2024届重庆市中考数学最后一模试卷含解析

2024学年重庆市第二外国语校中考数学最后一模试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如图，BC_LAE于点C,CD〃AB,NB=55。，则N1等于（

D.25°

x+y=6

2.二元一次方程组二°的解是（）

[x-3y=-2

x—5%—4x——5x=-4

A.〈B.<C.]D.

。=1U=2U=Ty=-2

3.用教材中的计算器依次按键如下，显示的结果在数轴上对应点的位置介于（）之间.

...______..ABCDEF

F~1m[-^-lI=I-4^240123）

A.B与CB.C与DC.E与FD.A与B

4.如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（-1,3）、（-4,1）、（-2,1）,将AA3C沿一确

C.Ai(4,3),Ci(2,3)D.Ai(3,4),Ci(2,2)

5.如图，四边形ABCD是正方形，点P,Q分别在边AB,BC的延长线上且BP=CQ,连接AQ,DP交于点O,并

分别与边CD,BC交于点F,E,连接AE,下列结论：①AQLDP；②△OAES^OPA；③当正方形的边长为3,

A.0B.1C.2D.3

c

6.二次函数y=ax2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=2在同一

x

平面直角」坐标系中的图象可能是（）

7.如图，在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,点E是BC边上靠近点B的三等分点，动点P从点A出发,沿路径A—D—C—E

运动，则AAPE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是（）

_------------\D

8.如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为4m的正方形，使不规则区域落在

正方形内.现向正方形内随机投掷小球（假设小球落在正方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现

小球落在不规则区域的频率稳定在常数0.65附近，由此可估计不规则区域的面积约为（）

B.5.6m2C.8.25m2D.10.4m2

9.如图，。。的半径OD，弦AB于点C,连接AO并延长交。O于点E,连接EC,若AB=8,CD=2,则cos/ECB

为（）

3A/132V13

1313

10.如图，平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG,若ZBAE=40°,ZCEF=15°,

则ND的度数是

A.65°B.55°C.70°D.75°

11.将（X+3）2-（X-1）2分解因式的结果是（）

A.4（2x+2）B.8x+8C.8（x+1）D.4（x+1）

12.如图，AC是。。的直径，弦BD_LAO于E,连接BC,过点O作OF_LBC于F,若BD=8cm,AE=2cm,则OF

的长度是（）

A.3cmB.acmC.2.5cmD.y/5cm

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.“若实数a,b,c满足a<b<c,则a+b<c"，能够说明该命题是假命题的一组a,b,c的值依次为

14.如图，半圆O的直径AB=2,弦CD〃AB,ZCOD=90°,则图中阴影部分的面积为

15.如图，点A的坐标为（3,币）,点B的坐标为（6,0）,将AAOB绕点B按顺时针方向旋转一定的角度后得到

△A9，B,点A的对应点A，在x轴上，则点O,的坐标为.

16.把抛物线y=2x2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的新的抛物线的表达式是.

17.王英同学从A地沿北偏西60。方向走100米到B地，再从B地向正南方向走200米到C地，此时王英同学离A

地的距离是米.

18.如图所示是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第n

（n是正整数）个图案中的基础图形个数为（用含n的式子表示）.

（1）（2）（3）

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）如图1,是一个材质均匀可自由转动的转盘，转盘的四个扇形面积相等，分别有数字1,2,3,1.如图2,

正方形ABCD顶点处各有一个圈.跳圈游戏的规则为：游戏者每转动转盘一次，当转盘停止运动时，指针所落扇形中

的数字是几（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘），就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长.

如：若从图A起跳，第一次指针所落扇形中的数字是3,就顺时针连线跳3个边长，落到圈D；若第二次指针所落扇

形中的数字是2,就从D开始顺时针续跳2个边长，落到圈B；……设游戏者从圈A起跳.

（1）嘉嘉随机转一次转盘，求落回到圈A的概率Pi；

（2）琪琪随机转两次转盘，用列表法求最后落回到圈A的概率P2,并指出她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样吗？

A

图1图2

20.(6分)甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下:

甲：8,8,7,8,9

乙：5,9,7,10,9

(1)填写下表:

平均数众数中位数方差

甲

8—80.4

乙—9—3.2

(2)教练根据这5次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？

(3)如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差_______.(填“变大”、“变小”或“不变”).

