2025高考帮备考教案数学第五章数列突破2　数列中的构造问题含答案

2025高考帮备考教案数学第五章数列突破2数列中的构造问题命题点1形如an＋1＝pan＋f（n）（p≠1）例1（1）在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an－2n－1，则an＝2n－1.解析因为an＋1＝3an－2n－1，所以an+12n+1＝3即an+12n+1－12＝32（an2n－12）.因为a121－12＝0（2）设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an－4n，则an＝2n＋1.解析由已知可得an＋1－（2n＋3）＝3[an－（2n＋1）]，an－（2n＋1）＝3[an－1－（2n－1）]，…，a2－5＝3（a1－3）.因为a1＝3，所以an＝2n＋1.命题拓展[变条件]若例1（2）中的a1＝4，则an＝3n－1＋2n＋1.解析设an＋1＋x（n＋1）＋y＝3（an＋xn＋y），则展开利用对应项系数相等可得出x＝－2，y＝－1，所以{an－2n－1}是以a1－2－1＝1为首项，3为公比的等比数列，所以an－2n－1＝3n－1，所以an＝3n－1＋2n＋1.方法技巧形如an＋1＝pan＋f（n）（p≠1）的递推式，一般采用构造法求通项：（1）若f（n）为非零常数，则一般凑配成an＋1＋x＝p（an＋x）的形式（利用待定系数法求x），构造等比数列；（2）若f（n）为关于n的一次函数，则一般凑配成an＋1＋x（n＋1）＋y＝p（an＋xn＋y）的形式（利用待定系数法求x，y），构造等比数列；（3）若f（n）为指数幂（如qn）的形式，则一般两边同时除以pn＋1或qn＋1，再利用累加法或构造法求通项.训练1在数列{an}中，a1＝5，an＋1＝3an－4，则an＝3n＋2.解析由an＋1＝3an－4，可得an＋1－2＝3（an－2），又a1＝5，所以{an－2}是以a1－2＝3为首项，3为公比的等比数列，所以an－2＝3n，所以an＝3n＋2.命题点2形如an＋1＝p例2[多选/2023江苏镇江中学5月考前模拟]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an2+3an，则下列结论正确的有（A.{1an＋B.{an}的通项公式为an＝1C.{an}为递增数列D.{1an}的前n项和Tn＝2n＋2－3n解析因为a1＝1，an＋1＝an2+3an，所以1an+1＝2+3anan＝2an＋又1a1＋3＝4，所以数列{1an＋3}是以4为首项，2为公比的等比数列，所以1an＋3＝42n＋1，即an＝12n+1－3，故A，B正确.因为an＋1－an＝12n+2－3－12n+1－3＝（2n+1－3）－（2n+2－3）（2n+2－3)(2n+1－3）＝－2n+1（2n+2－3)(2n+1－3），n≥1，所以2n＋2－3＞0，2n＋1－3＞0，－2n＋1＜0，所以an＋1－an＜0，所以{an}为递减数列，故C方法技巧形如an＋1＝panqan＋r的递推式，一般采用取倒数法求通项，先变形为1a训练2（1）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝anan+2，则a10＝（A.11021 B.11022 解析由an＋1＝anan+2，两边同时取倒数得1an+1＝an+2an＝2an＋1，则1an+1＋1＝2（1an＋1），所以数列{1an＋1}是以2为公比的等比数列，则1an＋1＝（1a1＋（2）已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2anan+2，则an解析依题意知an≠0，由an＋1＝2anan+2可得1an+1＝an+22an＝12＋1an，即1an+1－1an＝12，又a1＝1，可知数列{1an}是以命题点3形如an＋1＝pan＋qan－1（n≥2）例3已知数列{an}满足an＋1＝5an－6an－1（n≥2），且a1＝1，a2＝4，则数列{an}的通项公式为an＝2×3n－1－2n－1.解析解法一当n≥2时，令an＋1－xan＝y（an－xan－1），即an＋1＝（x＋y）an－xyan－1.于是得x＋y=5，－xy＝－6，解得x=2，y=3或x=3，y=2.当x＝2，y＝3时，an＋1－2an＝3（an－2an－1）（n≥2）.由于a2－2a1＝2≠0，所以数列{an＋1－2an}是以2为首项，3为公比的等比数列，即an＋1－2an＝2×3n－1①.当x＝3，y＝2时，an＋1－3an＝2（an－3an－1）（n≥2）.由于a2－3a1＝1≠0，所以数列{an＋1－3an}是以2n－1②.