2023届北京市初三年级下册期终复习数学试题含解析

2023届北京市第十四中学初三下学期期终复习数学试题

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.下列计算正确的是（）

A.x2x3=x6B.(m+3)2=m2+9

C.a^a5=a5D.(xj2)3—xy6

2.8的平方根是（）

A.2B.0C.±2D.±72

3.已知一组数据1、2、3、x、5,它们的平均数是3,则这一组数据的方差为（）

A.1B.2C.3D.4

4.下列计算正确的是（)

血

A・y/3+y/2=A/5B.V12-A/3=A/3C・y/3xy/2=6D.—=4

V2

5.如图，二次函数y=ax?+bx+c（a/0）的图象经过点（1,2）且与x轴交点的横坐标分别为xi,x2,其中-l<xiV0,

1<X2<2,下列结论：4a+2b+c<0,2a+b<0,b2+8a>4ac,a<-1,其中结论正确的有()

C.3个D.4个

6.正方形ABCD和正方形BPQR的面积分别为16、25,它们重叠的情形如图所示，其中R点在AD上，CD与QR

相交于S点，则四边形RBCS的面积为（）

A.8

7.如图，AABC中AB两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（-1,0）,以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC

的位似图形△A'BC,且小人⑥^与小ABC的位似比为2：1.设点B的对应点B，的横坐标是a,则点B的横坐标是

（）

A.-5aB.—-（tz+1）C.-3（a-1）D.—-+3）

8.在2014年5月崇左市教育局举行的“经典诗朗诵”演讲比赛中，有11名学生参加决赛，他们决赛的成绩各不相同,

其中的一名学生想知道自己能否进入前6名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这11名学生成绩的（）

A.众数B.中位数C.平均数D.方差

9.若函数y=kx-b的图象如图所示，则关于x的不等式k（x-3）-b>0的解集为（）

A.x<2B.x>2C.x<5D.x>5

10.抢微信红包成为节日期间人们最喜欢的活动之一.对某单位50名员工在春节期间所抢的红包金额进行统计，并绘

制成了统计图.根据如图提供的信息，红包金额的众数和中位数分别是（）

A.20,20B.30,20C.30,30D.20,30

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.分解因式：/-1=.

12.因式分解：3x2-6xy+3y2=.

13.在平面直角坐标系中，。尸的圆心是（2,«）（«>2）,半径为2,函数尸x的图象被。尸截得的弦A3的长为2省,

14.如图是我市某连续7天的最高气温与最低气温的变化图，根据图中信息可知，这7天中最大的日温差

15.如图，等边三角形A5C内接于。0,若。。的半径为2,则图中阴影部分的面积等于

16.在一个不透明的袋子里装有除颜色外其它均相同的红、蓝小球各一个，每次从袋中摸出一个小球记下颜色后再放

回，摸球三次，“仅有一次摸到红球”的概率是.

17.A,6两地相距的路程为240千米，甲、乙两车沿同一线路从A地出发到3地，分别以一定的速度匀速行驶，甲车

先出发40分钟后，乙车才出发.途中乙车发生故障，修车耗时20分钟，随后,乙车车速比发生故障前减少了10千米/

小时（仍保持匀速前行），甲、乙两车同时到达3地.甲、乙两车相距的路程V（千米）与甲车行驶时间x（小时）之

间的关系如图所示，求乙车修好时，甲车距3地还有千米.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）某市扶贫办在精准扶贫工作中，组织30辆汽车装运花椒、核桃、甘蓝向外地销售.按计划30辆车都要

装运，每辆汽车只能装运同一种产品，且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题:

产品名称核桃花椒甘蓝

每辆汽车运载量（吨）1064

每吨土特产利润（万元）0.70.80.5

若装运核桃的汽车为X辆，装运甘蓝的车辆数是装运核桃车辆数的2倍多1,假设30辆车装运的三种产品的总利润为

y万元.求y与x之间的函数关系式；若装花椒的汽车不超过8辆，求总利润最大时，装运各种产品的车辆数及总利

润最大值.

19.（5分）如图，AB为。。的直径，AC>DC为弦，NACD=60。，P为AB延长线上的点，ZAPD=30°.

DP是。。的切线；若。。的半径为3cm,求图中阴影部分的面积.

