2022-2023学年江苏省南京市某中学初三年级下册第二次联考数学试题试卷含解析

2022-2023学年江苏省南京市金陵中学初三下学期第二次联考数学试题试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.已知点A（0,-4）,B（8,0）和C（a,-a）,若过点C的圆的圆心是线段AB的中点，则这个圆的半径的最小

值是（）

A.正B.72C.73D.2

2

2.下列计算正确的是（）

A.a2+a2=a4B.as*a2=a7C.（a2）3=a5D.2a2-a2=2

3.甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车分别从甲地开往乙地（轿车的平均速度大于货车的平均速度），如

图线段04和折线分别表示两车离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间的函数关系.则下

列说法正确的是（）

B.轿车在行驶过程中进行了提速

C.货车出发3小时后，轿车追上货车

D.两车在前80千米的速度相等

4.若关于x的方程—+——=3的解为正数，则m的取值范围是（）

x-33—x

993

A.m<—B.m<一Q且m,—

222

993

C.m>-----D.m>-----且m#-----

444

5.已知：如图，在正方形ABCD外取一点E,连接AE、BE、DE,过点A作AE的垂线交DE于点P,若AE=AP=1,

PB=6.下列结论：(DAAPD^AAEB；②点B到直线AE的距离为&；®EB±ED；®SAAPD+SAAPB=1+76;⑤S

正方形ABCD=4+46.其中正确结论的序号是（

A.①③④B.①②⑤C.③④⑤D.①③⑤

6.某学校组织艺术摄影展，上交的作品要求如下：七寸照片（长7英寸，宽5英寸）；将照片贴在一张矩形衬纸的正

中央，照片四周外露衬纸的宽度相同；矩形衬纸的面积为照片面积的3倍.设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如

图），下面所列方程正确的是（）

A.(7+x)(5+x)x3=7x5B.(7+x)(5+x)=3x7x5

C.(7+2x)(5+2x)x3=7x5D.(7+2x)(5+2x)=3x7x5

1

7.如图，将函数y=5（x+39）2+l的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（-4,m）,B（-1,n）,

平移后的对应点分别为点A，、B，.若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（）

y=](x+3)2-2

D.y=—（r+3）2+4

-2

8.下列分子结构模型的平面图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（

A.1个B.2个C.3个D.4个

9.如图是由7个同样大小的正方体摆成的几何体.将正方体①移走后，所得几何体（）

Z

中视方向

A.主视图不变,左视图不变

B.左视图改变,俯视图改变

C.主视图改变,俯视图改变

D.俯视图不变,左视图改变

10.今年“五一”节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间.设他从山脚出发后所用的时

间为t（分钟），所走的路程为S（米），5与1之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（）

A.小明中途休息用了20分钟

B.小明休息前爬山的平均速度为每分钟70米

C.小明在上述过程中所走的路程为6600米

D.小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度

11.有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是（）

a

14

-3-2-10123

A.a+b>0B.ab>0C.a-b<oD.a4-b>0

12.如图：将一个矩形纸片ABC。,沿着仍折叠，使C、O点分别落在点G，2处.若NG&L=50。，则NABE的

度数为（）

.一,D

B

A.15°B.20°C.25°D.30°

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

11

13.若。29一。29=一，a—b=—,则a+5的值为.

63

14.如图，已知=要使AABDwACBD,还需添加一个条件，则可以添加的条件是.（只

写一个即可，不需要添加辅助线）

15.点A（-2,l）在第象限.

16.下列对于随机事件的概率的描述：

①抛掷一枚均匀的硬币，因为“正面朝上”的概率是0.5,所以抛掷该硬币100次时，就会有50次“正面朝上”；

②一个不透明的袋子里装有4个黑球，1个白球，这些球除了颜色外无其他差别.从中随机摸出一个球，恰好是白球

的概率是0.2；

③测试某射击运动员在同一条件下的成绩，随着射击次数的增加，“射中9环以上”的频率总是在0.85附近摆动，显示

出一定的稳定性，可以估计该运动员“射中9环以上”的概率是0.85

其中合理的有（只填写序号）.

