2024年广东省广州市越秀区铁某中学学中考数学一模试卷附答案解析

2024年广东省广州市越秀区铁一中学中考数学一模试卷

一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.）

1.（3分）如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

2.（3分）鲁班锁，民间也称作孔明锁、八针锁，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所创，如图是鲁班锁的其

中一个部件，它的主视图是（）

3.（3分）近来，中国芯片技术获得重大突破，7〃机芯片己经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技

术封锁，已知7/〃〃=0.0000007cm,则0.0000007用科学记数法表示为（）

A.7X10-7B.7X106C.0.7X106D.0.7X10'7

4.（3分）如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断的是（）

5.（3分）如图，在扇形AOB中，NAOB=130°,OA=3,若弦8C〃A。，则女的长为（）

6.（3分）为评估一种水稻的种植效果，选了10块地作试验田.这10块地的亩产量（单位：kg）分别为

.ri,n,no,下面给出的统计量中可以用来评估这种水稻亩产量稳定程度的是（）

A.这组数据的平均数B.这组数据的方差

C.这组数据的众数D.这组数据的中位数

7.（3分）下面计算中正确的是（）

A.37+2x=5/B.V32+V18=7V2

C.+J|=2V22

D.（,而）=h

8.（3分）如图，0O是△ABC的外接圆，MAB=AC,N8AC=36°,在而上取点0（不与点A,B重

合），连接80,AD,则NBAD+NABD的度数是（）

C.72°D.73°

9.（3分）如图①，在正方形A8C。中，点M是AB的中点，点N是对角线B。上一动点，设DN=x,AN+MN

=y.已知y与x之间的函数图象如图②所示，点E（a,2通）是图象的最低点，那么正方形的边长的值

为（）

D.2\5

10.（3分）如图是由全等的含60°角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，其中点A,B,

C在格点上，则tan/ACB的值为（）

2

-

D.3

二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分.）

11.（3分）因式分解：X2-xy=.

12.（3分）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，若圆锥为底面圆半径是5,则圆锥的

13.（3分）已知一元二次方程/-3%+女=0的两个实数根为刘,孙若明4+级1+级2=1,则实数女=

14.（3分）如图，CO为RlZUBC斜边A8上的中线，E为4C的中点.若AC=8,CD=5,则DE=.

15.（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=［（%>0）的图象与半径为10的。。交于A，

16.（3分）如图，在AABC中，NBAC=90°,AB=2,AC=4鱼，点。是BC边上的动点，连接AD,

则3AD+OC的最小值为

三、解答题（本大题有9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤.）

17.（4分）计算：I一g|—（4-7T）°-2sin60。+（3一］.

18.（4分）如图，已知点。是BC上一点，OE_L4B,DFLAC,垂足分别为E、F,连接40,若AD垂直

平分ER求证：4。是△ABC的角平分线.

B

19.x2+2t-i-r其中X满足f+x-2024=0.

20.（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知△A8C的三个顶点坐标分别是A（2,-1）,B（1,-2）,

C(3,-3).

（1）将△ABC向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到△AIBICI,请画出△AIBICI；

（2）请画出5c关于y轴对称的252c2；

（3）将282c2绕着原点。顺时针旋转90°,得到△43SC3,求线段A2c2在旋转过程中扫过的面积

（结果保留n）.

21.（8分）中华文化源远流长，文学方面，《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古代长篇小

说中的典型代表，被称为“四大古典名著”.某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况,就“四

大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的

（1）本次调查所得数据的众数是部，中位数是部；

（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为度；

（3）请将条形统计图补充完整；

（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方

法求他们恰好选中同一名著的概率.

22.（10分）某商店为了推销一种新产品，在某地先后举行40场产品发布会，已知该产品每台成本为10

万元，设第x场

产品的销售量为丁（台），己知第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台；

（1）直接写出y与x之间满足的函数关系式；

产品的每场销售单价p（万元）由基本价和浮动价两部分相加组成，其中基本价保持不变.经过统计，

发现第1场一第20场浮动价与发布场次工成正比，第21场一一第40场浮动价与发布场次x成反比，

得到如下数据：

X（场）31025

P（万元）10.61214.2

（2）求〃与x之间满足的函数关系式

（3）当产品销售单价为13万元时，求销售场次是第几场？

(4)在这40场产品发布会中，求哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？

23.(10分)如图.AA为经过圆心O的一条线段,且与OO交于月点.

