恩施州高中2023-2024高一年级上册期末考数学（解析）

恩施州高中2024高一期末考数学

一、选择题:

1.下列方程中，不能用二分法求近似解的为()

2

A.log2x+x=0B.e*+x=0C.x-2x+l=0D.Jx+Inx=0

【答案】C

【解】〃％)=1鸣％+%在(。，+巧上单调递增，且d]=T+?0"⑴=1"，

故A错误；/(x)=e'+x在R上连续且单调递增，且/(O)=l>OJ(-1)=J-1<0,可以使

用二分法，故B错误；X2-2X+1=(X-1)2>0,故不可以使用二分法，故C正确；

“x)=«+lnx在(0,+“)上单调递增，且fg卜上—1(0"⑴=1",故D错误.选：C

2.在平面直角坐标系中，点尸(cos2023。,tan2023。)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解】cos2023°=cos(360°x6—137。)=cos137。<0

tan2023°=tan(360°x6—137。)=—tan137。＞0,所以点P(cos20230,tan2023°)为第二象限.

3.下列函数中，最小值为4的是()

4

A.y=%+一

x

31，21

C.当时，y=2x-l+-~-D.y=4x~+—

22x-3x

【答案】D

【解】当X=-1时，y=-5,所以y的最小值不为4,故A不符合题意;

^

y=A/?T7+-F^>2V7T7X-/^==4,当且仅当^G^=-^^T即x2=—3时等号

6+7\6+7，厂+7

4

成立,但x无解，故B不符合题意；当％=。时，y=-耳，所以)的最小值不为4,故C不符

合题意；y=4x2+4^2.k2x4=4,当且仅当4/=]即l=土正时，等号成立，

X2VX2X2

所以y的最小值为4,故D符合题意.

4.已知°=#2,6=d)-。。c=log54,贝M，b,C的大小关系为()

71

A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<a

【答案】A

【解】。=兀'2>芯8=(J_)S/，而人=>(J_)°=1,C=lOg54<lOg55=1,

兀兀兀

所以c<b<a.

5.函数/(%)=(%-1>忖的图象可能是()

【解】函数中|的定义域为{巾#0},故排除D选项；

令〃x)=(x—1加国=0,即％=1或x=—1,所以函数有两个零点1,-1,

当％<-1时，-x>l,则x—l<0,ln|x|=ln(-x)>0,lj!!|/(x)=(x-l)ln|x|<0,故排除AB选

项；当一1<%<0时，-x<\,贝！jx—l<0,ln|A-|=ln(-x)<0,贝!]/(%)=(%—1)111国>0；

当0<x<l时，x-l<0,ln|x|=lnx<0,贝！]/(%)=

当尤>1时，x-l>0,ln|x|=lnx>0,ljl!|/(x)=(x-l)ln|x|>0.

所以函数/(x)=(%-l)ln|x|的图象可能是C选项.故选：C.

6.已知关于x的不等式x2+。恰有三个整数解，则实数。的取值范围是()

A.[-3,-2)o[4,5)B.(-3,-2]o(4,5]c.(-3,-2]o[4,5)D.[-3,-2)o(4,5]