由①－②得an＝2×3n－1－2n－1.解法二当n≥2时，由an＋1＝5an－6an－1得an＋1－2an＝3an－6an－1，即an＋1－2an＝3（an－2an－1），因为a2－2a1＝2≠0，所以数列{an＋1－2an}是以2为首项，3为公比的等比数列，所以an＋1－2an＝2×3n－1，两边同除以2n＋1，得an+12n+1－an2n＝1所以an2n＝（an2n－an－12n－1）＋（an－12n－1－an－22n－2）＋…＋（a222－a121）＋a121＝12×（32）n－2＋12×（32）n－3＋…＋方法技巧形如an＋1＝pan＋qan－1（n≥2）的递推式，一般采用构造法求通项，将原式变形为an＋1＋λan＝μ（an＋λan－1）（n≥2），由待定系数法求出λ，μ，再依据相邻两项的递推关系求通项.训练3已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且对任意n∈N*，都有an＋2＝3an＋1－2an.则{an}的通项公式为an＝2n－1.解析由an＋2＝3an＋1－2an，得an＋2－an＋1＝2（an＋1－an），又a2－a1＝1，易知an＋1－an≠0，所以an+2－an+1an+1－an＝2，所以数列{anan＋1－an＝2n－1，所以an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a3－a2）＋（a2－a1）＋a1＝2n－2＋2n－3＋…＋21＋20＋1＝20＋21＋…＋2n－3＋2n－2＋1＝20×2n－1－12－1＋1＝2n－1，所以{an}的通项公式为思维帮·提升思维快速解题用“不动点法”求数列的通项公式例4已知数列{an}满足a1＝2，an＝an－1+22an－1+1（n≥2），则数列{解析令x＝x+22x+1，解得x＝1或x令an+1－1an由a1＝2，an＝an－1+22a令①式中的n＝1，可得c＝－13∴数列{an－1an+1}是以a∴an－1an+1＝13·（∴an＝3n方法技巧利用不动点法求数列通项的步骤对于一个函数f（x），我们把满足f（m）＝m的值m称为函数f（x）的“不动点”.利用“不动点法”可以构造新数列，求数列的通项公式.设f（x）＝ax＋bcx＋d（c≠0，ad－bc≠0），数列{an}满足an＋1＝f（an），a1≠f（1）若f（x）有两个相异的不动点p，q，则an+1－pan+1－q＝步骤如下：i.令x＝ax＋bcx＋dii.构造新数列{an+1－pan+1－q}，并将已知递推关系an＋1＝f（aniii.解方程得出an.（2）若f（x）有两个相同的不动点p，则1an+1－p＝1an－训练4已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝7an－2an+4，则该数列的通项公式为解析由方程x＝7x－2x+4，得数列{an}的不动点为1和2，则an+1－1an+1－2＝7an－2an+4－17an－2an+4－2＝7学生用书·练习帮P3141.数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝anan+1n（n+1）（n∈N*A.0 B.12 C.1 解析由an－an＋1＝anan+1n（n+1）（n∈N*），易知an≠0，两边同时除以anan＋1，得1a所以当n≥2时，1an＝（1an－1an－1）＋（1an－1－1an－2）＋…＋（1a2－1a1）＋1a1＝（1n－1－1n）＋（1n－2－1n－1）＋…＋（12－13）＋（1－12.[多选/2023云南玉溪一中7月模拟]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an1+3an（n∈N*），则（A.{1an}为等比数列 B.anC.{an}为递减数列 D.{1an}的前n项和Tn解析因为1an+1＝1+3anan＝1an＋3因为1an＝1＋3（n－1）＝3n－2，所以an＝13n因为函数y＝3x－2在[1，＋∞）上单调递增，且3x－2＞0，所以函数y＝13x－2在[1，＋∞）上单调递减，所以数列{an{1an}的前n项和Tn＝n（3n－1）23.[2024河南焦作统考]已知数列{an}满足an＋1＝3an＋2，a3＋a2＝22，则满足an＞160的最小正整数n＝5.解析由a3=3a2+2，a3＋a2=22，解得a2=5，a3=17，又a2＝3a1＋2，所以a1＝1.又由an＋1＝3an＋2，可得an＋1＋1＝3（an＋1），所以{an＋1}是首项为a1＋1＝2，公比为3的等比数列，所以an＝2×3n－1－1，易知{an}是递增数列，又a4＝2×27－1＝53，4.