(1)过4在48的上方作00的切线，切点为。，过A作4C_LBQ,垂足为C,AC与。。交于产点.请

尺规作图，不用写作图的详细步骤.

(2)求证：A。平分N84C；

(3)若BD=3,tan^CAD=L求0。的半径.

24.(12分)已知抛物线(a+〃?)x+机与x轴交于4、B两点,与y轴交于点C.

(1)当C(0,-3)且。=一飙.

①求抛物线的解析式.

②若收xVO,且女V-l,y的最大值和最小值分别为p,q,且p+g=l,求2的值.

③若该抛物线经过M(3〃+4,yi),N(2〃・1,〉2)两点，且求n的取值范围.

(2)当48=2时，函数juox2-(a+m)x+阳有最小值机・1,直接写出a的值.

25.(12分)探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究.

AD1

在RIZX48C中，ZC=90°,AC=BC,。是48边上一点，且二7=一(八为正整数)，七是4C边上的

BDn

动点，过点。作。E的垂线交直线3c于点E

【初步感知】

(1)如图1,当〃=1时，兴趣小组探究得出结论：AE+BF=请写出证明过程.

【深入探究】

(2)①如图2,当〃=2,且点尸在线段上时，试探究线段AE,BF,AB之间的数量关系，请写出

结论并证明；

②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段4E,BF,A8之间数量关系的一般结论(直接写出结论，不

必证明).

【拓展运用】

(3)如图3,连接E尸，设E尸的中点为M,若AB=2a,求点E从点A运动到点。的过程中，点M

运动的路径长(用含〃的代数式表示).

2024年广东省广州市越秀区铁一中学中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.）

1.（3分）如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【解答】解：原图既是轴对称图形，又是中心对称图形；符合题意;

B.原图是轴对称图形，不是中心对称图形；不符合题意；

C.原图是轴对称图形，不是中心对称图形；不符合题意；

D.原图是轴对称图形，不是中心对称图形；不符合题意.

故选：A.

2.（3分）鲁班锁，民间也称作孔明锁、八针锁，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所创，如图是鲁班锁的其

中一个部件，它的主视图是（）

A.口

D.0

【解答】解：它的主视图是：___I.

故选：C.

3.（3分）近来，中国芯片技术获得重大突破，7〃机芯片已经量产，一举打破以美国为首的西方世界的技

术封锁，已知7〃m=0.0000007cm,则0.0000007用科学记数法表示为（）

A.7X10-7B.7X106C.0.7X106D.0.7X10'7

【解答】解：0.0000007=7X10-7.

故选：A.

4.（3分）如图所示，点£在4C的延长线上，下列条件中能判断的是（）

A.N3=NAB.Zi=Z2

C.ND=NDCED.ZD+ZACD=180°

【解答】解：A、N3=NA,无法得到，AB//CD,故此选项错误；

B、Z1=Z2,根据内错角相等，两直线平行可得：AB//CD,故此选项正确；

C、ND=NDCE,根据内错角相等，两直线平行可得：BD//AC,故此选项错误；

D、ZZMZACD=180°,根据同旁内角互补，两直线平行可得：BD//AC,故此选项错误；

故选：B.

5.（3分）如图，在扇形AOB中，NAOB=130°,OA=3,若弦BC〃AO,则配的长为（）

57r4n

C.—D.

63

O

9：BC//OA,

・・・N4OB+NOBC=180°,NC=NAOC,

VZAOfi=130°,

：.ZOBC=50°,

•：OB=OC,

：.ZC=ZOBC=50Q,

・・・NAOC=50°,

,检的长=5°濡3=、

故选：C.

6.（3分）为评估一种水稻的种植效果，选了10块地作试验田.这10块地的亩产量（单位：kg）分别为

XI；"，…，刘0,下面给出的统计量中可以用来评估这种水稻亩产量稳定程度的是（）

A.这组数据的平均数B.这组数据的方差

C.这组数据的众数D.这组数据的中位数

【解答】解：标准差，方差能反映数据的波动程度，

故选：B.

