广东省揭阳某中学2024届中考数学模拟预测题含解析

广东省揭阳榕城真理中学2024年中考数学模拟预测题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺,

问木长几何。”大致意思是：“「用一根绳子去量一根木条，绳长剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余一尺，问

木条长多少尺”，设绳子长x尺，木条长V尺，根据题意所列方程组正确的是（）

x-y=4.5x+y=4.5x-y=4.5x-y=4.5

A.WB.Nc.1、D.〈1,

y--x=ly--x=l—x-y=1x——y=1

[2[212'2

2.计算15+（-3）的结果等于（）

11

A.-5B.5C.—D.

55

3.不解方程，判别方程2/-3亚'*=3的根的情况（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.有一个实数根D.无实数根

5.如图，AB是。的直径，点C,D在。上，若NDCB=110,则/AED的度数为（

B

A.15B.20C.25D.30

6.下列计算中，正确的是（)

A.a*3a=4a2B.2a+3a=5a2

C.（ab）3=a3b3D.74+14/=2”

7.如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连接MM,作DELAM于点E,BFLAM于点F,连接BE,若AF

=1,四边形ABED的面积为6,则NEBF的余弦值是（)

A2V13口3A/13「2D.叵

1313313

8.下列算式中，结果等于a5的是()

A.a2+a3B.a2»a3C.a54-aD.(a2)3

9.如图，下列各数中，数轴上点A表示的可能是（）

-3-2-I0I2J

A.4的算术平方根B.4的立方根C.8的算术平方根D.8的立方根

10.下列计算正确的是()

A.-5x-2x=-3xB.(a+3)2=a2+9C.(-a3)2=a5D.a2p4-a-p=a3p

11.下列运算结果正确的是()

A.3a-a=2B.(a-b)2=a2-b2

C.a(a+b)=a2+bD.6ab2-r2ab=3b

12.如图，已知AABC,△DCE,△FEG,△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC,CE,EG,GI在同一直线上,

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.已知，在RtAABC中，ZC=90°,AC=9,BC=12,点D、E分别在边AC、BC上，且CD:CE=3：1.将△CDE

绕点D顺时针旋转，当点C落在线段DE上的点F处时，BF恰好是NABC的平分线，此时线段CD的长是.

14.用换元法解方程=1—2=3时，如果设H=y,那么原方程化成以丁为“元”的方程是______

x2X+1X

15.如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为位似中心在y轴的左侧将AOAB缩小得到△OA，B，，若AOAB与

△的相似比为2：1,则点B（3,-2）的对应点B，的坐标为.

16.两个等腰直角三角板如图放置，点厂为3C的中点，AG=\,BG=3,则S的长为

17.在函数y=H7的表达式中，自变量x的取值范围是.

18.如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,OA=OC,OB=OD,添加一个条件使四边形ABCD是菱

形，那么所添加的条件可以是（写出一个即可）.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）如图所示，点P位于等边4/8。的内部，且NACP=NCBP.

（l）ZBPC的度数为1

⑵延长BP至点D,使得PD=PC,连接AD,CD.

①依题意，补全图形；

②证明：AD+CD=BD；

⑶在⑵的条件下，若BD的长为2,求四边形ABCD的面积.

AB

20.（6分）下面是小星同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程：

已知：如图，直线/和直线，外一点A

求作：直线AP,使得AP〃/

作法：如图

①在直线/上任取一点5045与/不垂直），以点A为圆心，A3为半径作圆，与直线/交于点C.

②连接AC,AB,延长5A到点。；

③作NZMC的平分线AP.

所以直线AP就是所求作的直线

根据小星同学设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）

完成下面的证明

证明：\'AB=AC,

ZABC=ZACB（填推理的依据）

,.•/。4（7是4ABC的外角，

ZDAC=ZABC+ZACB（填推理的依据）

：.ZDAC=2ZABC

TAP平分NZMC,

:*ZDAC=2ZDAP

:.NDAP=NABC

：.AP//l（填推理的依据）

21.（6分）如图，在一个平台远处有一座古塔，小明在平台底部的点C处测得古塔顶部3的仰角为60。，在平台上的

点E处测得古塔顶部的仰角为30。.已知平台的纵截面为矩形OCFE,OE=2米，OC=20米，求古塔的高（结果

保留根号）

22.（8分）如图，ABAO是由A5EC在平面内绕点3旋转60。而得，且BE=CE,连接OE.求证:

4BDEmABCE；试判断四边形A3EO的形状，并说明理由.