21.(6分)我市为创建全国文明城市，志愿者对某路段的非机动车逆行情况进行了10天的调查，将所得数据绘制成

如下统计图(图2不完整)：

■6段I沃内非机游跖加ft

(1)这组数据的中位数是众数是_______

(2)请把图2中的频数直方图补充完整；(温馨提示：请画在答题卷相对应的图上)

(3)通过“小手拉大手”活动后，非机动车逆向行驶次数明显减少，经过这一路段的再次调查发现，平均每天的非机动

车逆向行驶次数比第一次调查时减少了4次，活动后，这一路段平均每天还出现多少次非机动车逆向行驶情」况？

22.(8分)如图，△ABC是等边三角形，AO±BC,垂足为点O,。。与AC相切于点D,BELAB交AC的延长线

(1)求证：AB与。O相切；

(2)若等边三角形ABC的边长是4,求线段BF的长？

23.(8分)如图，直线1是线段MN的垂直平分线，交线段MN于点O,在MN下方的直线1上取一点P,连接PN,

以线段PN为边，在PN上方作正方形NPAB,射线MA交直线1于点C,连接BC.

(1)设NONP=a,求NAMN的度数；

(2)写出线段AM、BC之间的等量关系，并证明.

24.(10分)如图，48为。。直径，过。。外的点。作OELO4于点E,射线OC切。。于点C、交A3的延长线于

点P,连接AC交OE于点尸，作于点

(1)求证：ZD=2ZA；

3

(2)若〃8=2,cosD=~,请求出AC的长.

25.(10分)某兴趣小组为了了解本校男生参加课外体育锻炼情况，随机抽取本校300名男生进行了问卷调查，统计

整理并绘制了如下两幅尚不完整的统计图.

课外体育锻炼情况“经营参加”课外体育锻炼的男生最喜欢的一种项目

扇形统计图条形统计图

请根据以上信息解答下列问题：课外体育锻炼情况扇形统计图中，“经常参加”所对应的圆心角的度数为;请补

全条形统计图；该校共有1200名男生，请估计全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是篮球的人数；小

27

明认为“全校所有男生中，课外最喜欢参加的运动项目是乒乓球的人数约为1200x^=108"，请你判断这种说法是否

300

正确，并说明理由.

26.(12分)某校在一次大课间活动中，采用了四种活动形式：A、跑步，B、跳绳，C、做操，D、游戏.全校学生都

选择了一种形式参与活动，小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了不完整的

统计图.

120"ri

请结合统计图，回答下列问题：

(1)本次调查学生共人，a=,并将条形图补充完整；

(2)如果该校有学生2000人，请你估计该校选择“跑步”这种活动的学生约有多少人？

(3)学校让每班在A、B、C、D四种活动形式中，随机抽取两种开展活动，请用树状图或列表的方法，求每班抽取

的两种形式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率.

27.(12分)如图，△ABC是。O的内接三角形，AB是。O的直径，OFJ_AB,交AC于点F,点E在AB的延长线

上，射线EM经过点C,且NACE+NAFO=180。.求证：EM是。。的切线；若NA=NE,BC=VL求阴影部分的面积.

(结果保留万和根号).

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、A

【解题分析】

根据垂直的定义得到NNBCE=90。，根据平行线的性质求出NBCD=55。，计算即可.

【题目详解】

解：VBC1AE,

/.ZBCE=90°,

VCD/7AB,ZB=55°,

/.ZBCD=ZB=55O,

，Nl=90°-55°=35°,

故选：A.

【题目点拨】

本题考查的是平行线的性质和垂直的定义，两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内

错角相等.

2、B

【解题分析】

利用加减消元法解二元一次方程组即可得出答案

【题目详解】

解：①-②得到y=2,把y=2代入①得到x=4,

x=4

故选:B.

【题目点拨】

此题考查了解二元一次方程组，解方程组利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法.