7.（3分）下面计算中正确的是（）

A.3?+2x=5?B.V32+V18=7V2

C.V3xV8^J|=2V2D.（-ab）9-b

【解答】解：4、3A-2,不是同类项，故不能合并，所以该选项是错误的；

8、V32+>/18=4V24-3V2=7V2,所以该选项是正确的；

C、V3XV8-J|=2A/6XV3=6^2,所以该选项是错误的；

2311

。、-ab）=a^b-i-ab=abf所以该选项是错误的；

故选：B.

8.（3分）如图，00是△ABC的外接国，KAB=AC,N84C=36°,在卷上取点。（不与点4,8重

合），连接BD,AD,则的度数是（）

A.60°B.62°C.72°D.73°

【解答】解：VAB=AC,NBAC=36°,

，NABC=NC=72°,

•・•四边形ADBC是圆内接四边形，

AZD+ZC=1800,

AZD=180o-ZC=108°,

：,/BAD+/ARD=\^a-ZD=72°,

故选：C.

9.（3分）如图①，在正方形ABC。中，点M是48的中点，点N是对角线8。上一动点，设DN=x,AN+MN

=y.已知y与x之间的函数图象如图②所示，点E（a,2通）是图象的最低点，那么正方形的边长的值

为（）

D.2遥

【解答】解：如图，连接AC交8。于点。,连接NC,连接MC交8D于点M.

•・•四边形A8CO是正方形,

・・・0是80的中点,

丁点M是A6的中点,

••・M是△ABC的重心,

:・N0=/0,

2

:.ND=$BD,

,:A、C关于8。对称,

:,NA=NC,

:・AN+MN=NC+MN,

•・•当M、N、。共线时，y的值最小,

・•・），的值最小就是MC的长,

:.MC=2瓜

设正方形的边长为m,则BM—5〃，

在Rt^BCM中，由勾股定理得：Md=BC?+MB2,

/.20=m2+（im）2,

乙

，m=4（负值己舍），

工正方形的边长为4.

故选：C.

10.（3分）如图是由全等的含60°角的小菱形组成的网格，每个小菱形的顶点叫做格点，其中点A,B,

。在格点上，贝ijlan/ACB的值为（）

D.|百

解：连接BE,是小菱形

对角线垂直

BE.LAC,

由题意知，BELAC,Zl=60

设小菱形的边长为

・，BE22G

..tanZACB=^=7==—

故选：D.

二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分.）

11.（3分）因式分解：A2-xv=X（X-y）

【解答】解：町=x（x-y）.

故答案为：x（x-y）.

12.（3分）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120。的扇形，若圆锥的底面圆半径是5,则圆锥的

【解答】解：圆锥的底面周长=2irX5=l（hT,

1207TXI

则：…=1°心

180

解得/=15.

故答案为：15.

13.（3分）已知一元二次方程7-3x+A=0的两个实数根为xi,J2,若XLV2+2XI+2X2=1,则实数k=-5

【解答】解：•・•一元二次方程f・3x+2=0的两个实数根为XI，X2,

/.X|+X2=3,X1・X2=2,

*.*XIX2+2XI+2X2=1,

・M+2X3=1,

解得k=-5,

又•・•方程有两个实数根，

:.A-4ac=（-3/-必20,

解得k<l，

综合以上可知实数2=-5.

故答案为：-5.

14.（3分）如图，C。为RtZ\4BC斜边4B上的中线，E为AC的中点.若AC=8,CD=5,则。月=3

c

【解答】解：・・・CO为RlZXABC斜边相上的中线，CO=5,

：,AB=2CD=\0,

•・・NAC8=90°,AC=8,

:・BC=y/AB2-AC2=6,

•・•£为AC的中点，

:・AE=CE,

・•・DE是△ABC的中位线，

：.DE=ifiC=3,

故答案为：3.

15.（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=e。＞0）的图象与半径为10的O。交于A，

B两点,若/4。8=60°,则上的值是25.

【解答】解：设点A（小b）,

反比例函数y=［（%＞（））的图象与半径为10的。0交于A,B两点,

所以4,8两点关于直线），=x对称，

：.B（b,4）,

•・・oo的半径为10,

.•.04=08=10,

：.0^=100,即a2+b2=100,

•・・NAO8=60°,

•••△0A8是等边三角形，

t\AR=OA=OR=\0,

/.A52=100,即，(a・b)2+(b-a)2=100,

化简得：cr+b2-2ab=50,

.,.100-2^=50,

VA（a,b）在反比例函数y=（Q>0）的图象上,

:・k=ab=25,

故答案为：25.