[2023合肥六中三模]已知在数列{an}中，a1＝5，a2＝2，an＝2an－1＋3an－2（n≥3），则数列{an}的通项公式为an＝74×3n－1＋134×（－1）n－1解析∵an＝2an－1＋3an－2（n≥3），∴an＋an－1＝3（an－1＋an－2）（n≥3），又a1＋a2＝7，∴{an＋1＋an}是首项为7，公比为3的等比数列，则an＋1＋an＝7×3n－1①，又an－3an－1＝－（an－1－3an－2）（n≥3），a2－3a1＝－13，∴{an＋1－3an}是首项为－13，公比为－1的等比数列，则an＋1－3an＝（－13）×（－1）n－1②，由①－②得，4an＝7×3n－1＋13×（－1）n－1，∴an＝74×3n－1＋134×（－1）n－5.[2023厦门双十中学三模改编]已知数列{an}满足a1＝1，an+12＝10an（an＞0），则{an}的通项公式为an＝10×（解析已知an+12＝10an，等式两边取以10为底的对数可得2lgan＋1＝lgan＋1，即lgan＋1－1＝12（lgan－1），所以数列{lgan－1}是以lga1－1＝－1为首项，12为公比的等比数列，所以lgan－1＝（－1）×（12）n－1＝－（12）n－1，即lgan＝1－（12）n－1，即6.[2023山东威海三模]已知数列{an}中，a1＝56，an＋1＝13an＋（12）n＋1，则{an}的通项公式为an＝32解析解法一（待定系数法）令an＋1＋λ（12）n＋1＝13[an＋λ（12即an＋1＝13an－λ3（12）n＋1，由对应项系数相等得λ设bn＝an－3×（12）n，则b1＝a1－3×（12）1＝－23，bn＋1＝1则数列{bn}是以－23为首项，13为公比的等比数列，则bn＝－23×（13）所以an＝32n－解法二（变形转化＋待定系数法）将an＋1＝13an＋（12）n＋1两边同时乘以2n＋1，得2n＋1an＋1＝23×（2nan）＋1.令cn＝2nan，则cn＋1＝23cn＋1，可得cn＋1－3＝23（cn－3），所以数列{cn－3}是首项为c1－3＝2×56－3＝－43，公比为23的等比数列，所以cn－3＝－43×（23）n－1，即cn＝3－2×（23）解法三（累加法）将an＋1＝13an＋（12）n＋1两边同时除以（13）n＋1，得3n＋1an＋1＝3n（32）n＋1.令tn＝3nan，则tn＋1＝tn＋（32）n＋1，所以当n≥2时，tn－tn－1＝（32）n，…，t3－t2＝（32）3，t2－t1＝（32）2.将以上各式相加，得tn－t1＝（32）2＋（32）3＋…＋（32）n（n≥2）.又t1＝3a1＝3×56＝52＝1＋32，所以tn＝1＋32＋（32）2＋…＋（32）n＝2×（32）n＋1－2（n≥2），当n＝1时也符合上式，故tn＝2×（327.[2024名师原创]设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1（n∈N*），且a1，a2＋5，a3成等差数列.（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式.解析（1）2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，令n＝2得2S2＝a3－23＋1，即2a1＋2a2＝a3－7①.因为a1，a2＋5，a3成等差数列，所以2（a2＋5）＝a1＋a3，即a3＝2（a2＋5）－a1②，将②代入①可得2a1＋2a2＝2（a2＋5）－a1－7，解得a1＝1，故a1的值为1.（2）因为2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，当n≥2时，2Sn－1＝an－2n＋1，两式作差可得an＋1＝3an＋2n，所以an＋1＋2n＋1＝3（an＋2n），n≥2，（原式难以配凑时，不妨先将原等式变形为an+12n+1＝32·an2n＋12，再令an+12易知a2＝5，所以an＋2n＝（a2＋22）×3n－2＝（5＋4）×3n－2＝3n，即an＝3n－2n，n≥2，将n＝1代入an＝3n－2n得a1＝31－21＝1，符合题意.故数列{an}的通项公式为an＝3n－2n.8.[2024浙江宁波模拟]已知数列{an}满足a1＝1，且对任意正整数m，n都有am＋n＝an＋am＋2mn.（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{（－1）nan}的前n项和Sn.解析（1）对任意正整数m，n都有am＋n＝an＋am＋2mn，取m＝1，得an＋1＝an＋1＋2n，所以an＋1－an＝2n＋1.