重庆市綦江县2024届中考一模数学试题含解析

重庆市藜江县名校2024学年中考一模数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.《九章算术》是中国古代数学专著，《九章算术》方程篇中有这样一道题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十

步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”这是一道行程问题，意思是说：走路快的人走100步的时

候，走路慢的才走了60步；走路慢的人先走100步，然后走路快的人去追赶，问走路快的人要走多少步才能追上走路

慢的人？如果走路慢的人先走100步，设走路快的人要走x步才能追上走路慢的人，那么，下面所列方程正确的是（

)

x_x—100x_x-100xx+100xx+100

C.—=-------I).---=-------

'60-100100-606010010060

2.某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概

率是（）

4321

A.—B.—C.—D.一

5555

3.“绿水青山就是金山银山”.某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天

的工作效率比原计划提高了25%,结果提前30天完成了这一任务.设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则

下面所列方程中正确的是（）

60606060

A---------------

'x（1+25%）%(1+25%)X-T

60x(1+25%)60_D60_60x(1+25%)_30

xxXX

4.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70。方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达

位于灯塔P的北偏东40。的N处，则N处与灯塔P的距离为

A.40海里B.60海里C.70海里D.80海里

4

5.如图，A、B两点在双曲线y=—上,分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1,则Si+S2=（)

r2

6.若代数式_匚有意义，则实数x的取值范围是（）

x-2

A.x=0B.x=2C.x#0D.x#2

7.如图，BC//DE,若NA=35。，ZE=60°,则NC等于（）

C.25°D.20°

8.如图，AD是。。的弦，过点。作AD的垂线，垂足为点C,交。。于点凡过点A作。。的切线，交。尸的延长

线于点E.若CO=LAD=2y/3,则图中阴影部分的面积为

A.4-^/3—itB.2-y/3--7T

3

C.4V3--7TD.273-TT

3

9.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E,点A的对应点为点D,当点E恰好落在边AC上时,

连接AD,若NACB=30。，则NDAC的度数是（）

D

A.60B.65C.70D.75

10.实数a,b在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是（）

―L_U----------->

-2-1012

A.a+b=0B.b<aC.ab>0D.|b|<|a|

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.分解因式：ax?-2ax+a=.

12.在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45。角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1,0）,顶点A的

坐标（0,2）,顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲

线上时停止运动，则此时点C的对应点。的坐标为.

13.如图，将边长为«的正方形ABCD绕点A逆时针方向旋转30。后得到正方形A，B，C，D，，则图中阴影部分面积为

平方单位.

D'

14.如图，AABC中，ZACB=90°,ZABC=25°,以点C为旋转中心顺时针旋转后得到AA，BO,且点A在AE上，则

旋转角为________________

x-a>0

15.已知关于x的不等式组二、，只有四个整数解，则实数a的取值范是____.

5-2%>1

16.已知甲、乙两组数据的折线图如图，设甲、乙两组数据的方差分别为S,2、si,贝!JsM_s乙2（填“>”、“=”、

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）如图：求作一点P,使PM=PN,并且使点P到/A05的两边的距离相等.

19.（5分）计算：瓜-4cos45°+（-）-1+|-2|.

2

20.（8分）为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品.若购进A种纪念品8件，

B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元.

（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？

（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于

7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？

（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）间的各种进货方案中，哪一

种方案获利最大？最大利润是多少元？

21.（10分）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一.小强用所学知识对一条笔直公路上的车辆进行测速,

如图所示，观测点C到公路的距离CD=200m,检测路段的起点A位于点C的南偏东60。方向上，终点B位于点C的

南偏东45。方向上.一辆轿车由东向西匀速行驶，测得此车由A处行驶到B处的时间为10s.问此车是否超过了该路

段16m/s的限制速度？（观测点C离地面的距离忽略不计，参考数据：、历M.41,73=1.73）

22.（10分）某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球每筒的售价多15元，健民体育

活动中心从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元.该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各

是多少元？根据健民体育活动中心消费者的需求量，活动中心决定用不超过2550元钱购进甲、乙两种羽毛球共50筒,

那么最多可以购进多少筒甲种羽毛球？

23.（12分）（1）（问题发现）小明遇到这样一个问题：

如图1,△ABC是等边三角形，点D为BC的中点，且满足NADE=60。，DE交等边三角形外角平分线CE所在直线

于点E,试探究AD与DE的数量关系.

（1）小明发现，过点D作DF//AC,交AC于点F,通过构造全等三角形，经过推理论证，能够使问题得到解决，请

直接写出AD与DE的数量关系：；

（2）（类比探究）如图2,当点D是线段BC上（除B,C外）任意一点时（其它条件

不变），试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论.

