广东省深圳市龙岗区扬美实验学校2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试卷

第1页（共1页）广东省深圳市扬美实验学校2023-2024学年九年级（下）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1．（3分）下列四个数中，最大的数是（）A．﹣3 B．0 C． D．22．（3分）瓦当，是指古代中国建筑中覆盖建筑檐头筒瓦前端的遮挡，瓦当上刻有文字、图案，也有用四方之神的“朱雀”“玄武”“青龙”“白虎”做图案的．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）下列计算正确的是（）A．﹣4a2•2a3＝﹣8a6 B．3a2﹣4a2＝a2 C．（a﹣3）2＝a2﹣9 D．（2a3）2÷（2a）2＝a44．（3分）最近比较火的一款软件ChatGPT横空出世，仅2023年2月9日当天，其下载量达到了286000次的峰值，286000用科学记数法可表示为（）A．286×103 B．28.6×104 C．2.86×105 D．0.286×1065．（3分）如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB＝20°，∠FED＝60°，则∠GFH的度数为（）A．20° B．40° C．60° D．80°6．（3分）如图是一个长方体柜子的俯视图，柜子长AB＝CD＝m（不计柜门厚度），当柜门打开的角度为α时，柜门打开的距离EF的长度为（）A．msinα B．mcosα C． D．7．（3分）小亮和爸爸搭乘高铁外出游玩．在12306网上购票时．若系统已将两人分配到同一车厢同一排（如图是高铁座位示意图）．小亮和爸爸分配的座位挨在一起（过道两侧也认可是座位挨在一起）的概率是（）A． B． C． D．8．（3分）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买琎，人出半，盈四：人出少半，不足三．问人数、价格几何？”意思是：一起去买琎（琎：一种像玉的石头），每个人出两，则多4两；每个人出两，则不足3两．问人数、琎的价格分别是多少？如果设人数x人，琎的价格为y两，那么可列方程组为（）A． B． C． D．9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D，再分别以B，D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点E．若AB＝10，AC＝8，则CE的长为（）A． B． C．4 D．10．（3分）如图，点M是线段AB的中点，AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，连接DM．若AC＝2，BD＝5，CD＝6，则DM的长为（）A． B． C．3 D．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）分解因式：ab2﹣4a＝．12．（3分）生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多．为了解某品种大豆的光合作用速率，科研人员从中选取10株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位：μmol•m﹣2•s﹣1），结果统计如表，则光合作用速率的中位数是．光合作用速率3230252018株数1332113．（3分）如图，抛物线y＝（x﹣2）2﹣2的顶点为A，与y轴交于点B，则直线AB的表达式为．14．（3分）把一块含60°角的三角板ABC按图方式摆放在平面直角坐标系中，其中60°角的顶点B在x轴上，斜边AB与x轴的夹角∠ABO＝60°，若BC＝2，当点A，C同时落在一个反比例函数图象上时，B点的坐标为．15．（3分）如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，点P是抛物线在第一象限部分上的一动点，连接AP并延长交y轴于点B，过点P作PH⊥x轴，垂足为H．则PH+BH的最大值为．三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）16．（5分）计算：．17．（7分）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中a＝﹣1．18．（8分）为了解全校学生上学的交通方式，该校九年级（8）班的5名同学联合设计了一份调查问卷，对该校部分学生进行了随机调查．按A（骑自行车）、B（乘公交车）、C（步行）、D（乘私家车）、E（其他方式）设置选项，要求被调查同学从中单选．