【答案】D

【解】不等式必-(a+l)x+a<0,可化为尤一1)<0,

当。=1时，不等式f—(a+l)x+a<0的解集为空集，不合题意；

当a>1时，不等式x2-(a+l)x+a<0的解集为(1,a),

要使不等式x2-（a+l）x+a<0恰有三个整数解，贝！14<aW5,

当a<1时，不等式x2-（Q+1）X+Q<。的解集为（。,1）,

要使不等式*-（。+1）]+。<0恰有三个整数解，贝！|-3Wa<-2,

综上可得，实数”的取值范围是[-3,-2）"4,5].选：D

7.某商场计划做一次活动刺激消费，计划对某商品降价两次，方案甲：第一次降价加％,第二

次降价"％.方案乙：第一次降价〃％.第二次降价加％.方案丙：两次均降价等％,其中

机>〃>0.那么两次降价后价格最高的方案为（）

A.甲B.乙C.丙D.无法判断

【答案】C

【解】设商品原价格为10000,则方案甲两次降价后价格为：（100-帆）。00-〃）；

方案乙两次降价后的价格为：（100-帆）。00-〃）；方案丙两次降价后的价格为：

所以，方案甲和方案乙两次降价后的价格相同；又1100-生产1-（100-W（100-〃）

—">>0（因为加>〃>0,故不能取“=”）

4

所以，方案丙两次降价后的价格最高.选：c

8.已知函数〃》）=垩三些二+5/侬，若正实数”，〃满足〃2。-1）+/（2人-1）=0,则

12

上+1的最小值为（）

ab

A.272+3B.472C.2V2-3D.V2+1

【答案】A

【解】：“尤）的定义域为R,

、(2025—2025-*«的)2025T-2025*

因为/(%)+/(-%)=-----------+5厂-++5(-x)2023

I22

xxr-x

（2025-2025-c2023^（2025-2025=2023）八「

=-------------------------------------F5%+-----------------------5x=0,所以/（"是定义在R上的奇函

I，7k27

数，

因为函数y=2025%,y=-2025T,y=5x2023都是单调递增函数，所以函数

〃x）=丝旦丁型二+5/23是单调递增函数，又/（2a-1）+/（2》-1）=0,则

/（2a-l）=-/（2^-1）=/（1-2ZJ）,所以2。_1=1_2），即a+6=l（a>03>0）,

4,12/‘/I2、b2ao,。［b__2a__/r--

故—I—=（a+b\\—I—=—I-----------1-3>2./—x---------F3=2v2+3,

abb）abyab

当且仅当2=当，即"忘-1/=2-五时等号成立，雪擀的最小值为2顶+3.

abab

二、选择题：

9.兴趣是最好的老师.学校为了丰富学生的兴趣，成立了多个兴趣小组，其中数学学习兴趣小

组发现：形如>=竺可（acwO,仇d不同时为0）的函数图象可以由反比例函数的图象经过

cx+a

尤+3

平移变换得到，则对函数y==的图象及性质，下列表述正确的是（）

x-1

A.图象上点的纵坐标不可能为1B.图象与x轴无交点

C.函数在区间（-8,0）上单调递减D.图象关于点（1』）成中心对称

【答案】ACD

【解】由函数y==x+3=l+4--,则函数了=x土+33的图象可由了=之4的先向右平移1个单位长

x-1x-1x-1X

龙+3

度，再向上平移1个单位得到，所以函数丁=一图象上点的纵坐标不可能为1,所以A正

x-1

确；

令y=0,可得==0,解得％=-3,所以函数与X轴的交点为（-3,0）,所以B错误；

x-1

44

由函数y=—在（-8,0）上为递减函数，可得y=」一在（-81）上为递减函数，

XX-1

龙+3

则函数y=—7在（-%。）上为递减函数，所以C正确；

x-1

44

由函数y=—的图象关于原点（0,0）对称，可得y的图象关于点（1,。）对称，

xx-1

则函数丁=一龙+3的图象关于点CM）对称，所以D正确.选：ACD.

