经济数学微积分 第4版 课件 1-8 函数的连续性

一、函数的连续与间断四、小结1.8函数的连续性二、初等函数的连续性三、闭区间上连续函数的性质经济数学——微积分一、函数的连续与间断1.函数的增量注意：2.连续的定义定义1定义2即：函数在某点连续等价于函数在该点的极限存在且等于该点的函数值.从这个定义我们可以看出，函数在点x0处连续，必须满足以下三个条件：

（1）函数f(x)在点x0处有定义；3.单侧连续结论：4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.函数f(x)在[a,b]上连续（1）f(x)在(a,b)内连续；（2）在a点右连续；（3）在b点左连续.例1证由定义1知例2证例3解右连续但不左连续,5、函数的间断点（1）第一类间断点a.可去间断点特点:左右极限都存在注意

可去间断点只要改变或者补充可去间断处函数的定义,则可使其变为连续点.例4解例5解b.跳跃间断点为函数的跳跃间断点.跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.左右极限相等，则为可去间断点；左右极限不相等，则为跳跃间断点．（2）第二类间断点第二类间断点又分为无穷间断点和振荡间断点两种情况.例6解（左右极限中至少有一个是∞）例7解这时也称其为振荡间断点．可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx判断下列间断点类型:例8解例如,二、初等函数的连续性1.

连续函数的和、差、积、商的连续性定理

严格单调递增（递减）的连续函数必有严格单调递增（递减）的连续反函数．例如,反三角函数在其定义域内皆连续.2.

反函数与复合函数的连续性定理例9即：连续复合函数的极限计算中lim与f可交换解原式定理

（连续函数的复合函数是连续函数）

设y=f(u)与u=g(x)构成复合函数y=f[g(x)].若则

一切初等函数在其定义区间内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间.３.

初等函数的连续性1.初等函数其定义区间内连续；注意

2.初等函数在连续点求极限可用代入法.定理三、闭区间上连续函数的性质1、最大值和最小值定理与有界性例如,

设函数y=f(x)在区间I上有定义,如果存在x1,x2,使得对任意的x∈I,有

f(x2)≤f(x)≤f(x1)那么称f(x1),f(x2)分别为函数y=f(x)在I上的最大值和最小值,最大值与最小值统称为最值.点x1,x2分别称为f(x)的最大值点和最小值点.

定义闭区间上连续函数必取得最大值和最小值.(有界性和最大值和最小值定理)定理推论：闭区间的上连续函数有界.注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.2、介值定理与零点定理定理（1）介值定理几何解释:MBCAmab推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.（2）零点定理定理(零点定理)

几何解释：例10证由零点定理,例11证由零点定理,辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理.五、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点4.初等函数的连续性（1）初等函数在其定义区间上连续；（2）初等函数的连续性在求极限时的应用：