并将调查结果绘制成条形统计图1和扇形统计图2，根据以上信息，解答下列问题：（1）本次接受调查的总人数是人，并把条形统计图补充完整；（2）在扇形统计图中，“步行”的人数所占的百分比是，“其他方式”所在扇形的圆心角度数是；（3）已知这5名同学中有2名女同学，要从中选两名同学汇报调查结果．请你用列表法或画树状图的方法，求出恰好选出1名男生和1名女生的概率．19．（8分）某网店购进水果后再销售．甲种水果的进价比乙种水果每件多，花500元购进甲种水果的件数比花450元购进乙种水果的件数少5件．（1）求甲、乙两种水果每件的进货单价；（2）若该网店购进甲、乙两种水果共100件，且购买的总费用不超过4200元．甲种水果售价60元，乙种水果按进价的2倍标价后再打六折销售，请你帮网店设计利润最大的进货方案，并求出最大利润，说明理由．20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C是AB延长线上的一点，点D是⊙O上的一点，AD＝CD，且∠ADC＝120°．（1）如图1，求证：CD是⊙O的切线；（2）如图2，过BC上的点P，作AD的平行线，交⊙O于点E，F，若AB＝6，BP＝2．求BE•BF的值．21．（9分）【问题背景】人们从城市中的一点到另一点时，通常只能沿着城市中的街道行走．因此，人们发现，用19世纪数学家闵可夫斯基提出的曼哈顿距离来计算城市内街道上两点之间的距离更符合生活现实．曼哈顿距离（简称为“曼距”）的定义如下：坐标平面内的两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的距离为dPQ＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．例如，在平面直角坐标系中，点M（﹣3，﹣2）与点N（2，2）之间的“曼距”dMN＝|2+3|+|2+2|＝5+4＝9．【初步理解】（1）在一座理想的棋盘式布局的城市内，“110“的调度员收到信息，有一个突发事故发生在X＝（﹣1，4）处．而在该地区附近有两辆警车，A车位于（2，1）处，B车位于（﹣1，﹣1）处，那么以“曼距”大小衡量，按“就近优先出警”的原则，应该派车（填A或B）前去处理事故．（2）如图1，正方形ABCD的中心位于坐标原点O，四个顶点均位于坐标轴上，且OA＝4．则下列说法：①若点P是正方形ABCD一边上的一点，则dop＝4；②若点P是正方形ABCD内的一点，则dop＜4；③若点P是正方形ABCD外的一点，则dop＞4；④若点P是正方形ABCD内的一点，则dDP+dPC＝8．其中不正确的是（填序号）．【探究应用】（3）如图2，某消防支队位于坐标原点O，x轴是一条城市主干道，“月牙湖”位于城市边陲，其西、南岸可近似看作一段圆弧．已知圆弧形湖岸经过A（11，8），B（13，2），C（17，2）三点．今该消防支队要在湖岸边，建一个训练基地（记为点D），为使该消防支队官兵，平时前往基地参训时的“曼距”最短，需探究：点D的位置应选在何处？请作答以下问题：①圆弧所在的圆的圆心P的坐标为，该圆的半径大小为；②请利用网格格点，在图2中，画出使dOD最小时点D的位置（不要求证明）；③dOD的最小值为．22．（10分）【问题呈现】如图1，在▱ABCD中，∠BAD＝45°，AB＝，BC＝2，点P，Q分别是射线CB，射线CD上的两动点，且满足∠PAQ＝135°，连接PQ．问：△APQ有何特点？【探究与延伸】（1）以下是某中学九年级（4）班同学们的一些猜测，其中正确的是（填序号）；①运动过程中，△APQ的周长不变；②运动过程中，△APQ面积不变；③运动过程中，△APQ的形状不变；④运动过程中，∠APQ的大小不变．（2）某同学提问：运动过程中，的值是否发生变化？请你帮忙解惑（若变化，请说明理由；若不变，请你依图1中的位置情形，求出其值）．（3）如图2，点O是BD的中点，点M是PQ的中点，当PQ最小时，M，O两点间的距离是多少？（可直接写出结果）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1．（3分）下列四个数中，最大的数是（）A．﹣3 B．0 C． D．2【解答】解：∵＞2＞0＞﹣3，∴所给的四个数中，最大的数是．故选：C．2．（3分）瓦当，是指古代中国建筑中覆盖建筑檐头筒瓦前端的遮挡，瓦当上刻有文字、图案，也有用四方之神的“朱雀”“玄武”“青龙”“白虎”做图案的．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：B．3．（3分）下列计算正确的是（）A．﹣4a2•2a3＝﹣8a6 B．3a2﹣4a2＝a2 C．（a﹣3）2＝a2﹣9 D．（2a3）2÷（2a）2＝a4【解答】解：A、﹣4a2•2a3＝﹣8a5，故A不符合题意；B、3a2﹣4a2＝﹣a2，故B不符合题意；C、（a﹣3）2＝a2﹣6a+9，故C不符合题意；D、（2a3）2÷（2a）2＝4a6÷4a2＝a4，故D符合题意；故选：D．4．（3分）最近比较火的一款软件ChatGPT横空出世，仅2023年2月9日当天，其下载量达到了286000次的峰值，286000用科学记数法可表示为（）A．