2023届北京市房山区初三5月中考信息卷数学试题含解析

2023届北京市房山区张坊中学初三5月中考信息卷数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.计算1+2+22+23+…+22。1。的结果是（）

A.22011-1B.22011+1

C.1（22011-1）D.|（22011+1）

2.cos45。的值是（）

A.-B.—C.—

222

3.一组数据是4,x,5,10,11共五个数，其平均数为7,则这组数据的众数是（）

A.4B.5C.10D.11

4.某商品价格为。元，降价10%后，又降价10%,因销售量猛增，商店决定再提价20%,提价后这种商品的价格为

()

A.0.96。元B.0.972。元C.1.08。元D.。元

5.矩形ABCD与CEFG,如图放置，点B,C,E共线，点C,D,G共线，连接AF,取AF的中点H,连接GH.若

6.如图，A点是半圆上一个三等分点，3点是弧AN的中点，尸点是直径“V上一动点，。。的半径为1,则AP+

BP的最小值为

A.1B.C.V2D.V3-1

2

7.如图，。。的半径OA=6,以A为圆心，OA为半径的弧交。。于B、C点，贝IBC=（）

A.6GB.6夜C.36D.372

8.y=（m-1）xM+3m表示一次函数，则m等于（）

A.1B.-1C.0或-1D.1或-1

9.在RtZkABC中，ZC=90°,如果AC=4,BC=3,那么NA的正切值为（）

3434

A.—B.—C.—D.一

4355

10.（3分）学校要组织足球比赛.赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）.计划安排21场比赛，应邀请多少个球队

参赛？设邀请x个球队参赛.根据题意，下面所列方程正确的是（）

,11

A.x-21B.—x（x-1）=21C.—%9—21D.-1）—21

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

AB1AE

11.如图，在四边形ABCD中，AB//CD,AC、BD相交于点E,若一=-,则一=____.

CD4AC

12.为了求1+2+22+23+...+22M6+22。"的值,

可令5=1+2+22+23+...+22016+22017,

则2S=2+22+23+24+...+22017+22018,

因此2S-S=22°i8-1,

所以1+22+23+...+22017=22018-1.

请你仿照以上方法计算1+5+52+53+...+52。*的值是.

13.长、宽分别为。、方的矩形，它的周长为14,面积为10,则a2H.2的值为.

14.在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同.若从中随机摸出一个球,

2

它是白球的概率为则黄球的个数为.

15.如图是我市某连续7天的最高气温与最低气温的变化图，根据图中信息可知，这7天中最大的日温差

一二三四五六日

16.写出一个经过点（1,2）的函数表达式___.

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）计算：4苴+8x2」（V2015+1）°+2«sin60°.

3

（2）如图1,当根=2,〃=3时，连DE并延长交C4延长线于尸，求证：EF=-DE.

（3）如图2,连交CE于G,当A£>=应>且CG=「AE时，求一的值.

2n

19.（8分）某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖

励.为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每位营业员在某月的销售额（单位：万元），数据如下：

17181613241528261819

22171619323016141526

15322317151528281619

对这30个数据按组距3进行分组，并整理、描述和分析如下.

频数分布表

六

组别二三四五七

销售额13《x<1616„x<1919,,%<2222,,%<2525„%<2828„%<3131,,x<34

频数793a2b2

数据分析表

平均数众数中位数

20.3C18

请根据以上信息解答下列问题：填空：a=—，b=—,c=—；若将月销售额不低于25万元确定为销售目标，则

有一位营业员获得奖励；若想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适？说明理由.

20.(8分)如图，矩形ABCD中，AB=4,AD=5,E为BC上一点，BE：CE=3：2,连接AE,点P从点A出发,

沿射线AB的方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，过点P作PF〃BC交直线AE于点F.

⑴线段AE=；

⑵设点P的运动时间为t(s),EF的长度为y,求y关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；

(3)当t为何值时，以F为圆心的。F恰好与直线AB、BC都相切？并求此时。F的半径.

