2024年高考数学专项复习：破解离心率问题之建立齐次式和几何化（解析版）

2024年高考数学专项复习破解离心率问题之建立齐次式和几何化（解析版）

破解离心率问题之建立齐次式和几何化

选择题（共9小题）

题目工如图，在平面直角坐标系吟;中，F是椭圆考■+*=l（a>b>0）的右焦点，直线夕=^■与椭圆交

ab2

于两点，且NBFC=90°,则该椭圆的离心率为（）

3832,2

遒瓦囱如图'在平面直角坐标系,3中，椭圆。营+蒋=g>9。）的左、右焦点分别为昂为椭

圆上一点（在c轴上方），连结PF1并延长交椭圆于另一点Q,且PR=3EQ,若PE垂直于c轴,则椭圆。的

C,丁D.g

22

题目区设月，月分别是双曲线C:与一与=l（a>0,b>0）的左、右焦点.圆22+方=口2+62与双曲线。的右

ab

支交于点且2|AR|=3|AR|,则双曲线离心率为（）

A.冬B.普C.XFD.V13

5521

题目©如图，后分别是双曲线另一g=l（a>0,6>0）的左、右焦点，点P是双曲线与圆/+?/2=a2+b2

ab

在第二象限的一个交点，点Q在双曲线上，且就=2刷,则双曲线的离心率为（）

CV39D.<

c•丁

5

题目可设圆锥曲线「的两个焦点分别为E，鸟.若曲线「上存在点P满足「网|:囱月：口园=5:4:2,则曲线

「的离心率等于（）

A.1■或/■或,C.2或&Dq或暂

22

题目自设用，月分别是椭圆E:与+9=l（a>b>0）的左、右焦点，ARLc轴，若|A月，|4月，㈤匆成等

ab

差数列，则椭圆的离心率为（）

AXc2V2

B。.丁

3f

「题目可如图，R,后分别是双曲线另一"=l（a>0,b>0）的左、右焦点，点P是双曲线与圆/+方=&2+〃

ab

在第二象限的一个交点，点Q在双曲线上，且第=:诙，则双曲线的离心率为（）

O

篁V17「V39八V37

2R3C-4口5

如图’已知双曲线/—%=l（a>°，b>。）上有一点4它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的

右焦点，且满足设/4BF=a,且06［白,引，则该双曲线离心率e的取值范围为（）

L120J

X

2

A.[V2,V3+1]B.[V3.2+V3]C.[V2,2+V3]D.[V3,V3+1]

题目回已知在菱形ABCD中，/BCD=60°,曲线G是以A,。为焦点,且经过B,。两点的椭圆，其离心率

为生；曲线Q是以4。为焦点，渐近线分别和AB,AD平行的双曲线，其离心率为e2,则e©=()

A。B.乎C.1D.

二.多选题(共1小题)

题目①已知椭圆M：W+W=l(a>b>0),双曲线N：名一4=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆

a2b2m2n2

的四个交点及椭圆旧的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确的是()

A.椭圆的离心率e=收一1B.双曲线的离心率e=2

C.椭圆上不存在点A使得福•市I<0D.双曲线上存在点B使得的•丽<0

三.填空题(共9小题)

题目叵]已知椭圆河:匕■+£=l(a>b>0),双曲线私口一马=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆

abmn

M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆朋■与双曲线N的离心率之积为

：题目W如图，在平面直角坐标系立。沙中，4,人2,8,5为椭圆M+S=l(a>b>0)的四个顶点，?为

ab

其右焦点，直线45与直线BpF相交于点T,线段OT与椭圆的交点为河，且万=33法则该椭圆的离心

率为

丽m如图'在平面直角坐标系心中’已知4,心分别为椭圆。春+%=1(09。)的右、下、上

顶点，F是椭圆。的右焦点.若EF，AB1，则椭圆。的离心率是

22

题目亘如图，在平面直角坐标系力Og中，F为椭圆号+*=1(。>b>0)的右焦点，B,。分别为椭圆的

a2b2

上、下顶点，直线BF与椭圆的另一个交点为。，且直线CD的斜率为十,则该椭圆的离心率为.

