微专题15 轻松搞定线面角问题（两大题型）（解析版）

微专题15轻松搞定线面角问题【题型归纳目录】题型一：定义法题型二：等体积法【方法技巧与总结】线与面的夹角①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．②范围：=3\*GB3③求法：常规法：过平面外一点做平面，交平面于点；连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形．即（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）；【典型例题】题型一：定义法【典例1-1】（2024·高二·湖南株洲·学业考试）如图，AB是⊙O的直径，PA⊥⊙O所在的平面，C是圆上一点，，.

(1)求三棱锥的体积；(2)求证：BC⊥平面；(3)求直线PC与平面所成角的正切值.【解析】（1）由AB是⊙O的直径，C是圆上一点，，得，，，而PA⊥⊙O所在的平面，所以三棱锥的体积.（2）由PA⊥⊙O所在的平面，⊙O所在的平面，则，由（1）知，，又平面，所以BC⊥平面.（3）由PA⊥⊙O所在的平面，得是直线PC与平面所成的角，所以.【典例1-2】（2024·高一·全国·期末）如图，边长为2的正方形中，点E是的中点，点F是的中点，将分别沿折起，使A､C两点重合于点A′，连接.

(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【解析】（1）在正方形中，有，则，又，平面，∴平面，而平面，∴；（2）连接交于点，连接，∵正方形中，点E是的中点，点F是的中点，∴，∴点G为的中点，则，又，∴，又平面，∴平面，又面，所以面平面，平面平面，∴在面的射影在上，则为直线与平面所成角，由（1）可得，∴为直角三角形，在正方形中，，，易得，，又，∴，∴，∴直线与平面所成角的正弦值为.题型二：等体积法【典例2-1】（2024·高一·河北邯郸·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABP，，E为BC的中点.

(1)证明：平面平面PAD.(2)若点A到平面PED的距离为，求直线PA与平面PCD所成角的正弦值.【解析】（1）如图，取PD的中点F，PA的中点G，连接EF，FG，BG.∵平面ABP，平面ABP，∴.∵，∴.∵AP，平面PAD，，∴平面∵，，，，∴，，∴四边形BEFG是平行四边形，∴，∴平面PAD，又平面PED，∴平面平面PAD.（2）取AB的中点H，连接PH，AC.∵平面ABP，平面ABP，∴，∴，∴，易得.∵，∴.∵平面ABP，平面ABCD，∴平面平面ABP.又，∴，∴平面ABCD易得，，，，∴.设点A到平面PCD的距离为h，∵，得，∴直线PA与平面PCD所成角的正弦值为.【典例2-2】（2024·高一·河北邢台·阶段练习）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且，.

(1)证明：平面平面；(2)求直线与平面所成角的余弦值.【解析】（1）∵底面，平面，∴.在中，；在中，，易得，又，∴，设，则，即，又，，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）∵M是的中点，由题意可得，则.∵平面，平面，∴.设A到平面的距离为d，∵，即，∴，可得.设直线与平面所成角为，则，所以，故直线与平面所成角的余弦值为.【变式2-1】（2024·高一·四川遂宁·阶段练习）如图，四棱锥的底面为菱形，，，，平面，点在棱上.

(1)证明：；(2)若三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的余弦.【解析】（1）如图，连接，因为四边形为菱形，所以，因为平面，平面，所以，又因为，平面，平面，所以平面，又因为平面，所以.（2）设点到平面的距离为，则三棱锥的体积，解得.因为平面，，所以，即是棱的中点.设，如图，连接，则平面，所以，过点作的垂线，垂足为，连接，由（1）知，平面，所以，又，平面，平面，所以平面，则为直线与平面的所成角，因为，，所以，又因为，因为，所以，所以，又，所以，在中，，所以直线与平面所成角的余弦值为.【变式2-2】（2024·高二·浙江绍兴·期末）如图，四边形为正方形，平面，，．(1)求证：平面；(2)求与平面所成角的正弦值．【解析】（1）连接交于，如图，由四边形为正方形，得，又平面，平面，则，而，即B，D，E，F四点共面，又，且平面，所以平面.（2）因为，则与平面所成角等于与平面所成角，显然，，，在中，由余弦定理得，，因此，设点到平面的距离为，由平面，知，而，，则平面，又，平面，平面，则平面，即有点F到平面的距离为AB长2，又，由，得，即，解得，所以与平面所成角的正弦值为．【过关测试】1．（2024·高一·湖北武汉·期末）如图，在三棱柱中，平面是的中点．若平面与底面所成的二面角是．

(1)求的长度；(2)求与平面所成的角．【解析】（1）过作，作，连接，，，在中，，则，则，因为为中点，，则为中点，因为侧面为矩形，为中点，，则为中点，则，因为平面,所以平面，因为平面，所以，因为，所以，而，所以，因为为中点，所以，又因为平面平面，平面，平面，是平面与平面所成的角，，又，.（2），所以与面成的角就是与面成的角，可知是与平面成的角，故．2．（2024·高一·安徽芜湖·期末）如图，在三棱台中，，，，．

