五升六暑期奥数培优讲义-6-02-数论专题（二）4-讲义-教师

第2讲数论专题（二）【学习目标】1、复习带余除法、同余性质、中国剩余定理问题；2、熟悉数论常见的解题思路。【知识梳理】1、同余问题：若a,b除以c的余数相同,那么(a-b)能被c整除。2、余数的三大性质：（1）和的余数等于余数的和；（2）差的余数等于余数的差；（3）积的余数等于余数的积。【典例精析】【例1】满足被4除余1,被5除余1，被6除余1的最小自然数是____。[4,5,6]=6060+1=61【趁热打铁-1】满足被5除余3,被6除余3，被7除余3的最小自然数是____。[5,6,7]=210210+3=213【例2】有一个自然数分别去除360、314、245得到相同的余数，这个自然数最大可能是多少？360-314=46314-245=69360-245=115(46,69，115)=23∴最大可能是23.【趁热打铁-2】692、608、1126三个数分別除以同一个自然数，得到的余数相同，这个自然数是多少？1126-692=434692-608=84（434,84）=14∵14的约数有1，2,7,14,且692、608、1126除以1或者2都没有余数，∴这个自然数是7或者14.【例3】有3个吉利数：888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得余数依次为a，a+7，a+10，求这个自然数．518-7=511,666-10=656,即888、511、656除以这个自然数余数都为a,888-511=377,888-656=232,(377,232)=29所以这个自然数为29。【趁热打铁-3】有一个自然数，用它去除226余a，去除411余a+1，去除527余a+2，则a=19。∵用此数去除410余a,去除525余a,即除226、410、525的余数相同。410-226=184,525-410=115,（184,115）=23∴此自然数是：23,∴226÷23=9……19,即：a=19。【例4】一个小于200的自然数，被7除余2，被8除余3，被9除余1，这个数是多少？∵[7,8]=56,这个数是：56-5=51或56×2-5=107或56×3-5=163又∵163÷9=18……1∴这个数是163.【趁热打铁-4】满足被5除余3，被6除余1，被7除余2的最小自然数是多少？∵(6,7)=42,这个数是：42-5=37或42×2-5=79或42×3-5=121或42×4-5=163又∵163÷5=32……3∴这个数是163.【例5】一堆苹果，2个2个地数剩1个，3个3个地数剩2个，4个4个地数剩3个，5个5个地数剩4个，6个6个地数剩5个，求这堆苹果至少有多少个？[2,3,4,5,6]=6060-1=59（个）【趁热打铁-5】有一袋奶糖发给学前班的小朋友，每人得8，最后刻下1糖，每人得10最后也剩下1颗糖，每人得12颗，最后还是剩下1颗糖。这袋奶糖至少有多少颗？[8,10,12]=120120+1=121（颗）【例6】某歌舞团200多人在大厅列队排练，若排成7排则多2人，排成5排则多4人，排成6排则多3人，问该歌舞团共有多少人?设改歌舞团的人数为m，则4m除以7余1,4m除以5余1,4m除以6没有余数。[7,5]=35，且m＞200，则4m＞800。∴4m=35×23+1=806（舍去）或4m=35×24+1=841（舍去）或4m=35×25+1=876（满足题意）∴该歌舞团的人数为：876÷4=219（人）【趁热打铁-6】某整数除以5余4，除以7余2，除以11余8，这个整数最小是多少？设这个整数最小是m，则3m除以5余2，除以11余2，除以7余6，[5,11]=55∴3m=55×1+2=57（舍去）或3m=55×2+2=112（舍去）或3m=55×3+2=167或3m=55×4+2=222（舍去）或3m=55×5+2=277（舍去）或3m=55×6+2=332（舍去）或3m=55×7+2=387（舍去）或3m=55×8+2=442（舍去）或3m=55×9+2=497（舍去）或3m=55×10+2=552（满足题意：552÷7=78……6）∴这个整数最小是：552÷3=184.【例7】如果一个自然数a除以6余4，除以9余4，且a共有6个不同的约数，那么a最小是多少？（6,9）=18∴a=18×1+4=22，22的因数有1、2、11、22（舍去）或a=18×2+4=40，40的因数有1、2、4、5、8、10、20、40（舍去）或a=18×3+4=58，58的因数有1、2、4、7、8、14、28、56（舍去）或a=18×4+4=76，76的因数有1、2、4、19、38、76（满足题意）∴a最小是76.【趁热打铁-7】一个自然数分别用7、8、9去除，余数分别为1、2、3，三个商数的和为570，这个自然数是____．∵[7,8,9]=504，三个商数的和是570，∴(72+63+56)n-3=570,n=3∴这个自然数是504×3-6=1506.【例8】在一根长木棍上分别用红、黄、蓝三种颜色做标记，将木棍分成了10等份、12等份和15等份。如果沿这三种标记把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？∵[10,12,15]=0,∴设这根木棍长60厘米。∵60÷10=6(厘米），60÷12=5(厘米），60÷15=4(厘米）[4,5]=20,[5,6]=30,[4,6]=12∴60÷30-1=1(条），60÷20-1=2(条），60÷12-1=4(条）又∵10等份的为第一种刻度线，共：10-1=9(条）12等份的为第二种刻度线，共：12-1=11(条）15等份的为第三种刻度线，共：15-1=14(条）∴标记一共有：9+11+14-1-2-4=27(条）∴木棍总共被锯成：27+1=28(段）【趁热打铁-8】深冬的一个早晨，小明和爸爸踏着积雪，一前一后沿着圆形跑道从同一起点朝同一方向跑步锻炼，爸爸每步50厘米，小明每步30厘米，雪地上的脚印时有重合，一圈跑下来，一共留有1680个脚印。这个跑道一圈的长度是多少米？解：[50,30]=150,第一次两人脚印重合时，爸爸走的步数：150÷5=3(步）,小明走的步数：150÷3=5(步）,即爸爸3步与小明5步时脚印重合一次，此时有3+5-1=7个脚印，距离是150厘米，总共有1680个脚印，应重合的次数：1680÷7=240(次）所以这条路长是240×150=36000(厘米）36000厘米=360米；答：这个跑道一圈长360米.【过关精炼】1、某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小可能值是_______．解：因为此数加3以后，能被11,13整除，除以17余15,[11,13]=143,143÷17=8……7,7×7=49,49÷17=2……15.∴最小可能是：143×7-3=998.2、一个数除以5余2，除以7余2，除以11余9，满足条件的最小自然数是____．[5,7]=3535÷11=3……22×9=18，18÷11=1……7∴最小是：35×9+2=3173、有一个数，除以3余数是2，除以4余数是1．问这个数除以12余数是几？设这个数为m，则5m除以3余1，除以4余1，[3,4]=12∴5m可能是12×n+1,∴m最小是5；5÷12=0……5∴这个数除以12余数是5.4、用红笔在一根木棍上做了三次记号，第一次把木棍分成12等份，第二次把木棍分成15等份，第三次把木棍分成20等份，然后沿着这些红记号把木棍锯开。一共锯成多少小段？∵[12,15,20]