初中七年级数学下册华师大版学案第-章《二元一次方程组和它的解》

二元一次方程组和它的解知识技能目标1.理解二元一次方程、二元一次方程组和它的解的含义；2.会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解.过程性目标1.在运用数据比较分析、作出推断的过程中，提高学生参与数学活动，乐于接触社会环境中数学信息的兴趣.2.为学生创设学数学、用数学的情境，让学生体验用数学知识解决实际问题的方法．教学过程设计一、创设情境问题的提出：暑假里,《新晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛.勇士队在第一轮比赛中共赛9场,得17分.比赛规定胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分.勇士队在这一轮中只负了2场,那么这个队胜了几场?又平了几场呢?二、探索归纳问能否用我们已经学过的知识来解决这个问题?答可以用一元一次方程来求解.设勇士队胜了x场,因为它共赛了9场,并且负了2场,所以它平了(9-x-2)场.根据得分规则和它的得分,我们可以列出一元一次方程:.解这个方程可得.所以勇士队胜了5场,平了2场.由上面解答可知,这个问题可以用一元一次方程来求解,而我们很自然地会提出这样一个问题:既然要求胜的场数和负的场数，这其中有两个未知数，那么能不能同时设出这两个未知数呢?师生共同探讨:不妨就设勇士队胜了x场,负了y场.

在下表的空格中填入数字或式子.根据填表的结果可知:①和②引导学生观察方程①、②的特点,并与一元一次方程作比较,可知:这两个方程都含有两个未知数,并且未知数的次数都是1.我们把上面这样的方程,即把含有两个未知数,并且未知数的次数是1的方程叫做二元一次方程(linearequationwithtwounknowns).由题意可知两个未知数必须同时满足①、②这两个方程.因此,把两个方程合在一起,并写成.把两个二元一次方程用一个大括号“{”合在一起,就组成了一个二元一次方程组.注意方程组中的各方程中,同一个字母必须代表同一个量.问:什么是方程的解?答:能使方程左、右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.由问题的解法1我们已得到答案,勇士队胜了5场,平了2场,即.与既满足方程①,又满足方程②,我们就说与是二元一次方程组的解,并记作.一般地,使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程组的解.注意:(1)未知数的值必须同时满足两个方程时,才是方程组的解.若取,时,它们能满足方程①,但不满足方程②,所以它们不是方程组的解.(2)二元一次方程组的解是一对数,而不是一个数,所以必须把与合起来,才是方程组的解.三、实践应用例1已知下面三对数值:.(1)哪几对是方程的解?(2)哪几对是方程的解?(3)哪几对是方程组的解?分析根据二元一次方程(组)的解的定义,把每对数值中的x,y的值代入方程(组)来检验它们是否满足方程(组).解(1)是方程的解.(2)是方程的解.(3)是方程组的解.例2根据下列语句,列出二元一次方程:(1)甲数减去乙数的差是5；(2)甲数的与乙数的的和是13.分析要列出方程,首先要设出适当的未知数来代表相应的对象.解设甲数为x,乙数为y.(1).(2).例3某校现有校舍20000,计划拆除部分旧校舍,改建新校舍,使校舍总面积增加30%,同时使建造新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的4倍.若设应拆除旧校舍,建造新校舍,请你根据题意列一个方程组.分析由建造新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的4倍,我们马上可得出方程.拆除部分旧校舍,改建新校舍后,校舍总面积仍增加30%,其增加量应当对应到新校舍面积与拆除的旧校舍面积的差值,所以我们可列出另一方程.解设应拆除旧校舍,建造新校舍,根据题意列出方程组.