河北省乐亭某中学2023-2024学年高三第四次模拟考试数学试卷含解析

河北省乐亭二中2023-2024学年高三第四次模拟考试数学试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.大衍数列，米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极

衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0,2,4,8,

12,18,24,32,40,50,则大衍数列中奇数项的通项公式为（）

2.已知函数/(%)='+="+3,g(x)=-x+m+2,若对任意xell,31，总存在x《［1,3］，使得/(x)=g(x)

x+11212

成立，则实数机的取值范围为()

A.y,9B.ub+s)

「1791(17］「9A

―00,—U

。C［—42」D,L4rL2J

3.已知a,b,c是平面内三个单位向量，若a_L办，则|a+2c|+|3a+2b-c|的最小值()

A.729B.晤-3pC.y/i9-2j3D.5

上1T1JCI1

4.已知函数/(%)=—(左eN),§(%)=——,若对任意的c>l,存在实数a/满足0<a<Z?<c,使得

X+x-1

g(a)=/(b)=g(c),则％的最大值是()

A.3B.2C.4D.5

{r|0<x<2),5={x|x<1}

5.设全集U=R,集合&=,则集合A|J5=（

A.(2,+co)B.b,+00C.(—,2〕D.(-℃,1］

6.在正方体ABCD-AfiCD中，&厂分别为5oq的中点，则异面直线Ab,DE所成角的余弦值为（

1

D.

55

7.已知集合〃=1x2—3x-io<。}.N=\y=yl9-x2\且M、N都是全集R(H为实数集)的子集，则

如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为()

A.{v|3<x<5)

C.€|-3<%<-2)

8.“完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕

达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28,进一步研究发现后续三个完全数”分别为496,8128,

33550336,现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为()

9.已知函数/(x)=y/3sincox-coscox(w>0),y=/(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于兀，则f{x)

的一条对称轴是()

兀兀7171

A.x——――B.—■—C.———D.~—

121233

10.“是函数/(X)=|(⑪—l)x|在区间内单调递增”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

11.若直线丁=依一2与曲线y=l+31nx相切，则k=()

11

A.3B.-C.2D.-

32

(<0)

12.已知函数/(x)=</x八、，且关于％的方程/(x)+x-。=°有且只有一个实数根，则实数4的取值范围

Inx(x>0)

().

A.[0,+oo)B.(L+°o)C.(0,+℃)D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡璇，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十

二尺，术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”，这里所说的圆堡璇就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，

1

十二而一”，就是说：圆堡雕(圆柱体)的体积为丫==X(底面圆的周长的平方X高)，则由此可推得圆周率兀的取

值为.

14.设S为等比数列％}的前"项和，若。=1,且3s,2S,S成等差数列，则a=.

nn1123n

15.已知集合人=口€1<11-2x<5},{-2,-1,1,2},则人口§=.

16.已知正方形ABC。边长为3,空间中的动点P满足R4=2,PC=2PD,则三棱锥A-PCD体积的最大值是

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

JT

17.(12分)已知。为坐标原点，单位圆与角X终边的交点为尸，过P作平行于y轴的直线/,设/与§终边所在直线

的交点为。，fM=OPOQ.

(1)求函数/(x)的最小正周期；

兀

(2)求函数“X)在区间-,71上的值域.

18.(12分)为了拓展城市的旅游业，实现不同市区间的物资交流，政府决定在A市与3市之间建一条直达公路，中

间设有至少8个的偶数个十字路口，记为2根，现规划在每个路口处种植一颗杨树或者木棉树，且种植每种树木的概

1

率均为

(1)现征求两市居民的种植意见，看看哪一种植物更受欢迎，得到的数据如下所示:

A市居民5市居民

喜欢杨树300200

喜欢木棉树250250

是否有99.9%的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性；

(2)若从所有的路口中随机抽取4个路口，恰有X个路口种植杨树，求X的分布列以及数学期望；

(3)在所有的路口种植完成后，选取3个种植同一种树的路口，记总的选取方法数为"，求证：3M2根(根-1)(根-2).