23.（8分）已知如图，直线y=-括x+473与x轴相交于点A,与直线y=相交于点P.

3

（1）求点P的坐标；

（2）动点E从原点O出发，沿着O—P—A的路线向点A匀速运动（E不与点O、A重合），过点E分别作EF，x

轴于F,EBLy轴于B.设运动t秒时，F的坐标为（a,0）,矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S.直接写出：

S与a之间的函数关系式

（3）若点M在直线OP上，在平面内是否存在一点Q,使以A,P,M,Q为顶点的四边形为矩形且满足矩形两边AP:PM

之比为1:若若存在直接写出Q点坐标。若不存在请说明理由。

24.（10分）为了解中学生“平均每天体育锻炼时间”的情况，某地区教育部门随机调查了若干名中学生，根据调查结

果制作统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：

本次接受随机抽样调查的中学生人数为

图②

,图①中m的值是；求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；根据统计数据，估计该地

区250000名中学生中，每天在校体育锻炼时间大于等于1.5h的人数.

1V—1

25.（10分）解方程式：---3=--

x-22-x

26.（12分）如图，已知△ABC.

（1）请用直尺和圆规作出NA的平分线AD（不要求写作法，但要保留作图痕迹）；

（2）在（1）的条件下，若AB=AC,ZB=70°,求/BAD的度数.

27.（12分）先化简，后求值：（1-一一）十

(),其中a=L

tz+1ci+2〃+1

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、A

【解题分析】

本题的等量关系是：绳长-木长=4.5；木长-Lx绳长=1,据此列方程组即可求解.

2

【题目详解】

设绳子长x尺，木条长y尺，依题意有

x-y=4.5

<1,•

y——x=1

U2

故选A.

【题目点拨】

本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组.

2、A

【解题分析】

根据有理数的除法法则计算可得.

【题目详解】

解：15+(-3)=-(154-3)=-5,

故选：A.

【题目点拨】

本题主要考查有理数的除法，解题的关键是掌握有理数的除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相

除.

3、B

【解题分析】

一元二次方程的根的情况与根的判别式△有关，

A=〃_4ac=(—30)2—4x2x(—3)=42>0,方程有两个不相等的实数根，故选B

4、B

【解题分析】

A选项中，由图可知：在丁=。必，<2>0；在〉=一。尤+6,-a>0,a<0,所以A错误；

B选项中，由图可知：在丁=。必，<2>0；在〉=一。尤+6,-。<0,二。〉。，所以B正确；

C选项中，由图可知：在丁=。必，a<0；在>=一。％+6,-a<0,**.«>0,所以C错误；

D选项中，由图可知：在y=o<0；在>=一。％+>，-a<0,：.a>Q,所以D错误.

故选B.

点睛：在函数了=。/与y=一公+b中，相同的系数是因此只需根据“抛物线”的开口方向和“直线”的变化趋势

确定出两个解析式中”的符号，看两者的符号是否一致即可判断它们在同一坐标系中的图象情况，而这与“b”的取值

无关.

5、B

【解题分析】

试题解析：连接AC,如图,

,：AB为直径，

:.ZACB=9Q°,

ZACD=ZDCB-ZACB=110°-90°=20°,

；.NAED=NACD=20。.

故选B.

点睛：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.

6、C

【解题分析】

根据同底数塞的运算法则进行判断即可.

【题目详解】

解：A、a«3a=3a2,故原选项计算错误；

B、2a+3a=5a,故原选项计算错误；

C、（ab）3=a3b3,故原选项计算正确；

D、7a3+14a2==a,故原选项计算错误；

2

故选C.

【题目点拨】

本题考点：同底数塞的混合运算.

7、B

【解题分析】

首先证明4ABF^ADEA得到BF=AE；设AE=x,则BF=x,DE=AF=1,利用四边形ABED的面积等于△ABE的面

积与AADE的面积之和得到Lx・x+・xxl=6,解方程求出X得到AE=BF=3,贝！|EF=X-1=2,然后利用勾股定理计算出

2

BE,最后利用余弦的定义求解.