当n≥2时，an＝a1＋（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（an－an－1）＝1＋3＋5＋…＋2n－1＝n（1+2n－1当n＝1时，a1＝1，符合上式，所以an＝n2.（2）当n为偶数时，Sn＝（－12＋22）＋（－32＋42）＋…＋[－（n－1）2＋n2]＝3＋7＋11＋…＋（2n－1）＝n2（3+2n－1当n为奇数时，Sn＝Sn－1＋（－1）nan＝Sn－1－an＝（n－1）n2综上所述，Sn＝n2命题点1数学文化情境下的数列应用例1[2021新高考卷Ⅰ]某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm×12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240dm2，对折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝180dm2，以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5；如果对折n次，那么∑nk=1Sk＝240（3－n+32解析依题意得，S1＝120×2＝240（dm2）；S2＝60×3＝180（dm2）；当n＝3时，共可以得到5dm×6dm，52dm×12dm，10dm×3dm，20dm×32dm四种规格的图形，且面积均为30dm2，所以S3＝30×4＝120（dm当n＝4时，共可以得到5dm×3dm，52dm×6dm，54dm×12dm，10dm×320dm×34dm五种规格的图形，所以对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5，且面积均为15dm2，所以S4＝15×5＝75（dm2……所以可归纳Sk＝2402k×（k＋1）＝所以∑k=1nSk＝240（1＋322＋423＋…＋所以12×∑k=1nSk＝240（222＋323＋424由①－②得，12×∑k=1nSk＝240（1＋122＋123＋124＋…＋12n－n+12n+1）＝240{1＋122[1－（12）方法技巧通过数学建模解决数学文化问题的步骤读懂题意会“脱去”题目中的背景，提取关键信息.构造模型由题意构建等差数列、等比数列或递推关系式的模型.“解模”把问题转化为与数列有关的问题，如求指定项、公差（或公比）、项数、通项公式或前n项和等.训练1[2023安徽名校联考]“物不知数”原载于《孙子算经》，它的系统解法是南宋数学家秦九韶在《数书九章·大衍求一术》中给出的.“大衍求一术”是中国古算中最具独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题.现有一道同余式组问题：将正整数中，被4除余1且被6除余3的数，按由小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，记{an}的前n项和为Sn，则S10＝（C）A.495 B.522 C.630 D.730解析由题知，被4除余1且被6除余3的数中，最小的正整数是9，则满足条件的数列{an}是以9为首项，12为公差的等差数列，则an＝12n－3（n∈N*），所以S10＝10×（9+117）2＝630.命题点2现代生活情境下的数列应用例2某市抗洪指挥部接到最新雨情预报，未来24h城区拦洪坝外洪水将超过警戒水位，因此需要紧急抽调工程机械加高加固拦洪坝.经测算，加高加固拦洪坝工程需要调用20辆某型号翻斗车，平均每辆翻斗车需要工作24h.而抗洪指挥部目前只有一辆翻斗车可立即投入施工，其余翻斗车需要从其他施工现场抽调.若抽调的翻斗车每隔20min才有一辆到达施工现场投入工作，要在24h内完成拦洪坝加高加固工程，指挥部至少还需要抽调这种型号翻斗车（C）A.25辆 B.24辆 C.23辆 D.22辆解析由题意可知，一辆翻斗车需要20×24＝480（h）才能完成拦洪坝的加高加固工程，设至少需要n辆这种型号的翻斗车才能在24h内完成该工程，这n辆翻斗车的工作时间（单位：h）按从大到小排列依次记为a1，a2，…，an，则数列{an}是公差为－13的等差数列，所以a1＝24，记{an}的前n项和为Sn，则Sn＝na1＋n（n－1）2×（－13）＝24n－16n（n－1），当n＝23时，Sn≈467.7＜480，当n＝24时，Sn＝484＞480，故训练2[多选]如图所示，这是小朋友们喜欢玩的彩虹塔叠叠乐玩具.某数学兴趣小组利用该玩具制订如下玩法：在2号杆中自下而上串有由大到小的n（n∈N*）个彩虹圈，将2号杆中的彩虹圈全部移动到1号杆中，3号杆可以作为过渡使用；每次只能移动一个彩虹圈，且无论在哪个杆中，小的彩虹圈必须放置在大的上方；将一个彩虹圈从一个杆移动到另一个杆中记为移动1次，记an为2号杆中n个彩虹圈全部移动到1号杆所需要的最少移动次数，设bn＝an＋1－n，则下面结论正确的是（ABD）A.a3＝7B.an＋1＝2an＋1C.bn＝2n＋n－1D.