2025高考帮备考教案数学第四章　三角函数第3讲　两角和与差的正弦、余弦、正切公式与二倍角公式含答案

2025高考帮备考教案数学第四章三角函数第3讲两角和与差的正弦、余弦、正切公式与二倍角公式课标要求命题点五年考情命题分析预测1.知道两角差余弦公式的意义.2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.和、差、倍角公式的直接应用2023新高考卷ⅠT8；2021全国卷甲T9；2020全国卷ⅠT9；2020全国卷ⅢT9；2019全国卷ⅡT10本讲每年必考，主要考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式的正用、逆用、变形用，主要体现在三角函数式的化简和求值中.题型以选择题、填空题为主，有时在解答题中也有应用，难度中等偏易.预计2025年高考命题趋势变化不大，在复习备考时要掌握公式及其变形，并能灵活应用，应用时注意角和函数名的变换.和、差、倍角公式的逆用与变形用2023新高考卷ⅡT7；2022新高考卷ⅡT6；2022北京T13；2021全国卷乙T6；2020全国卷ⅢT5角的变换问题2022浙江T13；2019江苏T13学生用书P0771.两角和与差的正弦、余弦、正切公式S（α±β）：sin（α±β）＝①sinαcosβ±cosαsinβ.C（α±β）：cos（α±β）＝②cosαcosβ∓sinαsinβ.T（α±β）：tan（α±β）＝③tanα±tanβ1∓tanαtanβ（α，注意在公式T（α±β）中，α，β，α±β都不等于kπ＋π2（k∈Z），即保证tanαtanβ，tan（α±β）都有意义.2.二倍角公式S2α：sin2α＝④2sinαcosα.C2α：cos2α＝⑤cos2α－sin2α＝⑥2cos2α－1＝⑦1－2sin2α.T2α：tan2α＝⑧2tanα1-tan2α（α≠kπ＋π2且α≠k（1）对于两角和的正弦、余弦、正切公式，分别令β＝α，可得二倍角的正弦、余弦、正切公式.（2）二倍角是相对的，如α2是α4的2倍，3α是3α2的3.辅助角公式asinα＋bcosα＝a2＋b2sin（α＋φ）（其中a≠0，sinφ＝ba2＋b2，cosφ＝a规律总结1.两角和与差的正切公式的变形tanα±tanβ＝tan（α±β）（1∓tanαtanβ）；tanα·tanβ＝1－tanα＋tanβtan（α2.降幂公式：sin2α＝1－cos2α2；cos2α＝1+cos2α2；sinαcosα3.升幂公式：cos2α＝2cos2α－1；cos2α＝1－2sin2α.4.其他常用变式sin2α＝2tanα1+tan2α；cos2α＝1－tan2α1+tan2α；tanα2＝sinα1+cosα＝1－cosαsinα；1＋sin2α＝（规律总结1.积化和差cosα·cosβ＝12[cos（α＋β）＋cos（α－β）]；sinα·sinβ＝－12[cos（α＋β）－cos（α－sinα·cosβ＝12[sin（α＋β）＋sin（α－β）]；cosα·sinβ＝12[sin（α＋β）－sin（α－β2.和差化积sinα＋sinβ＝2sinα＋β2cosα－β2；sinα－sinβcosα＋cosβ＝2cosα＋β2cosα－β2；cosα－cosβ注意和差化积和积化和差公式不要求记忆，可借助推导过程找规律，先得到积化和差的公式，再通过换元得到和差化积的公式.1.[2023北京海淀区月考]若tan（α－5π12）＝12，则tan（α－π6）的值为（A.3 B.13 C.－3 D.－解析因为tan（α－5π12）＝tan[（α－π6）－π4]＝tan（α－π6）－11+tan（2.已知sinα＝1517，α∈（π2，π），则cos（π4－α）的值为解析∵sinα＝1517，α∈（π2，π），∴cosα＝－1－sin2∴cos（π4－α）＝cosπ4cosα＋sinπ4sinα＝22×（－817）＋23.[全国卷Ⅱ]若sinx＝－23，则cos2x＝19解析cos2x＝1－2sin2x＝1－2×（－23）2＝14.[易错题]1+tan15°1－ta解析1+tan15°1－tan15°＝tan45°＋tan15°1－t5.若sinx－3cosx＝2sin（x－φ），φ＞0，则φ的最小值为π3解析因为sinx－3cosx＝2（12sinx－32cosx）＝2（sinxcosφ－cosxsinφ），所以cosφ＝12，sinφ＝32.因为φ＞0，所以6.[积化和差]函数f（x）＝sin（x＋π3）cosx的最小值为－12＋3解析因为f（x）＝12[sin（x＋π3＋x）＋sin（x＋π3－x）]＝12sin（2x＋πf（x）的最小值为－12＋37.