黑龙江省齐齐哈尔市2024届高三年级下册三模联考数学

黑龙江省齐齐哈尔市2024届高三下学期三模联考

数学试卷

全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡

上的指定位置。

2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非

答题区域均无效。

3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡

上作答；字体工整，笔迹清楚。

4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。

5.本卷主要考查内容：高考范围。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知集合4={兄。*=2},若A^N,则所有。的取值构成的集合为

A.{1,2}B.{1}C.{0,1,2}D.N

2.复平面内A、B、C三点所对应的复数分别为1-i,2-i,3+i,若ABC。为平行四边形，则点。对应的

复数为

A.2B.2+iC.1D.1+1

3.设厂为抛物线C:：丁=。必的焦点，若点PQ,2）在C上，则|所|=

5917

A.3B.—C.一D.—

248

...,、1—ucx

4.右/r(%)—-sinx为偶函数，则。=

1+e

A.1B.0C.-1D.2

5.某同学参加社团面试，已知其第一次通过面试的概率为0.7,第二次面试通过的概率为0.5.若第一次

未通过，仍可进行第二次面试，若两次均未通过，则面试失败,否则视为面试通过，则该同学通过面试

的概率为

A.0.85B.0.7C.0.5D.0.4

6.设S“为等差数列{4}的前〃项和，邑=2,§6=12,则$8=

A.8B.10C.16D.20

20万

7.已知某圆锥的底面半径长为2,侧面展开图的面积为则该圆锥内部最大球的半径为

3

8.设%,%（石＜乙）为函数F（x）=3sinxT在区间（0,万）的两个零点，则sin（%2-%）=

V24及12

A.B.----C.—D.一

3933

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知a力＞0,则使得“a＞6”成立的一个充分条件可以是

11

A.—<-B.\a-2\>\b-2\C.crb-ab2>a-bD.In(tz2+1)>ln^Z?2+1)

ab

10.已知正方体4片£。—ABC。的棱长为3,P在棱4与上，42=九414，丸[0,1],后为。。1的中

点，则

A.当；1=0时，A到平面尸3。的距离为逝B.当彳=!时，AEJ_平面尸

2

C.三棱锥A-QBD的体积不为定值

D.AB与平面尸3。所成角的正弦值的取值范围是—

32

11.在平面直角坐标系xOy中，长、短轴所在直线不与坐标轴重合的椭圆称为“斜椭圆”，将焦点在坐标

轴上的椭圆绕着对称中心顺时针旋转45°,即得“斜椭圆"C:x?+y2+孙=1,设P（%,为）在C上，则

A.“斜椭圆”的焦点所在直线的方程为y=xB.。的离心率为g

22r\r\

C.旋转前的椭圆标准方程为^二~=1D.-----张瓦）----

2233

3

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.[x+a]的展开式中，V的系数为.（用数字作答）

13.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里的一个非常重要的不动点定理，简单的讲就是对于满足

一定条件的连续函数/（%）,存在一个点七,使得/（毛）=/，那么我们称该函数为“不动点”函数.函

数/(%)=2x-sinx+cosx有个不动点.

14.己知圆C:(x—3y+(y—3>=4,点A(3,5),点8为圆C上的一个动点(异于点A),若点P在以

AB为直径的圆上，则P到x轴距离的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步

骤.

15.(本小题满分13分)

已知」ABC的内角A,B,C的对边分别为。，"J,ABC的面积为:a(csinC+bsinB—asinA).

(1)求A；

(2)若a=2,且,ABC的周长为5,设。为边中点，求AD

16.(本小题满分15分)

如图，在三棱柱ABC—A31cl中，平面A41GC，平面ABC,A5=AC=BC=A&=2,瓜.

(1)证明：ACIAiB；

(2)求二面角A-OB1-3的正弦值.

17.(本小题满分15分)

已知函数/(%)==inx}cosx①乃),。>0,兀=工为/(x)的极值点.

e2

(1)求a-In。的最小值；

(2)若关于x的方程/(九)=1有且仅有两个实数解，求a的取值范围.

18.(本小题满分17分)

22

已知双曲线C:j—2r=l(a〉O力〉0)的实轴长为2,设厂为。的右焦点，T为C的左顶点，过少的

矿b

直线交C于A,B两点，当直线A8斜率不存在时，,工钻的面积为9.