【题目详解】

V四边形ABCD为正方形,

；.BA=AD,NBAD=90°,

；DE_LAM于点E,BF_LAM于点F,

...NAFB=90。，NDEA=90°,

VZABF+ZBAF=90°,ZEAD+ZBAF=90°,

，NABF=NEAD,

在4ABF和小DEA中

NBFA=NDEA

<ZABF=EAD

AB=DA

/.△ABF^ADEA(AAS),

/.BF=AE；

设AE=x,贝!]BF=x,DE=AF=1,

•••四边形ABED的面积为6,

—x-x-\xxl=6,解得xi=3,X2=-4(舍去),

22

；.EF=x-1=2,

在RtABEF中，BE=找+32=岳，

；.c°s/EBF=^=今=里

BE岳13

故选B.

【题目点拨】

本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形

的一切性质.会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题.也考查了解直角三角形.

8、B

【解题分析】

试题解析：A、a?与相不能合并，所以A选项错误;

B、原式=a，，所以B选项正确；

C、原式=/，所以C选项错误；

D、原式=/，所以D选项错误.

故选B.

9、C

【解题分析】

解：由题意可知4的算术平方根是2,4的立方根是孤孤＜2,8的算术平方根是2应，2＜2应＜3,8的立方根是

2,

故根据数轴可知，

故选C

10、D

【解题分析】

直接利用合并同类项法则以及完全平方公式和整式的乘除运算法则分别计算即可得出答案.

【题目详解】

解：A.-5x-2x=-lx,故此选项错误；

B.(a+3)2-a2+6a+9,故此选项错误；

C.(-a3)2=a6,故此选项错误；

D.a2P^a^a3P,正确.

故选D.

【题目点拨】

本题主要考查了合并同类项以及完全平方公式和整式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题的关键.

11,D

【解题分析】

各项计算得到结果，即可作出判断.

【题目详解】

解：A、原式=2a,不符合题意；

B、原式=a?-2ab+b2,不符合题意；

C、原式=a2+ab,不符合题意；

D、原式=3b,符合题意；

故选D

【题目点拨】

此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

12、D

【解题分析】

A_B21BC1

解：•..△ABC、2kOCE、△尸EG是三个全等的等腰三角形，.*.77/=43=2,G/=3C=1,3/=28C=2,，一,—=一，

BI42A52

ABBCACAB

:.—=——.*/ZABI=ZABC,AAAABZ^ACBA,:.——=—.'：AB=AC,：.AI=BI=2.:NACB=NFGE,

BIABAIBI

QIGI114…

'•AC//FGt••—=—=—>:.QI=—AI=—.故选D.

AICl333

点睛：本题主要考查了平行线分线段定理，以及三角形相似的判定，正确理解AB〃C0〃EEAC〃OE〃尸G是解题

的关键.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、2

【解题分析】

分析：设CZ>=3x,则CE=lx,BE=12-lx,依据/E3F=NEFB,可得EF=5E=12-lx,由旋转可得Z>F=C〃=3x,再

根据RtAOCE中，CI^+CE^DE2,即可得到(3x)2+(lx)2=(3x+12-lx)2,进而得出C0=2.

CDCA3

详解：如图所示，设C0=3x,则CE=lx,BE=12-lx.'：—=—=-,ZDCE=ZACB=90°,：./\ACB^/\DCE,

CECB4

/.ZDEC=ZABC,J.AB//DE,：.ZABF=ZBFE.又；8歹平分NABC,ZABF=ZCBF,：.ZEBF=ZEFB,

：.EF=BE=12-lx,由旋转可得=C0=3x.在RtAOCE中，VCD^+CE^DE2,：.(3x)2+(lx)2=(3x+12-lx)2,

解得xi=2,X2=-3(舍去)，.•.C0=2X3=2.故答案为2.

点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理以及旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等;

对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.

2~

14、y--=3

y

【解题分析】

分析：根据换元法，可得答案.

y1O丫2丫+]2

详解：7一士时，如果设那么原方程化成以，为“元，，的方程是厂厂.

2

故答案为y--=1.

点睛：本题考查了换元法解分式方程，把丁换元为y是解题的关键.

x

3

15、1)

2

【解题分析】

根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k进行解答.