[和差化积]在△ABC中，sinA＝cosB＋cosC，则△ABC的形状是直角三角形.解析cosB＋cosC＝2cosB＋C2·cosB－C2因为sinA＝cosB＋cosC，所以2sinA2cosA2＝2sinA2因为sinA2≠0，所以cosA2＝cosB－C2，易得A2与｜B－C｜2均小于π2，所以所以A＋C＝B或A＋B＝C，即π－B＝B或π－C＝C，即B＝π2或C＝π2，所以△ABC学生用书P078命题点1和、差、倍角公式的直接应用例1（1）[2023新高考卷Ⅰ]已知sin（α－β）＝13，cosαsinβ＝16，则cos（2α＋2β）＝（BA.79 B.19 C.－19 解析依题意，得sinαcosβ－cosαsinβ＝13，cosαsinβ＝1sinαcosβ＋cosαsinβ＝12＋16＝23，所以cos（2α＋2β）＝1－2sin2（α＋β）＝1－2×（23）2（2）[全国卷Ⅲ]已知2tanθ－tan（θ＋π4）＝7，则tanθ＝（DA.－2 B.－1 C.1 D.2解析由已知得2tanθ－tanθ+11－tanθ＝7方法技巧应用和、差、倍角公式化简求值的策略（1）首先要记住公式的结构特征和符号变化规律，例如两角和与差的余弦公式可简记为“同名相乘，符号反”；（2）注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用；（3）注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.训练1（1）[全国卷Ⅰ]已知α∈（0，π），且3cos2α－8cosα＝5，则sinα＝（A）A.53 B.23 C.13 解析∵3cos2α－8cosα＝5，∴3（2cos2α－1）－8cosα＝5，∴6cos2α－8cosα－8＝0，∴3cos2α－4cosα－4＝0，解得cosα＝2（舍去）或cosα＝－23.∵α∈（0，π），∴sinα＝1－cos2α（2）[2024广西玉林市联考]已知cos（α＋β）＝13，cosαcosβ＝12，则cos（2α－2β）＝（BA.－79 B.－19 C.19 解析由cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ，即13＝12－sinαsinβ，可得sinα·sinβ＝16，则cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝12＋16＝23，所以cos（2α－2β）＝2cos2（α－β）－1＝2×（23）2命题点2和、差、倍角公式的逆用与变形用例2（1）[2023新高考卷Ⅱ]已知α为锐角，cosα＝1+54，则sinα2＝（A.3－58 B.－1+58 C.解析cosα＝1+54＝1－2sin2α2，得sin2α2＝3－58＝6－2516＝（5－14）2（2）[2021全国卷乙]cos2π12－cos25π12＝（A.12 B.33 C.22 解析解法一原式＝1+cosπ62－1+解法二因为cos5π12＝sin（π2－5π12）＝sinπ12，所以cos2π12－cos25π12cos（2×π12）＝cosπ6＝32（3）[2022新高考卷Ⅱ]若sin（α＋β）＋cos（α＋β）＝22cos（α＋π4）sinβ，则（CA.tan（α－β）＝1 B.tan（α＋β）＝1C.tan（α－β）＝－1 D.tan（α＋β）＝－1解析sin（α＋β）＋cos（α＋β）＝2sin（α＋β＋π4）＝22sinβcos（α＋πsin（α＋π4）cosβ＋sinβcos（α＋π4）＝2sinβcos（α＋π4），整理得sin（α＋π4sinβcos（α＋π4）＝0，即sin（α＋π4－β）＝0，所以α－β＋π4＝kπ，k∈Z，所以tan（α－β）＝tan（kπ－π方法技巧1.运用两角和与差的三角函数公式时，要熟悉公式的正用、逆用及变形用，如tanα＋tanβ＝tan（α＋β）·（1－tanαtanβ）和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.2.对asinx＋bcosx化简时，辅助角φ的值如何求要清楚.训练2（1）在△ABC中，C＝120°，tanA＋tanB＝233，则tanAtanB的值为（BA.14 B.13 C.12 解析解法一由题意得tan（A＋B）＝－tanC＝－tan120°＝3，所以tan（A＋B）＝tanA＋tanB1－tanAtan解法二由已知，可取A＝B＝30°，则tanAtanB＝33×33＝1（2）[2022北京高考]若函数f（x）＝Asinx－3cosx的一个零点为π3，则A＝1f（π12）＝－2解析依题意得f（π3）＝A×32－3×12＝0，解得A＝1，所以f（x）＝sinx－32sin（x－π3），所以f（π12）＝2sin（π12－π3命题点3角的变换问题例3（1）[2024山东省部分学校联考]已知sin（x＋π12）＝－14，则cos（5π6－2x）＝（A.78 B.18 C.