(1)求证：平面平面；(2)若直线与平面所成角为，求平面和平面所成角的正切值．【解析】（1）取中点为，连接,∵，，所以,故,由三角形内角和可得,故，又∵,平面,为相交直线，∴平面，平面,∴又∵,即,平面,∴平面，AC在平面ABC内，∴平面平面（2）由（1）知直线与平面所成角为，∴，由于,∴设平面和平面的交线为，由于平面，平面，所以，过点作于G，又（1）知平面平面，且两平面的交线为，平面,∴平面，平面，所以，且,再过点作于，连接，平面，所以平面，平面,故，∵即为所求角,,∵3．（2024·高一·江西新余·期末）如图，四棱锥的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD为正方形，且平面平面ABCD，Q，M，N分别为PB，AB，AD的中点．

(1)证明：平面PDC；(2)证明：；(3)求直线PM与平面PNC所成角的正弦值．【解析】（1）证明：如图1，取PC中点E，连接QE，DE，在正方形ABCD中，，．∵Q，N分别为PB，DA的中点，∴且，，∴且，∴四边形QEDN为平行四边形，∴．又平面PDC，平面PDC，∴平面PDC．（2）证明：∵是边长为2的正三角形，N为AD中点，∴，又∵平面平面ABCD，平面平面，且平面，∴平面ABCD，又平面ABCD，∴．在正方形ABCD中，易知，∴，而，∴，∴．∵，且平面，∴平面PNC．∵平面PNC，∴．（3）如图2，设，连接PO，PM，MN．∵平面PNC，∴，且∠MPO为直线PM与平面PNC所成的角．∵，，∴，，∴．∵，，∴．∴直线PM与平面PNC所成角的正弦值为．4．（2024·高一·广西南宁·期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，为等边三角形，平面平面PCD，，，AD＝5，棱PC的中点为N，连接DN.

(1)求证：平面PCD；(2)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.【解析】（1）∵为等边三角形，N为PC中点，∴，又∵平面平面PCD，平面平面，∴平面PAC，又平面PAC，∴，又，，CD，平面PCD，∴平面PCD；（2）连接AN，由（1）可知，平面PAC，∴为直线AD与平面PAC所成的角，∵为等边三角形，且为PC的中点，∴，又，在中，，故直线AD与平面PAC所成角的正弦值为.5．（2024·高一·吉林长春·期末）在四棱台中，平面，，，，，，垂足为M.

(1)证明：平面平面；(2)若二面角正弦值为，求直线平面所成角的余弦值.【解析】（1）连接，因为平面，平面，所以，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，，面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）因为，，所以，即，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，设二面角的平面角为，二面角的平面角为，则，因为二面角正弦值为，所以二面角的余弦值为，因为平面，平面，故，因为，所以为二面角的平面角，因为平面，平面，所以，所以，因为，所以，所以，因为平面，所以为直线与平面所成角，所以，所以直线与平面所成角的余弦为.6．（2024·高一·广西·期末）如图，已知正方体中，分别是和的中点．

(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【解析】（1）证明：如图，正方体中，取的中点，连接、．∵是的中点，∴，．∵是的中点，且，，∴，，∴，，∴四边形是平行四边形，∴，∵正方体，又为的中点，∴，∴．（2）设到平面（即平面）的距离为，直线与平面所成角为，设正方体棱长为2，则，由（1）知：，由正方体的性质知平面，因为平面，所以，平面，，所以平面，因为，所以平面，∴即，∴，∴．7．（2024·高一·湖北武汉·阶段练习）如图所示，在正三棱柱中，D是AC的中点，．

(1)证明：直线//平面；(2)求直线与平面所成的角的余弦值，【解析】（1）如图，连接交于点E，连接DE，由正三棱柱可知，点E为的中点，又D为AC的中点，所以，又平面，平面，所以平面.（2）作于点F，因为为正三角形，且D为AC中点，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因为平面，所以，又因为平面，所以平面，所以直线与平面所成的角为，即，在中，，所以，所以直线与平面所成的角的余弦值.8．（2024·高一·黑龙江·期末）在三棱锥中，，，．

(1)求证：；(2)若点在棱上，当直线与平面所形成的角的正弦值为时，求的值．【解析】（1）取的中点，连接，．∵，为的中点．∴，∵，为的中点．∴，又，平面，∴平面，而平面，∴.（2）因为，，，所以，所以，又，，平面，所以平面，又，所以，又，由图可知二面角为钝二面角，过点作平面交于点（、在两侧），连接、、，则即为直线与平面所成的角，又，所以，所以，又直线与平面所形成的角的正弦值为，所以，则，在中由余弦定理可得，又在中由余弦定理可得，即，解得或（舍去），所以，所以.9．（2024·高一·安徽合肥·期末）在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，，，，平面平面，

(1)求证：(2)求直线与平面所成角的余弦值.【解析】（1）取AD的中点E，连接PE，BE，如下图：，又是等边三角形，即，平面PBE，平面PBE，平面PBE，；（2），，，平面平面ABCD，平面平面平面ABCD，平面ABCD，，在中，，过A点作平面PBE的垂线，得垂足H，连接DH，与平面PBD的夹角即为AD与平面PAD的夹角，设其为，则，下面用等体积法求出AH的长度，，在中，，，在中；综上，直线BC与平面PBD所成角的余弦值为.10．（2024·高一·安徽六安·期末）在正三角形中，，，分别是、、边上的点，满足（如图1）．将沿折起到的位置，使平面平面，连结，（如图2）．

(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的大小．【解析】（1）∵，∴，∴，∵平面，平面，∴平面；（2）法一：在