2025优化设计一轮课时规范练40　三角形中的特殊线段

课时规范练40三角形中的特殊线段1.(2024·山东济宁模拟)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若AB边上的高为2c,A=π4,则cosC=(A.1010 B.31010 C.352.(2024·江苏苏锡常镇模拟)在△ABC中,∠BAC=2π3,∠BAC的角平分线AD交BC于点D,△ABD的面积是△ADC面积的3倍,则tanB=(A.37 B.35 C.3353.在△ABC中,已知AB=2,AC=3,BC=4,则BC边上的中线AM的长度为.

4.(2024·河南郑州模拟)△ABC中,AB=4,BC=5,CA=6,∠ABC的平分线与AC交于点D,则BD=.

5.(2024·浙江杭州模拟)已知△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2csinAcosB+2bsinAcosC=3a,c>a.(1)求角A;(2)若b=2,BC边上中线AD=7,求△ABC的面积.6.(2021·北京,16)在△ABC中,c=2bcosB,C=2π(1)求∠B;(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使△ABC存在且唯一确定,求BC边上中线的长.条件①:c=2b;条件②:△ABC的周长为4+23;条件③:△ABC的面积为337.(2024·浙江湖州、衢州、丽水模拟)在锐角三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足sinAsinC-1=sin2(1)求证:B=2C;(2)已知BD是∠ABC的平分线,若a=4,求线段BD长度的取值范围.8.(2024·河北邯郸模拟)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为S=34(a2+b2-c2),c=23(1)若B=π4,求a(2)D为AB上一点,从下列条件①、条件②中任选一个作为已知,求线段CD的最大值.条件①:CD为∠C的角平分线;条件②:CD为边AB上的中线.

课时规范练40三角形中的特殊线段1.B解析如图,AB边上的高为CD.因为A=π4,所以AD=2c,2c=bsinπ4,所以BD=c,b=22由勾股定理,得BC=c2+4由余弦定理,得cos∠ACB=52.A解析因为S△ABDS△即AB=3AC.在△ABC中,作AB边上的高,垂足为H,由题可得,∠CAH=π则tanB=CH3.102解析因为BC=4,M为BC的中点所以BM=MC=2.在△ABM中,由余弦定理,得cos∠AMB=A在△ACM中,由余弦定理,得cos∠AMC=A因为∠AMC+∠AMB=π,所以cos∠AMC+cos∠AMB=0,所以AM4+AM2-54AM=解得AM=102或AM=-102(舍去4.103解析由余弦定理得cosC=cos∠ABC=BC2所以cos2C=2cos2C-1=18,所以∠ABC=2C因为BD为∠ABC的平分线,所以∠DBC=C,所以sin∠BDC=sin(π-2C)=sin2C.在△BCD中,由正弦定理,得BCsin即5sin2C=BD5.解(1)∵2csinAcosB+2bsinAcosC=3a,∴由正弦定理,得2sinCsinA·cosB+2sinBsinAcosC=3sinA.∵A∈(0,π),sinA>0,∴sinCcosB+sinBcosC=32,则sin(B+C)=∵A+B+C=π,∴sinA=3∵c>a,∴A=π(2)∵AD则AD2=14(AB+AC)2而b=2,BC边上中线AD=7,故|AB|2+2|AB|-24=0,解得|AB|=4,∴S△ABC=12bcsinA=12×2×4×6.解(1)由正弦定理bsinB=csinC及c=2bcosB,得sinC=2sin因为C=2π3,所以sin2又因为0<B<π3,所以B=(2)由(1)知c=3b与c=2b矛盾,所以不能选择条件①.选条件②:△ABC的周长为4+23由(1)知,A=π-2所以△ABC是顶角为2π3,底角为π6的等腰三角形.所以a=b,c=由题设,(2+3)a=4+23,所以a=2.设BC边上中线的长为d.由余弦定理得d2=(a2)2+a2-2×a2×acosC,所以d2=1+4-2×1×2×(-1选条件③:△ABC的面积为3由(1)知,A=π-2π所以△ABC是顶角为2π3,底角为π6的等腰三角形,由题设,12a2sin2π3=设BC边上中线的长为d.由余弦定理得d2=(a2)2+a2-2×a2×acosC,所以d2=34+3-2×32×7.(1)证明由题意得,sinA-sinCsinC=sin2A-sin2Csin2B,即1sinC=sinA+sinCsin2B,由正弦定理,得b2=c2+ac.由余弦定理,得b2=a2故sinC=sin(B+C)-2sinCcosB,整理得sinC=sin(B-C).又△ABC为锐角三角形,则C∈(0,π2),B∈(0,π2),B-C∈(-π2,π2),所以C=B-C(2)解在△BCD中,由正弦定理得asin∠BDC所以BD=4sin因为△ABC为锐角三角形,且B=2C,所以0<C<π2故22<cosC<32,所以433<BD<22.因此线段BD的长度的取值范围为(8.解(1)由余弦定理,得a2+b2-c2=2abcosC.又S=34(a2+b2-c2),所以S=34·2abcos因为S=12absinC,所以34·2abcosC=12ab所以tanC=3.又C∈(0,π),故C=由正弦定理得,asin且sinA=sin(B+C)=sin(π4+π3)=sinπ4cosπ3所以a2+64(2)若选条件①:在△ABC中,由余弦定理a2+b2-c2=2abcosC,得a2+b2-12=ab,即(a+b)2=12+3ab≤12+3(a+b2)2,故a+b≤当且仅当a=b=23时,等号成立.又因为S△CDA+S△CDB=S△ABC,即12b·sinπ6·CD+12asinπ6·所以CD=3aba+b=3[(a+b)2-12]3(若选条件②:由题知,2CD=CA+CB,两边同时平方,得4|CD|2=CA2+CB2+2CA·CB=b2+a2在△AB