（3）（拓展应用）当点D在线段BC的延长线上，且满足CD=BC（其它条件不变）时，

24.（14分）综合与探究:

如图，已知在△ABC中，AB=AC,NBAC=90。，点A在x轴上，点B在y轴上，点。（3,—1）在二次函数

13

y=-一炉+笈+一的图像上.

32

(1)求二次函数的表达式；

(2)求点A,B的坐标；

(3)把AABC沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求AABC扫过区域的面积.

参考答案

一、选择题(每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分)

1、B

【解题分析】

丫y_1Of)

解：设走路快的人要走x步才能追上走路慢的人，根据题意得：—.故选B.

10060

点睛：本题考查了一元一次方程的应用.找准等量关系，列方程是关键.

2、B

【解题分析】

试题解析：列表如下：

烫1勇2男3女1女2

男1——VV

H2—一VV

男3一—VV

女1VVV

女2VVV—

123

•••共有20种等可能的结果，P(一男一女)

故选B.

3、C

【解题分析】

分析：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米,根据工作时间=工作总量+工作效率结合提前30天完成任务，即

可得出关于x的分式方程.

X

详解：设实际工作时每天绿化的面积为X万平方米，则原来每天绿化的面积为-------万平方米,

1+25%

—————=3060x(1+25%)60

依题意得：xx，BnPn--------------------------=30.

1+25%xx

故选C.

点睛：考查了由实际问题抽象出分式方程.找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键.

4、D

【解题分析】

分析：依题意，知MN=40海里/小时x2小时=80海里，

•••根据方向角的意义和平行的性质，ZM=70°,/N=40。，

,根据三角形内角和定理得NMPN=70。..,.ZM=ZMPN=70°.

；.NP=NM=80海里.故选D.

5、D

【解题分析】

4

欲求Si+Si,只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积为双曲线y=—

的系数k,由此即可求出Si+Si.

【题目详解】

4

•.•点A、B是双曲线丫=—上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，

x

则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4,

.,.Si+Si=4+4-lxl=2.

故选D.

6、D

【解题分析】

根据分式的分母不等于0即可解题.

【题目详解】

V2

解：•••代数式一J有意义，

x-2

；.x-2邦，即x#2,

故选D.

【题目点拨】

本题考查了分式有意义的条件，属于简单题，熟悉分式有意义的条件是解题关键.

7、C

【解题分析】

先根据平行线的性质得出NCBE=NE=60。，再根据三角形的外角性质求出NC的度数即可.

【题目详解】

VBC^DE,

/.ZCBE=ZE=60°,

；NA=35。，ZC+ZA=ZCBE,

/.ZC=ZCBE-ZC=60°-35°=25°,

故选C.

【题目点拨】

本题考查了平行线的性质、三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键.

8、B

【解题分析】

由SBW=SiOAE-S扇形OAF，分别求出SAOAE、S扇形OAF即可；

【题目详解】

连接OA,OD

VOF1AD,

.,.AC=CD=V3,

在RtAOAC中，由tan/AOC=也知，ZAOC=60°,

则NDOA=120°,OA=2,

，R3OAE中，ZAOE=60°,OA=2

2

AE=26,SS«=SAOAE-S扇形OAF=一x2x26义兀x2=2A/3--".

23603

故选B.

【题目点拨】

考查了切线的判定和性质；能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中，是解答此题的关键要证某线是

圆的切线，对于切线的判定：已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可.

9、D

【解题分析】

由题意知：4ABHADEC,

：.ZACB=ZDCE=30°,AC=DC,

：.ZDAC=(180°-ZDCA)+2=(180°-30°)4-2=75°.

故选D.

【题目点拨】

本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等.②对应点与旋转中心

所连线段的夹角等于旋转角.③旋转前、后的图形全等.

10、D

【解题分析】

根据图形可知，a是一个负数，并且它的绝对是大于1小于2,b是一个正数，并且它的绝对值是大于0小于1,即可

得出|b|<|a|.

【题目详解】

A选项：由图中信息可知，实数。为负数，实数分为正数，但表示它们的点到原点的距离不相等，所以它们不互为相

反数，和不为0,故A错误；

B选项：由图中信息可知，实数”为负数，实数》为正数，而正数都大于负数，故B错误；

C选项：由图中信息可知，实数。为负数，实数匕为正数，而异号两数相乘积为负，负数都小于0,故C错误；

D选项：由图中信息可知，表示实数。的点到原点的距离大于表示实数b的点到原点的距离，而在数轴上表示一个数

的点到原点的距离越远其绝对值越大，故D正确.

