江苏省南通市2023-2024学年高一年级下册5月质量监测数学试题（解析版）

2023〜2024学年度第二学期5月份质量监测

dLr-必1J".

高一数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，

在其他位置作答一律无效.

3.本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.如果两条直线加与〃没有公共点，那么与〃（）

A.共面B.平行

C,是异面直线D.可能平行，也可能是异面直线

【答案】D

【解析】

【分析】根据空间中两条直线的位置关系，即可求解.

【详解】根据空间中两条直线的位置关系，可得如果两条直线用与〃没有公共点，那么团与黑可能平行，

也可能是异面直线.

故选：D

2.若q,b是两个单位向量，则下列结论中正确的是（）

.?.7

A.a—bB.a//bC.ab=\D.a=b

【答案】D

【解析】

【分析】a，b是两个单位向量，则忖=网=1,但〃，人方向不能确定，即可判断AB；利用数量积的定

义与性质可判断CD.

【详解】a，b是两个单位向量，则|4=W=1,但a，。方向不能确定，故选项AB错误；

a'h=|a||^|cos（a,=cos（a,,只有“，B同向共线时,才有cos（a,今=1,故选项C错误;

,a=1,b=忖=1，a'//，选项D正确.

故选：D.

3.已知空间3条不同的直线机，〃，/和平面a,则下列说法正确的是（）

A.若m上/,则/力〃〃B.若/??〃〃，根ua,则〃〃a

C.若加〃a,n±a,则D.若相_L〃，n//a,则加_La

【答案】C

【解析】

【分析】ABD可举出反例；C选项，利用线面平行的性质及线面垂直的性质得到答案.

【详解】A选项，若加_L/,n±l,则m〃〃或小〃相交或异面，A错误；

B选项，若加〃〃，mua,则〃〃a或"ua,B错误；

C选项，若小〃a,不妨设机u£,a/3-a,则〃?〃a,

又”_La,aua,则〃J_a,所以加_L”，C正确；

D选项，若加_L〃，n//a＞则m//a,或加a相交，D错误.

故选：C

4.一艘船以32nmile/h的速度向正北方向航行.从4处看灯塔S位于船北偏东45°的方向上，30分钟后船

航行到B处，从8处看灯塔S位于船北偏东75°的方向上，则灯塔S与B之间的距离为（）

A.8x/2nmileB.16V2nmileC.16nmileD-16月nmile

【答案】B

【解析】

【分析】确定一A3S中的已知边与角，利用正弦定理，即可求得结果.

30

【详解】由题意知AB=32x'=16nmile,NBAS=45°,ZAS3=30°,

60

16

由正弦定理得，------

sin45°sin30°

解得BS=16V2nmile-

故选：B.

5.若用斜二测画法画出某△ABC水平放置直观图，得到边长为2的等边三角形，则原，A8C的面积为

（）

A.26B.2瓜C.4D.4及

【答案】B

【解析】

【分析】根据直观图与原平面图形的面积比为之=正，求解即可.

S4

【详解】直观图一A'3'C'是边长为2的等边三角形，

且.A'3'C的面积为S'=gx2x2xsin60°=G，

Of

S=—f=r=2-\/6

所以原的面积为41

4

故选：B.

_UUUUUU

6.在矩形ABC。中，已知A5=4，A£>=2，点P在C。边上，满足APAB=6，则AP-BP=（）

1I3

A.--B.0C.—D.一

242

【答案】C

【解析】

【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，设P（x,2）,根据向量的坐标运算求解即可.

【详解】如图建立平面直角坐标系，A（0,0）,JB（4,0）,C（4,2）,D（0,2）,设P（X,2）,

贝IJAP=（X,2）,AB=（4,0）,

UUUUUU3

所以AP-A6=4x=6，得x=］，

所以AP=（|,2）,5P=（_1,2）,

151

所以=---+4=-.

44

【答案】A

【解析】

JI1

【分析】利用差角的正弦公式化简给定等式得sin（6-7）=耳,再利用诱导公式及二倍角的余弦公式计算

得解.

