经济数学微积分 第4版 课件 3-2 不定积分的换元积分法_第1页
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一、第一类换元积分法三、第二类换元积分法四、小结3.2不定积分的换元积分法二、有理函数的不定积分经济数学——微积分？解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令一、第一类换元积分法问题在一般情况下：设则如果（连续可导）由此可得第一换元积分法定理第一类换元积分法又称为凑微分法.说明使用此公式的关键在于将化为定理若∫f(x)dx=F(x)+C,则有其中φ(x)具有连续导数.例1求解：原式例2求解：原式解法1解法2解法3例3

求例4求解:一般地例5求又解:凑微分例6求解:常见的凑微分形式有：例7求例8求解：例9求解：例10求解：例11求解:(1)解（2）类似地可推出例12求解:例13求解：和形如∫sinmxcosnxdx的解题思路：m,n中有一个为奇数时，将奇数次中的一个与dx进行凑微分.降幂拆项二、有理函数的积分按照分母中因式的情况，将真分式拆成以Q(x)的所有因式为分母的简单真分式之和，这种方法就称为部分分式法.部分分式的两种主要形式：(1)当分母中含有因式(x+a)k时，部分分式所含的对应项为(2)当分母中含有因式(x2+px+q)k,其中p2-4q<0时，部分分式所含的对应项为

部分分式中分母为一次因式的分子为常数，而分母为二次因式的分子为一次因式，其中分子中的待定系数可以通过分式相等求出.例14求解：设解得例15求解：例16求解：设解得解决方法换元过程令三、第二类换元积分法问题设x=ψ(t)单调可导，且ψ'(t)≠0，f[ψ(t)]ψ'(t)具有原函数F(t)，则有定理——第二类换元积分公式第二类换元积分法就是将不易积分的∫f(x)dx转化为易积的∫f[ψ(t)]ψ'(t)dt.1、根式代换例17求解：设，则原式例18求解：令例19求解：令例20

求解法一第一类换元积分法解法二第二类换元积分法2、三角代换例21

求解：令解：令例22

求原式所以【说明】以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令3、倒代换例23

求令解：例24求解：所以例25求4、其他代换解：设有些函数的积分方法可以有多种：例基本积分公式：四、小结两

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