(1)求C的方程；

(2)当直线斜率存在且不为。时，连接TA,7B分别交直线x=g于P,。两点，设M为线段尸。

的中点，记直线AB,的斜率分别为匕,取，证明：4/2为定值-

19.(本小题满分17分)

甲、乙两同学进行射击比赛，已知甲射击一次命中的概率为,，乙射击一次命中的概率为2,比赛共进

23

行九轮次，且每次射击结果相互独立，现有两种比赛方案，方案一：射击九次，每次命中得2分，未命中

得0分；方案二：从第一次射击开始，若本次命中，则得6分，并继续射击；若本次未命中，则得0

分，并终止射击.

(1)设甲同学在方案一中射击九轮次总得分为随机变是X“，求E(X2O)；

(2)甲、乙同学分别选取方案一、方案二进行比赛，试确定N的最小值，使得当〃..N时，甲的总得分

期望大于乙.

数学考试

参考答案、提示及评分细则

1.CA={x|ax=2},故A中至多一个元素，当A=0时，a=0,当时，

a=l,2,;.ae{0,l,2}.故选C.

2.B由题意知A,B,C三点的坐标为4(1,—1),6(2,-1),。(3,1),设复平面内点。(x,y),则

AB=(l,0),DC=(3-x,l-y),又ABC。是复平面内的平行四边形，则AB=DC,贝必，解

1-y=0

rx=2

之得4,则。(2,1).故选B.

b=1

,，丫1117

3.D依题意，2=axl2,解得。=2,所以C:/=2的准线为丁=——,所以|尸尸|=2+—=—，

2888

故选D.

1—Z7AX1—QP~X

4.A由题意，/(%)=——sin%=/(-%)=-------sin(-x),所以

l+exl+e-x

1-acxa-Qx

------,解得a=l,故选A.

l+e-xl+exl+eA

5.A第一次通过概率为0.7,第一次未通过第二次通过的概率为(l-0.7)x0.5=0.15,所以该同学通

过面试的概率为0.7+0.15=0.85.故选A.

567

6.D依题意，S2=ax+a2=2,S6=x6=12,所以％+4=4,故。6-g=2，所以数列

{%}的公差为:，所以=4^x8=Q|山x8=-x8=20,故选D.

7.C设母线长为/,依题意L/X2〃X2=4",解得/=W,所以圆锥的高为

233

力=/19]-22=|,所以圆锥母线与底面所成角的正切值为；，设圆锥内部最大球的半径为r,则

94

―<=—,解得厂=1,故选C.

r23

1——

4

8.B因为无£（。,〃），所以石+%=»,sin（A：2-X）=sin（万一2%）二sin2%=2sinx1cos%,因为

sinx；=1,所以cosX]=2，Z,所以sin(x2—xj=2xgx寺=唱，故选B.

hn

9.AD因为粗?>0,所以—<—，故。>。,A选项正确;

abab

取a=l,b=2,此时avZ?,B选项错误;

99111

。%一a/r>。-6可化为a+—>b+—,因为函数y=x+—在（0,+8）不单调，所以C选项错误；

abx

22

由144+^^^门伊+^可知，a>b,因为a,b>0,所以a>5,D选项正确，故选AD.

10.ABD当；1=0时，A—为正三棱锥，BD=3叵,设A在平面尸8。内的投影为。，贝U

OB=娓,所以A。=-9-6=G,A选项正确；

平面ACG4,所以6£>，4石，设厂为55]的中点，则跖，卸\又AFLBP,所以皮

平面AEF,所以故AE_L平面PB2B选项正确；

yA-PBD^P-ABD-当P运动时，P到平面A3。的距离保持不变，所以三棱锥A-QBD的体积为定值，

C选项错误；

由C可知，三棱锥A—PBD的体积为定值，所以点A到平面的距离4=也皿，

SpBD

显然当4=0时，尸2。的面积最大，此时42与平面所成角正弦值为走，

3

五

当4=1时，尸3。的面积最小，此时AB与平面尸2。所成角正弦值为——,

2

所以AB与平面尸8。所成角正弦值的取值范围是且也，D选项正确，故选ABD.

