对数函数（重难点突破）

专题4.4对数函数考点一对数函数及其性质(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数(一)对数函数的概念与图像例1、（1）、（2023秋·浙江·高二长兴县华盛高级中学校联考阶段练习）（多选题）对数函数（且）与二次函数在同一坐标系内的图象不可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】BCD【分析】AB选项，从对数函数出发，推出，再判断二次函数，从开口方向和其中一根与1的比较，得到A可能，B不可能；CD选项，从对数函数出发，得到，再判断二次函数，也是从开口方向和其中一根与1的比较，得到CD均不可能.【详解】选项A，B中，由对数函数图象得，则二次函数中二次项系数，其对应方程的两个根为0，，选项A中，由图象得，从而，选项A可能；选项B中，由图象得，与相矛盾，选项B不可能．选项C，D中，由对数函数的图象得，则，二次函数图象开口向下，D不可能；选项C中，由图象与x轴的交点的位置得，与相矛盾，选项C不可能．故选：BCD．（2）、（2022·全国·高一课时练习）如图所示的曲线是对数函数，，，的图象，则a，b，c，d，1的大小关系为（

）A．b>a>1>c>d B．a>b>1>c>d C．b>a>1>d>c D．a>b>1>d>c【答案】C【分析】根据对数函数的图象性质即可求解.【详解】由图可知a>1，b>1，0<c<1，0<d<1．过点作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左到右依次为c，d，a，b，显然b>a>1>d>c．故选：C．【变式训练11】、（2023·全国·高三专题练习）已知（且，且），则函数与的图像可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由对数的运算性质可得ab＝1，讨论a，b的范围，结合指数函数和对数函数的图像的单调性，即可得到答案．【详解】，即为，即有ab＝1.当a＞1时，0＜b＜1，函数与均为减函数，四个图像均不满足当0＜a＜1时，b＞1，函数数与均为增函数，排除ACD在同一坐标系中的图像可能是B，故选：B．【变式训练12】、（2023·全国·高一专题练习）函数与（其中）的图象只可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】判断函数的单调性，结合各选项中图象，即可判断出答案.【详解】对于A，因为，故为R上的减函数，其图象应下降，A错误；对于B，时，为R上的减函数，为上增函数，图象符合题意；对于C，时，为上增函数，图象错误；对于D，时，为上增函数，图象错误；故选：B(二)、比较大小例2．（1）、（2023·全国·高一专题练习）设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用对数的运算法则把化成同底的对数，然后利用对数函数的单调性即可求解.【详解】，，，因为在定义域上是增函数，且，故.故选：C.（2）、（2021·江西高三月考（文））已知，，，则，，的大小关系为（）．A． B．C． D．【答案】C【分析】利用指数函数的性质及对数函数的性质即可得到.【详解】∵，，，∴．故选：C.【变式训练21】、（2022·江苏·泗洪县洪翔中学高三阶段练习）若，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用指数函数和幂函数的单调性比较大小可得答案.【详解】，因为在R上为减函数，所以，因为在上为增函数，所以，所以，所以，故选：D.【变式训练22】、（2023·全国·高一专题练习）设，，，则的大小关系为.【答案】【分析】根据指数函数和对数函数单调性分别限定出的取值范围即可得出结论.【详解】根据对数函数单调性可知，即可得；而，即；由指数函数单调性及值域可得，即可得；所以可得.故答案为：、对数函数过定点问题例3.（1）、（2022·全国·高一课时练习）函数(且)的图象恒过定点_________【答案】【分析】令对数的真数为，即可求出定点的横坐标，再代入求值即可；【详解】解：因为函数(且)，令，解得，所以，即函数恒过点；故答案为：（2）、（2021·镇远县文德民族中学校高一月考）函数的图象过定点（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用真数为可求得定点的坐标.【详解】对于函数，令，可得，则，因此，函数的图象过定点.故选：C.【变式训练31】．（2021·福建厦门市·厦门外国语学校）已知函数且的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】先求得函数且的定点，再根据点在幂函数的图象上，求得幂函数的解析式即可.【详解】令，得，所以函数且的图像恒过定点，设幂函数为，因为点在幂函数的图象上，所以，解得，所以，故选：B【变式训练32】、（2023秋·高一课时练习）函数的反函数过点，则.【答案】3【分析】代入计算求出，根据指数函数对数的关系则得到，则求出的值.【详解】∵过点，∴，∴（负舍），则根据指数函数与对数函数为一对反函数知.∴.故答案为：3.(四)、有关对数函数定义域问题例4．（1）、（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据函数的解析式，建立不等式求解即可.【详解】要使函数有意义，需满足，即，得，解得，则函数的定义域为.