四、交流反思师生共同回顾,并总结归纳.什么是二元一次方程?(含有两个未知数,并且未知数的次数是1的方程叫做二元一次方程.)什么是二元一次方程组?(把两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组.)什么是二元一次方程组的解?(使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程组的解.)五、检测反馈1.根据下列语句,分别设适当的未知数,列出二元一次方程或方程组:(1)甲数的比乙数的2倍少7:_____________________________；(2)摩托车的时速是货车的倍，它们的速度之和是200千米/时:________；(3)某种时装的价格是某种皮装的价格的1.4倍,5件皮装比3件时装贵700元:______________________________.2.已知下面的三对数值:,,.(1)哪几对数值是方程左、右两边的值相等?(2)哪几对数值是方程组的解?3.(1)已知满足二元一次方程组的的值是,求方程组的解；(2)已知满足二元一次方程组的的值是，求方程组的解.二元一次方程组的应用知识技能目标1.会找出简单问题中的相等关系，从而列出二元一次方程组解简单的实际问题；2.培养学生用数学知识来解决实际问题的能力．过程性目标1.让学生在掌握了二元一次方程组的解法后，再次体验二元一次方程组与现实生活的联系和作用．2.有的实际问题既可以用列一元一次方程也可以列二元一次方程组解，让学生从中体会它们之间的联系和区别．教学过程一、创设情境小军买了80分与2元的邮票共16枚，花了18元8角．你知道小军80分与2元的邮票各买了多少枚？这是一个大家熟悉的购物问题，你会用所学到的知识来解决吗(学生讨论)？解设80分的邮票买了x枚，则2元的邮票买了(16－x)枚根据题意得0.8x+2(16-x)=18.8解这个方程得x=1116－x=5.答小军买了80分的邮票11枚,买了2元的邮票5枚.那如果设小军买了80分的邮票x枚，2元的邮票y枚呢，如何来解呢？二、探索归纳引导学生发现两种面值的邮票的数量与数量之间、总价与总价之间的相等关系.考虑它们有什么样的相等关系呢？在上述问题中数量与数量之间的相等关系：x+y=16总价与总价之间的相等关系：0.8x+2y=18.8根据题意从而列出方程组，答小军买了80分的邮票11枚,买了2元的邮票5枚.我们可以发现在实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们可借助列方程或方程组的方法来处理这些问题.三、巩固应用例某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售．该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或者粗加工16吨．现计划用15天完成加工任务，该公司应安排几天粗加工，几天精加工，才能按期完成任务？如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后为2000元，那么该公司出售这些加工后的蔬菜共可获利多少元？分析问题的关键是先解答前一半问题，即先求出安排精加工和粗加工的天数．我们不妨用列方程组的方法来解答．抓住“计划用15天完成加工任务”和“收购到某种蔬菜共140吨”这两个数量关系建立二元一次方程组．解设应安排x天精加工，y天粗加工，，.出售这些加工后的蔬菜一共可获利，2000×6×10＋10×16×5＝200000元答应安排10天精加工，5天粗加工，加工后出售共可获利200000元.处理这些实际问题的过程可以进一步概括为：练习1．22名工人按定额完成了1400件产品，其中三级工每人定额200件，二级工每人定额50件．若这22名工人中只有二级工与三级工．问二级工与三级工各有多少名?2.为改善富春河的周围环境,县政府决定,将该河上游A地的一部分牧场改为林场,预计林场和牧场共有162公顷,牧场面积是林场面积的20%.请你算一算,完成后林场、牧场的面积各为多少公顷？