－78 解析因为sin（x＋π12）＝－14，所以cos（5π6－2x）＝cos（π－π6－2x）＝－cos（π6＋2x）＝－[1－2sin2（x＋π12）]＝－[1－2×（－14（2）若tan（α＋2β）＝2，tanβ＝－3，则tan（α＋β）＝－1，tanα＝12解析因为tan（α＋2β）＝2，tanβ＝－3，所以tan（α＋β）＝tan（α＋2β－β）＝tan（α+2β）－tanβ1+tan（α+2β）tanβ＝2方法技巧角的变换问题的解题思路1.当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和差倍半的形式.2.当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和差倍半的关系，注意换元思想的应用.3.常见的配角技巧：2α＝（α＋β）＋（α－β）；α＝（α＋β）－β＝（α－β）＋β；α－β＝（α－γ）＋（γ－β）；15°＝45°－30°；π4＋α＝π2－（π4－训练3（1）[2024江苏省南通市学情检测]已知sin（α＋π6）＝63，则sin（π6－2α）＝（A.－223 B.223 C.－1解析设α＋π6＝t，则α＝t－π6，sint＝63，∴sin（π6－2α）＝sin[π6－2（t－π6）]＝sin（π2－2t）＝cos2t＝1－2sin2t＝1－2×（（2）[2024辽宁省辽东南协作体联考]已知π4＜α＜3π4，0＜β＜π4，cos（π4－α）＝35，sin（3π4＋β）＝513，则sin解析∵π4＜α＜3π4，0＜β＜π4，∴－π2＜π4－α＜0，3π4＜3π4＋β－1－cos2（π4－α）＝－45，cos（3π4＋β）＝－1－sin2（3π4＋β）＝－1213，∴sin（α＋β）＝－cos[π2＋（α＋β）]＝－cos[（3π4＋β）－（π4－α）]＝－cos（3π4＋β）cos（π41.[命题点1/2024河北石家庄模拟]已知tan（α＋β），tan（α－β）是方程x2＋4x－3＝0的两个实数根，则sin2αcos2β＝（A.－2 B.－1 C.33 解析因为tan（α＋β），tan（α－β）是方程x2＋4x－3＝0的两个实数根，所以tan（α＋β）＋tan（α－β）＝－4，tan（α＋β）·tan（α－β）＝－3，所以sin2αcos2β＝sin[(α＋β）＋（α2.[命题点1/2023河北沧州部分学校联考]1796年，年仅19岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法，要用尺规作图作出正十七边形就要将圆十七等分，如图所示.设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为α，则cos（π－α）cos2αcos4αcos8α的值为116.解析cos（π－α）cos2αcos4αcos8α＝－sin2α2sinα·sin4α2sin2α·sin8α2sin4α·sin16α2sin8α＝－sin16α16sinα，易知α＝2π17，所以cos（π－3.[命题点2]已知sin2α＝23，则cos2（α＋π4）＝（AA.16 B.13 C.12 解析解法一cos2（α＋π4）＝12[1＋cos（2α＋π2）]＝12（1－sin2α解法二cos（α＋π4）＝22cosα－22sinα，所以cos2（α＋π4）＝12（cosα－12（1－2sinαcosα）＝12（1－sin2α）＝4.[命题点3]已知角α，β∈（0，π），cosα＝－33，sin（α＋β）＝14，则tanβ＝16解析因为α，β∈（0，π），cosα＝－33，sin（α＋β）＝14，所以α∈（π2，π），α＋β∈（π2，π），可得sinα＝63，cos（α＋β）＝－154，所以tanα＝－2，tan－1515.tanβ＝tan[（α＋β）－α]＝tan（α＋β）－tan5.[命题点3/2023乌鲁木齐质监]已知3sinα＋cosα＝23，则cos（2π3－2α）＝（A.－1718 B.－89 C.89 解析3sinα＋cosα＝2sin（α＋π6）＝23，设θ1＝α＋π6，则sinθ1＝26，设θ2α，则θ2＝π－2θ1，所以cosθ2＝cos（π－2θ1）＝－cos2θ1＝2sin2θ1－1＝－89，故选学生用书·练习帮P2931.