286×103 B．28.6×104 C．2.86×105 D．0.286×106【解答】解：286000＝2.86×105．故选：C．5．（3分）如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线变成FH，点G在射线EF上，已知∠HFB＝20°，∠FED＝60°，则∠GFH的度数为（）A．20° B．40° C．60° D．80°【解答】解：∵AB∥CD，∠FED＝60°，∴∠FED＝∠GFB＝60°，∵∠HFB＝20°，∴∠GFH＝∠GFB﹣∠HFB＝40°，故选：B．6．（3分）如图是一个长方体柜子的俯视图，柜子长AB＝CD＝m（不计柜门厚度），当柜门打开的角度为α时，柜门打开的距离EF的长度为（）A．msinα B．mcosα C． D．【解答】解：由题意可知，AE＝AB＝m．在Rt△AEF中，∵sin∠EAB＝，∴EF＝sinα•m＝msina．故选：A．7．（3分）小亮和爸爸搭乘高铁外出游玩．在12306网上购票时．若系统已将两人分配到同一车厢同一排（如图是高铁座位示意图）．小亮和爸爸分配的座位挨在一起（过道两侧也认可是座位挨在一起）的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：列表如下，ABCDFAA，BA，CA，DA，FBB，AB，CB，DB，FCC，AC，BC，DC，FDD，AD，BD，CD，FFF，AF，BF，CF，D共有20种等可能结果，其中符合题意的有8种，小亮和爸爸分配的座位挨在一起（过道两侧也认可是座位挨在一起）的概率是，故选：D．8．（3分）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买琎，人出半，盈四：人出少半，不足三．问人数、价格几何？”意思是：一起去买琎（琎：一种像玉的石头），每个人出两，则多4两；每个人出两，则不足3两．问人数、琎的价格分别是多少？如果设人数x人，琎的价格为y两，那么可列方程组为（）A． B． C． D．【解答】解：根据题意得：，故选：B．9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D，再分别以B，D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点E．若AB＝10，AC＝8，则CE的长为（）A． B． C．4 D．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝6，由作图知，CE⊥AB，∴S△ABC＝＝，∴CE＝，故选：D．10．（3分）如图，点M是线段AB的中点，AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，连接DM．若AC＝2，BD＝5，CD＝6，则DM的长为（）A． B． C．3 D．【解答】解：延长DM，AC交于点E，∵AC⊥l，BD⊥l，∴BD∥AE，∴∠B＝∠A，∵点M是线段AB的中点，∴BM＝AM，在△BDM和△AEM中，，∴△BDM≌△AEM（ASA），∴BD＝AE＝5，DM＝EM，∵AC＝2，∴CE＝AE﹣AC＝5﹣2＝3，在Rt△DCE中，∵CD＝6，CE＝3，∴由勾股定理，得DE＝＝＝，∴DM＝DE＝，故选：A．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）分解因式：ab2﹣4a＝a（b﹣2）（b+2）．【解答】解：ab2﹣4a＝a（b2﹣4）＝a（b﹣2）（b+2）．故答案为：a（b﹣2）（b+2）．12．（3分）生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多．为了解某品种大豆的光合作用速率，科研人员从中选取10株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位：μmol•m﹣2•s﹣1），结果统计如表，则光合作用速率的中位数是25．光合作用速率3230252018株数13321【解答】解：数据的个数是10个，根据统计图可知第5个和第6个数据为25和25，∴光合作用速率的中位数是＝25．故答案为：25．13．（3分）如图，抛物线y＝（x﹣2）2﹣2的顶点为A，与y轴交于点B，则直线AB的表达式为y＝﹣2x+2．【解答】解：∵y＝（x﹣2）2﹣2，∴顶点A的坐标为（2，﹣2），令x＝0，则y＝（﹣2）2﹣2＝2，∴B的坐标为（0，2），设直线AB的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线AB的表达式为y＝﹣2x+2，故答案为：y＝﹣2x+2．14．（3分）把一块含60°角的三角板ABC按图方式摆放在平面直角坐标系中，其中60°角的顶点B在x轴上，斜边AB与x轴的夹角∠ABO＝60°，若BC＝2，当点A，C同时落在一个反比例函数图象上时，B点的坐标为（5，0）．