3、A

【解题分析】

试题分析：在计算器上依次按键转化为算式为-=-1.414...；计算可得结果介于-2与-1之间.

故选A.

考点：1、计算器一数的开方；2、实数与数轴

4、A

【解题分析】

分析：根据B点的变化，确定平移的规律，将AABC向右移5个单位、上移1个单位，然后确定A、C平移后的坐标

即可.

详解：由点B（-4,1）的对应点Bi的坐标是（1,2）知，需将△ABC向右移5个单位、上移1个单位，

则点A（-1,3）的对应点Ai的坐标为（4,4）、点C（-2,1）的对应点Ci的坐标为（3,2）,

故选A.

点睛：此题主要考查了平面直角坐标系中的平移，关键是根据已知点的平移变化总结出平移的规律.

5、C

【解题分析】

由四边形A5CZ）是正方形，得到4D=5C,NZMB=NABC=90°,根据全等三角形的性质得到NP=/。，根据余角的

性质得到AQLDP-,故①正确；根据勾股定理求出AQ=ylAB2+BQ2=5,NDFO=ZBAQ,直接用余弦可求出.

【题目详解】

详解：•••四边形ABC。是正方形，

：.AD=BC,ZDAB=ZABC=90,

,:BP=CQ,

：.AP=BQ,

AD=AB

在ADAP与白ABQ中，＜ZDAP=ZABQ

AP=BQ,

；.ADAP咨AABQ,

：.NP=NQ,

ZQ+ZQAB=90,

ZP+ZQAB=90,

•,.ZAOP=90,

：.AQ±DP；

故①正确；

②无法证明，故错误.

VBP=1,AB=39

：.BQ=AP=^,

AQ=^AB2+BQ2=5,

ZDFO=ZBAQ,

AB3

AcosNDFO=cosZBAQ=——=-.故③正确，

AQ5

故选C.

【题目点拨】

考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数等，综合性比较强，对学生要求较高.

6^C

【解题分析】

b

试题分析：・・•二次函数图象开口方向向下，・・・aV0,,・,对称轴为直线X=-丁>0,・・・b>0,•・•与y轴的正半轴相交,

2a

c

.•.c>0,...丁=奴+人的图象经过第一、二、四象限，反比例函数》=一图象在第一三象限，只有C选项图象符合.故

x

选C.

考点：L二次函数的图象；2.一次函数的图象；3.反比例函数的图象.

7、B

【解题分析】

由题意可知，

当04x<3时，y=—AP-AB=—x2%=%；

22

当3<xW5时，

y=S矩形ABCD-SAABE_SAADP-S^EPC=2x3——xlx2——x3（%—3）——x2（5—x）=—；

乙乙乙乙乙

当5<xW7时，y=gAB-EP=：><2x（7—x）=7—x.；x=3时，y=3；x=5时，y=2..•.结合函数解析式，

可知选项B正确.

【题目点拨】

考点：L动点问题的函数图象;2.三角形的面积.

8、D

【解题分析】

首先确定小石子落在不规则区域的概率，然后利用概率公式求得其面积即可.

【题目详解】

•.•经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.65附近,

••・小石子落在不规则区域的概率为0.65,

•.•正方形的边长为4m,

面积为16m2

设不规则部分的面积为sJi?

则三=0.65

16

解得：s=10.4

故答案为：D.

【题目点拨】

利用频率估计概率.

9、D

【解题分析】

连接EB,设圆O半径为r,根据勾股定理可求出半径r=4,从而可求出EB的长度，最后勾股定理即可求出CE的长

度.利用锐角三角函数的定义即可求出答案.

【题目详解】

解：连接EB,

由圆周角定理可知：NB=90。,

设。O的半径为r,

由垂径定理可知：AC=BC=4,

VCD=2,

AOC=r-2,

・•・由勾股定理可知：r2=(r-2)2+42,

:.r=5,

BCE中，由勾股定理可知：CE=2jI^,

CB2X/13

.,.cosZECB=——=

CE13

故选D.