四、交流反思列二元一次方程组和列一元一次方程解同一个实际问题，是用两种不同的表达形式揭示了问题中的相等关系；反过来，求解实际问题的实质是把问题中的相等关系翻译成数学表达式，从而把实际问题转化为数学问题.学习各类实际问题,不仅要熟悉各类问题的基本数量关系,而且还要弄清各类问题之间的本质联系.五、检测反馈1．某船的载重为260吨，容积为1000立方米.现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为8立方米，乙种货物每吨体积为2立方米，若要充分利用这艘船的载重与容积，甲、乙两种货物应各装多少吨（设装运货物时无任何空隙）？2．第一小组的同学分铅笔若干枝.若其中有4人每人各取4枝,其余的人每人取3枝,则还剩16枝；若有1人只取2枝，则其余的人恰好每人各可得6枝，问同学有多少人？铅笔有多少枝？3．有一批机器零件共418个，若甲先做2天，乙再加入合作，则再做2天可超产2个；若乙先做3天，然后两人再共做2天，则还有8个未完成.问甲、乙两人每天各做多少个零件？4.某厂第二车间的人数比第一车间的人数的少30人.如果从第一车间调10人到第二车间，那么第二车间的人数就是第一车间的.问这两个车间各有多少人？从实际问题到方程知识技能目标复习列方程解应用题的方法；学会用检验的方法判断一个数是否为方程的解.过程性目标经历用列方程的方法解决实际问题的过程，体会现实生活与数学密不可分的关系.教学过程一、创设情境在现实生活中，有很多问题都跟数学有关，例如下面的问题：问题某校初一年级328名师生乘车外出春游，已有2辆校车可乘坐64人，还需租用44座的客车多少辆？这个问题用数学中的什么方法来解决呢？解(328－64)÷44=264÷44=6(辆)答：还需租用44座的客车6辆.请大家回忆一下，在小学里还学过什么方法可以解决上面的问题？二、探究归纳方法是列方程解应用题的办法.解设还需租用44座的客车x辆，则共可乘坐44x人.根据题意列方程得44x+64=328你会解这个方程吗？自己试试看.评列方程解应用题的基本过程是：观察题意，找出等量关系；设未知数，并列出方程；解所列的方程；写出答案.问题在课外活动中，张老师发现同学的年龄大多是13岁，就问同学：“我今年45岁，几年后你们的年龄是我年龄的三分之一？”方法一：我们可以按年龄的增长依次去试.1年后，老师的年龄是46岁，同学的年龄是14岁，不是老师年龄的三分之一；2年后，老师的年龄是47岁，同学的年龄是15岁，也不是老师年龄的三分之一；3年后，老师的年龄是48岁，同学的年龄是16岁，恰好是老师年龄的三分之一.方法二：也可以用列方程的办法来解.解设x年后同学的年龄是老师年龄的三分之一，x年后同学的年龄是(13+x)岁，老师年龄是(45+x)岁.根据题意，列出方程得这个方程不太好解，大家可以用尝试、检验的方法找出它的解，即只要将x＝1，2，3，4，…代入方程的左右两边，看哪个数能使左右两边的值相等，这样得到方程的解为x＝3.评使方程左右两边的值相等的未知数的值，就是方程的解.要检验一个数是否为方程的解，只要把这个数代入方程的左右两边，看能否使左右两边的值相等.如果左右两边的值相等，那么这个数就是方程的解.三、实践应用例1甲、乙两车间共生产电视机120台，甲车间生产的台数是乙车间的3倍少16，求甲、乙两车间各生产电视机多少台(列出方程，不解方程)？分析等量关系是：甲车间生产的台数+乙车间生产的台数＝电视机总台数解设乙车间生产的台数为x台，则甲车间生产的台数是(3x－16)根据题意列方程得x+(3x－16)=120例2检验下面方程后面括号内所列各数是否为这个方程的解：2(x+2)-5(1-2x)=-13,{x=-1,1}解将x=-1代入方程的两边得左边=2(-1+2)-5[1-2×(-1)]=-13右边=-13因为左边=右边，所以x=-1是方程的解.将x=1代入方程的两边得左边=2(1+2)-5(1-2×1)=11右边=-13因为左边≠右边，所以x=1不是方程的解.四、交流反思这节课主要讲了下面两个问题：1.复习了用列方程的方法来解应用题；2.检验一个数是否为方程的解的方法.五、检测反馈1.