选D.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11、a(x-1)

【解题分析】

先提取公因式a,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.

【题目详解】

解：ax'lax+a,

=a(x1-lx+l),

=a(x-1)I

【题目点拨】

本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式

分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.

.5

12、(一,0)

2

【解题分析】

试题解析：过点B作BDLx轴于点D,

ZOAC+ZACO=90°,

/.ZOAC=ZBCD,

在4ACO^ABCD中，

ZOAC=ZBCD

<ZAOC=ZBDC,

AC=BC

/.△ACO^ABCD(AAS)

/.OC=BD,OA=CD,

VA(0,2),C(1,0)

AOD=3,BD=1,

AB(3,1),

••・设反比例函数的解析式为y=-,

X

将B(3,1)代入y=V,

X

Ak=3,

.3

・・y=一,

X

3

・••把y=2代入y=—,

x

3

..x=—,

2

当顶点A恰好落在该双曲线上时，

3

此时点A移动了大个单位长度，

2

3

・・・C也移动了大个单位长度，

2

此时点C的对应点C，的坐标为(3,0)

2

故答案为(2,0).

2

13、6-2班

【解题分析】

由旋转角NBAB，=30。，可知/口人8，=90。-30。=60。；设B，。和CD的交点是O,连接OA,构造全等三角形，用S阴影

部分=S正方形-S四边形AB'OD，计算面积即可.

【题目详解】

解：设和CD的交点是O,连接OA,

VAD=AB\AO=AO,ZD=ZB,=90°,

/.RtAADO^RtAABrO,

:.ZOAD=ZOABr=30°,

：.OD=OB'=y[2，

S四边形AB,OD=2SAAOD=2Xx=2，

•,•S阴影部分=S正方形-S四边形AB'OD=6-2J?.

\B

TT

【题目点拨】

此题的重点是能够计算出四边形的面积.注意发现全等三角形.

14、50度

【解题分析】

由将△ACB绕点C顺时针旋转得到AA'B'C,即可得△ACB^AABCS则可得NA，=NBAC,△AAC是等腰三角

形，又由△ACB中，ZACB=90°,NABC=25。，即可求得NA、NB，AB的度数，即可求得NACB，的度数，继而求得

ZBCB的度数.

【题目详解】

•.•将△ACB绕点C顺时针旋转得到M'B'C,

Z\ACB四AA'B'C',

/.ZA^ZBAC,AC=CAS

，ZBAC=ZCAAr,

VAACB中,/ACB=90°,NABC=25。，

/.ZBAC=90o-ZABC=65°,

.•.ZBAC=ZCAA,=65°,

:.NB'AB=180°-65°-65°=50°,

:.NACB'=180°-25°-50°-65°=40°,

:.ZB,CB=90o-40°=50°.

故答案为50.

【题目点拨】

此题考查了旋转的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的性质.此题难度不大，注意掌握旋转前后图形的对应关

系，注意数形结合思想的应用.

15、-3<a<-2

【解题分析】

分析：求出不等式组中两不等式的解集，根据不等式取解集的方法：同大取大；同小取小；大大小小无解；大小小大

取中间的法则表示出不等式组的解集，由不等式组只有四个整数解，根据解集取出四个整数解，即可得出a的范围.

x-a>0①

详解：<

5-2x>l②,

由不等式①解得：x>a；

由不等式②移项合并得：-2x>-4,

解得：x<2,

二原不等式组的解集为a<x<2,

由不等式组只有四个整数解，即为1,0,-1,-2,

可得出实数a的范围为—3<aW-2.

故答案为—3<aW—2.

点睛：考查一元一次不等式组的整数解，求不等式的解集，根据不等式组有4个整数解觉得实数。的取值范围.

16、>

【解题分析】

要比较甲、乙方差的大小，就需要求出甲、乙的方差；

首先根据折线统计图结合根据平均数的计算公式求出这两组数据的平均数；

接下来根据方差的公式求出甲、乙两个样本的方差，然后比较即可解答题目.

【题目详解】

3+6+2+6+4+3

甲组的平均数为:-----------------------------------=4,

6

17

222222

甲2=一[(3-4)+(6-4)+(2-4)+(6-4)+(4-4)+(3-4)]=-,

6X3

4+3+5+3+4+5

乙组的平均数为:-----------------------------------=4,

6

Sz,2=-X[(4-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2]=-,

63

72

,•>—>一,

33

故答案为：>.