已知cosx＝－14，x为第二象限角，则sin2x＝（CA.－154 B.154 C.－158 解析因为cosx＝－14，x为第二象限角，所以sinx＝154，所以sin2x＝2sinxcosx＝2×154×（－14）2.[2024重庆渝北中学模拟]sin47°sin103°＋sin43°·cos77°＝（B）A.－32 B.32 C.－12解析sin47°sin103°＋sin43°cos77°＝cos43°sin77°＋sin43°·cos77°＝sin（77°＋43°）＝sin120°＝323.[2024河北石家庄模拟]若tanθ＝5，则cos2θ＝（B）A.－35 B.－23 C.35 解析cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ－sin2θcos4.已知sin2α＝23，则cos2（α＋π4）＝（AA.16 B.13 C.12 解析解法一cos2（α＋π4）＝12[1＋cos（2α＋π2）]＝12（1－sin2α解法二cos（α＋π4）＝22cosα－22sinα，所以cos2（α＋π4）＝12（cosα－12（1－2sinαcosα）＝12（1－sin2α）＝5.[2024厦门大学附属科技中学模拟]已知sin（α＋π6）－cosα＝45，则sin（2α＋π6）＝（A.－725 B.725 C.－2425 解析由已知sin（α＋π6）－cosα＝sinαcosπ6＋cosα·sinπ6－cosα＝32sinα－12cosα＝sin（α－π6）＝45，则sin（2α＋π6）＝cos（2α－π3）＝1－2sin2（α－π6）＝1－6.[2024安徽六校联考]已知cos（α＋β）＝13，tanα·tanβ＝13，则cos（α－β）＝（DA.－16 B.16 C.－23 解析因为tanαtanβ＝13＝sinαsinβcosαcosβ，所以cosαcosβ＝3sinαsinβcosαcosβ－sinαsinβ，所以sinαsinβ＝16，cosαcosβ＝12，所以cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝237.已知α，β为锐角，且tanα＝17，cos（α＋β）＝255，则cos2β＝（A.35 B.23 C.45 解析由已知α为锐角，且tanα＝17，得到sinα＝210，cosα＝7210.由cos（α＋β）＝255且α，β为锐角，得到sin（α＋β）＝55，所以cosβ＝cos[（α＋β）－α]＝cos（α＋β）cosα＋sin（α＋β）sinα＝255×7210＋55×210＝31010，所以cos2β＝8.[2023高三名校联考]已知π4≤α≤π，π≤β≤3π2，sin2α＝45，cos（α＋β）＝－210，则β－αA.π4或3π4 B.π4 C.3解析解法一因为π4≤α≤π，所以π2≤2α≤2π，又sin2α＝45＞0，所以π2≤2α≤π，可得π4≤α≤π2，所以cos2因为π≤β≤3π2，所以π2≤β－α≤5π4，5π4≤α＋β≤2π，所以sin（α＋所以sin（β－α）＝sin[（α＋β）－2α]＝sin（α＋β）cos2α－cos（α＋β）sin2α＝－7210×（－35）－（－210）×45＝22，所以β解法二由题意，易得2α∈（π2，π），α＋β∈（5π4，2π），β－α∈（0，5π4），（提示：由sin2α＝45，π4≤α≤π得β－α＝（α＋β）－2α∈（π4，3π2），所以β－α∈（π49.[2023东北三省三校联考]若sin（2α＋π6）＋cos2α＝3，则tanα＝（CA.33 B.1 C.2－3 D.2＋解析由sin（2α＋π6）＋cos2α＝3，可得sin2αcosπ6＋cos2αsinπ6＋cos2α＝3，所以3（12sin2α＋32cos2α）＝3，即sin（2α＋π3）＝1，解得2α＋π3＝π2＋2kπ，k∈Z，即α＝π12＋kπ，k∈Z，则tanα＝tan（π12＋kπ）＝tanπ12＝tan（π3－π10.[2024山东泰安模拟]锐角α，β满足tanα＝cosβ1－sinβ，则（A.2α＋β＝π2 B.2α－β＝C.2α＋β＝3π4 D.2α－β解析tanα＝cosβ1－sinβ＝cos2β2－sin2β2cos2β2＋sin2β2－2sinβ2·cosβ2＝（cosβ2－sinβ2)(cosβ2＋sinβ2）（cosβ2－sinβ211.