16.（3分）如图，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=2,AC=4鱼，点。是8C边上的动点，连接4Q,

32

则34ZHOC的最小值为—.

-3—

【解答】解：作点A关于BC的对称点凡连接OF,作OE_LAC,垂足为£,

VZBAC=90°,AB=2,AC=4A/2,

：.BC=>JAB2+AC2=6,

AB21

•.sinCBC=6=3f

VZF=90°-ZMC=ZC,

AC4&242

BC=~=~f

AG1

VsinC=AC=3f

•MG=累。=孚

..•_DE_1

•sinrC=CD=3f

:・CD=3DE,

•・•点A与点尸关于BC对称，

:・AD=DF,

：,AD+DE=DF+DE,

当尸、D、E共线时，AO+QE=Or+。E有最小值，最小值为FE的长.

在Rt/Vl所中，cosF=篇=缘,

.,9=学32

4232

・，340+DC=3（40+DE）=3FE=y,即3AD+DC的最小值为一.

32

故答案为：

三、解答题（本大题有9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤.）

17.（4分）计算：|一75|-（4一九）°一25讥60。+4）一】.

【解答】解：原式=V5—1—2X日+5

=4.

18.（4分）如图，已知点。是BC上一点，DE±AB,DFLAC,垂足分别为E、F,连接A。，若A。垂直

平分石尸，求证：AO是△A8C的角平分线.

【解答】证明：・・・A。垂直平分E尸，

:.DE=DF,

•：DE1AB,DF1AC,

：,AD是△ABC的角平分线.

19.（6分）先化简，再求值：（X-系）、珠+T其中x满足«+x・2024=0.

【解答】解：(〉一落)・常磊

_.(x+l)—3%(4+])2

=x+Ix-2

X2—2X(X+1)2

=^+Ix^2~

二加2)(计1)2

x+1x-2

=x(x+1)

2

=x+xf

Vx满足J^+X-2024=0,

.,.?+x=2024,

工原式=2024.

20.(6分)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是4(2,-1),B(1,-2),

C(3,-3).

(1)将△ABC向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到△481。，请画出

(2)请画出△A5C关于y轴对称的252c2；

(3)将282c2绕着原点。顺时针旋转90°,得到△?1343c3,求线段A2c2在旋转过程中扫过的面积

【解答】解：(1)如图所示，。即为所求;

(2)如图所示，△A2及Q即为所求;

(3)将△△282c2绕着原点0顺时针旋转90°,得到△A3B3c3,如图，连接OC3交取3于£),连接OQ

交砾于E,

VA2(-2,-1),历(-1,-2),C2(-3,-3),

/.0A2=A/22+l2=V5,052=Vl24-22=V5»OCz=+32=3企,

/.OAI=OB2=OD=OE=VS.

由旋转得：OA2=OA3,082=083，OC2=OC3,A2C2=A3c3,NC20c3=NOOE=9（r,

•••△0A2c2g△0A3c3（SSS）,

=

・・SAOA2c2^^OA3C3»

・,・线段A2c2在旋转过程中扫过的面积=S眉辱”-S磁形DOE=9"帮）2_90.吸）2=137T

C2OC3OOUDOU4

21.（8分）中华文化源远流长，文学方面，《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古代长篇小

说中的典型代表，被称为“四大古典名著”.某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四

大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的

统计图.

（1）本次调查所得数据的众数是1部,中位数是2部:

（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为72度;

（3）请将条形统计图补充完整；

（4）没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方

法求他们恰好选中同一名著的概率.

【解答】ft?：（1）本次调查的人数为：10・25%=40（人），

读2部的学生有：40-2-14-10-8=6（人），

故本次调查所得数据的众数是I部，中位数是（2+2）+2=2（部），

故答案为：1,2；

（2）扇形统计图中“4部”所在扇形的圆心角为：360°x磊=72°,

故答案为：72；

(3)由(1)知,读2部的学生有6人.

