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2025高考帮备考教案数学第五章数列突破2数列中的构造问题命题点1形如an+1=pan+f(n)(p≠1)例1(1)在数列{an}中,a1=1,an+1=3an-2n-1,则an=2n-1.解析因为an+1=3an-2n-1,所以an+12n+1=3即an+12n+1-12=32(an2n-12).因为a121-12=0(2)设数列{an}满足a1=3,an+1=3an-4n,则an=2n+1.解析由已知可得an+1-(2n+3)=3[an-(2n+1)],an-(2n+1)=3[an-1-(2n-1)],…,a2-5=3(a1-3).因为a1=3,所以an=2n+1.命题拓展[变条件]若例1(2)中的a1=4,则an=3n-1+2n+1.解析设an+1+x(n+1)+y=3(an+xn+y),则展开利用对应项系数相等可得出x=-2,y=-1,所以{an-2n-1}是以a1-2-1=1为首项,3为公比的等比数列,所以an-2n-1=3n-1,所以an=3n-1+2n+1.方法技巧形如an+1=pan+f(n)(p≠1)的递推式,一般采用构造法求通项:(1)若f(n)为非零常数,则一般凑配成an+1+x=p(an+x)的形式(利用待定系数法求x),构造等比数列;(2)若f(n)为关于n的一次函数,则一般凑配成an+1+x(n+1)+y=p(an+xn+y)的形式(利用待定系数法求x,y),构造等比数列;(3)若f(n)为指数幂(如qn)的形式,则一般两边同时除以pn+1或qn+1,再利用累加法或构造法求通项.训练1在数列{an}中,a1=5,an+1=3an-4,则an=3n+2.解析由an+1=3an-4,可得an+1-2=3(an-2),又a1=5,所以{an-2}是以a1-2=3为首项,3为公比的等比数列,所以an-2=3n,所以an=3n+2.命题点2形如an+1=p例2[多选/2023江苏镇江中学5月考前模拟]已知数列{an}满足a1=1,an+1=an2+3an,则下列结论正确的有(A.{1an+B.{an}的通项公式为an=1C.{an}为递增数列D.{1an}的前n项和Tn=2n+2-3n解析因为a1=1,an+1=an2+3an,所以1an+1=2+3anan=2an+又1a1+3=4,所以数列{1an+3}是以4为首项,2为公比的等比数列,所以1an+3=42n+1,即an=12n+1-3,故A,B正确.因为an+1-an=12n+2-3-12n+1-3=(2n+1-3)-(2n+2-3)(2n+2-3)(2n+1-3)=-2n+1(2n+2-3)(2n+1-3),n≥1,所以2n+2-3>0,2n+1-3>0,-2n+1<0,所以an+1-an<0,所以{an}为递减数列,故C方法技巧形如an+1=panqan+r的递推式,一般采用取倒数法求通项,先变形为1a训练2(1)已知数列{an}满足a1=1,an+1=anan+2,则a10=(A.11021 B.11022 解析由an+1=anan+2,两边同时取倒数得1an+1=an+2an=2an+1,则1an+1+1=2(1an+1),所以数列{1an+1}是以2为公比的等比数列,则1an+1=(1a1+(2)已知数列{an}满足a1=1,an+1=2anan+2,则an解析依题意知an≠0,由an+1=2anan+2可得1an+1=an+22an=12+1an,即1an+1-1an=12,又a1=1,可知数列{1an}是以命题点3形如an+1=pan+qan-1(n≥2)例3已知数列{an}满足an+1=5an-6an-1(n≥2),且a1=1,a2=4,则数列{an}的通项公式为an=2×3n-1-2n-1.解析解法一当n≥2时,令an+1-xan=y(an-xan-1),即an+1=(x+y)an-xyan-1.于是得x+y=5,-xy=-6,解得x=2,y=3或x=3,y=2.当x=2,y=3时,an+1-2an=3(an-2an-1)(n≥2).由于a2-2a1=2≠0,所以数列{an+1-2an}是以2为首项,3为公比的等比数列,即an+1-2an=2×3n-1①.当x=3,y=2时,an+1-3an=2(an-3an-1)(n≥2).由于a2-3a1=1≠0,所以数列{an+1-3an}是以2n-1②.由①-②得an=2×3n-1-2n-1.