四川省达州市普通高中2024届高三第二次诊断性测试数学（文科）试题

2024年四川省达州市高考数学二诊试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）复数z满足（1﹣i）z＝i，则z的虚部是（）A． B． C．i D．i2．（5分）设全集U＝R，A＝{x|﹣1＜x⩽2}，B＝{x|x2﹣4x＜0}，则图中阴影部分对应的集合是（）A．{x|﹣1＜x⩽2} B．{x|0＜x⩽2} C．{x|﹣1＜x⩽0} D．{x|﹣1＜x＜0}3．（5分）如图是某地区2016﹣2023年旅游收入（单位：亿元）的条形图，则下列说法错误的是（）A．该地区2016﹣2019年旅游收入逐年递增 B．该地区2016﹣2023年旅游收入的中位数是4.30 C．经历了疫情之后，该地区2023年旅游收入恢复到接近2018年水平 D．该地区2016﹣2023年旅游收入的极差是3.694．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AB中点，P为线段C1D1上一动点，过D，E，P的平面截正方体的截面图形不可能是（）A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．菱形5．（5分）函数的部分图象大致为（）A． B． C． D．6．（5分）cos147°cos333°+cos57°cos63°＝（）A．1 B． C． D．7．（5分）已知实数a，b满足，则4a+2b最小值为（）A．4 B．8 C． D．8．（5分）双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，P为C上一点，若直线PA1与直线PA2斜率之积为2，则C的离心率为（）A． B． C．2 D．39．（5分）已知圆心为M（0，1）的⊙M与直线y＝x﹣1相切，则直线x＝﹣1被⊙M截得的弦长为（）A． B．1 C． D．210．（5分）已知向量＝（2，1），＝（3，6），若＝t+，且3•＝•（）A．3 B．4 C．5 D．611．（5分）如图，灯笼的主体可看作将一个椭圆绕短轴旋转得到的，这样的旋转体称为椭圆体．已知椭圆和计算．若灯笼主体的体积为，则该灯笼主体表面积取值范围为（）A． B． C． D．12．（5分）当x⩾0时，不等式ex﹣ax⩾（x﹣1）2恒成立，则a取值范围是（）A．（﹣∞，1] B． C．（﹣∞，e] D．（﹣∞，3]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）若“x＞a”是“log2x＞1”的充分不必要条件，则a的取值范围是．14．（5分）已知，则f（f（3））＝．15．（5分）将函数的图象向左平移a（a＞0）个单位得到函数g（x），则a的最小值为．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，满足DC＝2DB，a＝6．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17．（12分）等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝8，且S9＝0．（1）求Sn；（2）若{bn}为等比数列，，求{bn}通项公式．18．（12分）随着AI技术的不断发展，人工智能科技在越来越多的领域发挥着重要的作用．某校在寒假里给学生推荐了一套智能辅导系统，学生可自愿选择是否使用该系统完成假期的作业．开学时进行了入学测试使用智能辅导系统未使用智能辅导系统合计入学测试成绩优秀202040入学测试成绩不优秀402060合计6040100（1）判断是否有95%的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关；（2）若把这100名学生按照入学测试成绩是否优秀进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人附．P（K2≥k0）0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.63519．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝3，BC＝2AD＝41D1，E，F分别为AB，CC1中点．（1）证明：EF∥平面CD1A；（2）若，求点B到平面CDD1C1的距离．20．（12分）已知抛物线Γ：y2＝2px（p＞0），直线l：y＝k（x﹣p）与Γ交于A，线段AB中点M（xm，ym），kym＝2．