17.如图，在△ABC中，AB=AC=15,点D是BC边上的一动点（不与B,C重合），ZADE=ZB=Za,DE交AB

于点E,且tan/a=1,有以下的结论：@AADE^AACD；②当CD=9时，AACD与ADBE全等；③4BDE为直角

三角形时，BD为12或■；®0<BE<y,其中正确的结论是（填入正确结论的序号）.

18.小明和小亮分别从A、3两地同时相向而行，并以各自的速度匀速行驶，途中会经过奶茶店C,小明先到达奶茶

店C,并在C地休息了一小时，然后按原速度前往3地，小亮从3地直达A地，结果还是小明先到达目的地，如图是

小明和小亮两人之间的距离y（千米）与小亮出发时间x（时）的函数的图象，请问当小明到达B地时，小亮距离A地

千米.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）（1）|-2|+^/27«tan300+（2018-TT）0-（1）4

xY2—i2—x<3

（2）先化简，再求值：（------1）+」，其中x的值从不等式组.”「的整数解中选取.

20.（6分）某市对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管等公用设施进行全面更新改造，根据市政建设的需要,

需在35天内完成工程.现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是

甲工程队单独完成此项工程时间的2倍，若甲、乙两工程队合作，只需10天完成.甲、乙两个工程队单独完成此项工

程各需多少天？若甲工程队每天的工程费用是4万元，乙工程队每天的工程费用是2.5万元，请你设计一种方案，既

能按时完工，又能使工程费用最少.

21.（6分）先化简，再求值：x（x+1）-（x+1）（x-1）,其中x=L

22.（8分）解方程：（x-3）（x-2）-4=1.

23.（8分）某商场甲、乙两名业务员10个月的销售额（单位：万元）如下：

甲7.29.69.67.89.346.58.59.99.6

乙5.89.79.76.89.96.98.26.78.69.7

根据上面的数据，将下表补充完整:

4.0<x<4.95.0<x<5.96.0<x<6.97.0<x<7.98.0<x<8.99.0<x<10.0

甲101215

乙——————

（说明：月销售额在8.0万元及以上可以获得奖金，7.0〜7.9万元为良好，6.0〜6.9万元为合格，6.0万元以下为不合

格）

两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：

结论：

人员平均数（万元）中位数（万元）众数（万元）

甲8.28.99.6

乙8.28.49.7

（1）估计乙业务员能获得奖金的月份有个；

（2）可以推断出业务员的销售业绩好，理由为.（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）

24.（10分）阅读材料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并

把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形.小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.如图1,

在“手拉手”图形中，小胖发现若NBAC=NDAE,AB=AC,AD=AE,贝!|BD=CE.

⑴在图1中证明小胖的发现；

借助小胖同学总结规律，构造"手拉手''图形来解答下面的问题：

⑵如图2,AB=BC,NABC=NBDC=60。，求证：AD+CD=BD；

⑶如图3,在4ABC中，AB=AC,ZBAC=m°,点E为小ABC外一点，点D为BC中点，ZEBC=ZACF,ED±FD,

求NEAF的度数（用含有m的式子表示）.

25.（10分）定义：如果把一条抛物线绕它的顶点旋转180。得到的抛物线我们称为原抛物线的“李生抛物线”.

⑴求抛物线J=x2-2x的“挛生抛物线”的表达式；

⑵若抛物线y=x2-2x+c的顶点为与y轴交于点C,其“李生抛物线”与y轴交于点。，请判断AOCO的形状，并

说明理由：

⑶已知抛物线y=/-2x-3与y轴交于点C,与x轴正半轴的交点为A,那么是否在其“李生抛物线”上存在点P,在

y轴上存在点Q,使以点A、C、P、。为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理

由.

26.（12分）如图，已知NABC=90。，AB=BC.直线1与以BC为直径的圆。相切于点C.点F是圆O上异于B、C

的动点，直线BF与1相交于点E,过点F作AF的垂线交直线BC于点D.