20.（8分）按要求化简：（a-1）+二1空_，并选择你喜欢的整数a,b代入求值.

〃+1ab

小聪计算这一题的过程如下：

解：原式=（a-1）Ja+l）（,_l）…①

ab

/、加

=（a-1）•------------------…②

（〃+1）（"1）

ab2否

=-------…③

〃+1

当a=l,b=l时，原式…④

2

以上过程有两处关键性错误，第一次出错在第____步（填序号），原因:

还有第____步出错（填序号），原因：.

请你写出此题的正确解答过程.

21.（10分）已知，抛物线产如2+c过点（.2,2）和点（4,5）,点F（0,2）是丁轴上的定点，点3是抛物线上除

顶点外的任意一点，直线心尸fcr+5经过点5、尸且交工轴于点A.

(1)求抛物线的解析式；

(2)①如图1,过点5作轴于点C,连接尸C,求证：FC平分NRFO；

②当k=时，点F是线段A3的中点；

(3)如图2,M(3,6)是抛物线内部一点，在抛物线上是否存在点5,使AM3F的周长最小？若存在，求出这个

最小值及直线/的解析式；若不存在，请说明理由.

22.(10分)已知抛物线y=-2X2+4X+C.

(1)若抛物线与x轴有两个交点，求c的取值范围;

(2)若抛物线经过点(-1,0),求方程-2x2+4x+c=0的根.

23.(12分)如图，在AA5C中，NR4c=90。，于点O,5尸平分NABC交40于点E,交AC于点F,求

证：AE=AF.

24.(14分)已知P是。O外一点，PO交。O于点C,OC=CP=2,弦ABLOC,/AOC的度数为60。，连接PB.

BC的长；求证：PB是。O的切线.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、C

【解析】

根据乘方的运算法则、完全平方公式、同底数■的除法和积的乘方进行计算即可得到答案.

【详解】

丫2.*3=*5,故选项A不合题意；

（m+3）2=m2+6m+9,故选项5不合题意；

〃。・“5=小，故选项。符合题意；

（孙2）3=*3y6,故选项。不合题意.

故选：C.

【点睛】

本题考查乘方的运算法则、完全平方公式、同底数累的除法和积的乘方解题的关键是掌握乘方的运算法则、完全平方

公式、同底数幕的除法和积的乘方的运算.

2、D

【解析】

先化简直，然后再根据平方根的定义求解即可.

【详解】

；“=2,2的平方根是±0,

•*.74的平方根是士血.

故选D.

【点睛】

本题考查了平方根的定义以及算术平方根，先把“正确化简是解题的关键，本题比较容易出错.

3、B

【解析】

先由平均数是3可得x的值，再结合方差公式计算.

【详解】

•.•数据1、2、3、X、5的平均数是3,

l+2+3+x+5

,---------------------=3,

5

解得：x=4,

则数据为1、2、3、4、5,

•••方差为:X[(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2]=2,

故选B.

【点睛】

本题主要考查算术平均数和方差，解题的关键是熟练掌握平均数和方差的定义.

4、B

【解析】

根据同类二次根式才能合并可对A进行判断；根据二次根式的乘法对B进行判断；先把屈化为最简二次根式，然

后进行合并，即可对C进行判断；根据二次根式的除法对D进行判断.

【详解】

解：A、6与0不能合并，所以A选项不正确;

B、"工-=2，所以B选项正确;

C、73x72=76，所以C选项不正确;

枢

D=提+叵=2叵+叵=2,所以选项不正确.

、双D

故选B.

【点睛】

此题考查二次根式的混合运算，注意先化简，再进一步利用计算公式和计算方法计算.

5、D

【解析】

由抛物线的开口向下知a<0,

与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c>0,

b

对称轴为乂=-丁<1,Va<0,2a+b<0,

2a

而抛物线与x轴有两个交点,•••/-4ac>0,

当x=2时,y=4a+2b+c<0,当x=l时,a+b+c=2.

22

V4的二>2,.*.4ac-Z?<8a,b+8a>4ac,

4。

•••①a+b+c=2,贝!J2a+2b+2c=4,(2)4a+2b+c<0,③a-b+cvO.

由①，③得到2a+2cv2,由①，②得到2a—cv—4,4a-2c<-8,

上面两个相加得到6av-6,・・・av-L故选D.