21.(8分)今年3月12日植树节期间，学校预购进A、B两种树苗，若购进A种树苗3棵，B种树苗5棵,

需2100元，若购进A种树苗4棵，B种树苗10棵，需3800元.

(1)求购进A、B两种树苗的单价；

(2)若该单位准备用不多于8000元的钱购进这两种树苗共30棵，求A种树苗至少需购进多少棵？

22.(10分)数学课上，李老师和同学们做一个游戏：他在三张硬纸片上分别写出一个代数式，背面分别标上序号①、

②、③，摆成如图所示的一个等式，然后翻开纸片②是4P+5X+6,翻开纸片③是3炉-x-1.

®~\-~-

解答下列问题求纸片①上的代数式；若X是方程lx=-x-9的解，求纸片①上代数式的值.

23.(12分)如图，NBAC的平分线交△ABC的外接圆于点D,交BC于点F,NABC的平分线交AD于点E.

D

(1)求证：DE=DB：

(2)若NBAC=90。，BD=4,求AABC外接圆的半径；

(3)若BD=6,DF=4,求AD的长

24.如图，矩形中，E是AO的中点，延长CE,5A交于点F,连接AC,DF.

(1)求证：四边形AC。尸是平行四边形；

(2)当C尸平分时，写出8c与C£＞的数量关系，并说明理由.

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、A

【解析】

可设其和为S,则2s=2+22+23+2，+…+22。1。+22。“，两式相减可得答案.

【详解】

设S=l+2+22+23+...+220100

贝!J2S=2+22+23+...+22010+22011(2)

②-①得S=22011-l.

故选A.

【点睛】

本题考查了因式分解的应用；设出和为S,并求出2s进行做差求解是解题关键.

2、C

【解析】

本题主要是特殊角的三角函数值的问题，求解本题的关键是熟悉特殊角的三角函数值.

【详解】

V2

cos45°=—.

2

故选：C.

【点睛】

本题考查特殊角的三角函数值.

3、B

【解析】

试题分析：(4+X+3+30+33)+3=7,

解得：x=3,

根据众数的定义可得这组数据的众数是3.

故选B.

考点：3.众数；3.算术平均数.

4、B

【解析】

提价后这种商品的价格=原价x(1-降低的百分比)(1-百分比)x(1+增长的百分比)，把相关数值代入求值即可.

【详解】

第一次降价后的价格为ax(1-10%)=0.9a元，

第二次降价后的价格为0.9ax(1-10%)=0.81a元，

二提价20%的价格为0.81ax(1+20%)=0.972a元，

故选B.

【点睛】

本题考查函数模型的选择与应用，考查列代数式，得到第二次降价后的价格是解决本题的突破点；得到提价后这种商

品的价格的等量关系是解决本题的关键.

5、C

【解析】

分析：延长GH交AD于点P,先证△APH且AFGH得AP=GF=1,GH=PH=；PG,再利用勾股定理求得PG=&,

从而得出答案.

详解：如图，延长GH交AD于点P,

,/四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，

/.ZADC=ZADG=ZCGF=90°,AD=BC=2、GF=CE=1,

；.AD〃GF,

ZGFH=ZPAH,

又是AF的中点，

/.AH=FH,

在AAPH和△FGH中，

"PAH=ZGFH

•:\AH=FH,

NAHP=ZFHG

.,.△APH^AFGH(ASA),

1

.,.AP=GF=1,GH=PH=-PG,

2

；.PD=AD-AP=L

；CG=2、CD=1,

.,.DG=1,

]]______5

贝！IGH=yPG=-x7P£)2+DG2=x_,

故选：c.

点睛：本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点.

6、C

【解析】

作点A关于MN的对称点连接£5,交MN于点尸，则BL+PB最小,

A

、B

连接OA'^A'.