A

E

如果BE=15,CE=9,求EF的长；证明：©ACDF^ABAF；®CD=CE；探求动点F在什

么位置时，相应的点D位于线段BC的延长线上，且使BC=J^CD,请说明你的理由.

27.（12分）矩形ABCD一条边AD=8,将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处.

（1）如图1,已知折痕与边BC交于点O,连接AP、OP、OA.

①求证：△OCPs^PDA；

②若AOCP与APDA的面积比为1：4,求边AB的长.

（2）如图2,在（1）的条件下，擦去AO和OP,连接BP.动点M在线段AP上（不与点P、A重合），动点N在

线段AB的延长线上，且BN=PM,连接MN交PB于点F,作MELBP于点E.试问动点M、N在移动的过程中，

线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、B

【解析】

首先求得AB的中点D的坐标，然后求得经过点D且垂直于直线y=-x的直线的解析式，然后求得与y=-x的交点坐标,

再求得交点与D之间的距离即可.

【详解】

AB的中点D的坐标是(4,-2),

*.'C(a,-a)在一次函数y=-x上，

二设过D且与直线y=-x垂直的直线的解析式是y=x+b,

把(4,-2)代入解析式得：4+b=-2,

解得：b=-l,

则函数解析式是y=x-l.

y=x—6

根据题意得：1,

y=-x

则交点的坐标是(3,-3).

则这个圆的半径的最小值是：J(4—3)2+(—2+3)2=V2.

故选：B

【点睛】

本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及两直线垂直的条件，正确理解C(a,-a),一定在直线y=-x上，是关键.

2、B

【解析】

根据整式的加减乘除乘方运算法则逐一运算即可。

【详解】

A.a2+a2=2a2,故A选项错误。

B.笳.々2=",故B选项正确。

C")=q6,故选项错误。

D.2a2—4=〃，故口选项错误。

故答案选B.

【点睛】

本题考查整式加减乘除运算法则，只需熟记法则与公式即可。

3、B

【解析】

①根据函数的图象即可直接得出结论;②求得直线OA和DC的解析式,求得交点坐标即可；③由图象无法求得B的横

坐标;④分别进行运算即可得出结论.

【详解】

由题意和图可得，

轿车先到达乙地，故选项A错误，

轿车在行驶过程中进行了提速，故选项B正确，

货车的速度是：300+5=60千米/时，轿车在段对应的速度是：80+(2.5-12)=唱千米/时，故选项D错误，

设货车对应的函数解析式为y^kx,

5兀=300,得兀=60,

即货车对应的函数解析式为y=60x,

设段轿车对应的函数解析式为

2.5a+b=80[a=110

4，得《，

[4.5a+Z>=300,=-195

即CD段轿车对应的函数解析式为y=110x—195,

令60x=110x—195,得x=3.9,

即货车出发3.9小时后，轿车追上货车，故选项C错误，

故选:B.

【点睛】

此题考查一次函数的应用，解题的关键在于利用题中信息列出函数解析式

4、B

【解析】

解：去分母得：x+m-3m=3x-9,

—2m+9

整理得：2x=-2m+9,解得：x=------------,

2

X+rvj3n7

已知关于X的方程一+—=3的解为正数，

x-33-x

9

所以-2m+9>0,解得mV一,

2

—+9._3

当tx=3时，x=------------=3,解得：m=—,

22

93

所以m的取值范围是：mV—且mr—・

22

故答案选B.

5、D

【解析】

①首先利用已知条件根据边角边可以证明AAPD之△AEB；

②由①可得NBEP=90。，故BE不垂直于AE过点B作BF_LAE延长线于F,由①得NAEB=135。所以NEFB=45。，所

以AEFB是等腰RtA,故B到直线AE距离为BF=若，故②是错误的；

③利用全等三角形的性质和对顶角相等即可判定③说法正确；

④由△APDgZkAEB,可知SAAPD+SAAPB=SAAEB+SAAPB,然后利用已知条件计算即可判定；

⑤连接BD,根据三角形的面积公式得到SABPD=^PDXBE=3,所以SAABD=SAAPD+SAAPB+SABPD=2+Y^,由此即可

222

判定.