（1）求抛物线Γ的方程；（2）直线l与x轴交于点C，O为原点，设△BOC，△MOA的面积分别为S△BOC，S△COM，S△MOA，若S△BOC，S△COM，S△MOA成等差数列，求k．21．（12分）已知．（1）当m＝1时，求f（x）在点（1，f（1）；（2）令h（x）＝g（x）﹣f（x）（1，e）时，判断h（x）零点的个数(选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．)[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线（α为参数），以坐标原点O为极点，曲线C2的极坐标方程为．（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）求以曲线C1与曲线C2的公共点为顶点的多边形面积．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）＝|x+3|﹣|2x﹣4|，不等式f（x）（1）求m取值范围；（2）记m的最大值为n，3a+b+2c＝n，求5a2+b2+c2+2ab的最小值．

2024年四川省达州市高考数学二诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）复数z满足（1﹣i）z＝i，则z的虚部是（）A． B． C．i D．i【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．【解答】解：（1﹣i）z＝i，则z＝＝，其虚部为．故选：B．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．2．（5分）设全集U＝R，A＝{x|﹣1＜x⩽2}，B＝{x|x2﹣4x＜0}，则图中阴影部分对应的集合是（）A．{x|﹣1＜x⩽2} B．{x|0＜x⩽2} C．{x|﹣1＜x⩽0} D．{x|﹣1＜x＜0}【分析】化简集合B，求出∁UB与A∩（∁UB），即可得出图中阴影部分对应的集合．【解答】解：因为全集U＝R，A＝{x|﹣1＜x⩽2}7﹣4x＜0}＝{x|3＜x＜4}，所以∁UB＝{x|x≤0或x≥4}，所以A∩（∁UB）＝{x|﹣1＜x≤0}，即图中阴影部分对应的集合是{x|﹣3＜x≤0}．故选：C．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．3．（5分）如图是某地区2016﹣2023年旅游收入（单位：亿元）的条形图，则下列说法错误的是（）A．该地区2016﹣2019年旅游收入逐年递增 B．该地区2016﹣2023年旅游收入的中位数是4.30 C．经历了疫情之后，该地区2023年旅游收入恢复到接近2018年水平 D．该地区2016﹣2023年旅游收入的极差是3.69【分析】结合条形图，分析数据，判断A，C；根据中位数、平均数的定义即可判断B；根据极差的定义判断D．【解答】解：对于A，由条形图得2020﹣2023年旅游收不是逐年递增；对于B，由条形图得2016﹣2023年旅游收入的中位数为，故B错误；对于C，从条形图得2023年旅游收入为4.91亿元，故C错误；对于D，该地区2016﹣2023年旅游收入的极差为5.73﹣3.04＝3.69．故选：D．【点评】本题考查条形图、中位数、极差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AB中点，P为线段C1D1上一动点，过D，E，P的平面截正方体的截面图形不可能是（）A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．菱形【分析】讨论D1P＝0，0＜D1P＜D1C1，D1P＝D1C1，D1C1＜D1P＜D1C1，D1P＝D1C1时，截面图形分别是什么即可．【解答】解：①当D1P＝0，即P与D3重合时，如图1所示，取A1B2的中点F，连接DEFD1，截面DEFD1为矩形，选项B正确；②当7＜D1P＜D1C1时，如图6所示，截面DEMP为平行四边形；③当D1P＝D1C1时，如图2所示，截面DENP是菱形，选项D正确；④当D3C1＜D1P＜D4C1时，如图4所示：截面是五边形，⑤当D7P＝D1C1，即P与C4重合时，如图5所示：截面DER为梯形，所以选项A错误．故选：A．【点评】本题考查了正方体的截面性质与应用问题，是基础题．5．（5分）函数的部分图象大致为（）A． B． C． D．【分析】结合函数的奇偶性及对称性，特殊点的三角函数值检验各选项即可判断．