cmD.4bcm

10.如图的几何体是由五个小正方体组合而成的，则这个几何体的左视图是（）

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.如图，某校根据学生上学方式的一次抽样调查结果，绘制出一个未完成的扇形统计图，若该校共有学生1500人,

13.如图,在△ABC中,ZC=40°,CA=CB,则△ABC的外角NABD=_。.

DBC

14.若关于x的二次函数y=ax2+a2的最小值为4,则a的值为.

15.分解因式9a—/=,2/—12尤+18=.

16.安全问题大于天，为加大宣传力度，提高学生的安全意识，乐陵某学校在进行防溺水安全教育活动中，将以下几

种在游泳时的注意事项写在纸条上并折好，内容分别是：①互相关心；②互相提醒；③不要相互嬉水；④相互比潜水

深度；⑤选择水流湍急的水域；⑥选择有人看护的游泳池.小颖从这6张纸条中随机抽出一张，抽到内容描述正确的

纸条的概率是.

三、解答题(共8题，共72分)

17.(8分)如图，抛物线y=一7+陵+。与x轴交于A、B两点,且5点的坐标为(3,0),经过A点的直线交抛物线

于点0(2,3).求抛物线的解析式和直线的解析式；过x轴上的点E(a,0)作直线交抛物线于点尸，

是否存在实数”，使得以4、E、尸为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出满足条件的田如果不存在，

请说明理由.

18.(8分)已知抛物线y=x?+bx+c经过点A(0,6),点B(1,3),直线h：y=kx(k#)),直线b：y=-x-2,直线h经过抛物

线y=x2+bx+c的顶点P,且h与12相交于点C直线12与x轴、y轴分别交于点D、E.若把抛物线上下平移，使抛物线

的顶点在直线b上(此时抛物线的顶点记为M),再把抛物线左右平移，使抛物线的顶点在直线h上(此时抛物线的

顶点记为N).

(1)求抛物y=x?+bx+c线的解析式.

(2)判断以点N为圆心，半径长为4的圆与直线L的位置关系，并说明理由.

(3)设点F、H在直线h上(点H在点F的下方)，当AMHF与AOAB相似时，求点F、H的坐标(直接写出结果).

19.(8分)甲、乙两人分别站在相距6米的A、B两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲

在离地面1米的C处发出一球，乙在离地面1.5米的D处成功击球，球飞行过程中的最高点H与甲的水平距离AE为

4米，现以A为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系(如图所示).求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达

式及飞行的最高高度.

H

D

-1------>-x

(0)B

20.(8分)如图1,已知直线1：y=-x+2与y轴交于点A,抛物线y=(x-1)2+m也经过点A,其顶点为B,将该抛

物线沿直线1平移使顶点B落在直线I的点D处，点D的横坐标n(n>l).

(2)平移后的抛物线可以表示为—(用含n的式子表示);

(3)若平移后的抛物线与原抛物线相交于点C,且点C的横坐标为a.

①请写出a与n的函数关系式.

②如图2,连接AC,CD,若NACD=90。，求a的值.

21.(8分)在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+ax+2a+l的图象经过点M(2,-3)。

(1)求二次函数的表达式；

(2)若一次函数y=kx+b(片0)的图象与二次函数y=x?+ax+2a+l的图象经过x轴上同一点，探究实数k,b满足的

关系式；

(3)将二次函数y=x?+ax+2a+l的图象向右平移2个单位，若点P(xO,m)和Q(2,n)在平移后的图象上，且m

>n,结合图象求xO的取值范围.

22.(10分)如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=；(x>0)的图象交于点P(n,2),与x轴交于点A(—4,

0)，与y轴交于点C,PB_Lx轴于点B,点A与点B关于y轴对称.

(1)求一次函数，反比例函数的表达式；

(2)求证：点C为线段AP的中点；

(3)反比例函数图象上是否存在点D,使四边形BCPD为菱形？如果存在，说明理由并求出点D的坐标；如果不存

23.(12分)如图，平面直角坐标系中，直线y=2x+2与x轴，y轴分别交于A,B两点，与反比例函数y=\x>0)

X

的图象交于点M(a,4).

(1)求反比例函数y=|(x>0)的表达式；

(2)若点C在反比例函数y=；(x>0)的图象上，点D在x轴上，当四边形ABCD是平行四边形时，求点D的坐标.

24.如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为64。，吊臂底部A

距地面l.5m,(计算结果精确到0.lm,参考数据§比64。=0.90,cos64°~0.44,tan640-2.05)

(1)当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5m时，吊臂AB的长为m.

(2)如果该吊车吊臂的最大长度AD为20m,那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？(吊钩的长度与货物的高度

忽略不计)

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、B

【解题分析】

VDE垂直平分AC,

/.AD=CD,AC=2EC=8,

CAABC=AC+BC+AB=23,

；.AB+BC=23-8=15,

CAABD=AB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC=15.