【详解】

由边角边定理易知△APD^AAEB,故①正确；

由AAPDg4AEB得，ZAEP=ZAPE=45°,从而NAPD=NAEB=135。，

所以NBEP=90。，

过B作BFLAE,交AE的延长线于F,则BF的长是点B到直线AE的距离，

在AAEP中，由勾股定理得PE=0,

在△BEP中，PB=^/5，PE=夜，由勾股定理得：BE=g",

；NPAE=NPEB=NEFB=90。，AE=AP,

ZAEP=45°,

:.ZBEF=180o-45°-90o=45°,

.\ZEBF=45°,

；.EF=BF,

在AEFB中，由勾股定理得：EF=BF=—,

2

故②是错误的；

因为AAPD丝AAEB,所以NADP=NABE,而对顶角相等，所以③是正确的；

由小APD^AAEB,

.\PD=BE=73>

可知SAAPD+SAAPB=SAAEB+SAAPB=SAAEP+SABEP=—+，因此④是错误的；

22

13

连接BD,贝!|SABPD=—PDxBE=—

22

A/6

所以SAABD=SAAPD+SAAPB+SABPD=2+

所以S正方形ABCD=2SAABD=4+^/6

综上可知，正确的有①③⑤.

故选D.

【点睛】

考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、三角形的面积及勾股定理，综合性比较强，解题时要求熟练掌握相

关的基础知识才能很好解决问题.

6、D

【解析】

试题分析：由题意得；如图知；矩形的长="7+2*”宽=5+2x.•.矩形衬底的面积=3倍的照片的面积，可得方程为

(7+2X)(5+2X)=3x7x5

考点：列方程

点评：找到题中的等量关系，根据两个矩形的面积3倍的关系得到方程，注意的是矩形的间距都为等量的，从而得到

大矩形的长于宽，用未知数x的代数式表示，而列出方程，属于基础题.

7、D

【解析】

分析：过A作AC〃x轴，交丁5的延长线于点C,过£作轴，交5室的于点O,贝!机)，AC=-l-(-l)=3,

根据平移的性质以及曲线段A3扫过的面积为9(图中的阴影部分)，得出44，=3,然后根据平移规律即可求解.

详解：过A作AC〃x轴，交95的延长线于点C,过4作AT>〃x轴，交05的于点O,则C(-1,m),

/.AC=-l-(-l)=3,

•.•曲线段A5扫过的面积为9(图中的阴影部分)，

工矩形ACD4,的面积等于9,

：.AC-AA'=3AA'=9,

：.AA'=3,

.•.新函数的图是将函数尸g(X-2)2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到的，

二新图象的函数表达式是产;(x-2)2+1+3=；(x-2)2+1.

故选D.

点睛：此题主要考查了二次函数图象变换以及矩形的面积求法等知识，根据已知得出44,的长度是解题关键.

8、C

【解析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【详解】

解：A是轴对称图形，不是中心对称图形；B,C,D是轴对称图形，也是中心对称图形.

故选:C.

【点睛】

掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图

形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180。，旋转后的图形能和原图形完

全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.

9、A

【解析】

分别得到将正方体①移走前后的三视图，依此即可作出判断.

【详解】

将正方体①移走前的主视图为：第一层有一个正方形，第二层有四个正方形，正方体①移走后的主视图为：第一层有

一个正方形，第二层有四个正方形，没有改变。

将正方体①移走前的左视图为：第一层有一个正方形，第二层有两个正方形，正方体①移走后的左视图为：第一层有

一个正方形，第二层有两个正方形，没有发生改变。

将正方体①移走前的俯视图为：第一层有四个正方形，第二层有两个正方形，正方体①移走后的俯视图为：第一层有

四个正方形，第二层有两个正方形，发生改变。

故选A.

【点睛】

考查了三视图，从几何体的正面，左面，上面看到的平面图形中正方形的列数以及每列正方形的个数是解决本题的关

键.