【解答】解：函数定义域为R，f（﹣x）＝＝＝f（x），所以f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，C；因为f（0）＝，排除选项D．故选：A．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性及对称性的应用，属于基础题．6．（5分）cos147°cos333°+cos57°cos63°＝（）A．1 B． C． D．【分析】由已知结合诱导公式及和差角公式进行化简即可求解．【解答】解：cos147°cos333°+cos57°cos63°＝﹣cos33°cos27°+sin33°cos27°＝﹣cos60°＝﹣．故选：D．【点评】本题主要考查了诱导公式，和差角公式的应用，属于基础题．7．（5分）已知实数a，b满足，则4a+2b最小值为（）A．4 B．8 C． D．【分析】由已知结合基本不等式及指数幂的运算性质即可求解．【解答】解：因为实数a，b满足，则5a+2b≥2＝2＝8，当且仅当b＝2a，即a＝5．故选：B．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．8．（5分）双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，P为C上一点，若直线PA1与直线PA2斜率之积为2，则C的离心率为（）A． B． C．2 D．3【分析】设P（m，n），由直线的斜率公式，结合P的坐标满足双曲线的方程，可得a，b的关系，由离心率公式，可得所求值．【解答】解：由题意可得A1（﹣a，0），A8（a，0），设P（m，n）﹣＝62＝b2（﹣1）＝2﹣a2），又直线PA1与直线PA2斜率之积为4，可得•＝＝，即有离心率e＝＝＝＝．故选：B．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．9．（5分）已知圆心为M（0，1）的⊙M与直线y＝x﹣1相切，则直线x＝﹣1被⊙M截得的弦长为（）A． B．1 C． D．2【分析】根据已知条件，结合点到直线的距离公式和垂径定理，即可求解．【解答】解：由圆心为M（0，1）的⊙M与直线y＝x﹣7相切，可得圆的半径r＝＝，可得圆方程为x2+（y﹣1）5＝2，又圆心到直线x＝﹣1距离d＝3，则直线x＝﹣1被⊙M截得的弦长为2＝2．故选：D．【点评】本题主要考查线圆相切，相交及圆的方程，属于基础题．10．（5分）已知向量＝（2，1），＝（3，6），若＝t+，且3•＝•（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据平面向量的坐标运算和数量积运算，求解即可．【解答】解：因为＝（2，＝（3，所以＝t+，t+6），又因为3•＝•，所以6（7t+3）+3（t+8）＝3（2t+2）+6（t+6），解得t＝7．故选：A．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算和数量积运算问题，是基础题．11．（5分）如图，灯笼的主体可看作将一个椭圆绕短轴旋转得到的，这样的旋转体称为椭圆体．已知椭圆和计算．若灯笼主体的体积为，则该灯笼主体表面积取值范围为（）A． B． C． D．【分析】由题意可得a，b的关系，进而求出表面积S的表达式，再由导数的性质可得函数在（2，4]上单调递增，进而求出表面积S的范围．【解答】解：由题意可得a6b＝，可得b＝，可得a＞2，所以S表＝（a2+2ab）＝（a2+），则S'＝（2a﹣••（a3﹣4），令S'＝0，可得a＝2，a∈（2，4]时，所以函数S在（2，而S（2）＝•（23+）＝16π（42+）＝；所以S∈（16π，]．故选：C．【点评】本题考查用求导的方法求函数的值域，属于中档题．12．（5分）当x⩾0时，不等式ex﹣ax⩾（x﹣1）2恒成立，则a取值范围是（）A．（﹣∞，1] B． C．（﹣∞，e] D．（﹣∞，3]【分析】由题意可得a≤（x＞0），令g（x）＝（x＞0），则有a≤g（x）min，利用导数求出函数y＝g（x）的最小值即可得答案．【解答】解：当x＝0时，不等式显然成立，当x＞0时，由题意可得a≤，令g（x）＝（x＞7），则有a≤g（x）min．则g'（x）＝＝，又因为x＞0，易知ex＞x+5，所以ex﹣（x+1）＞0，所以当x∈（5，1）时，g（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，g（x）单调递增；所以g（x）min＝g（1）＝e，所以a≤e．故选：C．