点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数丁=以2+法+c（a，O）中，a的符号由抛物线

的开口方向决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；b的符号由对称轴位置与a的符号决定；

抛物线与x轴的交点个数决定根的判别式的符号，注意二次函数图象上特殊点的特点.

6、D

【解析】

根据正方形的边长，根据勾股定理求出AR,求出AABRs^DRS,求出DS,根据面积公式求出即可.

【详解】

正方形ABCD的面积为16,正方形BPQR面积为25,

正方形ABCD的边长为4,正方形BPQR的边长为5,

在RtAABR中，AB=4,BR=5,由勾股定理得：AR=3,

•.•四边形ABCD是正方形，

:.NA=ND=NBRQ=90°,

.,.ZABR+ZARB=90°,ZARB+ZDRS=90°,

/.ZABR=ZDRS,

VZA=ZD,

/.△ABR^ADRS,

.ABAR

••一9

DRDS

.4_J_

••一，

1DS

.,•阴影部分的面积S=S正方形ABCD-SAABR-SARDS=4X4—x4x3—x—xl=—,

2248

故选：D.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，能求出AABR和ARDS的面积是解此题的关键.

7、D

【解析】

设点B的横坐标为x,然后表示出BC、B-C的横坐标的距离，再根据位似变换的概念列式计算.

【详解】

设点B的横坐标为x,则B、C间的横坐标的长度为-1-x,B\C间的横坐标的长度为a+1,

AABC放大到原来的2倍得到AA'B'C,

2(-1-x)=a+l,

解得x=-----(a+3),

2

故选：D.

【点睛】

本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似变换的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方

程是解题的关键.

8、B

【解析】

解：11人成绩的中位数是第6名的成绩.参赛选手要想知道自己是否能进入前6名，只需要了解自己的成绩以及全部

成绩的中位数，比较即可.

故选B.

【点睛】

本题考查统计量的选择，掌握中位数的意义是本题的解题关键.

9、C

【解析】

根据函数图象知：一次函数过点(2,0)；将此点坐标代入一次函数的解析式中，可求出k、b的关系式；然后将k、b

的关系式代入k(x-3)-b>0中进行求解即可.

【详解】

解：,一次函数y=kx-b经过点(2,0),

/.2k-b=0,b=2k.

函数值y随x的增大而减小，则k<0；

解关于k(x-3)-b>0,

移项得：kx>3k+b,即kx>lk；

两边同时除以k,因为k<0,因而解集是xVL

故选C.

【点睛】

本题考查一次函数与一元一次不等式.

10、C

【解析】

根据众数和中位数的定义，出现次数最多的那个数就是众数，把一组数据按照大小顺序排列，中间那个数或中间两个

数的平均数叫中位数.

【详解】

捐款30元的人数为20人，最多，则众数为30,

中间两个数分别为30和30,则中位数是30,

故选C.

【点睛】

本题考查了条形统计图、众数和中位数，这是基础知识要熟练掌握.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11,(a+l)(a-l)

【解析】

根据平方差公式分解即可.

【详解】

a2-l=(a+l)(a-l).

故答案为：(a+l)(a-l).

【点睛】

本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式

法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法.因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止.

12、3(x-y)1

【解析】

试题分析：原式提取3,再利用完全平方公式分解即可，得到3炉-6xy+3yL3(x1-Ixy+y1)=3(x-y)

考点：提公因式法与公式法的综合运用

13、2+72

【解析】

试题分析：过P点作PE_LAB于E,过P点作PC，x轴于C,交AB于D,连接PA.

VPE±AB,AB=2忖半径为2,

.,.AE=-AB=V3，PA=2,根据勾股定理得：PE=1,

2

点A在直线y=x上，

.\ZAOC=45O,

VZDCO=90°,

.\ZODC=45°,

--.△OCD是等腰直角三角形,

/.OC=CD=2,

.•.ZPDE=ZODC=45°,

.,.ZDPE=ZPDE=45°,

.,.DE=PE=1,

.\PD=V2

V（DP的圆心是（2,a）,

，a=PD+DC=2+0.

【点睛】

本题主要考查的就是垂径定理的应用以及直角三角形勾股定理的应用，属于中等难度的题型.解决这个问题的关键就

是在于作出辅助线，将所求的线段放入到直角三角形中.本题还需要注意的一个隐含条件就是：直线y=x或直线y=-x

与x轴所形成的锐角为45。，这一个条件的应用也是很重要的.