10、C

【解析】

根据图像，结合行程问题的数量关系逐项分析可得出答案.

【详解】

从图象来看，小明在第40分钟时开始休息，第60分钟时结束休息，故休息用了20分钟，A正确；

小明休息前爬山的平均速度为：工？=70（米/分），B正确；

40

小明在上述过程中所走的路程为3800米，C错误；

小明休息前爬山的平均速度为：70米/分，大于休息后爬山的平均速度：…=25米/分,D正确.

100—60

故选C.

考点：函数的图象、行程问题.

11、C

【解析】

利用数轴先判断出“、b的正负情况以及它们绝对值的大小，然后再进行比较即可.

【详解】

解：由“、5在数轴上的位置可知：a<l,b>l,且⑷>叫，

a+b<l,ab<l,a-b<l9a-rb<l.

故选：C.

12、B

【解析】

根据折叠前后对应角相等可知.

解：设NABE=x,

根据折叠前后角相等可知，ZClBE=ZCBE=50°+x,

所以50°+x+x=90°,

解得x=20°.

故选B.

“点睛”本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠

前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

1

13、--.

2

【解析】

分析：已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将。-8的值代入即可求出a+b的值.

详解：Va2-b2=Ca+b)(a-b)=—,a-b=—,/.a+b=—.

632

故答案为L.

2

点睛：本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键.

14、可添NABD=NCBD或AD=CD.

【解析】

由AB=BC结合图形可知这两个三角形有两组边对应相等，添加一组边利用SSS证明全等，也可以添加一对夹角相等,

利用SAS证明全等，据此即可得答案.

【详解】

.可添NABD=NCBD或AD=CD,

①NABD=NCBD,

在小ABD^ACBD中，

AB=BC

■:\ZABD=ZCBD,

BD=BD

AAABD^ACBD(SAS)；

②AD=CD,

在4ABD^DACBD中，

AB=BC

VIAD=CD,

BD=BD

/.△ABD^ACBD（SSS）,

故答案为NABD=NCBD或AD=CD.

【点睛】

本题考查了三角形全等的判定，结合图形与已知条件灵活应用全等三角形的判定方法是解题的关键.熟记全等三角形

的判定方法有：SSS,SAS,ASA,AAS.

15、二

【解析】

根据点在第二象限的坐标特点解答即可.

【详解】

•••点A的横坐标-2<0,纵坐标1>0,

...点A在第二象限内.

故答案为：二.

【点睛】

本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点：第一象限（+,+）;第二象限（-,+）;第三象限

（-,-）；第四象限（+,-）.

16、②③

【解析】

大量反复试验下频率稳定值即概率.注意随机事件发生的概率在0和1之间.根据事件的类型及概率的意义找到正确选项

即可.

【详解】

解：①抛掷一枚均匀的硬币，因为“正面朝上”的概率是0.5,所以抛掷该硬币100次时，大约有50次“正面朝上”，此

结论错误；

②一个不透明的袋子里装有4个黑球，1个白球，这些球除了颜色外无其他差别.从中随机摸出一个球，恰好是白球

的概率是'=0.2,此结论正确；

4+1

③测试某射击运动员在同一条件下的成绩，随着射击次数的增加，“射中9环以上”的频率总是在0.85附近摆动，显示

出一定的稳定性，可以估计该运动员“射中9环以上”的概率是0.85,此结论正确；

故答案为：②③.

【点睛】

本题考查了概率的意义，解题的关键在于掌握计算公式.

17、②③.

【解析】

试题解析：®VZADE=ZB,ZDAE=ZBAD,

/.△ADE^AABD；

故①错误；

②作AG±BC于G,

cosa=>

VAB=AC=15,

ABG=1,

/.BC=24,

VCD=9,

.\BD=15,

AAC=BD.

VZADE+ZBDE=ZC+ZDAC,ZADE=ZC=a,

/.ZEDB=ZDAC,

在4ACD^ADBE中，

.•.△ACD^ABDE(ASA).