【点评】本题考查了转化思想、导数的综合运用，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）若“x＞a”是“log2x＞1”的充分不必要条件，则a的取值范围是{a|a＞2}．【分析】先求出对数不等式，然后结合充分必要条件与集合包含关系的转化即可求解．【解答】解：由log2x＞1可得x＞2，若“x＞a”是“log2x＞1”的充分不必要条件，则a＞5．故答案为：{a|a＞2}．【点评】本题主要考查了充分必要条件的简单应用，属于基础题．14．（5分）已知，则f（f（3））＝1．【分析】先求出f（3）＝﹣|3﹣2|+1＝0，从而f（f（3））＝f（0），由此能求出结果．【解答】解：，∴f（3）＝﹣|4﹣2|+1＝8，则f（f（3））＝f（0）＝﹣02+8＝1．故答案为：1．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．（5分）将函数的图象向左平移a（a＞0）个单位得到函数g（x），则a的最小值为．【分析】先利用二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合函数图象的平移可求出g（x），然后结合已知函数值，代入即可求解．【解答】解：因为＝sin7x﹣），将f（x）的图象向左平移a（a＞4）个单位得到函数g（x）＝2sin（2x﹣+2a）的图象，若＝2sin（），则，k∈Z，因为a＞0，则a的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了函数图象的平移变换的应用，属于基础题．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，满足DC＝2DB，a＝64+2．【分析】由三角形的余弦定理和基本不等式推得△ABC为等边三角形，由两点的距离公式推得D的轨迹是以T（﹣5，0）为圆心，半径为4的圆，由圆的性质可得最大值．【解答】解：由角A，B，C的对边分别为，结合余弦定理可得，2（b2+c2）＝7bc（cosA+siA）＝4bcsin（A+），即有sin（A+）＝≥，当且仅当b＝c时，而sin（A+）≤1）＝1，可得A+＝，可得△ABC为等边三角形．以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴，可得B（﹣3，4），0），3），设D（x，由DC＝2DB，可得，化简可得（x+5）6+y2＝16，即D的轨迹是以T（﹣5，6）为圆心，则DA的最大值为DT+4＝+4＝4+5．故答案为：4+2．【点评】本题考查三角形的余弦定理和基本不等式、圆的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17．（12分）等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝8，且S9＝0．（1）求Sn；（2）若{bn}为等比数列，，求{bn}通项公式．【分析】（1）利用等差数列的性质求解；（2）利用等比数列的性质求解．【解答】解：（1）∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝8，且S7＝0，∴＝0，∴Sn＝8n+＝﹣n6+9n．（2）{bn}为等比数列，，∴＝4，b5＝﹣（8﹣5×2）＝2，∴q＝，∴{bn}通项公式为bn＝3×（）n﹣6＝23﹣n．【点评】本题考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．（12分）随着AI技术的不断发展，人工智能科技在越来越多的领域发挥着重要的作用．某校在寒假里给学生推荐了一套智能辅导系统，学生可自愿选择是否使用该系统完成假期的作业．开学时进行了入学测试使用智能辅导系统未使用智能辅导系统合计入学测试成绩优秀202040入学测试成绩不优秀402060合计6040100（1）判断是否有95%的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关；（2）若把这100名学生按照入学测试成绩是否优秀进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人附．P（K2≥k0）0.100.050.0250.010k02.7063.8415.0246.635【分析】（1）计算K2的值，与临界值比较，即可得出结论；（2）利用古典概型的概率公式求解．