(〃+Z?)(c+d)3+c)(Z?+d)

P(K2：k)

0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

X=QCOS(P

19.(12分)在平面直角坐标系的中，曲线G的参数方程为［jsincp”>b》。，卬为参数),在以。为极点,

X轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心在极轴上，且经过极点的圆.已知曲线C]上的点M1，对应的

参数①=3,射线。=；与曲线0?交于点。(J，

(1)求曲线C],的直角坐标方程；

11

(2)若点A,5为曲线q上的两个点且求西下+廊下的值.

20.(12分)已知数列%｝的前几项和为S,且点(〃,S)QeN*)在函数y=2»i—2的图像上；

nnn

(1)求数列｛a｝的通项公式；

n

(2)设数列G卜茜足：b=0,b+b=a,求｛b｝的通项公式；

n1n+1nnn

(3)在第(2)问的条件下，若对于任意的〃eN*,不等式％Cb恒成立，求实数九的取值范围；

nn+1

21.(12分)已知函数/(%)=(%—5)(%-%2)(%一%3)，ri'ER，且\<%2<“3.

(1)当X]=0,=1,%=2时,求函数/(%)的减区间；

(2)求证：方程/(%)=。有两个不相等的实数根；

(3)若方程尸00=0的两个实数根是a,P(a<p),试比较弋4,2一与a,P的大小，并说明理由.

22.(10分)如图，在三棱柱AZ»—BCE中，平面A3CD，平面ABEF,侧面ABC。为平行四边形，侧面ABE尸为

正方形，ACLAB,AC=2AB=4,M为FD的中点.

(1)求证：EB//平面；

(2)求二面角A/-AC—/的大小.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

直接代入检验，排除其中三个即可.

【详解】

由题意4=0,排除D,%=4,排除A,C.同时B也满足％=12,%=24,%=40,

故选:B.

【点睛】

本题考查由数列的项选择通项公式，解题时可代入检验，利用排除法求解.

2、C

【解析】

将函数/(x)解析式化简，并求得广(X),根据当X]J,31时尸(x)>0可得/、)的值域；由函数g(x)=—X+机+2

在乜ell,31上单调递减可徼(七)的值域，结合存在性成立问题满足的集合关系，即可求得机的取值范围.

【详解】

%2+3x+3%2+%+2G+1)+1

依题意/G)=

X+1X+1

=x+——+2,

x+1

则人)“击，

当九J,31时，//(%)>0,故函数/G)在限31上单调递增,

当qellj]时，f(x)e：,日；

而函数g(x)=—x+机+2在1,31上单调递减,

故g(x)eDn-l,m+l],

2

则只需c[m-l,m+l],

7

m-l<—

2179

故,,解得一<m<—

21'胖付42

m+l>—

4

179

故实数机的取值范围为—

故选：C.

【点睛】

本题考查了导数在判断函数单调性中的应用，恒成立与存在性成立问题的综合应用，属于中档题.

3、A

【解析】

由于。九且为单位向量，所以可令〃=(1,。)，6=(0,1),再设出单位向量°的坐标，再将坐标代入|。+2°|+恒+2〃-4

中，利用两点间的距离的几何意义可求出结果.

【详解】

解：设2=(x,y),a=(1,0),6=(0,1),贝I]x2+y2=l,从而

|a+2c|+|3Q+2/一=JGx+l)2+(2“+JG-3)2+(y-2:

=#Q+y2)+%2+y2+4x+1+Jx—3%+(y12〉

=心+2»+产+JG-3»+G-2»>心+22=729,等号可取至U.

故选：A

【点睛】

此题考查的是平面向量的坐标、模的运算，利用整体代换，再结合距离公式求解，属于难题.

4、A

【解析】

Inx+1k.,/、lnx+1”、

根据条件将问题转化为——对于冗>1恒成立，然后构造函数"(x)=x,——然后求出〃(%)的范围，进

x-1Xx-1

一步得到上的最大值.

