任意角与弧度制讲义-高三数学一轮复习

专题：任意角和弧度制

知识点一任意角

1.角的定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.

2.角的表示：如图，0/是角a的始边，03是角a的终边，。是角a的顶点.

角a可记为“角a"或"Na"或简记为"a”.

按旋转方向不同分为正角、负角、零角.

3.角的分类

按终边位置不同分为象限角和轴线角.

4.终边相同的角：所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合$={臼［3=。+上360。，14

eZ}.a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和.

知识点二弧度制的定义和公式

1.角度制：⑴定义：用度作为单位来度量角的单位制.（2）1度的角：周角的哈.

2.弧度制：（1）定义：以弧度作为单位来度量角的单位制.（2）1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所

对的圆心角.

3.弧度数的计算

4.角度与弧度的互化

角度化弧度弧度化角度

360°=271rad2兀rad=360°

180°=兀rad7irad=180°

JT1rad=（5T）0^57.30°

1°=-rad^O.01745rad

180

度数义工=弧度数

180弧度数xlic］。=度数

5.弧度制下的弧长与扇形面积公式

设扇形的半径为R,弧长为1,a（Ova<2口）为其圆心角，贝1J⑴弧长公式：1=\a|T.

(2)扇形面积公式：5=lr=\a\r

名师点津：

1.对终边相同的角的理解

(1)终边相同的角的前提条件是：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.

(2)a是任意角且A为整数.

(3)h360。与a之间用“+”号连接.

(4)终边相同的角的表示形式不唯一，如任比=如360。-90。，ACZ}与任区=如360。+270。，左WZ}均表

示终边在y轴的非正半轴上的角的集合.

2.各象限角的集合

象限角象限角a的集合表示

第一象限角{a依360。＜々＜小360。+90。，《GZ}

第二象限角{«|A-360°+90°<a<A-360°+180°,AGZ}

第三象限角{a|*-360°+180°<a<A-360°+270°,ASZ}

第四象限角{a|*-360°+270°<a<A-360°+360°,AGZ}

3.终边相同角常用的三个结论

(1)终边相同的角之间相差360。的整数倍.

(2)终边在同一直线上的角之间相差180。的整数倍.

(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90。的整数倍

4.用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“rad”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可，

如角a=-3.5rad可写成”=一3.5.而用角度为单位表示角的大小时，“度”或“。”不可以省略.

5.在应用扇形面积公式S=；|a|/时，要注意a的单位是“弧度”

题型一：任意角的概念

［例1］下列结论：

①三角形的内角必是第一、二象限角；

②始边相同而终边不同的角一定不相等；

③小于90。的角是第一象限角；

④钝角比第三象限角小；

⑤小于180。的角是钝角、直角或锐角.

其中正确的结论为(填序号).

【跟踪训练】1.射线OA绕端点O逆时针旋转120。到达OB位置，由OB位置顺时针旋转270。到

达OC位置，则/AOC=()

A.150°B.-150°

C.390°D.-390°

2.若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为()

A.120°B.-120°

C.-60°D.60°

题型二：终边相同的角的表示

【例2】(链接教材P170例1)已知a=-315。.

⑴把a改写成上360。+伙1<^2,0。印<360。)的形式；

(2)求。,使0与a终边相同，且一1080。<0<—360。.

【跟踪训练】1.若角2a与240。角的终边相同，贝卜=()

A.120°+k-360°,k£ZB.120°+k-180°,kGZ

C.240°+k-360°,k£ZD.240°+k-180°,keZ

2.如图，终边落在阴影部分的角的集合是()

A.{a|-450<a<120°}

B.{a|120°<a<315°}

C.{a|k-360°-45°<a<k-360°+120°,kez}

D.{a|k-360°+120o<a<k-360o+315°,kez}

3.在直角坐标系中写出下列角的集合：

⑴终边在x轴的非负半轴上；

(2)终边在y=x(x>0)±.

题型三：象限角的判断

【例3】⑴已知a是第二象限角，则180。-01是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

a

⑵已知a是第二象限角，求角2所在的象限.

【母题探究］】

1.(变设问)在本例⑵的条件下，求角2a的终边的位置.

2.(变条件)若将本例(2)中的“第二象限”改为“第一象限”，如何求解?

【题型四：角度与弧度的换算

【例4】(链接教材P173例4)将下列角度与弧度进行互化:

5117万

(1)6兀；(2)-12；(3)10°；(4)-855°.

【跟踪训练】1.把下列弧度化为角度:

23万

(1)6=；

137r

(2)-6=.

2.把下列角度化为弧度:

(1)-1500°=；

(2)67°30r=.

题型五：用弧度制表示终边相同的角

【例五】已知。=-800。.

(1)把a改写成B+2k兀(k£Z,0邹＜2兀)的形式，并指出a是第几象限角；

(2)求上使丫与a的终边相同，且产

71

【跟踪训练】若角a的终边与3角的终边关于直线y=x对称，且ae(—2兀，2%)，求角a的值.

题型六：扇形的弧长及面积公式

【例6】已知扇形的圆心角所对的弦长为2,圆心角为3.求：

(1)这个圆心角所对的弧长；

(2)这个扇形的面积.

【跟踪训练】1.弧长为3兀，圆心角为135。的扇形的半径为,面积为.

2.已知一扇形的周长为40cm,当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面

积是多少？

达标检测

1.下列命题中正确的是（）

A.第一象限角一定不是负角B.小于90。的角一定是锐角

C.钝角一定是第二象限的角D.终边相同的角一定相等

2.把-375。表示成6+2E,左eZ的形式，则。的值可以是（）

7171_5兀c5兀

A.—B.-----C.—D•下

121212

3.考生你好，本场考试需要2小时，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（)

7171~7171

A.-B.----C.一D.——

3366

4.若角a=3rad,则角a是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

5.圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为（)

兀2兀…L

A.—B.-C.73D.2

已知扇形的弧长/为期，圆心角为则该扇形的面积$为（

6.09,)

n「2万-4%n

A.-B.--C.—D.-

6333

7.将315°化为弧度为

4万5n_7»_7乃

A.—B.-C.—D

336-T

8.若a是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是

A.900-aB.90°+aC.3600-aD.180°+a

9.（多选）下列命题正确的是（）

A.终边落在x轴的非负半轴的角的集合为心性=2左匹后eZ}

B.终边落在y轴上的角的集合为［a\a=90°+kn,keZ}

C.第三象限角的集合为［aI7+2kn<a<^-+2k兀,Arezj

D.在-720°〜0。范围内所有与45。角终边相同的角为-675°和-315。

10.如图，A,8是单位圆上的两个质点，点8的坐标为（1,0）,NBOA

=60。，质点/以1rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点

B以2rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则（）

A.经过Is后，N3CM的弧度数为§+3

B.经过专s后，扇形水用的弧长为意

7TTT

C.经过7s后，扇形/O3的面积为；

63

577"

D.经过后，A,3在单位圆上第一次相遇

II.走时精确的钟表，中午12时，分针与时针重合于表面上12的位置，则当下一次分针与时针重合

时，时针转过的弧度数的绝对值等于.

12.已知扇形的中心角为2弧度，扇形的半径为3,则此扇形的弧长为.

13.一个面积为1的扇形，所对弧长也为1,则该扇形的圆心角是_______弧度

14.已知e终边在第四象限，贝IJ20终边所在的象