补全的条形统计图如图所示；

(4)《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》分别用字母4、B、C、。表示,

树状图如图所示:

/IV.

[BCDABCDABCD

一共有16种可能性，其中他们恰好选中同一名著的可能性有4种,

41

故他们恰好选中同一名著的概率是7

164

22.(1()分)某商店为了推销一种新产品，在某地先后举行40场产品发布会，已知该产品每台成本为10

万元，设第k场

产品的销售量为丁(台)，已知第一场销售产品49台，然后每增加一场，产品就少卖出1台；

(1)直接写出y与x之间满足的函数关系式；

产品的每场销售单价p(万元)由基本价和浮动价两部分相加组成，其中基本价保持不变.经过统计,

发现第1场一第20场浮动价与发布场次工成正比，第21场一一第40场浮动价与发布场次x成反比，

得到如下数据：

x(场)31025

P（万元）10.61214.2

（2）求0与x之间满足的函数关系式

（3）当产品销售单价为13万元时，求销售场次是第几场？

（4）在这40场产品发布会中，求哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？

【解答】（I）由题意，当x=5时，y=45,

y与1的函数关系式为y=50-x.

・••第5场销售45台产品，y与x的函数关系式为y=50-x；

（2）设基本价为b,

第1场〜第20场，1WXW20且x为正整数，

设P与x的函数关系式为P=ax+h.

依题意得：甯押打号

解得：联:凿,

/.P=0.2x+10.

第21场〜第40场，即2KW40且人为正整数时，

设尸与x的函数关系式为P=?+b,

即昨畀10.

依题意得：14.2=券+10,

解得m=105,

"=竽+10,

・••当1WXW20且x为正整数时，户与工之间满足的函数关系式为p=0.2x+10；当21Wx《40且工为正整

数时，P与x之间满足的函数关系式为2=孚+10；

（3）当P=13时，0.2x+10=13,

解得x=15,

或变+10=13,

x

解得x=35.

故当产品销售单价为13万元时，销售场次是第15场和第35场;

(4)设每场获得的利润为w(万元).

当1W“W2O且x为正整数时，卬=(C.2%+10-10)(50-x)=-0.2?+10x=-0.2(%-25)2+125,

•・•在对称轴的左侧，卬随x的增大而增大，

・•・当x=20时，w最大，最大利润为-0.2(20・25)2+125=120(万元).

当21WxW40且x为正整数时，卬=(苧+10-10)(50—%)=簟^一105,

二•卬随x的增大而减小，

5250

・••当x=21时，w最大，最大利润为二丁—105=145(万元)，

21

7145>120,

工在这40场产品促销会中，第21场获得的利润最大，最大利润为145万元.

23.(1。分)如图，A8为经过圆心O的一条线段，且与交于“点.

(1)过8在AB的上方作。。的切线，切点为。，过A作AC_LBO,垂足为C,AC与。。交于尸点.请

尺规作图，不用写作图的详细步骤.

(2)求证：AO平分NBAC；

(3)若80=3,tan^CAD=求。0的半径.

【解答】(1)解：如图所示，BD、AC即为所求;

•••BC是。。的切线,

：.ODLBC.

VAC±BD,

：.OD//AC.

：.ZODA=ZCAD.

•：OD=OA,

・・・NO£>A=NQA£）.

，NOAO=NC4£>.

・・・AZ）平分N84C.

（3）解：连接OE,

小

TAE是。。直径，

：.ZADE=90°.

AZEDO+ZODA=90°.

TB及是00切线，

：.OD1BD.

；・NBDO=90°.

：・NEDO+/BDE=90°.

：・/ODA=NBDE.

*：ZODA=ZOAD,

：.ZBDE=ZOAD.

即NBOE=NA4。，

又•：NB=NB,

；.4BDES4BAD.

.BEBDDE

**BD~AB~AD'

•・・NCAO=NE4。，

tanZEAD=tanZCAD=

DE1

AD2

BE31

3~AB~2

3

BE=妄，AB=6.

39

AE=AB-BE=6—2=2,

9

・・・。0的半径为:

4

24.(12分)已知抛物线丁=苏-(a+机)X+AM与x轴交于A、8两点，与y轴交于点C.

1

(I)当C(0»-3)且。=—

①求抛物线的解析式.