【题目详解】

解：•以原点O为位似中心，相似比为：2：1,将△OAB缩小为△OA'B，，点B(3,-2)

3

则点B(3,-2)的对应点B，的坐标为:(―,1),

2

3

故答案为1).

2

【题目点拨】

本题考查了位似变换：位似图形与坐标，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那

么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.

16、-

3

【解题分析】

依据NB=NC=45。，NDFE=45。，即可得出NBGF=NCFH,进而得到ABFGsaCHF,依据相似三角形的性质，即

可得到CH==”CF，即C谒H=会2^2”，即可得到CH8=>

BFBG2J233

【题目详解】

解：VAG=1,BG=3,

；.AB=4,

,/△ABC是等腰直角三角形，

；.BC=4后，NB=NC=45。，

；F是BC的中点，

；.BF=CF=20,

ADEF是等腰直角三角形，

.\ZDFE=45°,

AZCFH=180°-ZBFG-45°=135°-ZBFG,

XVABFG中，ZBGF=180°-ZB-ZBFG=135°-ZBFG,

,\ZBGF=ZCFH,

.,.△BFG^ACHF,

;.里=",艮呼=逑,

BFBG2V23

Q

/.CH=-,

3

故答案为|.

【题目点拨】

本题主要考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐

含条件，以充分发挥基本图形的作用.

17、x>l.

【解题分析】

根据被开方数大于等于0列式计算即可得解.

【题目详解】

根据题意得,x-1>0,

解得后L

故答案为史1.

【题目点拨】

本题考查函数自变量的取值范围，知识点为：二次根式的被开方数是非负数.

18-.AB=AD(答案不唯一).

【解题分析】

已知OA=OC,OB=OD,可得四边形ABCD是平行四边形，再根据菱形的判定定理添加邻边相等或对角线垂直即可

判定该四边形是菱形.所以添加条件AB=AD或BC=CD或ACLBD,本题答案不唯一，符合条件即可.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)120°；(2)①作图见解析；②证明见解析；(3)出.

【解题分析】

【分析】(1)根据等边三角形的性质，可知/ACB=60。，在4BCP中，利用三角形内角和定理即可得；

(2)①根据题意补全图形即可；

②证明4ACD三4BCP，根据全等三角形的对应边相等可得AD=BP，从而可得AD+CD=BP+PD=BD；

(3)如图2,作BM"AD于点M，BN」DC延长线于点N，根据已知可推导得出口2_RN_乌犷)-R'由(之)得，

JDJVL—JDJN—2JDU—y/j

AD+CD=BD=29根据S四拔形ABCD=S，ABD+S/BCD即可求得,

【题目详解】(1)・・•三角形ABC是等边三角形,

/.ZACB=60°,即NACP+NBCP=60°,

,:ZBCP+ZCBP+ZBPC=180°,ZACP=ZCBP,

.".ZBPC=120°,

故答案为120；

⑵①•.,如图1所示.

②在等边ZABC中，NACB=60。，

4ACP+NBCP=60"

；NACP=NCBP，

：•NCBP+4CP=60。，

二/BPC=180。-(3BP+4BCP)=120。，

4CPD=1800-NBPC=60。，

VPD=PC»

21CDP为等边三角形，

,:ZACD+NACP=4ACP+NBCP=60"

LACD=NBCP,

在zACD和」BCP中，

IAC=BC,

<ACD=4CP

ICD=CP

•*-21ACD-4BCPfSAS)，

•#,AD=BP，

•'•AD+CD=BP+PD=BD;

(3)如图2,作BM^AD于点M，BN“DC延长线于点N，

；ZADB=NADC-<PDC=60。，

ZADB=42DB=60。，

'NADB=NCDB=60。，

・，BM=BN=#BD=/'

又由（2）得，AD+CD=BD=2»

"S四边形ABCD=S/ABD+s“BCD=%D，BM+^CDBN=yGVD+CD）

2X2

【题目点拨】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握相关性质定理、正确添加辅助线

是解题的关键.

20、（1）详见解析；（2）（等边对等角），（三角形外角性质），（同位角相等，两直线平行）.

【解题分析】

（1）根据角平分线的尺规作图即可得；

（2）分别根据等腰三角形的性质、三角形外角的性质和平行线的判定求解可得.