解法二当n≥2时,由an+1=5an-6an-1得an+1-2an=3an-6an-1,即an+1-2an=3(an-2an-1),因为a2-2a1=2≠0,所以数列{an+1-2an}是以2为首项,3为公比的等比数列,所以an+1-2an=2×3n-1,两边同除以2n+1,得an+12n+1-an2n=1所以an2n=(an2n-an-12n-1)+(an-12n-1-an-22n-2)+…+(a222-a121)+a121=12×(32)n-2+12×(32)n-3+…+方法技巧形如an+1=pan+qan-1(n≥2)的递推式,一般采用构造法求通项,将原式变形为an+1+λan=μ(an+λan-1)(n≥2),由待定系数法求出λ,μ,再依据相邻两项的递推关系求通项.训练3已知数列{an}满足a1=1,a2=2,且对任意n∈N*,都有an+2=3an+1-2an.则{an}的通项公式为an=2n-1.解析由an+2=3an+1-2an,得an+2-an+1=2(an+1-an),又a2-a1=1,易知an+1-an≠0,所以an+2-an+1an+1-an=2,所以数列{anan+1-an=2n-1,所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=2n-2+2n-3+…+21+20+1=20+21+…+2n-3+2n-2+1=20×2n-1-12-1+1=2n-1,所以{an}的通项公式为思维帮·提升思维快速解题用“不动点法”求数列的通项公式例4已知数列{an}满足a1=2,an=an-1+22an-1+1(n≥2),则数列{解析令x=x+22x+1,解得x=1或x令an+1-1an由a1=2,an=an-1+22a令①式中的n=1,可得c=-13∴数列{an-1an+1}是以a∴an-1an+1=13·(∴an=3n方法技巧利用不动点法求数列通项的步骤对于一个函数f(x),我们把满足f(m)=m的值m称为函数f(x)的“不动点”.利用“不动点法”可以构造新数列,求数列的通项公式.设f(x)=ax+bcx+d(c≠0,ad-bc≠0),数列{an}满足an+1=f(an),a1≠f(1)若f(x)有两个相异的不动点p,q,则an+1-pan+1-q=步骤如下:i.令x=ax+bcx+dii.构造新数列{an+1-pan+1-q},并将已知递推关系an+1=f(aniii.解方程得出an.(2)若f(x)有两个相同的不动点p,则1an+1-p=1an-训练4已知数列{an}满足a1=3,an+1=7an-2an+4,则该数列的通项公式为解析由方程x=7x-2x+4,得数列{an}的不动点为1和2,则an+1-1an+1-2=7an-2an+4-17an-2an+4-2=7学生用书·练习帮P3141.数列{an}满足a1=1,an-an+1=anan+1n(n+1)(n∈N*A.0 B.12 C.1 解析由an-an+1=anan+1n(n+1)(n∈N*),易知an≠0,两边同时除以anan+1,得1a所以当n≥2时,1an=(1an-1an-1)+(1an-1-1an-2)+…+(1a2-1a1)+1a1=(1n-1-1n)+(1n-2-1n-1)+…+(12-13)+(1-12.[多选/2023云南玉溪一中7月模拟]已知数列{an}满足a1=1,an+1=an1+3an(n∈N*),则(A.{1an}为等比数列 B.anC.{an}为递减数列 D.{1an}的前n项和Tn解析因为1an+1=1+3anan=1an+3因为1an=1+3(n-1)=3n-2,所以an=13n因为函数y=3x-2在[1,+∞)上单调递增,且3x-2>0,所以函数y=13x-2在[1,+∞)上单调递减,所以数列{an{1an}的前n项和Tn=n(3n-1)23.[2024河南焦作统考]已知数列{an}满足an+1=3an+2,a3+a2=22,则满足an>160的最小正整数n=5.解析由a3=3a2+2,a3+a2=22,解得a2=5,a3=17,又a2=3a1+2,所以a1=1.又由an+1=3an+2,可得an+1+1=3(an+1),所以{an+1}是首项为a1+1=2,公比为3的等比数列,所以an=2×3n-1-1,易知{an}是递增数列,又a4=2×27-1=53,4.