[2024陕西咸阳模拟]已知a＝2sin13，b＝3sin14，c＝4sin16，则（A.a＜c，a＋c＞2b B.a＜c，a＋c＜2bC.a＞c，a＋c＞2b D.a＞c，a＋c＜2b解析∵0＜16＜π2，∴0＜cos16＜1，∴2sin13＝2sin（2×16）＝4sin16cos16＜4sin∵0＜112＜16＜13＜π2，∴0＜cos112＜1，sin16＜sin13，即sin16－sin13＜0，∴a＋c＝2sin13＋4sin16＝3sin13＋3sin16＋（sin16－sin13）＜3sin13＋3sin16＝3sin（14＋112）＋3sin（14－112）＝12.点P0（45，35）为锐角α的终边与单位圆的交点，OP0（O为坐标原点）逆时针旋转π3得OP1，则点P1的横坐标为解析根据三角函数的定义可得sinα＝35，cosα＝45.由于OP0逆时针旋转π3得OP1，所以点P1的横坐标为cos（α＋π3）＝cosαcosπ3－sinαsinπ3＝45×113.如图1，正方形ABCD的边长为2，点M为线段CD的中点，现把正方形纸按照图2进行折叠，使点A与点M重合，折痕与AD交于点E，与BC交于点F.记∠MEF＝θ，则sin（θ＋π4）＝310图1 图2解析设DE＝x，则DM＝1，EM＝EA＝2－x，在Rt△DEM中，∠D＝90°，∴DE2＋DM2＝EM2，即x2＋12＝（2－x）2，x＝34，∴EM＝54，∴在Rt△DEM中，sin∠DEM＝DMEM＝45，则sin2θ＝sin（π－∠DEM）＝sin∠DEM＝45，sinθ＋cosθ＝（sinθ＋cosθ）2＝1+2sinθcosθ＝1+sin2θ＝355，∴sin（θ＋π4cosθ）＝22×35514.[条件创新]设函数y＝cos2x（x≥0）和函数y＝cos10x（x≥0）的图象公共点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，…，xn，若tan（x3－α）＝cosx4，则tan2α的值为（B）A.13 B.34 C.43解析令cos2x＝cos10x（x≥0），则有10x＝2x＋2kπ或10x＋2x＝2nπ，k，n∈N，解得x＝kπ4或x＝nπ6，k，n∈N，又函数y＝cos2x（x≥0）和函数y＝cos10x（x≥0）的图象的公共点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，…，xn，所以x＝0，π6，π4，π3，π2，2π3，…，故x3＝π4，x4＝π3，所以tan（x3－α）＝cosx4，即tan（π4－α）＝cosπ3＝12，即115.[角度创新]已知函数f（x）＝2cos（x＋π4）cos（x－π4）＋sinx，若对任意的实数x，恒有f（α1）≤f（x）≤f（α2），则cos（α1－α2）＝－1解析因为f（x）＝2（22cosx－22sinx）（22cosx＋22sinx）＋sinx＝2（12cos2x－12sin2x）＋sinx＝1－2sin2x＋sinx＝－2（sinx－14）2＋98，且f（x）对任意实数f（x）≤f（α2），所以sinα1＝－1，sinα2＝14.则cosα1＝0，cos（α1－α2）cosα1cosα2＋sinα1sinα2＝－sinα2＝－14.课标要求命题点五年考情命题分析预测能运用和、差、倍角公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）.三角函数式的化简2021新高考卷ⅠT6；2021全国卷甲T9本讲每年必考，主要考查利用三角函数的基本关系、诱导公式以及和、差、倍角公式进行化简求值.题型以选择题、填空题为主，有时在解答题中也有应用，难度中等偏易.预计2025年高考命题趋势变化不大，在复习备考时要掌握公式及其变形，并能灵活应用，应用时注意角和函数名的变换.三角函数式的求值2022浙江T13；2021新高考卷ⅠT6；2021全国卷乙T6；2020全国卷ⅠT9；2020全国卷ⅢT9；2019全国卷ⅡT10学生用书P079命题点1三角函数式的化简例1（1）[2021全国卷甲]若α∈（0，π2），tan2α＝cosα2－sinα，则tanαA.1515 B.55 C.53 解析因为tan2α＝sin2αcos2α＝2sinαcosα1－2sin2α，且tan2α＝cosα2－sinα，所以2sinαcosα1－2sin2α＝cosα2－sinα，由（2）化简：2cos2α－解析原式＝cos2α2tan（π4－α）co方法技巧化简三角函数式的方法与技巧1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构特征.2.化简时要注意观察条件中角之间的联系（和、差、倍、互余、互补等），寻找式子与三角函数公式间的联系，找到变形方向.训练1[2021新高考卷Ⅰ]若tanθ＝－2，则sinθ（1+sin2θ）sinA.