14、11.

【解析】

试题解析：•••由折线统计图可知，周一的日温差=8℃+1℃=9℃；周二的日温差=7℃+1℃=8℃；周三的日温差

=8℃+1℃=9℃；周四的日温差=9℃；周五的日温差=13℃-5℃=8℃；周六的日温差=15°C-71℃=8"C；周日的日温差

=16℃-5℃=11℃,

...这7天中最大的日温差是ire.

考点：1.有理数大小比较；2.有理数的减法.

4

15、一71

3

【解析】

分析：题图中阴影部分为弓形与三角形的和，因此求出扇形AOC的面积即可，所以关键是求圆心角的度数.本题考查

组合图形的求法.扇形面积公式等.

360°

详解：连结OC,1.△ABC为正三角形，AZAOC==120°,

3

**SAOB=SAOC，...图中阴影部分的面积等于S扇形4℃

2

nnr120小22=34"即s阴影=4—不cm?.故答案为4—式.

扇形AOC=

360360333

点睛：本题考查了等边三角形性质，扇形的面积，三角形的面积等知识点的应用，关键是求出NAOC的度数，主要考

查学生综合运用定理进行推理和计算的能力.

16、-

8

【解析】

摸三次有可能有：红红红、红红蓝、红蓝红、红蓝蓝、蓝红红、蓝红蓝、蓝蓝红、蓝蓝蓝共计8种可能，其中仅有一

个红坏的有：红蓝蓝、蓝红蓝、蓝蓝红共计3种，所以“仅有一次摸到红球”的概率是'

O

故答案是：f.

O

17、90

【解析】

【分析】观察图象可知甲车40分钟行驶了30千米，由此可求出甲车速度，再根据甲车行驶小时时与乙车的距离为10

千米可求得乙车的速度，从而可求得乙车出故障修好后的速度，再根据甲、乙两车同时到达B地，设乙车出故障前走

了ti小时，修好后走了t2小时，根据等量关系甲车用了［：+/1+/2+!1小时行驶了全程，乙车行驶的路程为

60h+50t2=240,列方程组求出t2,再根据甲车的速度即可知乙车修好时甲车距B地的路程.

402

【详解】甲车先行40分钟（而=§〃），所行路程为30千米,

30,u

——45

因此甲车的速度为2（千米/时），

3

设乙车的初始速度为V乙，则有

4

45x2=10+—吟，

3乙

解得：吃=60（千米/时），

因此乙车故障后速度为：60-10=50（千米/时）,

设乙车出故障前走了ti小时，修好后走了t2小时，则有

60%+50%2-2407

t,——

21解得：13,

45x-+(^+^+-)x45=240

=2

45x2=90(千米)，

故答案为90.

【点评】本题考查了一次函数的实际应用，难度较大，求出速度后能从题中找到必要的等量关系列方程组进行求解是

关键.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(l)y=-3.4x+141.1；(1)当装运核桃的汽车为2辆、装运甘蓝的汽车为12辆、装运花椒的汽车为1辆时，总利润

最大，最大利润为117.4万元.

【解析】

(1)根据题意可以得装运甘蓝的汽车为(lx+1)辆，装运花椒的汽车为30-x-(lx+1)=(12-3x)辆，从而可以

得到y与x的函数关系式；

(1)根据装花椒的汽车不超过8辆，可以求得x的取值范围，从而可以得到y的最大值，从而可以得到总利润最大时,

装运各种产品的车辆数.

【详解】

⑴若装运核桃的汽车为x辆，则装运甘蓝的汽车为(lx+1)辆，装运花椒的汽车为30-x-(lx+1)=(12-3x)辆,

根据题意得：y=10x0.7x+4x0.5(lx+1)+6x0.8(12-3x)=-3.4x+141.1.

'29-3x<8

⑴根据题意得：“+(2x+l)K3。’

29

解得：7<X<y,

为整数，

A7<x<2.

•/10.6>0,

；.y随x增大而减小，

.•.当X=7时，y取最大值，最大值=-3.4x7+141.1=117.4,此时：lx+l=12,12-3x=l.