［详解］依题意，sin9+sin(6—四)=sin6+'sin6-^^cos^=—sin0-^-cos6=Gsin(6——)

322226

兀］TTTT7T］

则sin(。——)=—r=,所以sin(26—)=cos(26—)=1—2sin2(夕—)=—.

6V36363

故选：A

8.在圆锥PO中，轴截面出8为等腰直角三角形，M为底面圆。上一点，NAOM=30。，则异面直线

0M与AP所成角的余弦值为（）

AV6口A/6rV3n2>/2—^6

4848

【答案】A

【解析】

【分析】首先得出异面直线OM与A尸所成角即为44N（或其补角），在AAPN中利用余弦定理求解即

可.

如图，过点4作4乂〃。0,交圆。于点M连接ON,PN,

则ZPAN即异面直线0M与AP所成角或其补角，

设AO=ON=1,可知NQ42V=NON4=30°,

则AN=6，

因为轴截面附8为等腰直角三角形，所以PA=PN=6,

在dA/W中，由余弦定理得,

P曾+AN?-PN?2+3-2_V|

cos/PAN=

2PA-AN276-4

V6

所以异面直线0例与AP所成角的余弦值为

4

故选：A.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.己知向量)=(1,-2),b=(/l),则下列说法中正确的是()

A.若a"b，则2=—2

B.若。_L/?，则4=2

C.若2<2,则6的夹角为钝角

D.若4=1,则a在。上的投影向量的坐标为1一2，一‘

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据向量平行垂直的坐标表示求判断A、B选项；对C,用向量反向共线说明不成立；对D,直接

计算投影向量即可.

【详解】向量a=(1,-2),b=(Z,l),

对于A,由得1x1=—2九，解得九=一g,A正确；

对于B,由C。，得2—2=(),则/l=2,B正确；

对于C,当九=一；<2时，a，A反向共线，夹角为180°，

此时a，〃的夹角不为钝角，C错误；

对于D,当2=1时，〃=(1,1),因此a在人上的投影向量为

a在b上的投影向量的坐标为一；,一；，D正确.

故选：ABD

10.下列条件中能推导出JRC一定是锐角三角形的有()

A.ABAC>0B.cosAcosBcosC>0

C.sinA:sin:sinC=5:6:7D.tanAtanB—3

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于A,利用向量的数量积判断得角A为锐角，但确定不了另两个角的范围，由此判断即可；对于

B,利用余弦函数的性质与三角形角的范围分析判断即可；对于C,利用正弦定理的边角变换与余弦定理即

可判断；对于D,利用正切函数的性质与和差公式，结合三角形角的范围分析判断即可.

【详解】对于A,因为AB-AC=|Aqk4cosA>0,即cosA>0,

又0<4<兀，故角A为锐角，

但无法确定另两个角的范围，故一ABC不一定是锐角三角形，故A错误；

对于B：因为cosAcosBcosC>0，

若cosA<0，则cosB<0,cosC>0或cosB>0,cosC<0,

又0<A,8,C<7i,则除了角A为钝角外，还有一角为钝角，矛盾；

同理以《8<0,(：05。<0都不可能，

故cosA>(),cosB>0,cosOO,即三个角均为锐角，故B正确：

对于C,因为sinA:sinS:sinC=5:6:7,由正弦定理得a:0:c=5:6:7,

令。=5左(左>0),则Z?=6A,c=7h

口袂日十择生〃口-a2+b2-c2(5kf+(6k]2-(7k}2八

显然取大角为C,且cosC=-~~-~L——1_L_1_Z->0，

2ab2x5kx6k

所以最大角C为锐角，所以ABC一定是锐角三角形，故C正确；

对于D,因为tanA-tan5=3>0,又0<兀且不能同时为钝角,

所以tanA>0,tanB>0,即A,8均为锐角,

tanA+tanB_tanA+tanB

又tanC=-tan(A+8)=>0,所以。也为锐角,

1-tanA-tanB2

所以.ABC一定为锐角三角形，故D正确.

故选：BCD.

11.在棱长为2的正方体—中，M,N,P分别是G2,GC,4A的中点，则下列正确的

A.平面BMN

B.81N_L平面ABN

C.多面体ABB「MNC1是棱台

D.平面8Mp截正方体所得截面的面积为3石

【答案】AC

【解析】

【分析】由线面平行即可判断A；由线面垂直即可判断B；由棱台的定义即可判断C；由平面截正方体所得

截面的作图即可判断D.