【题目详解】

解：（1）如图所示，直线AP即为所求.

A•

（2）证明：'：AB=AC,

：.ZABC=ZACB（等边对等角）,

•••/”4（7是4ABC的外角，

/.ZDAC=ZABC+ZACB(三角形外角性质),

：.ZDAC=2ZABC,

平分NZMC,

:.ZDAC=2ZDAP,

；.NDAP=NABC,

：.AP//l（同位角相等，两直线平行），

故答案为（等边对等角），（三角形外角性质），（同位角相等，两直线平行）.

【题目点拨】

本题主要考查作图能力，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图、等腰三角形的性质、三角形外角的性质和平行线的

判定.

21、古塔AB的高为（10若+2）米.

【解题分析】

试题分析：延长EF交AB于点G.利用AB表示出EG,AC.让EG-AC=1即可求得AB长.

试题解析：如图，延长EF交AB于点G.

贝！|EG=(AB-2)4-tanZBEG=V3(x-2),CA=AB4-tanZACB=—x.

3

贝!ICD=EG-AC=7^(X-2)-3X=L

3

解可得：x=l()73+2.

答:古塔AB的高为(10逝+2)米.

22、证明见解析.

【解题分析】

(1)根据旋转的性质可得DB=CB,ZABD=ZEBC,ZABE=60°,然后根据垂直可得出/DBE=NCBE=30。，继而可

根据SAS证明△BDE^ABCE；

(2)根据(1)以及旋转的性质可得，ABDE^ABCE^ABDA,继而得出四条棱相等，证得四边形ABED为菱形.

【题目详解】

(1)证明：'.'△BAD是由ABEC在平面内绕点B旋转60。而得，

/.DB=CB,ZABD=ZEBC,ZABE=60°,

VAB±EC,

.,.ZABC=90°,

.,.ZDBE=ZCBE=30°,

在小BDE^DABCE中，

DB=CB

■:\ZDBE=ZCBE,

BE=BE

/.△BDE^ABCE；

(2)四边形ABED为菱形；

由⑴BDE^ABCE,

,/ABAD是由△BEC旋转而得，

/.△BAD^ABEC,

；.BA=BE,AD=EC=ED,

又；BE=CE,

；.BA=BE=ED=AD

四边形ABED为菱形.

考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定.

—a2(0<«<3)__

6

23、(1)P(3,唐)；(2)5=；(3)Q(l,-V3)；e2(7,V3)

氐2+16A/3«-24®3<«<4)

I2

【解题分析】

(1)联立两直线解析式，求出交点P坐标即可；

(2)由F坐标确定出OF的长，得到E的横坐标为a,代入直线OP解析式表示出E纵坐标，即为EF的长，分两种

情况考虑：当0<④3时，矩形EBOF与三角形OPA重叠部分为直角三角形OEF,表示出三角形OEF面积S与a

的函数关系式；当3<④4时，重合部分为直角梯形面积，求出S与a函数关系式.

(3)根据(1)所求，先求得A点坐标，再确定AP和PM的长度分别是2和26，又由OP=26,得到P怎么平移

会得到M,按同样的方法平移A即可得到Q.

【题目详解】

y=-A/3X+4A/3r=3

解：(1)联立得：也，解得：一厂；

y=——xy-N3

[3

.••P的坐标为尸(3,6)；

(2)分两种情况考虑：

当0</3时，由F坐标为(a,0),得到OF=a,

把E横坐标为a,代入丁=且％得：y=即族=正。

3-33

此时5=工0尸・£/=无。2(0<凡，3)

26

当3<%4时，重合的面积就是梯形面积，

F点的横坐标为a,所以E点纵坐标为+40

M点横坐标为：-3a+12,

•••S=(-岛+4A/3)«-1(-瓜+4V3)(-3a+12)=-孚a2+1673a-24G

—a2(0<a<3)

所以S=6；

-9氐2+166a-2473(3<«<4)

、2

(3)令y=-6％+4G中的y=0,解得：x=4,则A的坐标为(4,0)

则AP=J(3—钎+(百_oy=2，贝!|PM:26

又,,,但•+忖=26

...点P向左平移3个单位在向下平移也可以得到Mi

点P向右平移3个单位在向上平移G可以得到M2

••・A向左平移3个单位在向下平移百可以得到