•.•点A与4关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点,

:.ZA'ON=ZAON=60°,PA=PA',

•••点5是弧ANA的中点，

:.N5ON=30°,

:.ZA'0B=ZA'ON+ZB0N=9Q°,

5L'：OA=OA'=1,

：.A'B=y/2

：.PA+PB=PA'+PB=A'B=y[2

故选：C.

7、A

【解析】

试题分析：根据垂径定理先求3c一半的长，再求的长.

解：如图所示，设04与5c相交于。点.

AB=OA=OB=6,

：./\OAB是等边三角形.

又根据垂径定理可得，平分5C,

利用勾股定理可得BD=762-32=3+

所以BC=25O=6jL

故选A.

点睛：本题主要考查垂径定理和勾股定理.解题的关键在于要利用好题中的条件圆。与圆4的半径相等，从而得出

△OA5是等边三角形，为后继求解打好基础.

8、B

【解析】

由一次函数的定义知，|m|=l且m-lrO,所以m=-l,故选B.

9、A

【解析】

根据锐角三角函数的定义求出即可.

【详解】

切*»BC3

解：在RtAABC中,NC=90°,AC=4,BC=3,.\tanA=——=一.

AC4

故选A.

【点睛】

本题考查了锐角三角函数的定义，熟记锐角三角函数的定义内容是解题的关键.

10、B.

【解析】

试题分析：设有X个队，每个队都要赛（X-D场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：1）=21,故选B.

考点：由实际问题抽象出一元二次方程.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

1

11、-

5

【解析】

利用相似三角形的性质即可求解；

【详解】

解：VAB/7CD,

Z.AAEB^ACED,

•AE一AB一1

EC-CD-4'

AE1

:.——二一，

AC5

故答案为:.

【点睛】

本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质.

<20181

12、

4

【解析】

根据上面的方法，可以令S=l+5+52+53+...+52。17,则5s=5+52+53+…+52012+52。%再相减算出S的值即可.

【详解】

解：令S=1+5+52+53+...+52°17,

则5s=5+52+53+...+52012+52018,

5S-S=-1+52018,

4s=52018.1,

<20181

则,

4

52018_i

故答案为：-——

4

【点睛】

此题参照例子，采用类比的方法就可以解决，注意这里由于都是5的次方，所以要用5s来达到抵消的目的.

13、1.

【解析】

由周长和面积可分别求得a+b和ab的值，再利用因式分解把所求代数式可化为ab(a+b),代入可求得答案

【详解】

•••长、宽分别为a、b的矩形，它的周长为14,面积为10,

14

；.a+b=——=7,ab=10,

2

•*.a2b+ab2=ab(a+b)=10x7=1,

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查因式分解的应用，把所求代数式化为ab(a+b)是解题的关键.

14、1

【解析】

首先设黄球的个数为x个，然后根据概率公式列方程即可求得答案.

解：设黄球的个数为x个，

Q

根据题意得：--=2/3解得：x=L

8+x

二黄球的个数为1.

15、11.

【解析】

试题解析：•••由折线统计图可知，周一的日温差=8℃+1℃=9℃；周二的日温差=7℃+1℃=8℃；周三的日温差

=8℃+1℃=9℃；周四的日温差=9℃；周五的日温差=13℃-5℃=8℃；周六的日温差=15℃-71℃=8"C；周日的日温差

=16℃-5℃=11℃,

...这7天中最大的日温差是ire.

考点：1.有理数大小比较；2.有理数的减法.

16、y=x+l(答案不唯一)

【解析】

本题属于结论开放型题型，可以将函数的表达式设计为一次函数、反比例函数、二次函数的表达式.答案不唯一.

【详解】

解：所求函数表达式只要图象经过点(1,2)即可，如y=2x,y=x+l,…答案不唯一.

故答案可以是：y=x+l(答案不唯一).

【点睛】

本题考查函数，解题的关键是清楚几种函数的一般式.