答：当装运核桃的汽车为2辆、装运甘蓝的汽车为12辆、装运花椒的汽车为1辆时，总利润最大，最大利润为117.4

万元.

【点睛】

本题考查了一次函数的应用，解题的关键是熟练的掌握一次函数的应用.

9l3

19、(1)证明见解析；(2)-V3-3P9n②).

【解析】

(1)连接OD,求出NAOD,求出NDOB,求出NODP,根据切线判定推出即可.

（2）求出OP、DP长，分别求出扇形DOB和AODP面积，即可求出答案.

【详解】

解：（1）证明：连接OD,

VZACD=60°,

二由圆周角定理得：ZAOD=2ZACD=120°.

/.ZDOP=180°-120°=60°.

VZAPD=30°,

ZODP=180°-30°-60°=90°.

/.OD±DP.

VOD为半径，

...DP是。O切线.

(2)VZODP=90o,NP=30°,OD=3cm,

；.OP=6cm,由勾股定理得：DP=3若cm.

二图中阴影部分的面积5=SB-S扇彩=,仓归3A/3-‘0仓，3-=9^_』（0帝）

vuur屈形〃os236022r'

20、①，运算顺序错误；④，a等于1时，原式无意义.

【解析】

由于乘法和除法是同级运算，应当按照从左向右的顺序计算，①运算顺序错误；④当”=1时，-一^等于0,原式无

a+1

意义.

【详解】

①运算顺序错误；

故答案为①，运算顺序错误；

2-1

④当a=l时，-a-^等于0,原式无意义.

。+1

故答案为a等于1时，原式无意义.

/\/1Q+1

____£±2____£±1

r)(«-l)(tz+l)ab2，

〃+1

ab2

2+13

当Q=21=1时，原式=*±±=2.

2xl22

【点睛】

本题考查了分式的化简求值，注意运算顺序和分式有意义的条件.

21、(1)y=-x2+l;(2)①见解析；②土丑；(3)存在点3,使AM5歹的周长最小.△MB尸周长的最小值为11,

43

直线/的解析式为y=2x+2.

【解析】

(1)用待定系数法将已知两点的坐标代入抛物线解析式即可解答.

(2)①由于BC〃y轴，容易看出N0FC=N5CF,想证明N5尸C=NOFC,可转化为求证N5FC=N3CF,根据“等

1

边对等角“，也就是求证5c=8F,可作50_Ly轴于点。，设5(m,-m'9+1),通过勾股定理用耀表示出5尸的长

4

度，与相等，即可证明.

②用m表示出点A的坐标，运用勾股定理表示出AE的长度，令AF=BF,解关于，"的一元二次方程即可.

(3)求折线或者三角形周长的最小值问题往往需要将某些线段代换转化到一条直线上，再通过“两点之间线段最短”

或者“垂线段最短”等定理寻找最值.本题可过点M作MNLx轴于点N,交抛物线于点过点5作轴于点E,

连接5E通过第(2)问的结论

将AMB尸的边5尸转化为鹿，可以发现，当3点运动到用位置时，歹周长取得最小值，根据求平面直角坐标

系里任意两点之间的距离的方法代入点"与尸的坐标求出的长度，再加上即是AM3F周长的最小值；将点

M的横坐标代入二次函数求出Bi,再联立B］与F的坐标求出I的解析式即可.

【详解】

(1)解：将点(-2,2)和(4,5)分别代入y=ad+c,得：

4〃+c=2

16a+c=5

1

,Cl———

解得：4

c=1

1、

•••抛物线的解析式为：y=-%2+l.

4

(2)①证明：过点3作轴于点O,

1,

设5(m,—tn~+1),

4

：3C_Lx轴，轴，F(0,2)

12,

••BC=—m~+1,

4

12,

BD^\m\,OF=-m--1

4

BF=^m2+(^m2-l)2=^m2+l

1.BC=BF

又3C〃y轴，:"OFC=NBCF

：.ZBFC=ZOFC

；・FC平分NBFO.

②±3

3

（说明：写一个给1分）

（3）存在点B,使^MBF的周长最小.

过点M作MNLx轴于点N,交抛物线于点过点5作轴于点E,连接

由（2）知3iF=5iN,BF=BE

AMBiF的周长=MF+M3i+3iF=MF+M3i+3iN=MF+MN

△MBF^]^^z=M