－65 B.－25 C.25 解析解法一因为tanθ＝－2，所以sinθ（1+sin2θ）sinθ＋cosθ＝cosθ）＝sin2θ＋sinθcosθsin解法二因为tanθ＝－2，所以角θ的终边在第二或第四象限，所以sinθ＝25，cosθ＝－15或sinθ＝－cosθ）＝sin2θ＋sinθcosθ＝45－25＝25命题点2三角函数式的求值角度1给角求值例2（1）sin50°（1＋3tan10°）＝1.解析sin50°（1＋3tan10°）＝sin50°（1＋tan60°tan10°）＝sin50°×cos60°cos10°＋sin60°sin10°cos60°cos10°＝sin50°×cos（60°－10°）cos60°cos10°＝2sin50°cos50°cos10°（2）sin10°·sin30°·sin50°·sin70°＝116解析原式＝12cos20°·cos40°·cos80°＝sin20°·cos20°·cos40°·方法技巧给角求值问题的解题策略一般给出的角都是非特殊角，求解时要观察所给角与特殊角的关系及三角函数名称，然后进行角的变换和式子结构的变换，通过公式的正用、逆用及变形化简求值.注意当式子中出现12，1，32，3角度2给值求值例3（1）[2022浙江高考]若3sinα－sinβ＝10，α＋β＝π2，则sinα＝31010，cos2β＝解析因为α＋β＝π2，所以β＝π2－α，所以3sinα－sinβ＝3sinα－sin（π2－α）＝3sinα－cosα＝10sin（α－φ）＝10，其中sinφ＝1010，cosφ＝31010，所以α－φ＝π2＋2kπ，k∈Z，所以α＝π2＋φ＋2kπ，k∈Z，所以sinα＝sin（π2＋φ＋2kπ）＝cosφ＝31010，k∈Z.因为sinβ＝3sinα－10＝－1010，所以cos2β＝（2）[江苏高考]已知tanαtan（α＋π4）＝－23解析解法一tanαtan（α＋π4）＝tanαt当tanα＝2时，sin2α＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanαtan2α+1＝45，cos2α＝cos2α－sin2αsin2α＋cos2α＝1－tan2αtan2α＋1＝－35，此时sin2α＋cos2α＝15.同理当tanα解法二tanαtan（α＋π4）＝sinαcos（α＋π4）cosαsin（α＋π4）＝－23，则sinαcos（α＋π4）＝－23cosαsin（α＋π4），又22＝sin[（α＋π4）－α]＝sin（α＋π4）cosα－cos（α＋π4）·sinα＝53sin（α＋π4）cosα，则sin（α＋π4）cosα＝3210，则sin（2α＋π4）＝sin[（方法技巧给值求值问题的解题策略1.将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据已知条件和角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.2.把已知角与未知角建立联系求解.求解时要注意，角的范围不确定时应分类讨论.角度3给值求角例4（1）若sin2α＝55，sin（β－α）＝1010，且α∈[π4，π]，β∈[π，3π2]，则α＋βA.7π4 C.5π4或7π4 解析因为α∈[π4，π]，所以2α∈[π2，2π].又sin2α＝55，所以2α∈（π2，π），α∈（π4，π2），所以cos2α＝－1－sin22α＝－255.因为β∈[π，3π2]，所以α＋β∈（54π，2π），β－α∈（π2，5π4），所以cos（β－α）＝－1－sin2（β－α）＝－31010，所以cos（α＋β）＝cos[2α＋（β－α）]＝cos2αcos（β－α）－sin2α·sin（β－α）＝－2（2）已知α，β为锐角，且（1－3tanα）（1－3tanβ）＝4，则α＋β＝2π3解析将（1－3tanα）（1－3tanβ）＝4展开，得－3（tanα＋tanβ）＝3（1－tanα·tanβ），即tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝tan（α＋β）＝－3，由于α，β为锐角，所以0＜α＋β＜方法技巧给值求角问题的解题策略1.给值求角问题可转化为给值求值问题，通过求角的某个三角函数值来求角（注意角的范围），在选取函数时，遵循以下原则.（1）已知正切函数值，选正切函数.（2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围是（0，π2），选正、余弦函数皆可；若角的范围是（0，π），选余弦函数较好；若角的范围为（－π2，π注意所选函数尽量在确定的角的范围内单调，即一个函数值只对应一个角，避免产生多解.2.