[2023合肥六中三模]已知在数列{an}中,a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3),则数列{an}的通项公式为an=74×3n-1+134×(-1)n-1解析∵an=2an-1+3an-2(n≥3),∴an+an-1=3(an-1+an-2)(n≥3),又a1+a2=7,∴{an+1+an}是首项为7,公比为3的等比数列,则an+1+an=7×3n-1①,又an-3an-1=-(an-1-3an-2)(n≥3),a2-3a1=-13,∴{an+1-3an}是首项为-13,公比为-1的等比数列,则an+1-3an=(-13)×(-1)n-1②,由①-②得,4an=7×3n-1+13×(-1)n-1,∴an=74×3n-1+134×(-1)n-5.[2023厦门双十中学三模改编]已知数列{an}满足a1=1,an+12=10an(an>0),则{an}的通项公式为an=10×(解析已知an+12=10an,等式两边取以10为底的对数可得2lgan+1=lgan+1,即lgan+1-1=12(lgan-1),所以数列{lgan-1}是以lga1-1=-1为首项,12为公比的等比数列,所以lgan-1=(-1)×(12)n-1=-(12)n-1,即lgan=1-(12)n-1,即6.[2023山东威海三模]已知数列{an}中,a1=56,an+1=13an+(12)n+1,则{an}的通项公式为an=32解析解法一(待定系数法)令an+1+λ(12)n+1=13[an+λ(12即an+1=13an-λ3(12)n+1,由对应项系数相等得λ设bn=an-3×(12)n,则b1=a1-3×(12)1=-23,bn+1=1则数列{bn}是以-23为首项,13为公比的等比数列,则bn=-23×(13)所以an=32n-解法二(变形转化+待定系数法)将an+1=13an+(12)n+1两边同时乘以2n+1,得2n+1an+1=23×(2nan)+1.令cn=2nan,则cn+1=23cn+1,可得cn+1-3=23(cn-3),所以数列{cn-3}是首项为c1-3=2×56-3=-43,公比为23的等比数列,所以cn-3=-43×(23)n-1,即cn=3-2×(23)解法三(累加法)将an+1=13an+(12)n+1两边同时除以(13)n+1,得3n+1an+1=3n(32)n+1.令tn=3nan,则tn+1=tn+(32)n+1,所以当n≥2时,tn-tn-1=(32)n,…,t3-t2=(32)3,t2-t1=(32)2.将以上各式相加,得tn-t1=(32)2+(32)3+…+(32)n(n≥2).又t1=3a1=3×56=52=1+32,所以tn=1+32+(32)2+…+(32)n=2×(32)n+1-2(n≥2),当n=1时也符合上式,故tn=2×(327.[2024名师原创]设数列{an}的前n项和为Sn,满足2Sn=an+1-2n+1+1(n∈N*),且a1,a2+5,a3成等差数列.(1)求a1的值;(2)求数列{an}的通项公式.解析(1)2Sn=an+1-2n+1+1,令n=2得2S2=a3-23+1,即2a1+2a2=a3-7①.因为a1,a2+5,a3成等差数列,所以2(a2+5)=a1+a3,即a3=2(a2+5)-a1②,将②代入①可得2a1+2a2=2(a2+5)-a1-7,解得a1=1,故a1的值为1.(2)因为2Sn=an+1-2n+1+1,当n≥2时,2Sn-1=an-2n+1,两式作差可得an+1=3an+2n,所以an+1+2n+1=3(an+2n),n≥2,(原式难以配凑时,不妨先将原等式变形为an+12n+1=32·an2n+12,再令an+12易知a2=5,所以an+2n=(a2+22)×3n-2=(5+4)×3n-2=3n,即an=3n-2n,n≥2,将n=1代入an=3n-2n得a1=31-21=1,符合题意.故数列{an}的通项公式为an=3n-2n.8.[2024浙江宁波模拟]已知数列{an}满足a1=1,且对任意正整数m,n都有am+n=an+am+2mn.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{(-1)nan}的前n项和Sn.解析(1)对任意正整数m,n都有am+n=an+am+2mn,取m=1,得an+1=an+1+2n,所以an+1-an=2n+1.当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+3+5+…+2n-1=n(1+2n-1当n=1时,a1=1,符合上式,所以an=n2.