②若AWxVO,且RV・l,y的最大值和最小值分别为p,q,且p+g=L求&的值.

③若该抛物线经过M(3〃+4,y\),N(2〃-l,")两点，且yi>y2,求n的取值范围.

(2)当4B=/时，函数y=ax2-(a+m)X+M有最小值阳-I,直接写出。的值.

【解答】解：⑴①•.,。=一品，

・122

・・y=一可〃x？-

将(0,-3)代入y=—!“tr2—半如+〃!得：

m=-3,

・♦•抛物线的解析式为)=』+"-3；

②・・・y=/+2x-3=(A-+1)2-4,

Vl>0,

，抛物线开口向上，对称轴为直线x=-1,

•:k<-1,k«0,

・•・对应的函数的图象在y轴的左侧，此时抛物线的顶点为最低点，

/.x=-1,y=-4为函数最小值，即p=-4,

"q=3

/.(7=1-q=5,

将y=5代入y=j?+2x-3得：

5=/+2x-3,

解得：x=2(舍)或彳=-4,

：.k=-4.

③:产>)明

.*.yi-y2>0.

Vyi-yz=(3〃+4)2+2(3〃+4)-3-f(2«-1)2+2(2〃-1)-3]>0,

・・・5及+30〃+25>0,

・・.,/+6〃+5>0,

-5或n>~1.

・•・若该抛物线经过M（3〃+4,yi）,N（2〃-1,y2）两点，且yi〃的取值范围：n<-5BEn>-1；

(2)。的值为病或石.理由：

・•,函数y=aXL-(a+〃?)x+m有最小值m-1,

4am-[-(a+rri)]2

/.a>0,---------------------=m-1.

4a

:.(a+〃?)2=4〃.

设A(xi,0).B(X2»0),则xi,X2是方程or2-(a+m)x+m=0的两根,

a+mm

-x\+x2=Xi-x2=—,

1

\AR=\x\一％)(xy—x

"X2|=22=VXi-24xx-23-

a-m=；或m-a1

3

.w=或m=打

oo

当m=时，（Q+可=4。，

解得：a二1|或。（不合题意，舍去），

当m=第时，（cz4-5a）2=4a,

解得：4=瑞或。（不合题意，舍去），

3636

综上，a的值为二或工？

2549

25.（12分）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究.

AD1

在RtZXABC中，ZC=90°,AC=BC,。是48边上一点，且二7=一（〃为正整数），石是AC边上的

BDn

动点，过点。作。石的垂线交直线3c于点H

【初步感知】

（1）如图1,当〃=1时，兴趣小组探究得出结论：AE+BF=请写出证明过程.

【深入探究】

（2）①如图2,当〃=2,且点尸在线段上时，试探究线段AE,BF,AB之间的数量关系，请写出

结论并证明;

②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE,BF,AB之间数量关系的一般结论（直接写出结论，不

必证明）.

【拓展运用】

（3）如图3,连接E尸，设EF的中点为若AB=2/，求点£从点A运动到点C的过程中，点M

运动的路径长（用含〃的代数式表示）.

【解答】（1）证明：连接。,

图1

VZC=90°,AC=BC,AD=DB,

：.AB=V2AC,ZA=ZB=ZACD=45°,AD=CD=BD,CD1AB,

•；ED1FD,

••・NEDF=/CDB=90°,

:・/CDE=/BDF,

工ACDEWABDF(ASA),

:・CE=BF,

：.AE+BF=AE+CE=AC=号AB；

(2)①理由如下：

过点。作£W_LAC于MOH_LBC于〃,

c

H

图2

VZC=90°，AC=BCf

，NA=N8=45°,

*：DN1AC,DHLBC,

•••△AON和△B£>”是等腰直角三角形，

:・AN=DN,DH=BH,AD=V2AN,BD=\[2BH,NA=N8=45°=/ADN=/BDH,

:•丛ADNs^BDH,

ADAN1

••==一,

DBDH2

设AN=DN=x,BH=DH=2xf

：,AD=\[2x,BD=2V2x,

，A8=3岳，

*：DN工AC,DHLBC,NACB=90°，

・•・四边形O〃CN是矩形，

；"NDH=90°=/EDF,

:"EDN=/FD