准确缩小角的范围也是求解的关键.常见的缩小角范围的方法：一是灵活运用条件中角的取值范围，运用不等式的性质（如“同向可加性”）求解；二是可以根据三角函数值的符号缩小角的范围；三是可以把已知三角函数值与特殊角的三角函数值比较，缩到更小的范围.训练2（1）[2024湖南省长沙市第一中学模拟]已知0＜β＜α＜π2，且cos（α－β）＝1213，cos2β＝35，则cos（α＋β）＝（A.1665 B.3365 C.5665 解析由0＜β＜α＜π2，得0＜α－β＜π2，又cos（α－β）＝1213，所以sin（α－β）＝1－（1213）2＝513，因为0＜2β＜π，cos2β＝cos（α＋β）＝cos[（α－β）＋2β]＝cos（α－β）cos2β－sin（α－β）sin2β＝1213×35－513×45＝（2）[2024河南省南阳市第一中学质量评估]已知tanα＝17，sinβ＝1010，α，β∈（0，π2），则α＋2β＝解析因为tanα＝17，α是锐角，所以0＜α＜π4，因为sinβ＝1010，β为锐角，所以0＜β＜π4，0＜α＋2β＜3π4，因为sinβ＝1010，所以cosβ＝31010，tanβ＝13，则tan2β＝2tanβ1－tan2β＝2×131－（13）（3）（1＋tan20°）（1＋tan25°）＝2.解析由题意知，（1＋tan20°）（1＋tan25°）＝1＋tan20°＋tan25°＋tan20°tan25°.因为tan20°＋tan25°＝tan45°（1－tan20°tan25°）＝1－tan20°tan25°，所以（1＋tan20°）（1＋tan25°）＝1＋1－tan20°tan25°＋tan20°tan25°＝2.1.[命题点1]化简：2－2－2+2+2cosα（3π＜α＜4π解析∵3π＜α＜4π，∴3π2＜α2＜2π，3π4＜α4＜π，3π8＜α8∴原式＝2－2－2+2cosα2＝22.[命题点1/2023河南省安阳部分重点高中模拟]若cosα2＝12sinα2，则1+sinα＋cosA.1 B.12 C.22 解析由已知得tanα2＝2，故sinα＝2sinα2cosα2cos2α2＋si－35，所以1+sinα＋cosα1－23.[命题点2角度2/2023湖南省株洲市素质检测]已知cos（π4＋x）＝35，17π12＜x＜7π4，则sin2解析sin2x+2sin2x1－tanx＝sin2x×1+sinxcosx1－tanx＝因为cos（π4＋x）＝35，17π12＜x＜7π4，所以5π3＜π4＋x＜－1－cos2所以tan（π4＋x）＝sin（π4又sin2x＝sin[2（π4＋x）－π2]＝－cos2（π4＋－[1－2sin2（π4＋x）]＝725，所以sin2x+2sin2x1－tanx＝sin2x×tan（π4＋x4.[命题点2角度3/2023广州市调研]若α，β∈（π2，π），且（1－cos2α）（1＋sinβ）＝sin2αcosβ，则下列结论正确的是（AA.2α＋β＝5π2 B.2α－βC.α＋β＝7π4 D.α－β解析由题意可得[1－（1－2sin2α）]（1＋sinβ）＝2sinαcosα·cosβ，因为sinα≠0，所以sinα＋sinαsinβ＝cosαcosβ，即sinα＝cos（α＋β）.因为α，β∈（π2，π），所以α＋β∈（π，2π），52π－α∈（3π2，2π），易得sinα＞0，所以cos（α＋β）＞0，所以α＋β∈（3π2，2π），sinα＝cos（α＋β）可变形为cos（52π－α）＝cos（α＋β）.因为y＝cosx在区间（3π2，2π）上单调递增，所以52π－α＝α＋学生用书·练习帮P2941.[2023黑龙江鹤岗一中模拟]已知tan（π－α）＝－2，则11+cos2α＝（A.23 B.34 C.45 解析因为tan（π－α）＝－2，所以tanα＝2，则11+cos2α＝sin2α＋co2.若θ为锐角，cos（θ＋π4）＝－210，则tanθ＋1tanθ＝（A.1225 B.2512 C.247 解析因为cos（θ＋π4）＝cosθcosπ4－sinθsinπ4＝22（cosθ－sinθ）＝－2sinθ＝－15解法一因为sin2θ＋cos2θ＝1且有0＜θ＜π2，所以sinθ＝45，cosθ＝35，所以tanθ＝sinθcosθ＝43，所以tanθ＋1tan解法二将cosθ－sinθ＝－15两边平方，整理得1－2sinθcosθ＝125，所以sinθcosθ＝1225，所以tanθ＋1tanθ＝sinθcosθ＋cos3.