2

题目口自如图，在平面直角坐标系xOy中，点A位椭圆+<=l(a>6>0)的左顶点，点B、。在椭圆

ab

上，若四边形。4BC为平行四边形，且/OAB=45°,则椭圆E的离心率等于

题目叵已知用，£分别是双曲线。:考■—%=l(a>0,6>0)的左、右焦点，过区的直线Z与圆/+才=&2

ab

相切,且与双曲线的两渐近线分别交于点A,B,若(用X+演)•荏=0,则该双曲线。的离心率为

题目互已知E，E分别是双曲线C:g—¥=l(a>0,b>0)的左、右焦点，C是双曲线。的半焦距，点A

a2b2

2

是圆。：/+婿=C上一点,线段EA交双曲线。的右支于点B，且有\F!A\=a,AB=京运，则双曲线。的

离心率是

崩M设圆锥曲线。的两个焦点分别为E，月,若曲线。上存在点P满足启可：因用:F网=6:5:4,则曲

线。的离心率等于.

题目百已知双曲线名―”=l(a>0,6>0)右支上有一点4它关于原点的对称点为B,双曲线的右焦点

a~b~

为F,满足荏•访=0,且4LBF=5,则双曲线的离心率e的值是

6--------------

•••

破解离心率问题之建立齐次式和几何化

一.选择题（共9小题）

2,

逾订如图'在平面直角坐标系g中‘F是椭圆气+-^-=l(a>fe>0)的右焦点，直线g=可与椭圆交

bz2

于B,C两点，且4BFC=90°,则该椭圆的离心率为（)

一

A.萼B.C.2D.#

22

【解答】解:设右焦点F（c,0）,

将y=5代入椭圆方程可得c=±a^/l----~±^-a

可得唳空a」），。（孚电部

由ZBFC=90°,可得kBF-kCF^-l,

即有一•返Lj,

2vvO2O

化简为/=3a2-4c2,

由b2=，即有3C2=2a2,

22

由e=2，可得e2=—

aa2

可得e=乎，

o

故选：A.

22

题目⑸如图，在平面直角坐标系力中，椭圆。:%+斗=l（a>b>0）的左、右焦点分别为为椭

ab

圆上一点（在立轴上方）,连结PF.并延长交椭圆于另一点Q,且PF[=3月Q,若P鸟垂直于工轴，则椭圆。的

cV3

C-TD.空

予2/

【解答】解:设椭圆。：4+4=1(Q>6>0)的左、右焦点分别为E(—c,O),E(c,O),

a2bz

设F(m,n)，口>0,由PF2垂直于力轴可得M=C,

由n2=/(1—=与,可得n=里,

'Q2，@2Q

设Q(s,。，由「网=3片0,可得一0—。=3(5+。)，一2=3"

将。(一青C,代入椭圆方程可得年号+=1,

即25c2+a2-c2=9a2,即有a2=3c2,

故选：C.

「题目13设后，月分别是双曲线C:与一总■=l(a>0,b>0)的左、右焦点.圆/2+#=02+匕2与双曲线。的右

ab

支交于点A,且2M月|=3|A月I，则双曲线离心率为()

A.冬B.C.D.V13

552

【解答】解：可设4为第一象限的点，且|AF]|=zn,因月=71,

由题意可得2m=3n,①

由双曲线的定义可得m,—n=2a,②

由勾股定理可得m2+n2=4d+/),③

联立①②③消去m,n,可得：

36a2+16a2=4a2+4/,即/=12a2,

则e=—=yj1+=V1+12=V13^,

故选：D.