∑i=1nb解析由题意易得，a1＝1，a2＝3.易知将n＋1个彩虹圈全部移动到1号杆中所需要的最少次数为an＋1，若要将2号杆中的n＋1个彩虹圈全部移动到1号杆中，则第一步，将除了最大的彩虹圈的n个彩虹圈全部移动到3号杆中，所需要移动的最少次数为an；第二步，将最大的彩虹圈移动到1号杆中，最少需要移动1次；第三步，将3号杆中的n个彩虹圈全部移动到1号杆中，需要移动的最少次数为an，所以an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2（an＋1）.又a1＋1＝2，所以数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＋1＝2n，an＝2n－1，a3＝7，所以选项A，B均正确；因为bn＝an＋1－n，所以bn＝2n＋1－1－n，所以选项C错误；因为bn＋nbnbn+1＝1bn－1bn+1，所以∑i=1nbi＋ibibi+1＝1b1－1b2＋命题点3数列中的新定义问题例3我们把形如Fn＝22n＋1（n∈N）的数叫做“费马数”，设an＝log2（Fn－1），n∈N*，Sn表示数列{an}的前n项和，则使不等式22S1S2＋23S2S3＋A.5 B.6 C.7 D.8解析因为Fn＝22n＋1（n∈N），所以当n∈N*时，an＝log2（Fn－1）＝log2（22n＋1－1）＝2n，所以Sn＝2×（1－2n）1－2＝2n＋1－2.而2n+1SnSn+1＝2n+1（2n+1－2)(2n+2－2）＝12n+1－2－12n+2－2，所以22S1训练3函数y＝[x]称为高斯函数，[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg99]＝1.已知数列{an}满足a3＝3，且an＝n（an＋1－an），若bn＝[lgan]，则数列{bn}的前2025项和为4968.解析由an＝n（an＋1－an），得（n＋1）an＝nan＋1，即an+1an＝n+1n，利用累乘法（或an+1n+1＝ann＝a33＝1），可得an＝n.记{bn}的前n项和为Tn，当1≤n≤9时，0≤lgan＜1，bn＝[lgan]＝0；当10≤n≤99时，1≤lgan＜2，bn＝1；当100≤n≤999当1000≤n≤2025时，3≤lgan＜4，bn＝3.所以T2025＝（b1＋…＋b9）＋（b10＋…＋b99）＋（b100＋…＋b999）＋（b1000＋…＋b2025）＝9×0＋90×1＋900×2＋1026×3＝4968.1.[命题点1/2023河南郑州一模]我国古代有这样一个数学问题：今有男子善走，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？其大意是：现有一个善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走d里，九天他一共行走了一千二百六十里，求d的值.关于该问题，下列结论错误的是（A）A.d＝15B.此人第三天行走了一百二十里C.此人前七天一共行走了九百一十里D.此人前八天一共行走了一千零八十里解析设此人第n（n∈N*）天走an里，则数列{an}是公差为d的等差数列，记数列{an}的前n项和为Sn，由题意可得a1=100，S9=9a1+36d=1260，解得d＝10，A错.a3＝a1＋2d＝120，B对.S7＝7a1＋6×72d＝910，C对.S2.[命题点2/2023江西清江中学期末]现某药厂打算投入一条新的药品生产线，已知该生产线连续生产n年的累计年产量（单位：万件）为T（n）＝14n（n＋1）（n＋3），如果年产量超过60万件，可能出现产量过剩，产生药物浪费.从避免药物浪费和环境保护的角度出发，这条生产线的最大生产期限应拟定为（BA.7年 B.8年 C.9年 D.10年解析设第n年年产量为an，则第一年年产量为a1＝T1＝2，以后各年年产量为an＝T（n）－T（n－1）＝14n（3n＋5）（n≥2，n∈N*a1＝2也符合上式，所以an＝14n（3n＋5）（n∈N*）令14n（3n＋5）≤60，得3n2＋5n－240≤设f（x）＝3x2＋5x－240，其图象的对称轴为直线x＝－56，则当x＞0时，f（x）单调递增又f（8）＝3×82＋5×8－240＝－8＜0，f（9）＝3×92＋5×9－240＝48＞0，所以3n2＋5n－240≤0的最大正整数解为8，则这条生产线的最大生产期限应拟定为8年.故选B.3.