(2)当n为偶数时,Sn=(-12+22)+(-32+42)+…+[-(n-1)2+n2]=3+7+11+…+(2n-1)=n2(3+2n-1当n为奇数时,Sn=Sn-1+(-1)nan=Sn-1-an=(n-1)n2综上所述,Sn=n2命题点1数学文化情境下的数列应用例1[2021新高考卷Ⅰ]某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm×12dm的长方形纸,对折1次共可以得到10dm×12dm,20dm×6dm两种规格的图形,它们的面积之和S1=240dm2,对折2次共可以得到5dm×12dm,10dm×6dm,20dm×3dm三种规格的图形,它们的面积之和S2=180dm2,以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5;如果对折n次,那么∑nk=1Sk=240(3-n+32解析依题意得,S1=120×2=240(dm2);S2=60×3=180(dm2);当n=3时,共可以得到5dm×6dm,52dm×12dm,10dm×3dm,20dm×32dm四种规格的图形,且面积均为30dm2,所以S3=30×4=120(dm当n=4时,共可以得到5dm×3dm,52dm×6dm,54dm×12dm,10dm×320dm×34dm五种规格的图形,所以对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5,且面积均为15dm2,所以S4=15×5=75(dm2……所以可归纳Sk=2402k×(k+1)=所以∑k=1nSk=240(1+322+423+…+所以12×∑k=1nSk=240(222+323+424由①-②得,12×∑k=1nSk=240(1+122+123+124+…+12n-n+12n+1)=240{1+122[1-(12)方法技巧通过数学建模解决数学文化问题的步骤读懂题意会“脱去”题目中的背景,提取关键信息.构造模型由题意构建等差数列、等比数列或递推关系式的模型.“解模”把问题转化为与数列有关的问题,如求指定项、公差(或公比)、项数、通项公式或前n项和等.训练1[2023安徽名校联考]“物不知数”原载于《孙子算经》,它的系统解法是南宋数学家秦九韶在《数书九章·大衍求一术》中给出的.“大衍求一术”是中国古算中最具独创性的成就之一,属现代数论中的一次同余式组问题.现有一道同余式组问题:将正整数中,被4除余1且被6除余3的数,按由小到大的顺序排成一列,构成数列{an},记{an}的前n项和为Sn,则S10=(C)A.495 B.522 C.630 D.730解析由题知,被4除余1且被6除余3的数中,最小的正整数是9,则满足条件的数列{an}是以9为首项,12为公差的等差数列,则an=12n-3(n∈N*),所以S10=10×(9+117)2=630.命题点2现代生活情境下的数列应用例2某市抗洪指挥部接到最新雨情预报,未来24h城区拦洪坝外洪水将超过警戒水位,因此需要紧急抽调工程机械加高加固拦洪坝.经测算,加高加固拦洪坝工程需要调用20辆某型号翻斗车,平均每辆翻斗车需要工作24h.而抗洪指挥部目前只有一辆翻斗车可立即投入施工,其余翻斗车需要从其他施工现场抽调.若抽调的翻斗车每隔20min才有一辆到达施工现场投入工作,要在24h内完成拦洪坝加高加固工程,指挥部至少还需要抽调这种型号翻斗车(C)A.25辆 B.24辆 C.23辆 D.22辆解析由题意可知,一辆翻斗车需要20×24=480(h)才能完成拦洪坝的加高加固工程,设至少需要n辆这种型号的翻斗车才能在24h内完成该工程,这n辆翻斗车的工作时间(单位:h)按从大到小排列依次记为a1,a2,…,an,则数列{an}是公差为-13的等差数列,所以a1=24,记{an}的前n项和为Sn,则Sn=na1+n(n-1)2×(-13)=24n-16n(n-1),当n=23时,Sn≈467.7<480,当n=24时,Sn=484>480,故训练2[多选]如图所示,这是小朋友们喜欢玩的彩虹塔叠叠乐玩具.某数学兴趣小组利用该玩具制订如下玩法:在2号杆中自下而上串有由大到小的n(n∈N*)个彩虹圈,将2号杆中的彩虹圈全部移动到1号杆中,3号杆可以作为过渡使用;每次只能移动一个彩虹圈,且无论在哪个杆中,小的彩虹圈必须放置在大的上方;将一个彩虹圈从一个杆移动到另一个杆中记为移动1次,记an为2号杆中n个彩虹圈全部移动到1号杆所需要的最少移动次数,设bn=an+1-n,则下面结论正确的是(ABD)A.a3=7B.an+1=2an+1C.bn=2n+n-1D.