[2024四川成都新都一中模拟]sin50°1－cos80°3cos10°的值为（A.63 B.64 C.66 解析sin50°1－cos80°3cos10°＝2sin50°·sin40°3cos10°＝4.[数学文化]魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周率π约等于355113，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破.若已知π的近似值还可以表示成4sin52°，则1－2cosA.－18 B.－8 C.8 D.解析将π≈4sin52°代入1－2cos27°π16－π－cos14°8sin（90°+14°）＝－cos14°8cos14°5.[浙江高考]若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos（π4＋α）＝13，cos（π4－β2）＝33，则cos（αA.33 B.－33 C.539 解析不难发现α＋β2＝（π4＋α）－（π4－β2）.注意到0＜α＜π2，则π4＜α＋π4＜3π4，所以sin（又－π2＜β＜0，所以0＜－β2＜π4，所以π4＜π4－β2＜π2，所以sin（π4－β2）＝1－（33）2＝63，从而cos（α＋β2）＝cos[（π4＋α）－（π4－β2）]＝cos（π4＋α）cos（π4－β2）＋sin6.[2024浙江联考]已知2sinα－sinβ＝3，2cosα－cosβ＝1，则cos（2α－2β）＝（D）A.－18 B.154 C.14 解析由题可得，（2sinα－sinβ）2＝3，（2cosα－cosβ）2＝1，即4sin2α－4sinαsinβ＋sin2β＝3，4cos2α－4cosαcosβ＋cos2β＝1，两式相加可得4－4sinαsinβ－4cosαcosβ＋1＝4，即cosαcosβ＋sinαsinβ＝14，故cos（α－β）＝14，cos（2α－2β）＝2cos2（α－β）－1＝2×116－1＝－77.[2024广东阳江模拟]已知α∈（0，π），若3（sinα＋sin2α）＋cosα－cos2α＝0，则sin（α－π12）＝（CA.22 B.32 C.6＋2解析∵3（sinα＋sin2α）＋cosα－cos2α＝0，∴3sinα＋cosα＝cos2α－3sin2α，∴sin（α＋π6）＝sin（π6－2α），∴α＋π6＝π6－2α＋2kπ或α＋π6＋π6－2α＝2kπ＋π，k∈Z，即α＝2kπ3或α＝－（6k+2）π3，k∈Z，又α∈（0，π），∴α＝2π3，∴sin（α－π12）＝sin（2π3－π12）＝sin7π12＝sin8.已知cos4α－sin4α＝23，且α∈（0，π2），则sin2α＝53，cos（2α＋π3）＝解析∵cos4α－sin4α＝（sin2α＋cos2α）（cos2α－sin2α）＝cos2α＝23，又α∈（0，π2），∴2α∈（0，π），∴sin2α＝1－cos22α＝53，cos（2α＋π3）＝12cos2α－32sin29.[2023湖南张家界模拟]已知锐角α满足1＋3tan80°＝1sinα，则α解析1＋3tan80°＝sin80°＋3cos80°sin80°＝2sin（80°+60°）sin80°＝2sin140°2sin40°cos40°＝2sin40°2sin40°cos40°＝110.化简并求值.（1）3－4sin20°+8si（2）（1cos280°解析（1）原式＝3－4sin20°（1－2sin220°）2sin20°sin480°＝3－4sin20°cos40°2sin20°sin480°＝（2）原式＝（cos10°－3cos80°)(cos10°＋3cos80°）cos280°11.设θ∈R，则“0＜θ＜π3”是“3sinθ＋cos2θ＞1”的（AA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析3sinθ＋cos2θ＞1⇔3sinθ＞1－cos2θ＝2sin2θ⇔（2sinθ－3）sinθ＜0⇔0＜sinθ＜32.当0＜θ＜π3时，0＜sinθ＜32；当0＜sinθ＜32时，2kπ＜θ＜π3＋2kπ，k∈Z或2π3＋2kπ＜θ＜π＋2kπ，k∈Z.所以0＜θ＜π3是3sinθ＋12.已知tanα＝13，tanβ＝－17，且α，β∈（0，π），则2α－β＝（CA.π4 B.π4C.－3π4 D.π4或解析∵tanα＝13＞0，且α∈（0，π），∴α∈（0，π2），2α∈（0，π），∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×131－（13）2＝34＞0，∴2α∈（0，π2）.∵tanβ＝－1