检验下列方程后面括号内所列各数是否为相应方程的解：(1)(2)2(y-2)-9(1-y)=3(4y-1),{-10,10}2.根据班级内男、女同学的人数编一道应用题，和同学交流一下.3.小赵去商店买练习本，回来后问同学：“店主告诉我，如果多买一些就给我八折优惠，我就买了20本，结果便宜了1.60元，你猜原来每本价格多少？”你能列出方程吗？从部分看全体知识技能目标1.让学生学会根据实际问题选择不同方式收集数据，并学会甄别那些样本缺乏代表性的抽样调查；2.使学生学会利用样本的数据来正确分析、估计总体的面貌；3.能正确看待抽样调查的优缺点.过程性目标1.通过对样本的分析体会选取有代表性的样本对正确估计总体的重要性；2.通过对样本的选择、数据的分析的探究活动，培养学生的学习兴趣，提高合作探索、自主学习的能力；3.通过对各种调查方式优缺点的理解培养学生的辩证唯物主义观点.教学过程一、创设情境1.问题1在没有度量工具的情况下，人们经常借助自己的步长、庹等来估计长度或距离.为了了解七年级学生的步长，我们可调查所在班级中的每一位同学的步长，然后计算同学们的平均步长.在这个问题中，采用的是哪一种调查方式？总体、个体、样本分别是什么？2.由于人力、物、时间等因素的限制，我们常常无法调查总体中的每一个对象，于是转而采取调查样本的方法来了解总体.二、探究与归纳问题2有一个大布袋，里面装着许多乒乓球.如果无法把所有的乒乓球都倒出来数，那么你有估计布袋中共有多少乒乓球的办法吗？1.对于这个问题，因为无法把所有的乒乓球都倒出来数，所以应采用什么调查方式（抽样调查）？2.如何抽取样本呢？(1)先从布袋中取出一部分球，例如取出10个.(2)在这10个球上做上记号，以示它被取出过.(3)将这10个球全部返回布袋中，并将布袋中的球搅匀(为什么？).(4)第二次从布袋中取一部分球，例如15个，检查这15个球中有几个是被曾经取出过的.那么这第二次取出的15个球，就是总体的一个样本，这个样本中球的情况能否代表总体的情况？因为是任意抽取的，所以可以用这个样中有标记的球的比率来代替总体的比率，即问：1.为什么是约等于？2.如果重复这个实验，那么每次实验中“第二次取出的球中有标记的球的数目”相同吗(可能有变化)？这个近似的比例关系会变化吗(会)？为了得到一个可靠的数据，我们可以重复几次实验，综合地加以考虑.3.如果第二次取出的15个球中有2个是有标记的，那么这个布袋中球的总数是多少？.你还有其他方法吗？三.巩固与应用现在让我们回到本章导图提出的一个实际问题：怎么知道一个池塘里有多少条鱼呢？想一想，模仿刚才用抽样调查估计乒乓球数目的方法，把你的方法填入下面的方框中：假设第一次捕捞一网时一共捕到20条鱼，它们全被做上了标记，第二次捕捞了三网，一共捕到54条鱼，其中的3条鱼身上有标记，那么池塘里鱼的数目≈(条).练习1.请指出下列哪些调查不适合作普查而适合作抽样调查：(1)了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量情况；(2)审查书稿有哪些科学性错误；(3)研究父母与孩子交流的时间量与孩子的性格之间是否有联系；(4)了解一个打字训练班学员的训练成绩是否都达到了预定训练目标；2.请指出下列哪些调查的样本缺乏代表性：(1)在大学生中调查我国青年业余时间娱乐的主要方式；(2)在公园里调查老年人的健康情况；(3)调查一个班里学号为3的倍数的学生，以了解学生们对班主任老师某一新举措的意见和建议.四.交流与反思1.通过刚才的讨论，你认为为什么要用抽样调查的方法代替普查(原因较多，如总体包含的数目太多，不可能一一加以考察；或者这种调查带有破坏性，不允许一一加以试验)？2.抽样调查中样本要具备什么条件(容量大小适中，要有代表性)？3.抽样调查有什么优缺点？(抽样调查方法只考虑总体中的一部分样本，所以它具有调查的范围小、节省时间和人力物力的优点.它的缺点是不如普查得到的数据精确，它得到的只是估计值，而且这个估计值是否接近实际情况还取决于样本的大小以及它的代表性.)五.检测与反馈1.请指出下列哪些调查不适合作普查而适合作抽样调查：(1)为了了解苏州市场上中秋月饼的质量情况；(2)为了了解我校有多少教师乘公交车来学校上班；(3)为了了解我校学生家长中有多少是大学本科及以上学历的；(4)为了了解我们班同学中有多少同学喜欢数学．