【题目点拨】

本题考查垂径定理，涉及勾股定理，垂直定理，解方程等知识，综合程度较高，属于中等题型.

10>A

【解题分析】

分析：首先求出NAEB,再利用三角形内角和定理求出NB,最后利用平行四边形的性质得ND=NB即可解决问题.

详解：•••四边形ABCD是正方形，

ZAEF=90°,

VZCEF=15°,

:.ZAEB=180o-90°-15o=75°,

,.,ZB=180°-ZBAE-ZAEB=180o-40o-75o=65°,

V四边形ABCD是平行四边形，

ZD=ZB=65°

故选A.

点睛：本题考查正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决

问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型.

11、C

【解题分析】

直接利用平方差公式分解因式即可.

【题目详解】

(x+3)2-(x-1)2=[(x+3)+(x-1)][(x+3)-(x-1)]=4(2x+2)=8(x+1).

故选C.

【题目点拨】

此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键.

12、D

【解题分析】

分析：根据垂径定理得出OE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，再利用相似三角形的判定和性质解答即可.

详解：连接OB,

C

；AC是。。的直径，弦BD_LAO于E,BD=lcm,AE=2cm.

在RtAOEB中，OE2+BE2=OB2,即OE2+42=(OE+2)2

解得：OE=3,

；.OB=3+2=5,

/.EC=5+3=1.

在RtAEBC中，BC=7BE2+EC2=M+82=4省.

VOF±BC,

/.ZOFC=ZCEB=90°.

vzc=zc,

/.AOFC^ABEC,

.OFOC0F_5

.・----=-----，即a———---7=9

BEBC44V5

解得：OF=y/5.

故选D.

点睛：本题考查了垂径定理，关键是根据垂径定理得出OE的长.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、答案不唯一，如1,2,3；

【解题分析】

分析：设a,b,c是任意实数.若a<b<c,则a+*c”是假命题，则若a<b<c,则a+妇c”是真命题，举例即可，本题答

案不唯一

详解：设a,b,c是任意实数.若a<6<c,则a+b〈c”是假命题，

则若a<b<c,则a+bNc”是真命题，

可设a,b,c的值依次1,2,3,（答案不唯一）,

故答案为1,2,3.

点睛：本题考查了命题的真假，举例说明即可，

兀

14、

4

【解题分析】

907rx俨兀兀

解：.弦CZ）〃A5,..SAACD~SAOCD9»・S阴影一3扇形CO。-丝上=—.故答案为一.

36044

15、-卡）

【解题分析】

ACFl

作ACJ_OB、OrD±ArB,由点A、B坐标得出OC=3、AC=J7>BC=OC=3,从而知tanNABC=——=—,由旋

BC3

禁哼设。

转性质知BO,=BO=6,tanZA,BO,=tanZABO=DSx、BD=3x,由勾股定理求得x的值,即可知

BD、CXD的长即可.

【题目详解】

如图，过点A作AC1OB于C,过点。作O，D_LA，B于D,

•；A（3,不）,

.\OC=3,AC=V7.

；OB=6,

.\BC=OC=3,

AC不

贝n!l]tanNABC=-----=,

BC3

由旋转可知,BO，=BO=6,NA，BO，=NABO,

.O'D_AC

••==----,

BDBC3

设O'D="x,BD=3x,

由(TD2+BD2=O，B2可得(J7X)2+(3X)2=62,

33.

解得：x=7或x=-7(舍)，

22

93

贝！IBD=3X=5，(TD=V7X=577，

921

OD=OB+BD=6+-=—,

22

.••点O的坐标为(3,jV7).

22

【题目点拨】

本题考查的是图形的旋转，熟练掌握勾股定理和三角函数是解题的关键.

16、y=l(x-3)1-1.

【解题分析】

抛物线的平移，实际上就是顶点的平移，先求出原抛物线的顶点坐标，再根据平移规律，推出新抛物线的顶点坐标，

根据顶点式可求新抛物线的解析式.

【题目详解】

的顶点坐标为(0,0),

二把抛物线右平移3个单位，再向下平移1个单位，得新抛物线顶点坐标为(3,-1),

•••平移不改变抛物线的二次项系数，

••・平移后的抛物线的解析式是y=l(x-3),-1.