三、解答题(共8题，共72分)

17、6+G

【解析】

利用负整数指数幕、零指数幕的意义和特殊角的三角函数值进行计算.

【详解】

解:原式=<27+3+8x1-l+2x与=3+4-1+布=6+6.

【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算:先把各二次根式化简为最简二次根式,然后进行二次根式的乘除运算,再合并即可.在

二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.

11m3

18、(1)-；(2)证明见解析；(3)-=

24n4

【解析】

(1)利用相似三角形的判定可得ABCEs△。归SAZMC,列出比例式即可求出结论；

(2)作DH//CF交AB于H,设=则m=4“，根据平行线分线段成比例定理列出比例式即可求出AH和EH,

然后根据平行线分线段成比例定理列出比例式即可得出结论；

(3)作斯，于根据相似三角形的判定可得AAEGSACE4,列出比例式可得AE?,设CG=3a,

AE=2a,EG=X,即可求出X的值，根据平行线分线段成比例定理求出加＞:BC=r»//:CE=5:8,设比＞=AD=5%,

BC=8b,CD=3b,然后根据勾股定理求出AC,即可得出结论.

【详解】

(1)如图1中，当加=2时，BC=2AC.

图1

CE±AB,NACB=90。，

ABCE^ACAE^ABAC,

.CEACAEl

"EB~BC^EC~2f

:.EB=2EC,EC=2AE,

,AE1

,,一•

EB4

故答案为：一，一.

24

(2)如图1-1中，悍DH"CF交AB千H.

tanNB=-----=------=—,tanZACE=tanNB=------=—

BEBC2CE2

/.BE=2CE,AE=-CE

2

BE=4AE,BD=2CD,设AE=a,则BE=4。，

DH//AC,

BHBD-

二.——=——=2,

AHCD

552

AH=-a,EH=-a—a=-a,

333

DH//AF,

EF_AE_a_3

瓦一而一髭一，，

3

3

:.EF=-DE.

2

(3)如图2中，作QHLAB于H.

图2

ZACB=ZCEB=90°,

ZACE-hZECB=90°9ZB+ZECB=90°,

:.ZACE=NB,

DA=DB,

ZEAG=ZB,

:.ZEAG=ZACEf

ZAEG=ZAEC=90°9

:.^AEG^\CEA,

AE2=EG.EC,

3

CG=-AE设CG=3〃，A£=2a,EG=x,

29

贝！］有44=x(x+3a),

解得x=〃或Ya(舍弃)，

EG1

/.tanZEAG=tanZACE=tanNB==—,

AE2

.EC=4a,EB=8a9AB—lO6Z,

DA=DB,DH±AB,

,\AH=HB=5a,

DH——a,

2

DH//CE,

:.BD:BC=DH:CE=5:8,设BD=AD=5b,BC=8b,CD=3b,

在RtAACD中，AC=7AZ)2-CD2=4b»

/.AC:CD—4:39

,；mAC=nDC,

/.AC:CD—n:m=4:3,

.m3

,,一•

n4

【点睛】

此题考查的是相似三角形的应用和锐角三角函数，此题难度较大，掌握相似三角形的判定及性质、平行线分线段成比

例定理和利用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键.

19、(1)众数为15；(2)3,4,15；8；(3)月销售额定为18万，有一半左右的营业员能达到销售目标.

【解析】

根据数据可得到落在第四组、第六组的个数分别为3个、4个，所以a=3,b=4,再根据数据可得15出现了5次，出

现次数最多，所以众数c=15；

从频数分布表中可以看出月销售额不低于25万元的营业员有8个，所以本小题答案为：8；

本题是考查中位数的知识，根据中位数可以让一半左右的营业员达到销售目标.