故选B.

2、A

【解题分析】

把x=-1代入方程计算即可求出k的值.

【题目详解】

解：把x=-1代入方程得：l+2k+k2=0,

解得：k=-1,

故选：A.

【题目点拨】

此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.

3、A

【解题分析】

根据二次根式的性质对A进行判断；根据二次根式的加减法对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断;

根据二次根式的乘法法则对D进行判断.

【题目详解】

A、原式=2,所以A选项正确；

B、原式=4百-36=6，所以B选项错误；

C、原式=J18+2=3,所以C选项错误；

D、原式所以D选项错误.

故选A.

【题目点拨】

本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可.在

二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.

4、C

【解题分析】

分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组

数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个.

解答：解：从小到大排列此数据为：30、1、1、1、32、34、35,数据1出现了三次最多为众数，1处在第4位为中位

数.所以本题这组数据的中位数是1,众数是L

故选C.

5、A

【解题分析】

利用锐角三角函数关系即可求出小刚上升了的高度.

【题目详解】

在RtAAOB中,ZAOB=90°,AB=300米，

BO=AB«sina=300sina米.

故选A.

【题目点拨】

此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意构造直角三角形，正确选择锐角三角函数得出AB,BO的关系是解题

关键.

6,D

【解题分析】

根据积的乘方、合并同类项、同底数塞的除法以及募的乘方进行计算即可.

【题目详解】

A、(2a)3=8a3,故本选项错误；

B、a3+a2不能合并，故本选项错误；

C、a8+a4=a、故本选项错误；

D、(a2)3=a6,故本选项正确；

故选D.

【题目点拨】

本题考查了积的乘方、合并同类项、同底数惠的除法以及塞的乘方，掌握运算法则是解题的关键.

7、B

【解题分析】

科学记数法的表示形式为axion的形式，其中n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移

动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值VI时，n是负

数.

【题目详解】

解：将800亿用科学记数法表示为：8x1.

故选:B.

【题目点拨】

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式，其中lw|a|V10,n为整数，表示时关键要

正确确定a的值以及n的值.

8、D

【解题分析】

科学记数法的表示形式为axion的形式，其中lw|a|V10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移

动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负

数.

【题目详解】

解：74300亿=7.43x1012,

故选：D.

【题目点拨】

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axion的形式，其中lw|a|V10,n为整数，表示时关键要

正确确定a的值以及n的值.

9、D

【解题分析】

根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果.

【题目详解】

解：设小长方形卡片的长为x,宽为y,

根据题意得：x+2y=a,

则图②中两块阴影部分周长和是：

2a+2(b-2y)+2(b-x)

=2a+4b-4y-2x

=2a+4b-2(x+2y)

=2a+4b-2a

=4b.

故选择：D.

【题目点拨】

此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

10、D

【解题分析】

找到从左面看到的图形即可.

【题目详解】

从左面上看是D项的图形.故选D.

【题目点拨】

本题考查三视图的知识，左视图是从物体左面看到的视图.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、1

【解题分析】

•.•骑车的学生所占的百分比是登xI00%=35%,

，步行的学生所占的百分比是1-10%-15%-35%=40%,

•••若该校共有学生1500人，则据此估计步行的有1500x40%=l(人),

故答案为1.

12、-

3

【解题分析】

a_2

1一§,

13、110

【解题分析】

试题解析：解：；NC=40。，CA=CB,

/.ZA=ZABC=70°,

:.NABD=NA+NC=110。.

考点：等腰三角形的性质、三角形外角的性质

点评：本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质.等腰三角形的两个底角相等；三角形的外角等于与它不

相邻的两个内角之和.

14、1.

【解题分析】

根据二次函数的性质列出不等式和等式，计算即可.

【题目详解】

解：；关于x的二次函数y=ax1+a,的最小值为4,

.\a1=4,a>0,

解得，a=l,

故答案为1.

【题目点拨】

本题考查的是二次函数的最值问题，掌握二次函数的性质是解题的关键.

15、a(3+a)(3—a)2(x—3)2

【解题分析】

此题考查因式分解

9a—/=tz(9—a~)=+3)(3—a),2x?—12x+18=2(x~—6x+9)=2(x—3)2

答案a(3+a)(3-a)2(x-3>

点评：利用提公因式、平方差公式、完全平方公式分解因式

2

16、-

3

【解题分析】

根据事件的描述可得到描述正确的有①②③⑥，即可得到答案.