【详解】

左]nxI1

•••/(%)=—(左eN),g(x)=-对任意的c>l,存在实数a1满足0<a<"<c,使得g(a)=/S)=g(c),

X+x-1

[n-k1k

・二易得g(c)=/(b)>/(c),即——>:恒成立,

c-1c

Inx+1k,

E〉/对于m恒成立,

，/、lnx+17,/、x-2-Inx

设心)"K，则如户飞”,

令q(x)=x—2—lnx,q'(x)=1-1〉0在x>l恒成立,

x

g(3)=3-2-ln3<0,g(4)=4-2-ln4>0,

故存在(3,4),使得小)=0,即x0-2=lnx。,

当xe(1,XQ)时，q(x)<0,k(x)单调递减;

当时，q(x)>0,人(%)单调递增.

xInxH-x

■■=/?(x)=-fi_.o「o,将x-2=Inx代入得.

min0x~100

0

.7/、1/、X(X-2)+X

..h{x)=h{x)=-Q-Q-----------------Q-=X

min0x—10

0

•.・左£N,且上<〃(x)=X

+min0

:.k<3

故选：A

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性，零点存在定理和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属于难题.

5、C

【解析】

•.,集合A={x|0<x<2),B={T|A:<1},

:.AuB=(-00,2]

点睛：本题是道易错题，看清所问问题求并集而不是交集.

6、D

【解析】

连接BE,BD,因为BEHAF,所以/BED为异面直线Ab与DE所成的角(或补角),

不妨设正方体的棱长为2,取8。的中点为G,连接EG,在等腰ABED中,求出cosZBEG==—,在利用

BE75

二倍角公式，求出cos/BED,即可得出答案.

【详解】

连接BE,BD,因为BEHAF,所以/6即为异面直线”与DE所成的角(或补角),

不妨设正方体的棱长为2,则BE=DE=/,BD=2&,

在等腰MED中，取8。的中点为G,连接EG,

EG邪

则EG=斤I=#cosNBEG=旗一方

所以cosZBED=cos2ZBEG=2cos2ZBEG-1,

31

即.cosZBED=2x_-l=_

,55

1

所以异面直线反,DE所成角的余弦值为夕

故选：D.

生C1

^ZZZZZZ>i

【点睛】

本题考查空间异面直线的夹角余弦值，利用了正方体的性质和二倍角公式，还考查空间思维和计算能力.

7、C

【解析】

根据韦恩图可确定所表示集合为NnG"),根据一元二次不等式解法和定义域的求法可求得集合",N,根据补集

R

和交集定义可求得结果.

【详解】

由韦恩图可知：阴影部分表示Nn9。")，

M={Y|(X-5)Q+2)<o}={r|-2<x<5}

r.Nc(/)=脑—3VxV—2}.

故选：C.

【点睛】

本题考查集合运算中的补集和交集运算，涉及到一元二次不等式和函数定义域的求解；关键是能够根据韦恩图确定所

求集合.

8、C

【解析】

先求出五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个的基本事件总数为C；=10,再求出6和28恰好在同一组

包含的基本事件个数，根据即可求出6和28不在同一组的概率.

【详解】

解：根据题意，将五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，

则基本事件总数为。2=10,

5

则6和28恰好在同一组包含的基本事件个数。2+。=4,

23

n10-43

：.6和28不在同一组的概率P=u—=写.

故选：C.

【点睛】

本题考查古典概型的概率的求法，涉及实际问题中组合数的应用.

9、D

【解析】

由题，得f(x)=73sina>x-cos=2sin1J，由y=/(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于

71.7171

兀，可得最小正周期7=兀，从而求得①，得到函数的解析式，又因为当％=万时，2x-=由此即可得到本题

3o2

答案.

【详解】

由题，得了(X)=y13sin-coscox=2sin/x-g),

因为>=/(%)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于兀，

2兀

所以函数V=/(%)的最小正周期T=兀，则①=亍=2,

所以/(x)=2sin2x—g,

兀717t

当％=一时，2%__=_

362

所以％n是函数7(x)=2sin12x—dJ的一条对称轴,

3

故选：D

【点睛】

本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和对称性.

10、C

【解析】

\ax2-x\,令0X2-X=0,解得X=0,x=—

>2a

由上两图可知，是充要条件

【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念，以及函数图像的画法.