题目©如图，E，月分别是双曲线每一M=l(a>0,b>0)的左、右焦点，点P是双曲线与圆/+才=&2+廿

ab

在第二象限的一个交点，点Q在双曲线上，且加=2而,则双曲线的离心率为()

【解答】解:设网—CO),4(c,0),

仁+#=/+62=。2

2

由｛iy_整理可得：W+Q2)/2=Q2c2+02冷

、a2b2

即cV=a2(a2+b2)+a2b2=a2(a2+2b2),

22

因为点P是双曲线与圆re?+才=a+b在第二象限的一个交点，

所以马=—空斗殖，

22222224

2222aC+ab(?—Q2c2—Q2b2—a2b2(c—a)6b

y="x=c——?—=---------?----------=

所以点P坐标为(―Wa?2”,§),

设点(2(馆,九)，贝IF1P=(c—a&+如，旦),F2Q—(m—c,n),

\cc/

z

2ZrCr—2am指-—-libCm^3c-2g陵+2b，

由月Q=2号P可得『欧c'所以

c-c

20Az2

/、、T2Vc

因为点Q(m,n)在双曲线—----二1上，所以1,

abb2

整理可得：野—卫正运+幺经2―芈=1,

aacc

圻〃9c212y/b2+c2、p口3c244V&2+c2

所以--=-----------即

3,2+1=-------------,

a2aaaa

诙、力闩叫•正云b尸9c4,6c2,16fe2+16c216c2—16a2+16c232C21久

两边同时平万可行：--H------+11=--------------=------------；----------=------16,

Qaaaa

Q42

所以岭一26%+17=0,即9e4-26e2+17=0,(9e2-17)(e2-l)=0,

a4a

可得：e2=与或e2=1(舍)，所以e=4工,

9o

故选：B.

题目回设圆锥曲线「的两个焦点分别为E，鸟.若曲线「上存在点P满足「网|:囱月：口园=5:4:2,则曲线

「的离心率等于()

人.今或春B.《或,C.2或劣D.4或J

【解答】解：由题意可设：|「同=5力，㈤£|=4力，|P£|=2很>0).

当圆锥曲线「为椭圆时，2c=\F]_Fi\—4t,2Q=\PF[\+|P£|=7九，离心率e=£•=二；

a7

当圆锥曲线「为双曲线时，2c=|用£|=4九2Q=|PE|—|P月|=3九・,・离心率e=9=±.

a3

综上可知，圆锥曲线「的离心率为弓或白.

故选：D.

22

题目回设用，月分别是椭圆E:与+9=l(a>b>0)的左、右焦点，4月，④轴，若因耳，因鸟1,囱昌|成等

ab

差数列，则椭圆的离心率为()

A.[B.JC.D.乌

3934•M

【解答】解：•.LI,MEI,IEEI成等差数列，

.•.2|4为=以园+㈤勾，

由椭圆定义可得，|AR|+ME|=2a,

二|AF]|=2a-2，

aa

4c2+卢Y)=(2a-叼4,2—=2a-—+2c,

可得3e2+2e—l=0,

所以椭圆的离心率e=；;

故选：A.

[题目⑶如图，E，E分别是双曲线另一g=l(a>0,6>0)的左、右焦点，点P是双曲线与圆/+d=a2+〃

一a2b1

在第二象限的一个交点，点Q在双曲线上,且用声=:的,则双曲线的离心率为()

O

【解答】解：E(-c,0),E(c,0),

(x2+y2=a2+b2=c2

联立『hl，解得六员,，

1abIV。2

在第二象限，P(-—Va2+2b2,—},

22

设Q(m,n),则F[P=(c--^Va+26,-^-^,F2Q=(m—c,n),

由第二《城，得!(a—c)=c-3®迈:4"=足，

33c3c

222

.43aVa+2b3b

cc

▼加n21.16c224VZM5,9(C2+52)9fe2

又下一至j・・丁-------「+丁一一L

A42

化简得：与一144+10=0,即2e4-7e2+5=0,

aQ

解得:•或e?=l(舍).

可得e=^(e>l).

故选：A.