【解答】解：（1）零假设H0：入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统无关，由已知，利用公式可得＝，我们推断H0成立，即没有95%的把握认为相关；（2）设事件A表示“抽取的2人中恰8人的入学测试成绩优秀”，由题意可知，抽取的5人中，入学测试成绩不优秀有3人，则P（A）＝＝．【点评】本题主要考查了独立性检验的应用，考查了古典概型的概率公式，属于基础题．19．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝3，BC＝2AD＝41D1，E，F分别为AB，CC1中点．（1）证明：EF∥平面CD1A；（2）若，求点B到平面CDD1C1的距离．【分析】（1）先证平面EFG∥平面CD1A，再利用面面平行的性质定理即可得证；（2）利用等体积法求点到平面的距离即可．【解答】解：（1）证明：设D1C1中点为G，连接FG，∵FG为△CC3D1中位线，FG∥CD1，CD7⊂平面CD1A，FG⊄平面CD1A，∴FG∥平面CD7A，∵EG为梯形ABC1D1中位线，EG∥AD5，AD1⊂平面CD1A，EG⊄平面CD4A，∴EG∥平面CD1A，∵EG∩FG＝G，FG⊂平面EFG，∴平面EFG∥平面CD1A，∵EF⊂平面EFG，∴EF∥平面CD6A．（2）如图连接BD1，∵AB⊥BC，AB⊥BC1，BC∩BC3＝B，∴AB⊥平面BCC1D1平面BCC4的距离为3，∵BC＝BC1，，∴，等腰梯形CDD6C1中可求，设B到平面CDD6C1的距离为h，∴，∵，∴h＝8，∴B到平面CDD1C1的距离为3．【点评】本题考查线面平行的判定以及等体积法求点到平面的距离，属于中档题．20．（12分）已知抛物线Γ：y2＝2px（p＞0），直线l：y＝k（x﹣p）与Γ交于A，线段AB中点M（xm，ym），kym＝2．（1）求抛物线Γ的方程；（2）直线l与x轴交于点C，O为原点，设△BOC，△MOA的面积分别为S△BOC，S△COM，S△MOA，若S△BOC，S△COM，S△MOA成等差数列，求k．【分析】（1）由题意，设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求出点M的纵坐标，代入等式求出p的值，进而可得抛物线的方程；（2）将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及等差数列的性质列出等式再按部就班进行求解．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x5，y2），联立，消去x并整理得ky2﹣2py﹣7p2k＝0，由韦达定理得，所以，因为kym＝3，所以p＝2，则抛物线Γ的方程为y2＝3x；（2）联立，消去x并整理得ky2﹣4y﹣6k＝0，此时Δ＞0，由韦达定理得，y2y2＝﹣8，因为S△BOC，S△COM，S△MOA成等差数列，所以|y5|，|ym|，|y1|﹣|ym|成等差数列，此时2|ym|＝|y2|+|y1|﹣|ym|，可得3|ym|＝|y4|+|y2|，即3|ym|＝|y6﹣y2|，对等式两边同时平方得，即，解得．【点评】本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．21．（12分）已知．（1）当m＝1时，求f（x）在点（1，f（1）；（2）令h（x）＝g（x）﹣f（x）（1，e）时，判断h（x）零点的个数【分析】（1）根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解；（2）先求出h（x），利用导数研究函数的单调性，并对m分类讨论，即可求解．【解答】解（1）∵m＝1，∴，f（1）＝3，2），∵，f′（1）＝﹣1，∴f（x）在点（8，f（1））处切线方程为：x+y﹣3＝0；（2）∵h（x）＝g（x）﹣f（x）＝mx﹣4lnx+2﹣m，则，∵x∈（4，e），∴x﹣1＞0，当m≤7时，mx﹣2＜0，∴h（x）在（5，e）上单调递减，∴h（x）＜h（1）＝m≤0，h（x）无零点，当m＞0时，令mx﹣4＝0，，若，即m≥2时，∴h（x）在（3，e）上单调递增，∴h（x）＞h（1）＝m＞0，h（x）无零点，若，即时，，h′（x）＜0，，h′（x）＞0，∴，设F（x）＝6﹣x﹣2ln2+3lnx﹣xln2+xlnx，，∴，设G（x）＝F′（x），，即G（x）在（，G（x）＞G（2）＝1＞0，即F′（x）＞3，F（x）在（，2）上单调递增，，h（x）无零点，若，即时，h′（x）＜0，∴h（x）在（1，c）上单调递减，，∴，即时，h（x）无零点，∴me﹣m﹣＜0，