11、A

【解析】

3,3

设切点为。0,依0-2),对y=l+31nx求导，得到了=1,从而得到切线的斜率上=底，结合直线方程的点斜式化简

得切线方程，联立方程组，求得结果.

【详解】

设切点为。0,近0一2),

3

一二k①,

,3x

X0

kx-2=l+31nx②，

,00

由①得依0=3,

代入②得l+31nx。=1,

则x=1,1=3,

0

故选A.

【点睛】

该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单

题目.

12、B

【解析】

根据条件可知方程/(x)+x—a=0有且只有一个实根等价于函数y=/(x)的图象与直线,=一了+。只有一个交点，

作出图象，数形结合即可.

【详解】

解：因为条件等价于函数y=/(x)的图象与直线＞=—%只有一个交点，作出图象如图，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查函数图象与方程零点之间的关系，数形结合是关键，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、3

【解析】

根据圆堡雕（圆柱体）的体积为丫=七乂（底面圆的周长的平方X高），可得看义（2兀r1/2=兀厂2力,进而可求出兀的值

【详解】

解:设圆柱底面圆的半径为J圆柱的高为"，由题意知

5x（27ir）2/i=7ir2/2,解得兀=3.

故答案为：3.

【点睛】

本题主要考查了圆柱的体积公式.只要能看懂题目意思，结合方程的思想即可求出结果.

14、3-

【解析】

试题分析：；，，成等差数列，：.，

又...等比数列，：..

考点：等差数列与等比数列的性质.

【名师点睛】本题主要考查等差与等比数列的性质，属于容易题，在解题过程中，需要建立关于等比数列

基本量的方程即可求解，考查学生等价转化的思想与方程思想.

15、{-LL2}

【解析】

由于A={xeRll-2x<5}={xeRlx>-2},B={-2,-1,1,2},则Af）B={T］，2}.

3J6

16、-y―

4

【解析】

以A为原点，A3为％轴，AD为V轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴建立空间直角坐标系，设点尸（。,瓦c）,根据

题中条件得出a=3b-5,进而可求出付的最大值，由此能求出三棱锥A-尸⑺体积的最大值.

【详解】

以A为原点，为％轴，为丁轴，过A作平面ABCD的垂线为z轴建立空间直角坐标系,

则A（0,0,0）,C（3,3,0）,D（0,3,0）,设点P（a,b,c）,

.J空间中的动点尸满足R4=2,PC=2PD,

+/?2+C2=2

整理得a=3b-5,

JQ-sK+G-Sl+cz=2《a2+（b-3）2+02

.•.忖=、才一〃2-Z72二,4-（3b-5。-6

当匕=；,a=—：时，忖取最大值Y?,

222

所以，三棱锥A—PC。的体积为V=V=ls.m<_Lx1x32xXe=W?.

A-PCDP-ACD3MCD113224

因此，三棱锥28体积的最大值为学.

3祁

故答案为:

~T~

【点睛】

本题考查三棱锥体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力,

是中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1,

17、（1）兀；（2）

【解析】

(1)根据题意，求得DP=(cosx,sinx),OQ=(cosx,5/Tcosx),因而得出/(x)=OPOQ=cos2x+^Tsinxcosx,

利用降倦公式和二倍角的正弦公式化简函数/(x),最后利用7=尚，求出/(X)的最小正周期；

(2)由⑴得/(%)=；+sin[2x+[],再利用整体代入求出函数的值域.

【详解】

(1)因为0P=(cosx,sinx),OQ=(cosx,y/3cosx),

所以/(x)=OPOQ=cos2x+5/3sinxcosx,

1+cos2xJ3.-1,兀)

/(%)=---------十sin2x=—+sin2x+—,

222I6)

2兀

所以函数/(%)的最小正周期为丁=3=兀

71小兀7兀13K

⑵因为xe,所以2X+/

/.sin2x+G-1,

I6jL2

所以/(x)e-1,1,

71-I「1；

故函数/(x)在区间q，兀上的值域为一,，1

【点睛】

本题考查正弦型函数的周期和值域，运用到向量的坐标运算、降嘉公式和二倍角的正弦公式，考查化简和计算能力.