【详解】对于A,取中点后，连接EC-PE,

由正方体ABC。—A旦CQi得四边形"PEG为平行四边形，所以D、PHEC\,

因为点E,N为8旦,CG的中点，所以BE=QN,又BEHC,N,

所以四边形EBNG为平行四边形，所以ECJ/BN,所以PDJ/BN,

因为PR<7平面3例N,BNu平面BMN,所以PR〃平面8MN,故A正确;

对于B,取BC中点尸，连接与尸，则一BIBFM^BCN,所以NBB/=NCBN,

所以NCBN+N4EB=90°,所以耳FLBN,

由正方体—得，43人平面BCG5,又gEu平面6CG瓦，

所以AB_L，尸,

因为ABLBF,B、F工BN,AB,8Ni平面ABN,AB?BNB,

所以87，平面ABN,又BFcBiN=B「所以gN与平面ABN不垂直，故B错误;

对于C,由正方体ABCD—A81G。得，平面A844〃平面。CCQi，即平面48g〃平面MNG，由

棱台的定义可知，多面体ABg-MN£是棱台，故C正确；

对于D,设直线族与直线4片交于点“，连接与4。交于点/，HM与直线交于点J，连

接BJ交C&于点K，连接PI,MK,则五边形BPIMK即为平面3Mp截正方体所得截面,

因为ABP=\HP,所以“4=A8=2,BH=2BP=2后,

HA.AI2242

因为HA/MDJ,所以5年=京=[,所以A/=§X2=1ZV=3,

2

因为DXMICXMJ,所以G」=〃/=§，

因为C,KJCKB,所以殳=C11=L,

CKBC3

所以HJ=向河石产=勺叵,BJ=《B&2+BJ2=与,

33

HJ2+BH2-BJ26

所以cosNB/〃=所以sin4BHJ=

2HJ-BH~7/65

因为S=—S，

tirIUIIJ3

11V29

所以SBPIMK=SJ—S—SMKJ故D错误;

BHHPI12

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.一个圆台的母线长为5,上、下底面圆直径长分别为2,8,则圆台的高为.

【答案】4

【解析】

【分析】根据题意画出圆台的轴截面，根据圆台的母线和高及相关的上下底面半径构成直角梯形，利用直

角梯形的性质求得.

【详解】由题意得，圆台的轴截面为等腰梯形ABC。，

其中上底长为2,下底长为8,腰长为5,如图所示：

作CDLAB与E,则CE为圆台的高〃，

0

2

・・・高仁VJ=4-

故答案：4

13.若l+GtanlO°=，则m=.

sin50°

【答案】1

【解析】

【分析】应用商数关系、差角余弦公式、二倍角公式及诱导公式化简即可.

【详解】由题意可知，

根=(1+Gtan100)sin50°=+6sinH)_§山50-

cos10

-coslO°+—sinlO“八。in、

=2cs•in5＜0八。---2-------------2-----------=2csi.n5＜八0°--c--o-s-(-6--0-----1%-0---)

cos10cos10

c-〈八。cos50smlOOsin(90+10)cos101

=2sin50-------r=-------r-=----------；——=-------r=1•

cos10cos10cos10cos10

故答案为：1.

14.在△ABC中，AM=2MB，P是MC的中点，延长AP交3c于点D若AP=%AB+；12AC,贝U

4+4=；若AO=3,N/%C=60。，则△ABC面积的最大值为.

【答案】①.-②.空m

68

【解析】

【分析】第一空，直接由向量的线性运算计算即可；

第二空，用向量表示向量AO,进而求出AP模，设a,"c分别为A6,C所对边，由AP的模表

示出6,c的关系，利用基本不等式即可求解aABC面积的最大值.