故②正确；

③当NBED=90。时，由①可知：AADEsZ\ABD,

/.ZADB=ZAED,

VZBED=90°,

:.ZADB=90°,

即AD±BC,

VAB=AC,

ABD=CD,

:.NADE=NB=a且taiiNaW，AB=15,

・■・"一—_—4—

.\BD=1.

当NBDE=90。时，易证ABDEs^CAD,

VZBDE=90°,

AZCAD=90°,

,:NC=a且cosa=^,AC=15,

/.cosC=55二

ACD=

VBC=24,

.,.BD=24-y=^

即当△DCE为直角三角形时，BD=1或［.

故③正确；

④易证得△BDEsaCAD,由②可知BC=24,

设CD=y,BE=x,

整理得：y2-24y+144=144-15x,

即(y-1)2=144-15X,

.,.0<BE<-.

故④错误.

故正确的结论为：②③.

考点：1.相似三角形的判定与性质；2.全等三角形的判定与性质.

18、1

【解析】

根据题意设小明的速度为以“2/"，小亮的速度为加，”/无，求出a,b的值，再代入方程即可解答.

【详解】

设小明的速度为akm/h,小亮的速度为bkm/h,

—=3.5-2.5

a

(3.5-2)6+(3.5-2.5)〃=210

a=120

解得，

b=60

当小明到达B地时，小亮距离A地的距离是：120x(3.5-1)-60x3.5=l(千米),

故答案为1.

【点睛】

此题考查一次函数的应用，解题关键在于列出方程组.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)73-1(1)-1

【解析】

(1)先根据根据绝对值的意义、立方根的意义、特殊角的三角函数值、零指数幕、负整数指数塞的意义化简，然后按

照实数的运算法则计算即可；

r2-l

(1)把括号里通分，把，的分子、分母分解因式约分，然后把除法转化为乘法计算；然后求出不等式组的

x2+2X+1

整数解，选一个使分式有意义的值代入计算即可.

【详解】

(1)原式=1+3x1+1

-5

3

=1+73+1-5

=若-1;

xx2+x+

(1)原式二-7—n~7—K+/、2

M%+1)x(x+l)J(x+1)

fx1

________________:________

x(x+l)X+1

-xX+1

=-----.------

x+1x-1

_X

x-1

2—xW35

解不等式组C，，得：-1WX<7

2%-4<12

则不等式组的整数解为-1,0、1、1,

*.*x(x+1)#且xT#0,

x，0且x/±l,

x=l,

则原式=--^―=-1.

2-1

【点睛】

本题考查了实数的运算，分式的化简求值，不等式组的解法.熟练掌握各知识点是解答本题的关键，本题的易错点是容

易忽视分式有意义的条件.

20、(1)甲工程队单独完成该工程需15天，则乙工程队单独完成该工程需30天；(2)应该选择甲工程队承包该项工

程.

【解析】

(1)设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需2x天.再根据“甲、乙两队合作完成工程需要

10天”，列出方程解决问题；

(2)首先根据(1)中的结果，从而可知符合要求的施工方案有三种：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由乙

工程队单独完成；方案三：由甲乙两队合作完成.针对每一种情况，分别计算出所需的工程费用.

【详解】

（1）设甲工程队单独完成该工程需X天，则乙工程队单独完成该工程需2x天.

根据题意得：—+—=1

x2x

方程两边同乘以2x,得2x=30

解得：尤=15

经检验，x=15是原方程的解.

.•.当x=15时，2x=30.

答：甲工程队单独完成该工程需15天，则乙工程队单独完成该工程需30天.

（2）因为甲乙两工程队均能在规定的35天内单独完成，所以有如下三种方案：

方案一：由甲工程队单独完成.所需费用为：4x15=60（万元）；

方案二：由乙工程队单独完成.所需费用为：2.5x30=75（万元）；

方案三：由甲乙两队合作完成.所需费用为：（4+2.5）x10=65（万元）.

；75>65>60.•.应该选择甲工程队承包该项工程.

【点睛】

本题考查分式方程在工程问题中的应用.分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键.

21、x+1,2.