【题目详解】

•••共有6张纸条，其中正确的有①互相关心；②互相提醒；③不要相互嬉水；⑥选择有人看护的游泳池，共4张，

42

/.抽到内容描述正确的纸条的概率是一=一,

63

2

故答案为：

3

【题目点拨】

此题考查简单事件的概率的计算，正确掌握事件的概率计算公式是解题的关键.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)y=-x2+2x+3；y=x+l；⑵a的值为-3或4±近.

【解题分析】

(D把点B和D的坐标代入抛物线y=-x2+bx+c得出方程组，解方程组即可；由抛物线解析式求出点A的坐标，设直

线AD的解析式为y=kx+a,把A和D的坐标代入得出方程组，解方程组即可；

(2)分两种情况：①当aV-1时，DF〃AE且DF=AE,得出F(0,3),由AE=-La=2,求出a的值；

②当a>-l时，显然F应在x轴下方，EF〃AD且EF=AD,设F(a-3,-3),代入抛物线解析式，即可得出结果.

【题目详解】

—9+3匕+c=0

解：(1)把点B和D的坐标代入抛物线y=-x2+bx+c得：〈“〜.

-4+2b+c=3

解得：b=2,c=3,

二抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；

当y=0时，-x2+2x+3=0,

解得：x=3,或x=-l,

VB(3,0),

...A(-1,0)；

设直线AD的解析式为y=kx+a,

—k+a=0

把A和D的坐标代入得：I。，°

解得：k=l,a=l,

二直线AD的解析式为y=x+l；

(2)分两种情况：①当aV-1时，DF〃AE且DF=AE,

则F点即为(0,3),

AE=-l-a=2,

/.a=-3；

②当a>-l时，显然F应在x轴下方，EF〃AD且EF=AD,

设F(a-3,-3),

由-(a-3)2+2(a-3)+3=-3,

解得：a=4±V7;

综上所述，满足条件的a的值为-3或4±e.

【题目点拨】

本题考查抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式及平行四边形的判定，综合性较强.

18、(1)y=*2—4x+6；(2)以点N为圆心，半径长为4的圆与直线(相离；理由见解析；(3)点〃、P的坐标

分别为万(8,8)、H(—10,—10)或乙(8,8)、"(3,3)或网-5,-5)、H(-10,-10).

【解题分析】

(1)分别把A,B点坐标带入函数解析式可求得b,c即可得到二次函数解析式

(2)先求出顶点P的坐标，得到直线1｝解析式，再分别求得MN的坐标，再求出NC比较其与4的大小可得圆与直线/2

的位置关系.

(3)由题得出tan/BAO=g，分情况讨论求得F,H坐标.

【题目详解】

26=c

(1)把点4(0,6)、B(l,3)^Ay=x+^+cWk_1+z?+c)

•••抛物线的解析式为y=必-4x+6.

(2)由丁=/一4%+6得y=(x—2丫+2,...顶点P的坐标为P(2,2),

把P(2,2)代入4得2=2左解得左=1,.•.直线4解析式为丁=工，

设点M(2,/n),代入4得加=-4，，得“(2,—4),

设点N(〃,T),代入4得〃=T,.•.得N(9—4),

由于直线4与x轴、V轴分别交于点。、E

二易得。(―2,0)、E(0.-2),

二OC=J(-1-。］+(—1—0)2=垃,CE=J(-l-0'+(-1+2)2=y/2

：.OC=CE,•.,点。在直线丁=%上，

AZCOE=45，

，NOEC=45，NOCE=180-45-45=90即NC,,

VNC=^(-l+4)2+(-l+4)2=372>4,

以点N为圆心，半径长为4的圆与直线相离.

(3)点H、R的坐标分别为网8,8)、〃(—10,—10)或尸(8,8)、"(3,3)或网―5,—5)、H(-10,-10).

C(-l,-l),A(0,6),B(l,3)

可得tanZBAO=,

CM1「

情况1：tanNCFiM=-=ACFi=90,

3

MFi=675,HiFi=5夜,Fi(8,8),Hi(3,3)；

情况2：F2(-5,-5),H2GIO,-10)(与情况1关于L2对称)；

情况3F3(8,8),H3(-10,-10)(此时F3与Fi重合,%与Hz重合).

【题目点拨】

本题考查的知识点是二次函数综合题，解题的关键是熟练的掌握二次函数综合题.

19、°米.

3

【解题分析】

先求抛物线对称轴，再根据待定系数法求抛物线解析式，再求函数最大值.

【题目详解】

由题意得：C(0,1),D(6,1.5),抛物线的对称轴为直线x=4,

设抛物线的表达式为：y=ax2+bx+l(a^O),

b

-----二4

则据题意得：52a,

1.5=36a+6b+l

1

a=------

24

解得：

b=-

3

2

羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式为：y=--x+-x+l,

243

.••飞行的最高高度为：°米.

3

【题目点拨】

本题考核知识点：二次函数的应用.解题关键点：熟记二次函数的基本性质.