【详解】第一空，因为尸是"C的中点，

11

所以AP=—AM+—AC,

22

又因为AM=2MB，

所以AM=2AB,

3

所以AP=4X2AB+」AC=1AB+，AC,

23232

所以4+4=|；

第二空，设AO=XAP，则AO=1；IAB+L/IAC,

32

因为点。在BC上，所以4+^=1,即丸=9,

325

所以4。=94尸，

5

所以|A户卜斗人力卜：，

1I2(11V]2112

因为AP=；48+彳AC,即Ap-=—AB+—AC=—AB+-ABAC+-AC，

32(321934

设a,"c分别为A,8,C所对边，

所以,。2+]_0.6-05/刚。+工〃=生

9344

即4+小+_1反=竺，

4964

=%c,当且仅当3h=2c时取等号,

因为>2

493

b,,1,2121,251,1,25

所以一Zr+-<r+—0c=—>-bc+—bc,HHnPIbc<一,

4964362

".sinZx"2

所以S八品

22228

因此△ABC面积的最大值为为空8.

8

故答案为：!；竺叵.

68

【点睛】关键点点睛：本题主要考查平面向量的线性运算及应用，关键在于利用平面向量基本定理表示出

向量AO,再根据模长求出三角形两边的关系，利用基本不等式和面积公式即可得到面积最大值.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知向量Q,〃满足2。一〃=（5,-8）,«-2Z?=（7,-10）,求：

（1）1-4；

（2）向量4+人与。_匕的夹角的余弦值.

【答案】（1）2713

e5726

26

【解析】

【分析】（1）利用已知条件求出q—b，再求模即可;

（2）利用已知条件求出。+〃，再用夹角和数量积与模长的关系求解.

【小问1详解】

由已知有3(a-b)=(2a-b)+(a—20)=(5+7,—8—10)=(12,-18).

故。_8=(4,_6),所以卜―司=次+62=2岳.

【小问2详解】

由已知有a+8=(2a—Z?)—(a—26)=(5—7,—8+]0)=(-2,2),及|a+Z?|=j2~+2~=2A/2.

,,,,(a+b\(a-b)-8-1255/26

故cosa+b,a—b=—।---不---丁=—产----=———.

++可卜叫2V2-2V1326

16.已知四棱锥P—ABC。中，底面ABCD是梯形，ABDC,AB1AD,DC=2AB=2,AD=6

PB=PC,M,N分别是尸。，BC的中点.求证:

(1)AM〃平面P8C；

(2)MNIBC.

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【解析】

【分析】(1)取8C的中点。，连结/Q,8Q,证明四边形是平行四边形，则AW〃BQ,再根据

线面平行的判定定理即可得证；

(2)连结PN,DN,DB,证明8c1平面PDV,再根据线面垂直的性质即可得证.

【小问1详解】

如图，取BC的中点Q,连结

因为M是PD的中点，

所以MQ//DC,MQ=^DC,

又ABI/DC,AB=LDC,

2

所以AB〃MQ,AB^MQ,

所以四边形ABQM是平行四边形，

所以40〃BQ,

因为AMU平面PBC,6Qu平面PBC,

所以AM〃平面PBC；

【小问2详解】

连结PN,DN,DB,

因为PB=PC,N是8c的中点，

所以PNLBC,

在中，ABA.AD,AD=6AB=1，

所以£)8=2,

由条件£>C=2,所以Z)C=DB,

又N是BC的中点，所以ONL8C，

因为。MPNu平面PDN,DN\PN=N,

所以平面PCW,

因为MNu平面PQN,所以MNJ.BC.

p

17.己知tan[a+1)=-3,cos0述，且a,Z?€(0,兀)，求:

10

(1)sin2a的值:

(2)2a一万的值.

4

【答案】(1)y

71

(2)——

4

【解析】

【分析】(1)先利用两角和的正切公式求出tana,再利用二倍角的正弦公式结合商数关系化弦为切即可

得解；

(2)先利用利用二倍角的余弦公式结合商数关系化弦为切求出cos2a,再利用两角差的正弦公式求出

2a一夕的正弦值，并求出2a一夕的范围，即可得解.