2.请指出下列哪些调查的样本缺乏代表性：(1)在xx城镇居民中调查我国家庭拥有私家车的比例；(2)为了了解小学一年级学生中长大后想当一名教师的人数，对父母亲为教师的学生进行调查；3.某出租车公司在“五一”长假期间平均每天的营业额为5万元，由此推断五月份的总营业额约为5×31=155万元，你认为这样的推断是否合理？请说明理由.二元一次方程组的解法代入法（一）知识技能目标1.了解解方程组的基本思想是消元,即把较为复杂的多元一次方程组化为较简单的一元一次方程来解决；2.了解代入法是消元的一个基本方法,掌握代入法.过程性目标在积极参与探索二元一次方程组的解法的数学活动中，培养数学思维能力,发展应用数学知识的意识．教学过程设计一、创设情境1.复习提问:什么叫做二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程组的解?2.回顾上节课中的问题2:设应拆除旧校舍,建造新校舍,那么根据题意可列出方程组:(*)问怎样求出这个二元一次方程组的解?二、探索归纳我们知道此题可以用一元一次方程来求解,即设应拆除旧校舍,则建造新校舍,根据题意可得到(**).对于一元一次方程的解法我们是非常熟悉的.那么我们如果能将解二元一次方程组转化为解一元一次方程,我们的问题不就可以解决了吗?可是如何来转化呢?引导学生观察方程组(*)和相应的一元一次方程(**)间的联系.在方程组(*)中的方程②,把它代入方程①中的位置,我们就可以得到一元一次方程.通过“代入”,我们消去了未知数,得到了一元一次方程,这样就可以求解了.解方程(**)得:,把代入②，得.所以.答应拆除旧校舍,建造新校舍.能否用同样的方法来求解问题1中的二元一次方程组.三、实践应用例1解方程组:与方程组(*)不同,这里的两个方程中,没有一个是直接用一个未知数表示另一个未知数的形式,这时怎么办呢?由学生观察后得出结论:可以将方程①变形成为用来表示的形式,即,然后再将它代入方程②,就能消去,得到一个关于的一元一次方程.解由①得③.将③代入②,得.即.将代入③,得.所以.(可以在依据二元一次方程组的定义来验证得出的解是否正确.)由上面的例题可看出,我们是通过“代入”消去一个未知数,方程转化为一元一次方程来解的.这种解法叫做代入消元法,简称代入法.解方程组的基本思想方法就是“消元”.例2把下列方程写成用含的代数式表示的形式:(1)；(2)分析即将方程作适当的变形,把含有y的项放在方程的一边,其他的项移到方程另一边,再把y的系数化1.解(1)；(2).课堂练习:用代入法解下列方程组:(1)；(2)；(3)；(4).四、交流反思1.解二元一次方程组的问题可以转化为解一元一次方程的问题,其基本的思想方法是消元.通过使用“代入法”可实现消元.2.代入法解二元一次方程组的一般步骤为:如果方程组中有一个方程恰好是一个未知数表示另一个未知数的形式,就可以直接把它代入另一个方程.如果没有,则需将其中一个方程作适当的变形后,化为一个未知数表示另一个未知数的形式,再把它代入另一个方程.这样得到一个一元一次方程.解这个一元一次方程,求出一个未知数的值；将求得的值代入前一个方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解.五、检测反馈解下列方程组:(1)；(2).(3)；(4).．二元一次方程组的解法代入法（二）知识技能目标进一步了解代入消元法的原理和一般步骤,能够熟练地用代入法解一般形式的二元一次方程组.过程性目标在进一步探讨代入法解二元一次方程组的过程中,培养学生的数学纵向思维能力和应用数学解决实际问题的意识.教学过程设计一、创设情境复习代入法解二元一次方程组的一般步骤.例1解方程组.(由学生来叙述解题过程,教师加以板书.)选取未知数系数比较简单的方程①,作适当变形,转化为用一个未知数表示另一个未知数的形式,得方程③；将③代入②消去,得到关于的一元一次方程；解这个一元一次方程，得；把代入③，得；所以方程组的解是.二、探索归纳例2解方程组.观察分析此方程组与例1中