18、(1)没有(2)分布列见解析，E(X)=2(3)证明见解析

【解析】

(1)根据公式计算卡方值，再对应卡值表判断..

(2)根据题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,分别求得概率，写出分布列，根据期望公式求值.

(3)因为至少8个的偶数个十字路口，所以2年,8,即巾；>4.要证3M;，皿根—l)(wi—2),即证Af-2),

根据组合数公式，即证M?2c3；易知有O>0尢.成立.设2m个路口中有「(。6",夕・2小)个路口种植杨树，下面

mm+1m

分类讨论①当pe{0』,2}时，由论证.②当pe{2根—2,2根—l,2根}时，由A/=C3,C3论证.③

2m—p2m—2p2m—2

当上内2加_3时，"=C3+C3，设/（p）=C3+C3,30忘2加_3,再论证当口=111时，/（夕）=03+03

pIm—pp2m—pp2m—p

取得最小值即可

【详解】

1000x（300x250-200x250”

（1）本次实验中,K2»10.1<10.828,

500x500x550x450

故没有99.9%的把握认为喜欢树木的种类与居民所在的城市具有相关性.

故或X）=4x；=2.

（3）..,2加28,...加?4.要证3"》加（根一1）（加一2）,即证2c3；

m

首先证明：对任意m,keN*,m>k,有。>Ck.

m+1m

证明：因为Ck-Ck=Ck-1>0,所以Ck>Ck.

m+1mmm+lm

设2m个路口中有P（peN,p^2m）个路口种植杨树,

①当pe{0,1,2}时,

m

M=Cj（3=（27"-2）（2以-3）（2加—4）=4*（—1）（祖—2）（2—-3）

2/n-p/2m-266

因为机24,所以2加一3>机，

于是M>4x--------------------=403>2c3.

6mm

②当"e{2根一2,2根—1,2，〃}时，M=Cy：Ci,同上可得M〉2c3

p2m-2m

③当2m_3时，M=Ci+d，设/（p）=C3+C3,3^PW2m—3,

p2m-pp2m—p

当3^/?忘2加一4时，/(〃+1)—/(p)=C*3+。3—C*3—C3=C*2—C*2

p+12m-p-lp2m-pp2m-p-l

显然pw2i〃_p_l,当p>2根一p—l即飞上2根一4时，/(p+l)>/(p),

当p<2根一p-l即太根一1时，/(/?+1)</(/?),

即/(m)<f(m+1)<...</(2m-3)./(3)>/(4)>...>f(m),

因此/(Pfef(⑼=2。，即M?2c3.

mm

综上，加＞203,即3"》加。〃一1)(秋一2).

m

【点睛】

本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列以及期望、排列组合，还考查运算求解能力以及必然与或然思想，属

于难题.

19、(1)—+y2=1.(x—l＞+y2=l.(2)—

22

【解析】

(1)先求解a,b,消去参数中，即得曲线q的直角坐标方程；再求解H,利用极坐标和直角坐标的互化公式，即得曲

线02的直角坐标方程；

(2)由于。4L0B,可设A(P,O),8P,S+：,代入曲线。直角坐标方程，可得p,p,,0的关系，转化

IV22^)112

1,1111COS20siru。八、

+sin20++C0S2U可得解.

lOAh10512

27

【详解】

兀b=〃cos(p

(1)将M1,一及对应的参数(p二代入土

(2J4[y=/?sin-(p

l^^C0S-

4

得＜

^H=bsm-

24

A"”即，?为参数,

所以曲线q的方程为＜

y=sin(p

所以曲线q的直角坐标方程为孩+y=i.

设圆。2的半径为比由题意，圆。?的极坐标方程为

p=27?cos0（或（x-R》+y2=尺2）,

兀

将点。代入P=2Rcos9,得l=2RcoSy即R=1,

所以曲线C,的极坐标方程为P=2cos0,

所以曲线。2的直角坐标方程为(％—1>+山=1.