故选：A.（2）、（2022·山东日照·高二开学考试）函数的定义域为___________.【答案】【分析】直接解不等式组求出定义域即可.【详解】由题意知，，解得，则函数的定义域为.故答案为：.【变式训练41】．（2023秋·陕西西安·高三统考阶段练习）函数的定义域是.【答案】【分析】根据题意，列出不等式，即可得到结果.【详解】由题意可得，解得，即函数的定义域是.故答案为：【变式训练42】．（2021·乾安县第七中学（文））若函数的定义域为，则实数的取值范围是________【答案】【分析】根据函数的定义域为，转化为，对恒成立求解.【详解】因为函数的定义域为，所以，对恒成立，当时，解得，不成立，当时，由，解得，综上：实数的取值范围是.故答案为：(五)、对数型复合函数的单调性问题例5．（2022·甘肃·武威十八中高三阶段练习（文））已知函数.(1)求该函数的定义域；(2)求该函数的单调区间及值域.【答案】(1)(2)单调递增区间为；单调递减区间为；值域为【分析】（1）令，解不等式即可求得定义域；（2）根据复合函数单调性的判断方法可确定的单调区间；利用二次函数最值的求法可求得，结合对数函数单调性可求得值域.（1）由得：，的定义域为.（2）令，在上单调递增；在上单调递减；又在上单调递减，的单调递增区间为；单调递减区间为，，，的值域为.【变式训练51】、（2023秋·高一课时练习）已知.(1)求的定义域和值域；(2)判断并证明的单调性．【答案】(1)定义域为，值域为(2)在上为减函数，证明见解析【分析】（1）由对数式的真数大于0，求的定义域，由定义域和对数式的运算求值域；（2）结合对数函数的性质，由定义法证明函数单调性.【详解】（1）由，，即，得.故的定义域为.由，可知.故函数的值域为.（2）在上为减函数，证明如下：任取，又，，，，即，故在上为减函数．【变式训练52】、（2023·全国·高一专题练习）已知函数.(1)若，求函数的值域(2)若函数在上单调递增，求的取值范围【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据二次函数的性质及对数函数的性质，即可求解；（2）根据复合函数单调性结合条件可得且，进而即得.【详解】（1）由题知，∵，∴，即函数的值域为；（2）因为函数在上单调递增，又函数在定义域上单调递增，所以在上单调递增，且在上恒成立，所以且，解得，即的取值范围为.(六)、对数型复合函数的最值问题例6．（2021·云南省昆明市第十中学高一阶段练习）已知函数的定义域为M(1)求定义域M，并讨论函数的单调性：(2)当时，求的最值及相应的x的值.【答案】(1)定义域或，单调递增区间，单调递减区间(2)时，最大值为，无最小值【分析】（1）由对数的真数大于0可得定义域，根据复合函数的单调性可得单调区间；（2）令，结合二次函数的性质可得结果.(1)因为，所以或，所以函数的定义域或；函数可看作由，，或复合而成，而函数单调递增，的单调递增区间，单调递减区间所以函数的单调递增区间，单调递减区间.(2)令，，可以转化为当即时，即最大值为，无最小值.【变式训练61】．（2021秋·高一课时练习）已知函数.（1）求函数的定义域；（2）若函数的最小值为2，求实数的值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据对数函数的知识列不等式组，由此求得的定义域.（2）对进行分类讨论，求得的最值，由此列方程求得的值.【详解】（1）由得,所以函数的定义域为.（2），设，所以，又，则当时，，值域为当时，，值域为.所以当时，函数有最小值，解得【变式训练62】、（2021·高一单元测试）函数（1）如果时，有意义，确定的取值范围；（2），若值域为，求的值；（3）在（2）条件下，为定义域为的奇函数，且时，对任意的恒成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）根据时，则，设，不等式，求出的取值范围即可；（2）设，则的值域包含，讨论与时，的值域情况，求出的值即可；（3）根据题意求出的解析式，把不等式转化为在时恒成立，由此列出不等式组求出的取值范围.【详解】（1）由题意，，即，令，则，，的取值范围为.（2）令，由题意，的值域包含，①时，，值域为，满足条件；②时，，令，所以为开口向下的抛物线，易知的值域为，不满足条件，综上，.（3）时，，若，又为奇函数，，综上，，且，，易知，为减函数，所以为单调递增函数，，即，可看作在上成立，当且仅当，.【点睛】本题考查了函数的图象与性质，解题的关键点要熟练掌握二次函数、指数函数、对数函数的性质，及函数的单调性和奇偶性，考查了分类讨论思想.(七)、对数型复合函数的实际应用例7．（2022·全国·高一单元测试）牛奶中细菌的标准新国标将最低门槛（允许的最大值）调整为200万个/毫升，牛奶中的细菌常温状态下大约20分钟就会繁殖一代，现将一袋细菌含量为3000个/毫升的牛奶常温放置于空气中，经过________分钟就不宜再饮用．（参考数据：，）【答案】188【分析】根据题意列出不等式计算即可.【详解】设经过个周期后细菌含量超标，即，即，所以，而，因此经过188分钟就不宜再饮用．故答案为：188.【变式训练71】．（2023秋·山东菏泽·高一山东省郓城第一中学校考期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量在20~79mg之间为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量