故答案为y=l(x-3)1-1.

【题目点拨】

本题考查了二次函数图象的平移，其规律是是：将二次函数解析式转化成顶点式产a(x力＞+«(«,b,c为常数，存0),

确定其顶点坐标(〃，k),在原有函数的基础上值正右移，负左移；左值正上移，负下移”.

17、100;

【解题分析】

先在直角△ABE中利用三角函数求出BE和AE,然后在直角4ACF中，利用勾股定理求出AC.

B

CV

解：如图，作AELBC于点E.

VZEAB=30°,AB=100,

/.BE=50,AE=503.

VBC=200,

/.CE=1.

在RtAACE中，根据勾股定理得：AC=100s.

即此时王英同学离A地的距离是100;米.

故答案为100、3.

解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线.

18、3n+l

【解题分析】

试题分析：由图可知每个图案一次增加3个基本图形，第一个图案有4个基本图形，则第n个图案的基础图形有

4+3(n-l)=3n+l个

考点：规律型

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)落回到圈A的概率Pi=L；(2)她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样.

4

【解题分析】

(1)由共有1种等可能的结果，落回到圈A的只有1种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案；

(2)首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与最后落回到圈A的情况，再利用概率公式求解即

可求得答案；

【题目详解】

(1)•••共有1种等可能的结果，落回到圈A的只有1种情况，

...落回到圈A的概率Pi=I；

(2)列表得:

1231

1(1,1)(2,1)(3,1)(1,1)

2(1,2)(2,2)(3,2)(1,2)

3(1,3)(2,3)(3,3)(1,3)

1(1,1)(2,1)(3,1)(1,1)

•.•共有16种等可能的结果，最后落回到圈A的有(1,3),(2,2)(3,1),(1,1),

41

,最后落回到圈A的概率P2=—=—，

164

,她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样.

【题目点拨】

此题考查了列表法或树状图法求概率.注意随机掷两次骰子，最后落回到圈A,需要两次和是1的倍数.

20、(1)填表见解析；(2)理由见解析；(3)变小.

【解题分析】

(1)根据众数、平均数和中位数的定义求解：

(2)方差就是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小(即这批数据偏离平均数的大小)在样本容量相同的

情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定.

(3)根据方差公式求解：如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差变小.

【题目详解】

试题分析：

试题解析：解：(1)甲的众数为8,乙的平均数=((5+9+7+10+9)=8,乙的中位数为9.

故填表如下：

平均数众数中位数方差

甲8880.4

乙8993.2

(2)因为他们的平均数相等，而甲的方差小，发挥比较稳定，所以选择甲参加射击比赛;

(3)如果乙再射击1次，命中8环，平均数不变，根据方差公式可得乙的射击成绩的方差变小.

考点：1.方差；2.算术平均数；3.中位数；4.众数.

21、(1)7、7和8；(2)见解析；(3)第一次调查时，平均每天的非机动车逆向行驶的次数3次

【解题分析】

(1)将数据按照从下到大的顺序重新排列，再根据中位数和众数的定义解答可得；

(2)根据折线图确定逆向行驶7次的天数，从而补全直方图；

(3)利用加权平均数公式求得违章的平均次数，从而求解.

【题目详解】

解：(1)I•被抽查的数据重新排列为：5、5、6、7、7、7、8、8,8、9,

7+7

...中位数为——=7,众数是7和8,

2

故答案为：7、7和8；

(2)补全图形如下：

颊段1供内非机转的次S

5x?+7xx3+Q

(3)•.•第一次调查时，平均每天的非机动」车逆向行驶的次数为--------=7(次),

10

.•.第一次调查时，平均每天的非机动车逆向行驶的次数3次.

【题目点拨】

本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关

键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据.

22、(2)证明见试题解析；(2)退+后.