x-1

10.设函数/（司=加4归-2|,必,卜+2|｝,其中mid｛羽y,z｝表示x,y,z中的居中者.下列说法

正确的有（）

A./（%）只有一个最小值点B./（%）值域为［L+8）

C."可为偶函数D.〃尤）在（0,1）上单调递减

【答案】BCD

【解】由已知在同一坐标系中分别画出工（%）=|x-4、力（%）=*与力（"=卜+2］的图象（虚

线），根据mid｛x,y,z｝表示巴y,z中的居中者知函数八%）的图象（实线）如图：

对于A,由图知当％=±1时，〃尤）取到最小值1,所以〃龙）有两个最小值点，错误；

对于B,由图知，函数八力的值域为［L+8）,正确；

对于C,由图知，函数〃力的图象关于＞轴对称，

又函数八%）的定义域为R关于原点对称，所以函数/（九）为偶函数，正确；

对于D,由图知，函数八％）在（0,1）上单调递减，正确.选：BCD

11.若国表示不超过X的最大整数，比如［2冈=2,［-3.5］=-4.设函数〃x）=x-国，则下

列说法正确的是（）

A.若同=-1,则—B."%）是周期函数

c.的值域为[0』D.方程〃x）=有三个根

【答案】ABD

-2,-2<x<-l,x+2,—2«X<—1

—1,—1Vx<0,x+1,-1<x<0,

【解】由于印=0,0<x<l,,所以y（x）=x—印=<x,Q<x<l,

1,0<x<2,x-1,1<x<2,

2,<%<3,x-2,2<x<3,

由此作出函数/(%)="区的部分图象，如图所示,

对于A,当同=-1时，由国定义知—lWa<0,正确；

对于B,因为左eZ,使得左<x<k+1,此时左+1Vx+lv左+2,

从而/(x+1)—/(x)=x+l—(左+1)—(x—左)=0,即/(x+l)=/(x),

所以函数了⑺是以1为周期的周期函数，正确；

对于C,由B选项分析可知，函数7⑺是以1为周期的周期函数，

故只需讨论了⑺在[0,1)上的值域即可，当九目0,1)时，/(x)=x-[x]=x-0=xe[0,l),

即函数/⑺的值域为@1),错误；

对于D,如图：

.7-5-4-3-2-iqI2345671

由图知，函数/(x)=x-国与函数1有三个交点，所以方程〃x)=gx-1有三个

根，正确.选：ABD

12.已知定义在（0,+。）的函数/（%）满足：当x产当时，恒有二了（?：了（％）＞0,则

（）

A.3/（4）＞4/⑶B.函数y=〃”在区间（0,+“）为增函数

X

C.函数y=对'（九）在区间（0,+8）为增函数D./（3%+々）+/（石+3%）＞4/（%+工2）

【答案】ABD

【解】当石彳々时，恒有（A）'—）＞0,令占=4,々=3,则

西一无2

3/（4）—4〃3）〉。3/（4）-4/（3）＞0,3/（4）＞4/（3）,所以A选项正确.

设g（x）=W（x〉0）,

不妨设°＜再r，

g（无）_g（无）=/（Xl）/（X2）_-/（再）-//（%2）

国x2XxX2'

由于％-々＜0，所以々/（%）-%/（X2）＜。，所以g（%）—g（9）="/0））＜0,

gE）＜g（%）,所以g（x）在（o,+⑹为增函数,所以B选项正确.

设人（%）=可（0（%＞。）,人（%）-人（%）=%/（菁）-々“左2）的符号无法判断，

所以y=^（x）的单调性无法判断，所以C选项错误.

函数8（犬）=14%〉0）在（。,+8）为增函数，所以g（3%+/）＞且（石+々）,

所以‘7+%）＞〃石+九2）"网+%）＞/&+%）,（3%+%）,同理

3%+%2玉+%再+%2

8（内+3/）＞8（%+%）,

所以/（菁+3%）＞1（芯+々），/（菁+3%）〉/（石+%）.&+39）

F+3X2%++%%2玉+%2%+%2

所以f（3xi+%）+/（玉+3%）>+*2）（3%+%2）+/（.+-）•（％1+3%2）

I'X12+'X12

"***）•（4%+4%）=4/a+々）,所以D选项正确.选：ABD

X]~HX]

三、填空题：

13.设函数,小、)=2[x小-l,x+>56)W6,则“/-.3)=一.

【解】由函数小,、)=[2上x-l+,5x)>旌66,则

/(-3)=/(-3+5)=/(2)=/(2+5)=/(7)=2x7-l=13.

ax-l,x<l,

14.已知函数y(x)=2在R上是单调函数，贝！Ia的取值范围是.

,X>1

2f6ZX-1,X<1,

【解】当X21时，函数“尤)=«为增函数，故函数/(X)=2在R上是单调递增函

a>0

数，所以2,解得0<a42,所以”的取值范围是(0,2].

axl-l<V

15.已知一扇形的周长为6,则当该扇形的面积取得最大时，圆心角的弧度数为

【解】设扇形的半径为,，则弧长为/=6-2厂，

面积为S=51〃=1jr(6-2厂)=-/+3厂=-(r-3$2+Q：,所以当厂=39时s取得最大值为QI，

乙乙乙I乙I

I3

3，=上=二=2

此时/=6-2x；=3,圆心角为r-3(弧度).

22

/、|x2—2x—3|,x>—2,/、

16.已知函数/("=存在直线丁=机与/(%)的图象有4个交点，则机二

，若存在实数为<々<七<》4<匕，满足/(%)=/(9)=/(演)=/(乂)=/(%5)，则

玉+%+%3+%4+X5的取值范围是«

%2—2x—3,x>—2,

【解】作出"%)=<11的图象如下,

x+6,x<-2,

因为直线>=加与/(X)的图象有4个交点，所以机=4；

记/(%)=/(%)=/(&)=/(*4)=/(%5)=4，

则直线y=左与/(尤)的图象有5个交点，%!<%2<x3<x4<%5,如图所示:

由图可知，-6<%<-2,由二次函数的对称关系可得，忍+%4=%2+尤5=2,

所以石+%+项+/+毛=%+4e(—2,2),即%+々+%+%+%的取值范围是(一2,2).

