2025优化设计一轮第2节 导数的运算

第2节导数的运算高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025研考点精准突破目录索引

强基础固本增分12强基础固本增分知识梳理(1)基本初等函数的导数公式

原函数导数f(x)=c(c为常数)f'(x)=_________f(x)=xα(α∈R,且α≠0)f'(x)=_________f(x)=sin

xf'(x)=_________f(x)=cos

xf'(x)=_________f(x)=ax(a>0,且a≠1)f'(x)=_________f(x)=exf'(x)=_________f(x)=logax(a>0,且a≠1)f'(x)=_________f(x)=ln

xf'(x)=_________0αxα-1cosx-sinxaxlnaex(2)导数的运算法则①[f(x)±g(x)]'=__________.

②[f(x)g(x)]'=_________________________,特别地,[cf(x)]'=__________.

(3)复合函数的求导法则:复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=__________,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.

f'(x)±g'(x)f'(x)g(x)+f(x)g'(x)cf'(x)y'u·u'x常用结论

3.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.自主诊断题组一

思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.f'(a)=[f(a)]'.(

)2.若函数f(x)定义域为R,且f(-x)+f(x)=0,则f'(-x)=f'(x).(

)3.若f(x)=ln3,则f'(x)=.(

)4.若f(x)=sin2x,则f'(x)=cos2x.(

)×√××题组二

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题组三

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1研考点精准突破考点一导数的运算例1(1)(多选题)(2024·吉林长春模拟)在下列求导运算中,不正确的是(

)BCD(2)(2024·湖南长沙模拟)已知函数f(x)=ex+x3f'(1),则f(1)=(

)C解析

设x∈(-2π,-π),则x+2π∈(0,π),所以f(x+2π)=(x+2π)sin(x+2π)=(x+2π)sin

x,又因为f(x)=f(x+π)=f(x+2π),所以f(x)=(x+2π)sin

x,此时f'(x)=sin

x+(x+2π)·cos

x,B规律方法函数求导运算的基本原则(1)熟记常见函数的导数公式和四则运算法则,切勿记错记混;(2)求导前,应利用代数、三角恒等变换对函数解析式进行化简,以便减少运算量,减少差错;(3)复合函数求导,要正确分析函数的复合过程,分清内外层函数,按照法则进行求导;(4)求函数在某一点处的导数且解析式未知时,应先根据条件求出该点所在区间的解析式再求导;(5)当函数解析式中含有待定系数(如f'(x0)等)时,应将待定系数看成常数进行求解.考点二导数运算的应用(多考向探究预测)考向1与导数运算有关的新定义问题例2(2024·山东烟台模拟)给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f'(x)存在,且导函数f'(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f″(x)=(f'(x))'.若f″(x)<0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数,以下四个函数在(0,)内不是凸函数的是(

)A.f(x)=cos

x+sin

x

B.f(x)=ln

x+3xC.f(x)=-x3+4x-8 D.f(x)=xexD规律方法导数新定义问题的求解策略新定义题型的特点是:通过给出一个新概念,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情境,要求考生在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的目的.遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、验证、运算,使问题得以解决.[对点训练1](2024·浙江杭州模拟)曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标,其定义为:若f'(x)是f(x)的导函数,f″(x)是f'(x)的导函数,则曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的曲率K=

.已知f(x)=cos(x-1)-ln

x,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的曲率为__________.

0考向2导函数性质的应用例3(2024·山东德州模拟)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,且f(x-1)为奇函数,f'(2-x)+f'(x)=2,f'(-1)=2,则

=(

)A.2025

B.2024 C.1013

D.1012B解析

由f'(2-x)+f'(x)=2,令x=1,得2f'(1)=2,所以f'(1)=1.由f(x-1)为奇函数,得f(x-1)=-f(-x-1),所以f'(x-1)=f'(-x-1),故f'(x)=f'(-x-2),①又因为f'(2-x)+f'(x)=2,②由①和②得f'(2-x)+f'(-x-2)=2,即f'(4-x-2)+f'(-x-2)=2,所以f'(x)+f'(x+4)=2,③令x=-1,得f'(-1)+f'(3)=2,得f'(3)=0;令x=1,得f'(1)+f'(5)=2,得f'(5)=1.又因为f'(x+4)+f'(x+8)=2,④由③-④得f'(x)-f'(x+8)=0,即f'(x)=f'(x+8),所以函数f'(x)是以8为周期的周期函数,故f'(7)=f'(-1)=2,所以f'(1)+f'(3)+f'(5)+f'(7)=1+0+1+2=4,=506[f'