【解答】解：如图所示：过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，在Rt△ACB中，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∴AB＝2BC＝4，∵AE⊥x轴，∴∠AEB＝90°，即∠EAB+∠ABO＝90°，∴∠EAB＝90°﹣60°＝30°，∴EB＝AB＝2，AE＝＝2，设OE＝m，则点A的坐标为（m，2），∵∠ABO＝∠ABC＝60°，∴∠CBF＝180°﹣∠ABO﹣∠ABC＝60°，∵CF⊥x轴，∴∠CFB＝90°，即∠CBF+∠BCF＝90°，∴∠CBF＝30°，∴BF＝BC＝1，CF＝，∴OF＝OE+BE+BF＝m+3，∴点C坐标为（m+3，），∵点A，C同时落在一个反比例函数图象上，∴2m＝（m+3），解得：m＝3，∴OB＝OE+EB＝3+2＝5，∴B点的坐标为：（5，0）．故答案为：（5，0）．15．（3分）如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，点P是抛物线在第一象限部分上的一动点，连接AP并延长交y轴于点B，过点P作PH⊥x轴，垂足为H．则PH+BH的最大值为．【解答】解：由于与x轴正半轴交于点A，则y＝0时，0＝﹣x2+x，解得：x＝0或x＝8，故A（8，0），∵点P是抛物线在第一象限部分上的一动点，∴P（m，﹣m2+m），设直线AP解析式为：y＝kx+b，，解得：，∴直线AP解析式为：y＝﹣mx+m，∵AP并延长交y轴于点B，∴B（0，m），∴OB＝m，∵PH⊥x轴，PH＝﹣m2+m，∴H（m，0），∴OH＝m，∴BO＝OH，∵∠AOB＝90°，∴BH＝OH＝，∴BH＝m，∴PH+BH＝﹣m2+m+m，＝﹣（m﹣6）2+，∵a＝﹣＜0，当m＝6时，PH+BH的最大值为：，故答案为：．三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）16．（5分）计算：．【解答】解：＝1+﹣2×+﹣1＝＝．17．（7分）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中a＝﹣1．【解答】解：（﹣1）÷＝•＝•＝，当a＝﹣1时，原式＝＝＝．18．（8分）为了解全校学生上学的交通方式，该校九年级（8）班的5名同学联合设计了一份调查问卷，对该校部分学生进行了随机调查．按A（骑自行车）、B（乘公交车）、C（步行）、D（乘私家车）、E（其他方式）设置选项，要求被调查同学从中单选．并将调查结果绘制成条形统计图1和扇形统计图2，根据以上信息，解答下列问题：（1）本次接受调查的总人数是300人，并把条形统计图补充完整；（2）在扇形统计图中，“步行”的人数所占的百分比是29.3%，“其他方式”所在扇形的圆心角度数是24°；（3）已知这5名同学中有2名女同学，要从中选两名同学汇报调查结果．请你用列表法或画树状图的方法，求出恰好选出1名男生和1名女生的概率．【解答】解：（1）接受调查的总人数是：＝300（人），则步行上学的人数为：300﹣54﹣126﹣12﹣20＝88（人）．故答案为：300；（2）在扇形统计图中，“步行”的人数所占的百分比是：×100%≈29.3%；“其他方式”所在扇形的圆心角度数是：360°××100%＝24°．故答案为：29.3%；24°；（3）画树状图：由图可知，共有20种等可能的结果，其中一男一女有12种结果；则P（一男一女）＝＝．19．（8分）某网店购进水果后再销售．甲种水果的进价比乙种水果每件多，花500元购进甲种水果的件数比花450元购进乙种水果的件数少5件．（1）求甲、乙两种水果每件的进货单价；（2）若该网店购进甲、乙两种水果共100件，且购买的总费用不超过4200元．甲种水果售价60元，乙种水果按进价的2倍标价后再打六折销售，请你帮网店设计利润最大的进货方案，并求出最大利润，说明理由．【解答】解：（1）设乙种水果每件的进货单价为x元，则甲种水果每件的进货单价为（1+）x元，根据题意得：﹣＝5，解得：x＝30，经检验，x＝30是所列方程的解，且符合题意，∴（1+）x＝（1+）×30＝50．答：甲种水果每件的进货单价为50元，乙种水果每件的进货单价为30元；（2）利润最大的进货方案为：购进甲种水果60件，乙种水果40件，最大利润为840元，理由如下：设购进甲种水果m件，则购进乙种水果（100﹣m）件，根据题意得：50m+30（100﹣m）≤4200，解得：m≤60，设购进的两种水果全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（60﹣50）m+（30×2×0.6﹣30）（100﹣m），即w＝4m+600，∵4＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝60时，w取得最大值，最大值＝4×60+600＝840，此时100﹣m＝100﹣60＝40，∴利润最大的进货方案为：购进甲种水果60件，乙种水果40件，最大利润为840元．