【解题分析】

(2)过点O作OM_LAB于M,证明0乂=圆的半径OD即可；

(2)过点。作ONJ_BE,垂足是N,连接OF,得到四边形OMBN是矩形，在直角△OBM中利用三角函数求得OM

和BM的长，进而求得BN和ON的长，在直角△ONF中利用勾股定理求得NF,则BF即可求解.

【题目详解】

解：(2)过点O作OMLAB,垂足是M.

•••。。与AC相切于点D,

/.OD±AC,

ZADO=ZAMO=90°.

VAABC是等边三角形，

:.ZDAO=ZMAO,

，OM=OD,

；.AB与。O相切；

(2)过点O作ONLBE,垂足是N,连接OF.

是BC的中点，

，OB=2.在直角AOBM中，ZMBO=60°,

1

.,.ZMOB=30°,BM=-OB=2,

2

OM=V3BM=V3»

VBE±AB,

二四边形OMBN是矩形，

.\ON=BM=2,BN=OM=V3.

VOF=OM=V3,由勾股定理得NF=&.

，BF=BN+NF=^+行.

考点：2.切线的判定与性质；2.勾股定理；3.解直角三角形；4.综合题.

23、(1)45°(2)AM=®BC，理由见解析

【解题分析】

(1)由线段的垂直平分线的性质可得PM=PN,PO±MN,由等腰三角形的性质可得NPMN=NPNM=a,由正方

形的性质可得AP=PN,ZAPN=90°,可得NAPO=a,由三角形内角和定理可求NAMN的度数；

(2)由等腰直角三角形的性质和正方形的性质可得“N=J5CN，AN=y/2BN>ZMNC=ZANB=45°,可证

△CBN^AMAN,可得4河=近3。.

【题目详解】

解：（1）如图，连接MP,

•••直线1是线段MN的垂直平分线，

，PM=PN,PO±MN

...NPMN=NPNM=a

.,.ZMPO=ZNPO=90°-a,

,:四边形ABNP是正方形

.,.AP=PN,ZAPN=90°

；.AP=MP,ZAPO=90°-(90°-a)=a

/.ZAPM=ZMPO-ZAPO=(90°-a)-a=90°-2a,

•/AP=PM

180°-(90°-2a)

ZPMA^ZPAM^-------------------=45°+a

2

.,.ZAMN=ZAMP-ZPMN=45°+a-a=45°

(2)AM=42BC

理由如下：

如图，连接AN,CN,

•.•直线1是线段MN的垂直平分线,

/.CM=CN,

AZCMN=ZCNM=45°,

:.ZMCN=90°

•••MN=叵CN，

V四边形APNB是正方形

...NANB=NBAN=45°

:•AN=®BN，ZMNC=ZANB=45°

/.ZANM=ZBNC

MN_Q_AN

又：

CN~~BN

/.△CBN^AMAN

.AM_MN_B

»•­=7乙

BCCN

：,AM=41BC

【题目点拨】

本题考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本

题的关键.

24、(1)证明见解析；(2)AC=4卡.

【解题分析】

(1)连接0C,根据切线的性质得到NOCP=90°,根据垂直的定义得到“石尸=90。，得到NC05=N。，然后

根据圆周角定理证明即可；

(2)设。的半径为广，根据余弦的定义、勾股定理计算即可.

【题目详解】

(1)连接OC.

•射线。。切O。于点C,，/。。。二乡。。.

DE±AP,:.ZDEP=90。,ZP+ZD=90°,ZP+ZCOB=90°,:.ZCOB=ZD,由圆周角定理得：

NCO5=2ZA,.-.ZD=2ZA；

3

(2)由(1)可知：ZOCP=90°,ZCOP=ZD,:.cosZCOP=cosZD=~,CH±OP,:.ZCHO=90°,

Tjrr\Q

设，。的半径为广，则=r—2,在RtACHO中，cosZHOC=——=-^=-,:.r=5,:.OH=5-2=3,

OCr5

由勾股定理可知：CH=4,AHAB-HB=10-2=8.

在RtAAHC中，ZCHA=90°,由勾股定理可知：AC=y/AH2+CH2=475-

D

【题目点拨】

本题考查了切线的性质、圆周角定理以及解直角三角形，掌握切线的性质