【题目点拨】

本题考查的知识点是方差，算术平均数，折线统计图，解题的关键是熟练的掌握方差，算术平均数，折线统计图.

17、--a6b3

8

【解题分析】

根据积的乘方和塞的乘方法则计算即可.

【题目详解】

原式=（--a2b）3=--a6b3,故答案为-工a6b七

288

【题目点拨】

本题考查了积的乘方和幕的乘方，关键是掌握运算法则.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、见解析

【解题分析】

利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法分别得出进而求出其交点即可.

【题目详解】

如图所示：P点即为所求.

【题目点拨】

本题主要考查了复杂作图，熟练掌握角平分线以及线段垂直平分线的作法是解题的关键.

19、4

【解题分析】

分析：

代入45。角的余弦函数值，结合“负整数指数塞的意义”和“二次根式的相关运算法则”进行计算即可.

详解：

点睛：熟记“特殊角的三角函数值、负整数指数幕的意义：ap（a/0,，为正整数）”是正确解答本题的关键.

ap

20、（1）A种纪念品需要100元，购进一件B种纪念品需要50元（2）共有4种进货方案（3）当购进A种纪念品50

件，B种纪念品50件时，可获最大利润，最大利润是2500元

【解题分析】

解：（1）设该商店购进一件A种纪念品需要a元，购进一件B种纪念品需要b元，

8a-3b=950

根据题意得方程组得：，...2分

'"+63=800

,a=100

解方程组得：〜

U»=50

二购进一件A种纪念品需要100元，购进一件B种纪念品需要50元...4分；

(2)设该商店购进A种纪念品x个，则购进B种纪念品有(100-x)个，

JOOx-50(100-x)i-500

•#•,・••6分

100A^50(100-^<-650

解得：50WXW53,...7分

:x为正整数，

二共有4种进货方案…8分；

(3)因为B种纪念品利润较高，故B种数量越多总利润越高，

因此选择购A种50件，B种50件.…10分

总利润=50x20+50x30=2500(元)

••・当购进A种纪念品50件，B种纪念品50件时，可获最大利润，最大利润是2500元.…12分

21、此车没有超过了该路段16m/s的限制速度.

【解题分析】

分析：根据直角三角形的性质和三角函数得出DB,DA,进而解答即可.

详解：由题意得：ZDCA=60°,ZDCB=45°,

.»,DBDB、

在RtACDB中，tanNDCB=------=-------1»

DC200

解得：DB=200,

,,DADArr

在RtACDA中，tanZDCA=-----=------=A/3,

DC200

解得：DA=200g"，

.\AB=DA-DB=20073-200M46米，

轿车速度丫=丝=14.6<16,

t10

答：此车没有超过了该路段16m/s的限制速度.

点睛：本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解答本题的关键是利用三角函数求出AD与BD的长度，难度

一般.

22、(1)该网店甲种羽毛球每筒的售价为60元，乙种羽毛球每筒的售价为45元；(2)最多可以购进1筒甲种羽毛球.

【解题分析】

(1)设该网店甲种羽毛球每筒的售价为X元，乙种羽毛球每筒的售价为y元，根据“甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽

毛球每筒的售价多15元，购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球共花费255元”，即可得出关于x,y的二元一次方

程组，解之即可得出结论；

(2)设购进甲种羽毛球机筒，则购进乙种羽毛球(50-m)筒，根据总价=单价x数量结合总费用不超过2550元，

即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论.

【题目详解】

(1)设该网店甲种羽毛球每筒的售价为x元，乙种羽毛球每筒的售价为y元，

x-y=15

依题意，得:

<2x+3y=255

x=60

解得：

y=45

答：该网店甲种羽毛球每筒的售价为60元，乙种羽毛球每筒的售价为45元.

(2)设购进甲种羽毛球机筒，则购进乙种羽毛球(50-m)筒，

依题意，得：60m+45(50-m)<2550,

解得：mWL

答：最多可以购进1筒甲种羽毛球.

【题目点拨】

本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一

次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.

23、(1)AD=DE；(2)AD=DE,证明见解析；(3)

3

【解题分析】

试题分析：本题难度中等.主要考查学生对探究例子中的信息进行归纳总结.并能够结合三角形的性质是解题关键.

试题解析：(10分)

(1)AD=DE.

(2)AD=DE.

证明：如图2,过点D作DF〃AC,交AC于点F,

VAABC是等边三角形，

.\AB=BC,ZB=ZACB=ZABC=60°.

又；DF〃AC,

: