广东省茂名市高2024届高三年级下册高考模拟数学试题及其详细解析

茂名市高2024届高三下学期高考模拟试卷

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写

在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.若集合4=｛目2加一3>0,机€尺｝,其中2eA且则实数机的取值范围是（）

1।

_

、_

33_-33）33

-||_||

>_

-_B.C.D.

-_

42工司42

(1_(14)।

2.若z-(2+i)=3-i?°27,则z的虚部为（）

71.1

A.-1B.一C.——1D.

555

3.已知直角A8C斜边的中点为。,且04=A3,则向量C4在向量CB上的投影向量为（）

1313

A.-CBB.-CBC.——CBD.——CB

4444

4.直线右的倾斜角分别为々，0，则"a=夕'是"tana=tan尸”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.如图，在三棱柱ABC—A31cl中，」E,F,G,H分别为BBI,CQ,，AG的中点，则下列说法

错误的是（）

B

小H

A.E,F,G,H四点共面B.EF//GH

C.EG,FH,AA]三线共点D.NEGB]=NFHCi

16.已知抛物线C：y2^2px（p>0）的焦点为RC的准线与无轴的交点为M,点P是C上一点，且

点尸在第一象限，设NPMF=a,NPFM=0,贝|（）

A.tancif=sin/?B.tancr=-cos/?C.tan^=-sincrD.tan/?=-cos6Z

7.已知各项均为正数的等比数列｛4｝的前见项和为S“，且满足&，3%，-%成等差数列，则9=（）

$2

A.3B.9C.10D.13

8.已知m,neR,m2+n20,记直线+-〃=0与直线一-〃=0的交点为尸，点Q是圆C：

（%+2）2+（丁—2）2=4上的一点，若PQ与C相切，则|PQ|的取值范围是（）

A.[272,714]B.[2也26]C.[2,退]D.〔2,26]

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知i为虚数单位，下列说法正确的是（）

A.若复数z=±匕，则/°=一1

1-i

B.若㈤>阂，则z；>Z；

C.若Z2/0,则五=共

Z2

D.复数z在复平面内对应的点为Z,若|z+i|+|z—i|=2,则点Z的轨迹是一个椭圆

10.质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有2,5,7,70四个数字，抛掷一次并记录与地面接触面上的

数字，记事件”数字为2的倍数”为事件A,“数字是5的倍数”为事件B,“数字是7的倍数”为事件

C,则下列选项不正确的是（）

A.事件A、B、C两两互斥B.事件A.5与事件5,C对立

C.P（ABC）=P（A）P（B）P（C）D.事件A、B、C两两独立

11.已知函数y（x）的定义域为R,且y）=/（力-尸3,/⑴=2,/（尤+1）为偶函

数，则（）

2024

A./（3）=2B./（x）为奇函数C./（2）=0D.2/（%）=°

k二l

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.(必+1,2X—的展开式中常数项为.

3

13.在公差为正数的等差数列｛4｝中，若q=3,a.,a6,5小成等比数列，则数列｛%｝的前1。项和

为.

14.已知抛物线C：x2=4y,定点T(1,O),M为直线y=gx—1上一点，过M作抛物线C的两条切线

MA,MB,A,2是切点，则△TAB面积的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

已知函数/(x)=ln2x+(e+a)x—1,g(x)=(2a+e)x+l.

(1)当a=e时，求函数/(x)的最小值；

(2)若/z(x)=/(x)_g(x)在(0,+oo)上单调递减,求a的取值范围.

16.(15分)

如图，已知四边形A8CO为等腰梯形，E为以8C为直径的半圆弧上一点，平面平面8CE,。为

BC的中点，M为CE的中点，BE=AB=AD=DC=2,BC=4.

(1)求证：DM〃平面ABE；

(2)求平面ABE与平面。”的夹角的余弦值.

17.(15分)

设等差数列｛q｝的公差为d,记S“是数列｛4｝的前力项和，若工=%+20，

(1)求数列｛4｝的通项公式；

4s1

(2)若d>0,bn=一」(neN*),数列也｝的前〃项和为7；,求证：Tn<n+-.

2

18.(17分)

2024年初，多地文旅部门用各种形式展现祖国大美河山，掀起了一波旅游热潮.某地游乐园一迷宫票价为

8元，游客从4处进入，沿图中实线游玩且只能向北或向东走，当路口走向不确定时，用抛硬币的方法选

择，硬币正面朝上向北走，否则向东走(每次抛掷硬币等可能出现正反两个结果)直到从X(X=1,2,

（1）随机调查了进游乐园的50名游客，统计出喜欢走迷宫的人数如表:

男性女性总计

喜欢走迷宫121830

不喜欢走迷宫13720

总计252550

判断能否在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为喜欢走迷宫与性别有关?

n^ad-bc^

(a+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

P（K2三人0）0.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

（2）走迷宫“路过路口8”记为事件B,从“X号走出”记为事件A*，求尸（4忸）和P（同4）值；

（3）设每天走迷宫的游客为500人，则迷宫项目每天收入约为多少？

19.（17分）

曲线的曲率是描述几何弯曲程度的量，曲率越大，曲线的弯曲程度越大.曲线在点M处的曲率

|y"|

K=UI3（其中/表示函数y=/（X）在点〃处的导数,V'表示导函数/'（%）在点M处的导数）.在

曲线y=/（x）上点M处的法线（过该点且垂直于该点处的切线的直线为曲线在此处的法线）指向曲线凹的

一侧上取一点D使得|加。|=工=0,则称以。为圆心，以p为半径的圆为曲线在M处的曲率圆，因为

K

此曲率圆与曲线弧度密切程度非常好，且再没有圆能介于此圆与曲线之间而与曲线相切，所以又称此圆为曲

线在此处的密切圆.

y

----x

(1)求出曲线G：%2=2在点M(0,J可处的曲率，并在曲线。2：肛=1的图象上找一个点E,使

曲线c2在点E处的曲率与曲线。在点M(O,J5)处的曲率相同；

(2)若要在曲线G：丁―妙=2上支凹侧放置圆03使其能在M仅,0)处与曲线。相切且半径最大，求

圆。3的方程；

(3)在(2)的条件下，在圆C3上任取一点P，曲线G上任取关于原点对称的两点4B,求PA-P6的最

大值.

数学参考答案

1.A2.D3.B4.B5.D6.A7.C8.C

9.AC10.ABC11.BCD

12.1613.16514.A/3

15.(1)因为o=e,

所以=1R2x+2ex—l^

可得/-(X)=+2e=21rlx+2ex,

XX

令q(x)=21nx+2ex,显然q(x)在(0,+8)上单调逆增且=0

因此当0<x<:时，则有q(无)<0,当时，则q(尤)>0,

于是有当0<x<：时，函数/(x)单调递减，当时，函数/(x)单调递增,

所以"x)mm=djTn2「+2eT-1=2.

21nx

(2)化简得/z(x)=1R2%—依一2,即/z1x)=------a,

x

因为M无)在(o,+8)上单调递减，

21nx

所以"(x)=—oWO在(0,+8)上恒成立，

X

,21nx7门、21nx

由-------ClW0CL三-----,

XX

、门/、21nx.,z、2(l-lnx)

设O(X)=----,则nI有夕(•¥)=△~

XX

当%>6时，0(x)单调逆减，

当Ovxve时，o(x)单调逆增，

./x2Ine2

所以0(x)=-----=一,

T\/max八八

要想(%)=------QWO在(0,+oo)上恒成立,

X

22

只需。N一,经检验，当。二一符合题意，

ee

因此。的取值范围为

16.(1)证明：取BE的中点N,连接AN,MN,

则上W〃5C且A/N=,

2

又AD〃5c且所以儿W〃AD且儿W=AD,

2

所以四边形AMWD为平行四边形，所以。欣〃AN.

又DM仁平面ABE,AMu平面ABE,

所以DM〃平面ABE.

(2)解：取A。的中点R连接OR

因为四边形48。为等腰梯形，所以O尸，5C,

又平面ABCDL平面8CE,平面ABCD平面3(五=5。，C*u平面A8CD,

所以OF_L平面BCE.

过点0作直线BC的垂线交BC于点G,

以。为坐标原点，分别以OG,0C,。尸所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

因为BC为直径，所以=

2

所以/5。£=30。，ZBOE=60°,ZEOG=30°.

在等腰梯形A8C£>中，AB=AD=DC=2,BC=4,

所以0歹=/22—=6，

所以石（6,—1,0）,C（0,2,0）,D（0,l,73）,5（0,—2,0）,A（0,-1,^/3）,

所以CE=（百3,0）,CD=（0,-1,A/3）,BE=（6,1,0）,BA=（0,1,^/3）

mCE=0

设平面DCE的法向量为m=(x,y,z)则《

m-CD-0

y/3x-3y=0

所以＜

—y+y/3z=0

令y=A/3,则x=3,z=1,

所以a=(3,百,1).

n,BE—+/?=0

设平面ABE的法向量为〃=(a,b,c),则<

n-BA=yj3c+/?=0

J65

设平面ABE与平面DCE的夹角为a,则cosa=1J=——,

m-n65

所以平面ABE与平面DCE的夹角的余弦值为^—.

65

17.⑴gj+2。，S5=%^=5%，得见=%+2。，解得%=5,

=aaaS--（4+&）

由九----L4-OVl-Q,e=15/，

所以15%=5a2a8,

所以/=0或。2=3，

当。8=。时d=―—―=一1,止匕时为=%+（〃-3）d=8—〃；

8—3

当。2=3时d=%—4=2，此时c1n=4+（〃-3）d=2n—1；

综上可得数列｛an｝的通项公式为4=8—〃或4=2〃-1；

（l+2n-l）n

（2）因为d>0,所以q=2〃—1,贝!——广一二〃29,

i4S“4n241—1+1

则b=-----=-------------=--------------

n%y〃+i（2ZZ-1）（2M+1）（2H-1）（2ZZ+1）

1+7------77------7=1-\-------------------

（2n-l）（2n+l）2（2〃-12n+l

11

+1+-

2y2n—l2n+l

111

=n+—\1-----n--\-------------------<〃+—.

2n+l22（2n+l）2

18.

2

（1）根据列联表中的数据可得K=5°。2X7-13）<：18）=3<3.841,

30x20x25x25

所以不能在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为喜欢走迷宫与性别有关.

（2）依题意当路口走向不确定时，用抛硬币的方法选择，所以向北与向东走的概率均为由A到路口B

2

需向北走2个，向东走3个路口，则不同路线有条,

所以P（B）=C；x।4

事件&B表示从A出发经过路口B最后从5号路口走出,

则P（&B）=C；

15

所以p（A忸）=尸（&⑻=胃=3,

'''P（B）5_8

16

P（冏表示从A出发最后从4号路口走出的条件下经过路口8的概率,

又尸⑷=戢

15

所以P（叫=噌=5

128

（3）依题意从X（X=l,2,3,4,5,6,7）号出口走出，返现金X元,

所以每名游客游玩一次游乐园收入可能取值为y=8-X,

所以p(y=7)=c；

p(y=6)=c；

p(y=5)=。，P[Y=

p(y=3)=c；，")=或

p(y=l)=&

所以每名游客游玩一次游乐园收入的期望为:

r9,28U56,70°56c28I9,

7x----i-6x----F5X----b4x----F3X---F2X----Fix---=4，

256256256256256256256

每天走迷宫的游客为500人，则迷宫项目每天收入约为500x4=2000元.

19.

(1)曲线G：产―必=2在点v

X2+2-X-

X

进一步有y'=I---------=,y

f+2

2