【解析】

先根据单项式乘以多项式的运算法则、平方差公式计算后，再去掉括号，合并同类项化为最简后代入求值即可.

【详解】

原式=x?+x-（X2-1）

=x2+x-x2+l

=x+l,

当x=l时，原式=2.

【点睛】

本题考查了整式的化简求值，根据整式的运算法则先把知识化为最简是解决问题的关键.

5+V175-717

2oo2、xi=---，X2=——--

22

【解析】

试题分析：方程整理为一般形式，找出a,b,c的值，代入求根公式即可求出解.

试题解析：解：方程化为f―5%+2=0，a=l,b=-5,c=2.

△=62一4"c=(—5)2一4义1义2=17>1.

-b+yjb2-4ac-(-5)±^75±^7

x=--------------=------------=--------

la2x12

5+V175-717

即pn玉二^，

23、填表见解析；(1)6；(2)甲；甲的销售额的中位数较大，并且甲月销售额在9万元以上的月份多.

【解析】

(1)月销售额在8.0万元及以上可以获得奖金，去销售额中找到乙大于8.0的个数即可解题，

(2)根据中位数和平均数即可解题.

【详解】

解：如图，

销售额

数量

4.0<x<4.95.0<x<5.96.0<x<6.97.0<x<7.98.0<x<8.99.0<x<10.0

X

人员

甲101215

乙013024

(1)估计乙业务员能获得奖金的月份有6个；

(2)可以推断出甲业务员的销售业绩好，理由为：甲的销售额的中位数较大，并且甲月销售额在9万元以上的月份多.

故答案为0,1,3,0,2,4；6；甲，甲的销售额的中位数较大，并且甲月销售额在9万元以上的月份多.

【点睛】

本题考查了统计的相关知识，众数，平均数的应用，属于简单题，将图表信息转换成有用信息是解题关键.

24、(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)ZEAF=-m°.

2

【解析】

分析：(1)如图1中，欲证明BD=EC,只要证明4DABgAEAC即可；

(2)如图2中，延长DC到E,使得DB=DE.首先证明△BDE是等边三角形，再证明△ABD之4CBE即可解决问

题；

(3)如图3中，将AE绕点E逆时针旋转m。得到AG,连接CG、EG、EF、FG,延长ED到M,使得DM=DE,连

接FM、CM.想办法证明△AFE义△AFG,可得NEAF=NFAG=^m。.

2

详（1）证明：如图1中,

ZBAC=ZDAE,

AZDAB=ZEAC,

在小口人8和4EAC中，

AD=AE

<ZDAB=ZEAC,

AB=AC

/.△DAB^AEAC,

/.BD=EC.

(2)证明：如图2中，延长DC到E,使得DB=DE.

VDB=DE,ZBDC=60°,

/.△BDE是等边三角形，

/.ZBD=BE,ZDBE=ZABC=60°,

:.ZABD=ZCBE,

VAB=BC,

/.△ABD^ACBE,

.\AD=EC,

:.BD=DE=DC+CE=DC+AD.

.\AD+CD=BD.

(3)如图3中，将AE绕点E逆时针旋转m。得到AG,连接CG、EG、EF、FG,延长ED到M,使得DM=DE,连

接FM、CM.

图3

由⑴可知AEABZ/XGAC,

AZ1=Z2,BE=CG,

VBD=DC,ZBDE=ZCDM,DE=DM,

AAEDB^AMDC,

AEM=CM=CG,ZEBC=ZMCD,

VZEBC=ZACF,

AZMCD=ZACF,

/.ZFCM=ZACB=ZABC,

；・N1=3=N2,

/.ZFCG=ZACB=ZMCF,

VCF=CF,CG=CM,

/.△CFG^ACFM,

AFG=FM,

VED=DM,DF±EM,

AFE=FM=FG,

VAE=AG,AF=AF,

/.△AFE^AAFG,

1

:.ZEAF=ZFAG=-m°.

2

点睛：本题考查几何变换综合题、旋转变换、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学

会利用“手拉手”图形中的全等三角形解决问题，学会构造“手拉手”模型，解决实际问题，属于中考压轴题.