【详解】

解：(1)在2幺,x<25范围内的数据有3个，在28”x<31范围内的数据有4个，

15出现的次数最大，则众数为15；

(2)月销售额不低于25万元为后面三组数据，即有8位营业员获得奖励；

故答案为3,4,15；8；

(3)想让一半左右的营业员都能达到销售目标，我认为月销售额定为18万合适.

因为中位数为18,即大于18与小于18的人数一样多，

所以月销售额定为18万，有一半左右的营业员能达到销售目标.

【点睛】

本题考查了对样本数据进行分析的相关知识，考查了频数分布表、平均数、众数和中位数的知识，解题关键是根据数

据整理成频数分布表，会求数据的平均数、众数、中位数.并利用中位数的意义解决实际问题.

5--r(0</<4)

A\/]£12

20、(1)5；(2)y=<u;(3)时，半径PF=三；t=16,半径PF=12.

5.z,x77

-r-5(r>4)

【解析】

(1)由矩形性质知8c=4。=5,根据BE：CE=3：2知3E=3,利用勾股定理可得AE=5；

ApAp5

(2)由P歹〃BE知一=—,据此求得4尸=—f,再分叱在4和t>4两种情况分别求出EF即可得；

ABAE4

(3)由以点尸为圆心的。F恰好与直线A3、5c相切时PF=PG,再分U0或仁4、0Vf<4、f>4这三种情况分别求

解可得

【详解】

⑴•.•四边形ABCD为矩形，

.\BC=AD=5,

VBE：CE=3：2,

贝!]BE=3,CE=2,

,，,,

.".AE=X/AB+BE=X/4+3=5.

⑵如图1,

当点P在线段AB上运动时，即0WK4,

VPF//BE,

AF=-t,

4

cr

则EF=AE-AF=5-t,即y=5—t(0<t<4)；

11

如图2,

当点P在射线AB上运动时，即t>4,

此时，EF=AF-AE=t-5,即y=t-5(t>4)；

5-1r(0</<4)

综上，y=<

|/-5(r>4)

⑶以点F为圆心的。F恰好与直线AB、BC相切时，PF=FG,分以下三种情况：

①当t=0或t=4时，显然符合条件的。F不存在；

②当0Vt<4时，如解图1,作FGLBC于点G,

则FG=BP=4-t,

,/PF/7BC,

/.△APF^AABE,

.正义即生二

RFAH31

APF=-t,

4

由4-t=；t可得t=",

则此时(DF的半径PF=—；

7

③当t>4时，如解图2,同理可得FG=t-4,PF=t,

4

由t—4=」可得t=16,

4

则此时OF的半径PF=12.

【点睛】

本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，动点的函数为题，切线的性质，相似三角形的判定与性质及分类讨论的数学

思想.解题的关键是熟练掌握切线的性质、矩形的性质及相似三角形的判定与性质.

21、(1)购进A种树苗的单价为200元/棵，购进B种树苗的单价为300元/棵(2)A种树苗至少需购进1棵

【解析】

(1)设购进A种树苗的单价为x元/棵，购进B种树苗的单价为y元/棵，根据“若购进A种树苗3棵，B种树苗5棵,

需210元，若购进A种树苗4棵，B种树苗1棵，需3800元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得

出结论；

(2)设需购进A种树苗a棵，则购进B种树苗(30-a)棵，根据总价=单价x购买数量结合购买两种树苗的总费用不

多于8000元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论.

【详解】

设购进A种树苗的单价为x元/棵，购进B种树苗的单价为y元/棵，根据题意得：fsn+sn=2joo

+3&00

解得：，I_•

I二』300

答：购进A种树苗的单价为200元/棵，购进B种树苗的单价为300元/棵.

(2)设需购进A种树苗a棵，则购进B种树苗(30-a)棵，根据题意得：

200a+300(30-a)<8000,

解得：a>l.

•••A种树苗至少需购进1棵.

【点睛】

本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一

次方程组；(2)根据数量间的关系，正确列出一元一次不等式.

22、(1)7x1+4x+4；(1)55.