∑i=1nb解析由题意易得,a1=1,a2=3.易知将n+1个彩虹圈全部移动到1号杆中所需要的最少次数为an+1,若要将2号杆中的n+1个彩虹圈全部移动到1号杆中,则第一步,将除了最大的彩虹圈的n个彩虹圈全部移动到3号杆中,所需要移动的最少次数为an;第二步,将最大的彩虹圈移动到1号杆中,最少需要移动1次;第三步,将3号杆中的n个彩虹圈全部移动到1号杆中,需要移动的最少次数为an,所以an+1=2an+1,所以an+1+1=2(an+1).又a1+1=2,所以数列{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,所以an+1=2n,an=2n-1,a3=7,所以选项A,B均正确;因为bn=an+1-n,所以bn=2n+1-1-n,所以选项C错误;因为bn+nbnbn+1=1bn-1bn+1,所以∑i=1nbi+ibibi+1=1b1-1b2+命题点3数列中的新定义问题例3我们把形如Fn=22n+1(n∈N)的数叫做“费马数”,设an=log2(Fn-1),n∈N*,Sn表示数列{an}的前n项和,则使不等式22S1S2+23S2S3+A.5 B.6 C.7 D.8解析因为Fn=22n+1(n∈N),所以当n∈N*时,an=log2(Fn-1)=log2(22n+1-1)=2n,所以Sn=2×(1-2n)1-2=2n+1-2.而2n+1SnSn+1=2n+1(2n+1-2)(2n+2-2)=12n+1-2-12n+2-2,所以22S1训练3函数y=[x]称为高斯函数,[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg99]=1.已知数列{an}满足a3=3,且an=n(an+1-an),若bn=[lgan],则数列{bn}的前2025项和为4968.解析由an=n(an+1-an),得(n+1)an=nan+1,即an+1an=n+1n,利用累乘法(或an+1n+1=ann=a33=1),可得an=n.记{bn}的前n项和为Tn,当1≤n≤9时,0≤lgan<1,bn=[lgan]=0;当10≤n≤99时,1≤lgan<2,bn=1;当100≤n≤999当1000≤n≤2025时,3≤lgan<4,bn=3.所以T2025=(b1+…+b9)+(b10+…+b99)+(b100+…+b999)+(b1000+…+b2025)=9×0+90×1+900×2+1026×3=4968.1.[命题点1/2023河南郑州一模]我国古代有这样一个数学问题:今有男子善走,日增等里,首日行走一百里,九日共行一千二百六十里,问日增几何?其大意是:现有一个善于步行的人,第一天行走了一百里,以后每天比前一天多走d里,九天他一共行走了一千二百六十里,求d的值.关于该问题,下列结论错误的是(A)A.d=15B.此人第三天行走了一百二十里C.此人前七天一共行走了九百一十里D.此人前八天一共行走了一千零八十里解析设此人第n(n∈N*)天走an里,则数列{an}是公差为d的等差数列,记数列{an}的前n项和为Sn,由题意可得a1=100,S9=9a1+36d=1260,解得d=10,A错.a3=a1+2d=120,B对.S7=7a1+6×72d=910,C对.S2.[命题点2/2023江西清江中学期末]现某药厂打算投入一条新的药品生产线,已知该生产线连续生产n年的累计年产量(单位:万件)为T(n)=14n(n+1)(n+3),如果年产量超过60万件,可能出现产量过剩,产生药物浪费.从避免药物浪费和环境保护的角度出发,这条生产线的最大生产期限应拟定为(BA.7年 B.8年 C.9年 D.10年解析设第n年年产量为an,则第一年年产量为a1=T1=2,以后各年年产量为an=T(n)-T(n-1)=14n(3n+5)(n≥2,n∈N*a1=2也符合上式,所以an=14n(3n+5)(n∈N*)令14n(3n+5)≤60,得3n2+5n-240≤设f(x)=3x2+5x-240,其图象的对称轴为直线x=-56,则当x>0时,f(x)单调递增又f(8)=3×82+5×8-240=-8<0,f(9)=3×92+5×9-240=48>0,所以3n2+5n-240≤0的最大正整数解为8,则这条生产线的最大生产期限应拟定为8年.故选B.3.