题目回如图，已知双曲线考■—%=l(a>0,6>0)上有一点A,它关于原点的对称点为点F为双曲线的

a2b2

右焦点，且满足设乙4BF=a,且aC则该双曲线离心率e的取值范围为()

L126」

A.[V2,V3+1]B.[V3.2+V3]C.[V2,2+V3]D.[V3,V3+1]

【解答】解:在IttAABF中，|OF|=c,

/.\AB\—2c,

在直角三角形4BF中，乙4BF=a，可得|AF|=2csina,|BF|=2ccosa,

取左焦点F',连接AF',BF',可得四边形AFBF'为矩形，

/.\\BF\—|AF||=\AF'\—\AF\=2cleosa-sina|=2a,

.e=—c=---------1---------=------------1-----------

a|cosa-sin&|V2(cos(«+f)|)

cos(ff+f)e[”[咚即,'e[^^1，乌],

eE[A/2^,V3+1],

故选：A.

题目回已知在菱形ABCD中，乙BCD=60°,曲线G是以4。为焦点,且经过B,D两点的椭圆，其离心率

为生；曲线。2是以4。为焦点，渐近线分别和AB,AD平行的双曲线，其离心率为e2,则"2=()

【解答】解：：/BCD=60°,

A/BCA=30°,

设OB=1,则BC=2,OC=通，

♦.•椭圆G是以A,C为焦点，且经过B,。两点的椭圆，

:.c—OC—V3,

2a=BA+BC=2+2=4,得a=2,

则椭圆的离心率为ei=—=,

a2

则双曲线。2是以4。为焦点渐近线分别和AB,AD平行的双曲线,

则双曲线中c=OC=，§,

AB的斜率k=tan30°=空，即2=暇，

3a3

•••

则-=乎义,=1,

故选：C.

二.多选题（共1小题）

题目1o］已知椭圆河:4+E=l（a>b>0）,双曲线N：M—4=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆

abmn

加的四个交点及椭圆”的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确的是（）

A.椭圆的离心率e=6—1B.双曲线的离心率e=2

C.椭圆上不存在点A使得南•演<0D.双曲线上存在点B使得丽•就<0

【解答】解:椭圆M:g+%=l（a>b>0）,双曲线N：W-%=1,

abmn

若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆加的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，

设椭圆的右焦点坐标（C,0）,则正六边形的一个顶点（5,呼）,

对于A.将（［,卑）代入椭圆方程，得：£+丝=1,

'22，4a4b

结合e产—,a2=b?+c2,可得ef—8ei+4=0,因为eV（0,1）,解得ei=V3—1,故y1正确；

a

对于R把（二）代入双曲线的渐近线方程y—不妨设m>0,九>0）,得~^~c——X，所

v22/m2m2

则双曲线的离心率e2=J1+（言y=2,故B正确；

对于C.当4点是短轴的端点时，/EAR最大，

由9=四一1,得冬=4—2/■，又。2=&2-&2从而可得耳=2/^-3,乌=与2=2^>1,

aa2a2b2273-33

所以c>6,则J/EAFpq,即/用4用〉等,所以福.现V0,故C错误；

对于O.当B点在实轴的端点时，向量国与向量现夹角为乃，此时，丽.说V0,故。正确；

故选：ABD.

三.填空题（共9小题）

题目上已知椭圆“:匕+4=l（a>fe>0）,双曲线N：三-吗=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆

abmn

”的四个交点及椭圆”的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆河与双曲线N的离心率之积为

2（73-1）.

［解答］解：不妨设m,n>0,可设椭圆的焦点坐标F（-c,O）,C（c,O）,

正六边形的一个顶点?c),

由\FB\+|CB|=2a,即c+V3c=2a,

解得椭圆的e1=—=--=V3—1;

aV3+1

双曲线的渐近线的斜率为tan60°=V3,即—=V3,

m

可得双曲线的离心率为e2=J1+几2=V1+3=2.

Vm

即有椭圆”与双曲线N的离心率之积为2(V3-1).

故答案为：2(。-1).