[命题点3/多选/2023北京师范大学第二附属中学期中]若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称这个数列为“m积特征列”，若各项均为正数的等比数列{an}为“6积特征列”，且a1＞1，则当{an}的前n项之积最大时，n的值为（CD）A.5 B.4 C.3 D.2解析由{an}是等比数列，得an＝a1qn－1，其中q为数列{an}的公比.因为数列{an}是“6积特征列”，所以a6＝a1a2a3a4a5a6，所以a15q10＝1，所以a1q2＝1，所以a1＝q－因为数列{an}各项均为正数，a1＞1，所以0＜q＜1.设数列{an}的前n项之积为Pn，则有Pn＝a1a2…an＝a1nq1＋2＋3＋…＋（n－1）＝因为0＜q＜1，所以当n2－5n2结合二次函数的图象及n∈N*知当n＝2或n＝3时，n2－5n2最小，P学生用书·练习帮P3151.[2023武汉市5月模拟]将1，2，…，n按照某种顺序排成一列得到数列{an}，对任意1≤i＜j≤n，如果ai＞aj，那么称数对（ai，aj）构成数列{an}的一个逆序对.若n＝4，则恰有2个逆序对的数列{an}的个数为（B）A.4 B.5 C.6 D.7解析由题知数列{an}中的项都是正整数，当n＝4时，1≤i＜j≤4，将1，2，3，4按照某种顺序排成一列，则用列举法列出所有恰有2个逆序对的数列的组合为{1，4，2，3}，{1，3，4，2}，{2，1，4，3}，{2，3，1，4}，{3，1，2，4}，共5个，故选B.2.[2024湖南名校联考]南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列{an}本身不是等差数列，但从数列{an}中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列{bn}（称数列{an}为一阶等差数列），或者{bn}仍旧不是等差数列，但从数列{bn}中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列{cn}（称数列{an}为二阶等差数列）……以此类推，得到高阶等差数列.类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列{an}：1，1，3，27，729，…是一阶等比数列，则∑n=110log3an的值为（参考公式：12＋22＋…＋n2＝n6（n＋1）（2n＋1））（A.60 B.120 C.240 D.480解析由题意知，数列{an}为一阶等比数列.设bn＝an+1an，则{bn}为等比数列，其中b1＝1，b2＝3，公比为q＝b2b1＝3，所以bn＝3n－1.故an＝bn－1bn－2…b1·a1＝31＋2＋3＋…＋（n－2）＝3（n－1)(n－2）2，n≥212（n2－3n＋2）.所以∑n=110log3an＝log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a10＝12×[（12＋22＋…＋102）－3×（1＋2＋…＋10）＋2×10]＝12×[（16×10×11×21）－3×（1+10）×102＋3.[2023昆明市模拟]Farey序列是指把在0到1之间的所有分母不超过n（n∈N*）的最简分数及0（视为01）和1（视为11）按从小到大的顺序排列起来所形成的数列，记作F－n，例如F－4就是01，14，13，12，23，34，11.解析F－7中分子为1的有17，16，15，14，13，12；分子为2的有27，25，23；分子为3的有37，35，34；分子为4的有47，45；分子为5的有54.对于数列{an}，使数列{an}的前k项和为正整数的k的值叫做“幸福数”.已知an＝log4n+1n，则数列{an}在区间[1，2025]内的所有“幸福数”的个数为5解析an＝log4n+1n＝log4（n＋1）－log4n，设数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝log42－log41＋log43－log42＋…＋log4（n＋1）－log4n＝log4（n＋1根据题意得Sk为正整数，设Sk＝m（m∈N*），则log4（k＋1）＝m，所以k＋1＝4m，令1≤k≤2025，则1≤4m－1≤2025，故m可取1，2，3，4，5，共5个数，所以所求“幸福数”有5个，故答案为5.5.我国古人将一年分为二十四个节气，如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，冬至的晷长最长，夏至的晷长最短，周而复始.已知冬至的晷长为13.5尺，芒种的晷长为2.5尺，则一年中夏至到大雪的晷长的和为84尺.解析依题意