[命题点3/多选/2023北京师范大学第二附属中学期中]若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积,则称这个数列为“m积特征列”,若各项均为正数的等比数列{an}为“6积特征列”,且a1>1,则当{an}的前n项之积最大时,n的值为(CD)A.5 B.4 C.3 D.2解析由{an}是等比数列,得an=a1qn-1,其中q为数列{an}的公比.因为数列{an}是“6积特征列”,所以a6=a1a2a3a4a5a6,所以a15q10=1,所以a1q2=1,所以a1=q-因为数列{an}各项均为正数,a1>1,所以0<q<1.设数列{an}的前n项之积为Pn,则有Pn=a1a2…an=a1nq1+2+3+…+(n-1)=因为0<q<1,所以当n2-5n2结合二次函数的图象及n∈N*知当n=2或n=3时,n2-5n2最小,P学生用书·练习帮P3151.[2023武汉市5月模拟]将1,2,…,n按照某种顺序排成一列得到数列{an},对任意1≤i<j≤n,如果ai>aj,那么称数对(ai,aj)构成数列{an}的一个逆序对.若n=4,则恰有2个逆序对的数列{an}的个数为(B)A.4 B.5 C.6 D.7解析由题知数列{an}中的项都是正整数,当n=4时,1≤i<j≤4,将1,2,3,4按照某种顺序排成一列,则用列举法列出所有恰有2个逆序对的数列的组合为{1,4,2,3},{1,3,4,2},{2,1,4,3},{2,3,1,4},{3,1,2,4},共5个,故选B.2.[2024湖南名校联考]南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中提出了高阶等差数列的问题,即一个数列{an}本身不是等差数列,但从数列{an}中的第二项开始,每一项与前一项的差构成等差数列{bn}(称数列{an}为一阶等差数列),或者{bn}仍旧不是等差数列,但从数列{bn}中的第二项开始,每一项与前一项的差构成等差数列{cn}(称数列{an}为二阶等差数列)……以此类推,得到高阶等差数列.类比高阶等差数列的定义,我们亦可定义高阶等比数列,设数列{an}:1,1,3,27,729,…是一阶等比数列,则∑n=110log3an的值为(参考公式:12+22+…+n2=n6(n+1)(2n+1))(A.60 B.120 C.240 D.480解析由题意知,数列{an}为一阶等比数列.设bn=an+1an,则{bn}为等比数列,其中b1=1,b2=3,公比为q=b2b1=3,所以bn=3n-1.故an=bn-1bn-2…b1·a1=31+2+3+…+(n-2)=3(n-1)(n-2)2,n≥212(n2-3n+2).所以∑n=110log3an=log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a10=12×[(12+22+…+102)-3×(1+2+…+10)+2×10]=12×[(16×10×11×21)-3×(1+10)×102+3.[2023昆明市模拟]Farey序列是指把在0到1之间的所有分母不超过n(n∈N*)的最简分数及0(视为01)和1(视为11)按从小到大的顺序排列起来所形成的数列,记作F-n,例如F-4就是01,14,13,12,23,34,11.解析F-7中分子为1的有17,16,15,14,13,12;分子为2的有27,25,23;分子为3的有37,35,34;分子为4的有47,45;分子为5的有54.对于数列{an},使数列{an}的前k项和为正整数的k的值叫做“幸福数”.已知an=log4n+1n,则数列{an}在区间[1,2025]内的所有“幸福数”的个数为5解析an=log4n+1n=log4(n+1)-log4n,设数列{an}的前n项和为Sn,则Sn=log42-log41+log43-log42+…+log4(n+1)-log4n=log4(n+1根据题意得Sk为正整数,设Sk=m(m∈N*),则log4(k+1)=m,所以k+1=4m,令1≤k≤2025,则1≤4m-1≤2025,故m可取1,2,3,4,5,共5个数,所以所求“幸福数”有5个,故答案为5.5.我国古人将一年分为二十四个节气,如图所示,相邻两个节气晷长减少或增加的量相同,冬至的晷长最长,夏至的晷长最短,周而复始.已知冬至的晷长为13.5尺,芒种的晷长为2.5尺,则一年中夏至到大雪的晷长的和为84尺.解析依题意

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