(2)由于O4L0B,故可设4(匕,0),BP7,O+1

代入曲线q直角坐标方程,

p2sin201

可得；；n

PCS2。+p2sin29=1,.22-------+P2cos2B=I,

IIII

m所^以\O---A-\-2-+-\-O--B--|-2=——P2+—P2

、I2

3

+sin20+COS20

）2,

【点睛】

本题考查了极坐标和直角坐标，参数方程和一般方程的互化以及极坐标的几何意义的应用，考查了学生综合分析，转

化划归，数学运算的能力，属于中档题.

C(RT)2n22〃2/q、

20、(1)a=2nVzeN*7(2)当n为偶数时，b=—+-；当〃为奇数时，b=---.(3)。,内)

«"33«33

【解析】

(1)根据。=S-S，讨论〃=1与〃22两种情况,即可求得数列｛a｝的通项公式；

nnn-1n

(2)由(1)利用递推公式及累加法，即可求得当“为奇数或偶数时a｝的通项公式.也可利用数学归纳法，先猜想出通

n

项公式，再用数学归纳法证明.

b

(3)分类讨论，当n为奇数或偶数时,分别求得广的最大值，即可求得九的取值范围.

n+1

【详解】

(1)由题意可知，S=2〃+i—2.

n

当〃22时,a=S—S—2〃+i—2——2)=2n,

nnn—1

当〃=]时,Q]=S]=2i+i—2=2也满足上式.

所以〃=2«GGN*).

n

(2)解法一：由(1)可知力+匕=2〃QEN*

n+ln

即b+Z?=2攵Q£N*).

k+lk

当上=1时,幺+夕=2、①

当左=2时*+b=22所以一Z?-b=-22②

3232

当％=3时+%=23,③

当％=4时e+幺=24,所以_幺-4=-24,④

当左二〃-1时4为偶数匕+。=2n-l

nn—1

当左=〃时婵为偶数所以一匕-b=-2«-i

nn—1

以上〃-1个式子相加，得

2「1-(-2)“T]2“2

J

b+b=2—22+23—24+-・+2，I=L=_+Z

"11-(-2)33

.„2〃2

又4=°,所以当"为偶数时,b=—+—•

1"33

同理，当”为奇数时,

2Fl-(-2)„-il2~2n

b+b=2-22+23-24H----2„-i=_L_________±

"11-(-2)3

2"2

所以，当“为奇数时,b

«33

解法二：

猜测：当〃为奇数时,

猜测：当“为偶数时

b—2«-i—2〃-2+…—22+2—

n

以下用数学归纳法证明：

孔二1,命题成立；

假设当〃=左时，命题成立;

当n为奇数时,。—2i—Ik-iH------F22-2,

k

当〃=左+1时墀为偶数，由b+b=2kGN*

k+1k

b=2k—b=2k—2k-1+2左一2H------22+2

k+lk

故,〃=左+1时，命题也成立

、2"2

综上可知，当“为奇数时匕=---

«33

同理，当”为偶数时,命题仍成立.

殳+3Q为偶数）

33

(3)由(2)可知b=<

n3Q为奇数）

33

2〃2

b3+可2"+213

①当〃为偶数时,「二M一\C=-+-——-

b2〃+i22〃+i—222〃+i+2

H+1-----——

33

bbb

所以广随”的增大而减小从而当"为偶数时，广的最大值是广=11.

n+1n+13

2n2

b3-32〃-21_3

②当n为奇数时，针-二

b2〃+i22〃+i+222〃+i+2

n+l----+-

33

b6131

所以-随〃的增大而增大，且针一、工。＜不＜

IO*D1=52Z0n+1+22

n+1n+1

b

综上,广的最大值是L

n+l

因此,若对于任意的“eN*,不等式匕＜，b恒成立，只需九＞1,

nn+1

故实数九的取值范围是(1,+0°).

【点睛】

本题考查了累加法求数列通项公式的应用，分类讨论奇偶项的通项公式及求和方法，数学归纳法证明数列的应用,数列的

单调性及参数的取值范围，属于难题.

21、(1)(1—日,1+且)(2)详见解析(3)a〈二(工S<P

3322

【解析】

试题分