25、(1)y=-(x-1)2=-x2+2x-2;(2)等腰RtA,(3)Pl(3,-8),P2(-3,-20).

【解析】

(1)当抛物线绕其顶点旋转180。后，抛物线的顶点坐标不变，只是开口方向相反，则可根据顶点式写出旋转后的抛

物线解析式；

(2)可分别求出原抛物线和其“挛生抛物线”与y轴的交点坐标C、C,由点的坐标可知△DCC是等腰直角三角形；

(3)可求出A(3,0),C(0,-3),其“李生抛物线”为y=-x2+2x-5,当AC为对角线时，由中点坐标可知点P不存在,

当AC为边时，分两种情况可求得点P的坐标.

【详解】

(1)抛物线y=x2-2x化为顶点式为y=(x-1)2-1,顶点坐标为(1,-1),由于抛物线y=xZ2x绕其顶点旋转180。后抛

物线的顶点坐标不变，只是开口方向相反，

22

则所得抛物线解析式为y=-(x-1)-1=-X+2X-2；

(2)ADCC是等腰直角三角形，理由如下：

•抛物线y=x2-2x+c=(x-1)2+c-l,

二抛物线顶点为D的坐标为(1,c-1),与y轴的交点C的坐标为(0,c),

.•.其“李生抛物线”的解析式为y=_(X.D2+7,与y轴的交点C的坐标为(0,c-2),

/.CC'=c-(c-2)=2,

•••点D的横坐标为1,

.•.ZCDC'=90°,

由对称性质可知DC=DC,

△口(：(?是等腰直角三角形；

(3).抛物线y=x2-2x-3与y轴交于点C,与x轴正半轴的交点为A,

令x=0,y=-3,令y=0时，y=x2-2x-3,解得xi=-l,X2=3,

AC(0,-3),A(3,0),

Vy=x2-2x-3=(x-1)2-4,

.•.其“李生抛物线”的解析式为y=-(X-1)2-4=-X2+2X-5,

若A、C为平行四边形的对角线，

33

,其中点坐标为(不，

22

设P(a,-a2+2a-5),

,:A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，

AQ(0,a-3),

.a—3—a~+2a—5_3

•-----------------——，

22

化简得，a2+3a+5=0,△<0,方程无实数解，

,此时满足条件的点P不存在，

若AC为平行四边形的边，点P在y轴右侧，则AP〃CQ且AP=CQ,

•••点C和点Q在y轴上，

点P的横坐标为3,

把x=3代入“李生抛物线”的解析式y=-32+2x3-5=-9+6-5=-8,

APi(3,-8),

若AC为平行四边形的边，点P在y轴左侧，则AQ〃CP且AQ=CP,

点P的横坐标为-3,

把x=-3代入“学生抛物线”的解析式y=-9-6-5=-20,

：.P2(-3,-20)

二原抛物线的“李生抛物线”上存在点Pi(3,-8),P2(-3,-20),在y轴上存在点Q,使以点A、C、P、Q为顶点的

四边形为平行四边形.

【点睛】

本题是二次函数综合题型，主此题主要考查了根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式，解题的关键是求出旋转

后抛物线的顶点坐标以及确定出点P的位置，注意分情况讨论.

272

26、(1)—(2)证明见解析(3)F在直径BC下方的圆弧上，且BF=—BC

53

【解析】

(1)由直线1与以BC为直径的圆O相切于点C,即可得NBCE=90。，ZBFC=ZCFE=90°,则可证得4CEF^ABEC,

然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EF的长；

(2)①由NFCD+NFBC=90。，ZABF+ZFBC=90°,根据同角的余角相等，即可得NABF=NFCD,同理可得

ZAFB=ZCFD,贝!|可证得△CDF^ABAF；

②由ACDFS/\BAF与ACEFsaBCF,根据相似三角形的对应边成比例，易证得三=乌，又由AB=BC,即可

BABC

证得CD=CE；

(3)由CE=CD,可得BC=V^CD=73CE,然后在RtABCE