四、解答题：

17.已知集合A={x|4V6},B=1%|1<%<5},C=|x|2tz—3<x<a+l1.

(1)求他A)CB；

(2)若“九eA”是“xeC”的必要不充分条件，求实数。的取值范围.

【解】因为集合&={%|4«%<6},B={x|l<%<5},所以4。3={即<%<6}；

又为A={x|x<4或尤〉6},贝(］低A)c3={疝<%<4}.

［2］因为xeA是尤eC的必要不充分条件，所以集合。是集合A的真子集，

当C=0时，2a—3>a+l,解得a>4,满足题意；

a+1<6

7「7

当CV0时，由题意2a-324,所以综上所述：，的取值范围为彳,十。

a<4

18.(1)已知sin(〃一a)-sin［5一。］=cos(-a),求Bsin?a+2cos2a+2sinacoso的值;

/、一、，它—2g4.1rvsinacosa八*

(2)已知。为第一象限角，sm「+cosa=:，求^--------的值.

5sum-cos。

解：(1)•.•sin(»—a)—sin£—a=cos(—。),/.sina-cosa=cos«,/.tanc^=2,

3sin2a+2cos之a+2sinacosa

3sin2a+2cos2a+2sinacosa=

si.n7or+cos2a

3tan2a+2+2tana_18

tan2a+l5

(2)Vsina+cosa=—；・l+2sinacosa=—,・・.sinacosa=-----,

592525

./.\249

••(sma-coso)=l-2smacos。二石，

XVa为第二象限角，I.sina—cosa>0,

_n

7.sinacosa2s12

・•sin。-cos。=一,•,----------=；=-----.

5sina-cos。J_35

5

19.(1)计算：lg|-lgj+lgl2.5-log89.log278.

2o

［、.a+ai+2

⑵已知£+£=3求F―的值.

a+。一2

7i

【解】(1)由对数的运算公式，可得原式=-Ig2-(lg5-31g2)+31g5-l-§log；xk)g；=§.

(2)因为小+二：一寸所以。+/+2=9,可得a+/=7,所以/-2+2=49,

Ct1Ct—J

可得〃+>=47,所以m7+2_1

47-2-5

20.实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源.某市新建了一座垃圾回收利用工厂，

于2023年年初用98万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用.该设备使用

后，每年的总收入为50万元.若该设备使用x年，则其所需维修保养费用x年来的总和为

（2尤2+10*万元（2023年为第一年），设该设备产生的盈利总额（纯利润）为>万元.（1）写

出y与i之间的函数关系式；求该机床从第几年开始盈利（盈利总额为正值）.（2）使用若干

年后，对设备的处理方案有两种：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该

设备；（年平均盈利额=盈利总额+使用年数）②当盈利总额达到最大值时，以15万元价格

处理该设备.试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由.

【解】：y=50x-（2x2+10x）-98=-2X2+40X-98（xeN*）,

由-2/+40x-98>0解得：10-A/51<X<10+751,xeN*,

所以3WXW17,所以该机床从第3年开始全年盈利.

【2】方案①：-=-2x+40--=40-f2x+—^<40-272798=12（当且仅当x=7时取

XXX）

“=”），

所以到2029年，年平均盈利达到最大值，该设备可获利12x7+30=114万元.

22

方案②：J=-2x+4x-98=-2（x-10）+102,所以当x=10时，ymax=102,

故到2032年，盈利额达最大值，该设备可获到102+15=117万元.

所以按方案②可获利更多，故按方案②处理较合理.

21.已知函数=-（加一1卜+加一1.

（1）当机<0时，解关于x的不等式2；

（2）若不等式/（x）»£+2x对一切xe［0,4恒成立，求实数机的取值范围.

［解］因为/（x）=（m+l）x2-（m-l）x+m-l,所以不等式（7徨+1）X2-^m-l）x+m-l>3x+m-2,

可化简为：（m+l）x2-（m+2）x+l>0,

①当〃?=-i时，不等式化为尤W1,②当7"+1>0即一1<帆<0时，--—>1,

m+1

方程—（帆+2卜+1=0的两个根为工，1.则不等式的解为xwi或

③当加+1<0即7”-1时，占<1，方程（加+1）*—（加+2卜+1=0的两个根为911.则

不等式的解为看<X<1，综上所述：当，"=-1时，不等式的解集为(