20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C是AB延长线上的一点，点D是⊙O上的一点，AD＝CD，且∠ADC＝120°．（1）如图1，求证：CD是⊙O的切线；（2）如图2，过BC上的点P，作AD的平行线，交⊙O于点E，F，若AB＝6，BP＝2．求BE•BF的值．【解答】（1）证明：如图1，连接OD，则OA＝OD，∵AD＝CD，∠ADC＝120°，∴∠A＝∠C＝×（180°﹣120°）＝30°，∴∠ODA＝∠A＝30°，∴∠ODC＝∠ADC﹣∠ODA＝120°﹣30°＝90°，∵OD是⊙O的半径，且CD⊥OD，∴CD是⊙O的切线．（2）解：如图2，作BG⊥PE于点G，连接AF，则∠PGB＝∠EGB＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝∠EGB＝90°，∵∠FAB+∠FEB＝180°，∠GEB+∠FEB＝180°，∴∠FAB＝∠GEB，∴△AFB∽△EGB，∴＝，∴BE•BF＝AB•BG，∵PF∥AD，∴∠BPG＝∠DAC＝30°，∵AB＝6，BP＝2，∴BG＝BP＝×2＝1，∴BE•BF＝AB•BG＝6×1＝6，∴BE•BF的值为6．21．（9分）【问题背景】人们从城市中的一点到另一点时，通常只能沿着城市中的街道行走．因此，人们发现，用19世纪数学家闵可夫斯基提出的曼哈顿距离来计算城市内街道上两点之间的距离更符合生活现实．曼哈顿距离（简称为“曼距”）的定义如下：坐标平面内的两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的距离为dPQ＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．例如，在平面直角坐标系中，点M（﹣3，﹣2）与点N（2，2）之间的“曼距”dMN＝|2+3|+|2+2|＝5+4＝9．【初步理解】（1）在一座理想的棋盘式布局的城市内，“110“的调度员收到信息，有一个突发事故发生在X＝（﹣1，4）处．而在该地区附近有两辆警车，A车位于（2，1）处，B车位于（﹣1，﹣1）处，那么以“曼距”大小衡量，按“就近优先出警”的原则，应该派B车（填A或B）前去处理事故．（2）如图1，正方形ABCD的中心位于坐标原点O，四个顶点均位于坐标轴上，且OA＝4．则下列说法：①若点P是正方形ABCD一边上的一点，则dop＝4；②若点P是正方形ABCD内的一点，则dop＜4；③若点P是正方形ABCD外的一点，则dop＞4；④若点P是正方形ABCD内的一点，则dDP+dPC＝8．其中不正确的是④（填序号）．【探究应用】（3）如图2，某消防支队位于坐标原点O，x轴是一条城市主干道，“月牙湖”位于城市边陲，其西、南岸可近似看作一段圆弧．已知圆弧形湖岸经过A（11，8），B（13，2），C（17，2）三点．今该消防支队要在湖岸边，建一个训练基地（记为点D），为使该消防支队官兵，平时前往基地参训时的“曼距”最短，需探究：点D的位置应选在何处？请作答以下问题：①圆弧所在的圆的圆心P的坐标为（15，6），该圆的半径大小为2；②请利用网格格点，在图2中，画出使dOD最小时点D的位置（不要求证明）；③dOD的最小值为21﹣2．【解答】解：（1）dAX＝|2+1|+|1﹣4|＝6，dBX＝|﹣1+1|+|﹣1﹣4|＝5，∴dBX＜dAX，∴应该派B前去处理事故，故答案为：B；（2）∵OA＝OC＝OD＝4，∴CD所在直线方程为：y＝4﹣x，当P在第一象限内，当P在CD上时，dOP＝|x|+|4﹣x|＝4，故①正确；当P在正方形内时，过P作PQ⊥x交CD于Q，此时，yP＜yQ，∴dOP＝|x|+|yP|＜dOQ＝4，故②正确；同理，当P在正方形外，yP＞yQ，∴dOP＝|x|+|yP|＞dOQ＝4，故③正确；∵正方形为轴对称图形，也是中心对称图形，∴当P在其他象限时，①②③同样成立；取P为OA上一点（x，0），x＜0，∴dPD+dPC＝﹣x+4+﹣x+4＝8﹣2x＞8，故④错误；故答案为：④；（3）①②如图：∴P（15，6），∴r＝＝2，故答案为：（15，6），2；③过D作y轴垂线，过P作x轴垂线，两线相交于E，∴△PDE为等腰直角三角形，∴PE＝DE＝，∴D（15﹣，6﹣），∴dOD＝15﹣+6﹣＝21﹣2．故答案为：．22．（10分）【问题呈现】如图1，在▱ABCD中，∠BAD＝45°，AB＝，BC＝2，点P，Q分别是射线CB，射线CD上的两动点，且满足∠PAQ＝135°，连接PQ．问：△APQ有何特点？【探究与延伸】（1）以下是某中学九年级（4）班同学们的一些猜测，其中正确的是③④（填序号）；①运动过程中，△APQ的周长不变；②运动过程中，△APQ面积不变；③运动过程中，△APQ的形状不变；④运动过程中，∠APQ