32

11.BCD由题意可知，斜椭圆关于y=龙和y=—x对称，联立直线y=%与C:必+y+孙=1,可

得/=g,联立直线>=—%与。：必+,2+盯=],可得了2=i,所以。两焦点所在直线方程为

y=—x,A选项错误；由A可知，半短轴为=半长轴为Jd+y2=日所以。的离

心率为——,B选项正确；

3

22

旋转不改变椭圆的长短轴大小，所以旋转前的椭圆焦点在X轴上，曲线方程为土+t=l,C选项正确；

22

3

因为必+孙+y2—「0,关于X的方程有解，所以产―外丁―I｝。解得—子釉松|,所以

D选项正确，故选BCD.

12.160或/(生)=160/,故填160.

13.1由题意可知即求函数g(x)=%—sinx+cosx的零点个数，

当x…务时，S(-^)—A/2sin—V2>0,此时不存在零点；

当兀，一万时，g(x)=x—J2sin[x—]],,—yr+^2<0,此时不存在零点；

当xe1一万时，g'(x)=l—+易知g(x)在(—肛0)上单调递增，在上单调递

减，g(—»)<0,g(0)=l>0,故g(x)在万《]上有且仅有一个零点，综上所述，

/(%)=2x-sinx+cos%仅有一个不动点.

14.y设5(%,%),则==J(x。—3)2+(」—5)2=2yl,则山?中点Af1空,当『],

当尸在M上方，且轴时，P到x轴距离取得最大值，此时，设P到x轴距离为d,且

d=j5—为+^^,设/=/-%e(0,2],则d=?—出/，所以当，=1,即为=4时，d取

得最大值

2

15.解：(1)依题意，—a(csinC+bsinB-asinA)=—absinC,.........................2

22

分

所以csinC+bsinB—asinA=bsinC,.................................................3

分

由正弦定理可得，c2+b2-a2=bc,...................................................4分

由余弦定理，c2+b2-a2=2/?ccosA,解得cosA='，.................................5分

2

IT

因为Aw(O,;r),所以A=§；..............................................................6分

(2)依题意，b+c=5—a=3,......................................................6分

H^jc2+Z?2-bc=(b+c)2-3bc=a2,解得Z?c=g,.....................................8分

因为AD=g(AB+AC),............................................................10

分

V_5

日|、|AF；21/4b2+c2+bc(Z?+c)2-be311

所以AD=-(ABD+ACY=----------=-----------=-----=一，

44446

所以4。=巫...........................................................................13分

6

16.解：⑴取AC的中点。，则3OJ_AC,且30=石,................................1分

*

AB

因为平面A41GC1平面ABC,且平面AA.C.Cn平面ABC=AC,BOu平面ABC,

所以50_L平面AA1GC,............................................................2分

因为AOu平面A41GC,「.BO1^0,

所以45二^/^,5O=4。=,......................................................3分

因为4。=1,朋=2,「.AO_L4。，..........................................................4

分

又因为AO_LBO,AOcBO=0,40,BOu平面4。民AC!,平面,...................5分

e/、「，/、acosx+bsinx-asinx+bcosx(a+b)cosx+(Jb-d)sin%八

17.解：(1)/(%)=-----------------------------=-——-------1——-——，..........2分

ee

依题意，==所以a—6=0,...............................................3分

'e2

所以a—lnZ?=a—Ina,

,1jr—1

设g(x)=x—lnx,贝|g'(x)=l——=----,..................................................4

xx

分

当(0,1)时，g(x)<0,g。)单调递减，当xe(l,+8)时，g(%)>0,g(x)单调递增，..........5

分

当％=1时，g(x)取得最小值g⑴=1,所以a—lnb的最小值为1；............................6分

⑵由(1)可知，〃x)=a(sinx-cosx),

ex

人“、1sinx-cos%I八

令/(x)=l,则-------——=—,..........................................................8分

ea

、「7/、sin%-cosx«_,「，/、2cosx

设人(%)=-----------,贝ij〃(%)=-------,..................................................10

exe%

分

当时，/(x)>O,/z(x)单调递增，.................................................Il

分

当时，/z'(x)<0,/2(x)单调递减，.................................................12

分

且/1(0)=-1,/21m=05,/z(»)=e1......................................................13分

71

所以e万〈d,e*.............................................................................15

分

18.解：(1)依题意，2a=2,解得a=l,................................................1分

设C的焦距为2c,则。2="+/，..........................................................2分

将X=C代入方程吞―5=1,可得|y|=土，...............................................