20、(1)B(1,1)；(2)y=(x-n)2+2-n.(3)a=—；a=y]2+1.

【解题分析】

1)首先求得点A的坐标，再求得点B的坐标，用h表示出点D的坐标后代入直线的解析式即可验证答案。

⑵①根据两种不同的表示形式得到m和h之间的函数关系即可。

②点C作y轴的垂线，垂足为E,过点D作DF±CE于点F,证得△ACE-ACDF,然后用m表示出点C和点D的坐

标，根据相似三角形的性质求得m的值即可。

【题目详解】

解：(1)当x=0时候，y=-x+2-2,

；.A(0,2),

把A(0,2)代入y=(x-1)2+m,得l+m=2

/.m=l.

**.y=(x-1)2+l,

AB(1,1)

(2)由(1)知，该抛物线的解析式为：y=(x-1)2+1,

VVD(n,2-n),

・••则平移后抛物线的解析式为：y=(x-n)2+2-n.

故答案是：y=(x-n)2+2-n.

(3)①VC是两个抛物线的交点，

・••点C的纵坐标可以表示为：

(a-1)2+1或(a-n)2-n+2

由题意得(a-1)2+1=(a-n)2-n+2,

整理得2an-2a=n2-n

Vn>l

2n

・・.a=31=非.

2n-22

②过点C作y轴的垂线，垂足为E,过点D作DFLCE于点F

VZACD=90°,

AZACE=ZCDF

XVZAEC=ZDFC

AAACE^ACDF

・AE_CF

**EC-DF*

XVC(a,a2-2a+2),D(2a,2-2a),

/.AE=a2-2a,DF=m2,CE=CF=a

.a2-2a_^_

・・-------------2

aa

/.a2-2a=l

解得：a=±正+1

Vn>l

【题目点拨】本题主要考查二次函数的应用和相似三角形的判定与性质，需综合运用各知识求

21、(1)y=x2-2x-3；(2)k=b；(3)xoV2或xo>L

【解题分析】

(1)将点M坐标代入y=x2+ax+2a+L求出a的值，进而可得到二次函数表达式；(2)先求出抛物线与x轴的交点，

将交点代入一次函数解析式，即可得到k,b满足的关系；(3)先求出平移后的新抛物线的解析式，确定新抛物线的

对称轴以及Q的对称点Q。根据m>n结合图像即可得到xo的取值范围.

【题目详解】

(1)把M(2,-3)代入y=x?+ax+2a+l,可以得到l+2a+2a+l=-3,a=-2,

因此，二次函数的表达式为：y=x2-2x-3；

(2)y=x2-2x-3与x轴的交点是：(3,0),(-1,0).

当y=kx+b(k/0)经过(3,0)时，3k+b=0；

当y=kx+b(k^O)经过(-1,0)时，k=b.

(3)将二次函数y=x2-2x-3的图象向右平移2个单位得到y=x2-6x+5,

对称轴是直线x=3,因此Q(2,n)在图象上的对称点是(1,n),

若点P(xo,m)使得m>n,结合图象可以得出xoV2或xo>l.

【题目点拨】

本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键.

22、(1)y=%+l.(2)点C为线段AP的中点.(3)存在点。，使四边形为菱形，点O(8,1)即为所

求.

【解题分析】

试题分析：(1)由点A与点B关于y轴对称，可得AO=BO,再由A的坐标求得B点的坐标，从而求得点P的坐标,

将P坐标代入反比例解析式求出m的值，即可确定出反比例解析式，将A与P坐标代入一次函数解析式求出k与b

的值，确定出一次函数解析式；⑵由AO=BO,PB//CO,即可证得结论；(3)假设存在这样的D点，使四边形BCPD

为菱形，过点C作CD平行于x轴，交PB于点E,交反比例函数y=1的图象于点D,分别连结PD、BD,如图所

示，即可得点D(8,1),BP±CD,易证PB与CD互相垂直平分，即可得四边形BCPD为菱形，从而得点D的坐

标.

试题解析：

(1)•・•点4与点6关于)轴对称，

：.AO=BOf

VA(-4,0),

0),

・・・尸(4,2),

把尸(4,2)代入y=:得机=8,

...反比例函数的解析式：

把4(一4,0),P(4,2)代入尸质+」

得./°=-4k+b,解得.=},

信12=4k+b'畔品{b=l

所以一次函数的解析式：y=，+L

(2)•••点A与点5关于y轴对称，

：.OA=OB

JLx轴于点3,

:.ZPBA=9Q°,

\'ZCOA=90°,

：.PB//CO,

，点C为线段AP的中点.

(3)存在点£>,使四边形3CPD为菱形

,••点C为线段AP的中点，

:.BC=%P=PC,

：