22

题目也如图，在平面直角坐标系立。沙中，小，人2,5,凡为椭圆与+*=l(a>6>0)的四个顶点，?为

ab

其右焦点，直线A5与直线BF相交于点T,线段OT与椭圆的交点为河，且加=33法则该椭圆的离心

率为5—717

2

【解答】解：直线43的方程为9直线的方程为^=上,一6,

ac

联立方程组("一£，+”,解得T(马J,ab+bc\

y=^x-b、a-ca-c'

•：OT=3OM,

2acab+be

3（Q—c）'3（a—c）/

4Q2比2a2b2(a+c)2

把河代入椭圆方程得:阳,

9(a—c)29(a—c)2

即4C2+(Q+欧=9(a—c)2,

化简得：2a2+c2—5<zc=0,

e'2—5e+2=0,

解得e=5-”或e=5+”(舍去).

故答案为：5一”.

22

「题目且如图，在平面直角坐标系加初中，已知4瓦，比分别为椭圆。:马+*=1(。>90)的右、下、上

一ab

顶点，F是椭圆C的右焦点.若显ABI，则椭圆。的离心率是迈尹.

可

【解答】解：F(c,0),A(a,0),5(0,—b),B2(0,b),

FB2—(—c,b),BrA=(a,b),

2

*/B2F_LABI,：.FB2•BXA=—ac+b=0,

Q2—c?—CbC—0,

化为：e2+e—1=0,0<e<1.

解得e=X/l,

故答案为：县;'.

藏目⑨如图，在平面直角坐标系xOy中，F为椭圆考■+%=l(a>b>0)的右焦点，B,。分别为椭圆的

arbz

上、下顶点，直线与椭圆的另一个交点为。，且直线CD的斜率为十，则该椭圆的离心率为—容

【解答】解：由题意可得B(O,b),。(0,—b),F(c,0),

be代入椭圆方程62rc2+a2?/2=a2b2,

(2_滔)

即为。

直线CD的斜率为I■，可得爪"?(c—a-)=X,

22Q2c2

即有(1—2bc,由(i—b2+c2，可得b=c='^2~a'

即e=9=W.

a2

故答案为：卓.

22

题目QT)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A位椭圆E:%+与=l(a>6>0)的左顶点，点B、。在椭圆

ab

上，若四边形048。为平行四边形，且/OAB=45°,则椭圆E的离心率等于手.

【解答】解：•••40是与2轴重合的，且四边形OABC为平行四边形，

：.BC//OA,

则B、。两点的纵坐标相等，B、。的横坐标互为相反数，

B、。两点是关于夕轴对称的.

由题知：OA=a

四边形O4B。为平行四边形,则BC=OA=af

可设B1—导y)C居,y),

代入椭圆方程解得：［y|=

设。为椭圆的右顶点，由于AOAB=45°,四边形OABC为平行四边形，

则/COc=45°,

圣b

对。点：解得a—

tan45°=---a---=1,V3b,

"2

根据(i—c2+fe2

得a2=c2+^-a2,即有c2=-|-a2,

oo

e?=2即e=^

3''3'

故答案为：等.

O

题目口目已知耳，耳分别是双曲线—£=l(a>0,b>0)的左、右焦点，过用的直线，与圆/+才=a2

a2b2

相切,且与双曲线的两渐近线分别交于点A,B,若(南+池)•荏=0,则该双曲线。的离心率为

【解答】解：法1(代数法)：因为Z与©。:/+/=a?相切，

所以直线斜率k=±g,

由对称性不妨考虑卜=与情形.

0

又双曲线C的渐近线方程为y=±2;r,则I垂直其中一条渐近线，

a

故Z与一渐近线的交点4,即为该渐近线与。。在第二象限的交点,

可得A（—£",个），如图,

设中点为河，由（嬴+豆力•赤=0,

即2项为•ZX=O,则有理M_LZ,又。4JLZ,

故OA〃其刊,且O为月月的中点，

所以A为RM的中点，则A,M三等分F[B,

由耳色=34N,得B（盟-c,"）,

由B在另一斩近线y——x上，

a

即有迦=_L（盟—J,则。2=3Q2,

CQ\C）

故离心率e=V3.

法2（几何法）:设/BOE=e,则AAOB=兀-29,

由题意易知|AR|=b,|4B|=2b,

在Rt/\OAB中，tanZAOB=tan（兀—2夕）=,又tan。=—,

aa

2b

则