【小问1详解】

71

tana+tan—

由tanja+工、tana+1

4=-3,

・兀

I1-tana•tan—1-tan

4

解得tan&=2,

2sinacosa2tana2x24

所以sin2a=------------------------二—•

sin2(7+cos2ataiva+12~+l5

【小问2详解】

-cos-a-sin-a1-tarra1-2-3

cos2a=——-------------=——；-------=———=——

sin~a+cosatarra+12~+15

=也,

由cos0=-，夕e（。，兀），得sin（3—

一行‘

所以sin(2a-J3)=sin2acos(3-cos2asin尸

因为ae(0,7r),tane=2>l,

所以ae,所以2ae

又尸€（0,兀），cos力＜0,

所以?所以

所以2a一£e

TT

所以2a—/?=——.

4

2i—A

18.^E@acosB-bcosA=c+—b,②j2-sin（B+C）=J2cos?耳，③缁一/一。？=及§这三个条件

中任选一个，补充在下列问题中，并完成解答.

记一ABC的内角A,B,C的对边分别为“，b,c,面积为S,外接圆的半径为??,且满足,点

D在BC边上.

（1）求8sA的值:

（2）若ADJ.BC，=g，求当S取最小值时R的值；

（3）若3D=2OC,AO='a,求cosZADC.

3

【答案】（1）cosA=--

3

（2）/?=逑

2

⑶---

17

【解析】

【分析】（1）若选①，利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得；若选②利用诱导公式及

A

平方关系求出tan—,再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得；若选③，由面积公式及余弦定

2

理得到sin4=-20cosA，再结合平方关系计算可得；

2

(2)由面积公式得到。=—次，再由余弦定理及基本不等式求出床的最小值，即可求出S的最小值，从而

3

由正弦定理求出A；

(3)依题意可得=DC=-a,在..ADB和△AOC利用余弦定理得到匕=2。，a^—b，再

3332

由余弦定理计算可得.

【小问1详解】

若选①：在ABC中，由正弦定理，一=一也=」一=2R,

sinAsinBsinC

得a=2RsinA,ft=27?sinB,c=2AsinC,

2

因为acosB-bcosA=c+—/7,

3

2

所以2RsinAcosB-27?sinBcosA=2/?sinC+—2/?sinB,

3

2

即sinAcos8—sinBcosA=sinC+—sin8(*),

3

因为A+5+C=7l,

所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA,

2

所以(*)式可化为一2sin8cosA=—sinb.

3

因为5E(0㈤，所以sin3。0,所以cosA=—g,

lr-A

若选②：由亚—sin(8+C)=&cos?—,

2

可得011-3529)=sin(兀一A),

所以夜sinl24=sinA=2sin—cos—,

222

A(兀、A

又Ae(O,7i),所以万力。,')，则sin耳＞0,

lAAAr-

所以J2sin—=2cos—,所以tan—=J2,

222

cos2--sin2-1-tan2—

1-21

所以

cosA=------2---------1=---L--

.?zl92A.2+T3

sin一■bcos~-tan~—+1

222

若选③：在ABC中，由余弦定理a2=〃+c2—2)ccosA，

面积S=—Z?csinA,

2

又/_,2=y/2S，所以-2bccosA=V^xgbcsinA,

所以sinA=-2>/2cosA>

又sin?A+cos2A=1，sinA>0,则cosA<0,

所以cosA=」（正值已舍去）.

3

【小问2详解】

由cosA——,得sinA=Vl-cos2A=-----,

33

由条件AD=g，

所以面积S=，-ax0=，bcx2^,

223

2

所以。=—,

3

又由余弦定理黯=〃+/-2^ccosA，

4228

得一(0c)2=b2+c2+-bc>2bc+-bc=-be,当且仅当b=c时取等号,

9333

所以讥?26或匕c«()(舍去)，

所以当且仅当6=c=八时be取最小值6,

2

此时S取得最小值2及且。==4,

a2R——=3^23\/2

由——=2R,即2近，所以/?=出.

sinA--2

【小问3详解】

21

由条件①)=2DC,所以BO=-。，DC=-a,

33

又AO=」a,

3

分别在，ADB和八位)。中，有cosNAZ)8+cosNADC=0,

.AD2+BD2-AB2AD2+CD2-AC2,、

所rr以r-----------------+------------------=0，

2xADxBD2xADxCD

所以b=2。，a=^b，

32

941

所以cosZADC=2-一-

2xADxCD1717

A

【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是对公式的