湖南省岳阳市2022-2023学年高二年级下册期末数学试题（解析版）

2022-2023学年湖南省岳阳市高二下期末教学质量检测

数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1,已知集合4={+2一7%+10«0},3={X|W<5},则AB=()

A.0B.[2,5]C.[3,5]D,[-5,5]

【答案】B

【解析】

【分析】解不等式求出A3，从而求出交集.

【详解】A={x|x2-7x+10<0}={%12<%<5},B={x||x|<5)={x|—5<x<5},

则Ac5={x|2WxW5}=[2,5].

故选：B

z

2.已知i为虚数单位，z=3+i,则()

z+1

A.叵B.y/wC.D.7130

313

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的除法运算、共轨复数、复数的模等知识求得正确答案.

故选：A

3.已知向量。，。满足(〃+/?)•/?=2,且卜卜1,则向量d在向量人上的投影向量为()

A.1B.—1C.bD.—b

【答案】C

【解析】

【分析】由己知可求得。力=1,然后根据投影向量的公式，即可得出答案.

【详解】因为W=l,^a+b)-b=a-b+b~=2,

「1-cosx+sinx

6.已知--------------=-2,则tanx的值为（)

1+cosx+sinx

43

A.B.D.2

344

【答案】A

【解析】

Y

【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式先化已知角X为一，然后再由正切的二倍角公式求tanx.

2

1—|l-2sin*l2—+2sin—cos—2sin2—+2sin—cos—

1-cosx+sinxI2)22_222

【详解】-2=

1+cosx+sinx1+flcos2--1^1+28111-008-2cos2-+2sin-cos-

l2J22222

2sin-(sin—+cos-)

=---------------------------=tan—,

2cos—(cos—+sin-)一

2tan—

2x(-2)4

tanx=2

1—(—2)2

1-tan2—3

2

故选：A.

7.蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、

内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴

鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠的表面上有四个点

A,B,C,D,四面体A8CD的体积为之，8。经过该鞠的中心，且/3=6。=1,AB±BC,则该鞠

6

的表面积为（）

A.2兀B.1671C.871D.4兀

【答案】D

【解析】

【分析】取AC中点连接BM、OM,DN,易得AC为圆面ABC的直径，O暇，平面ABC,进而得

到ON1平面ABC,然后根据四面体ABC。的体积为变，可求外接球半径并求表面积.

6

【详解】如图，取AC的中点连接8M与球。交于另一点N,连接OM,DN,

易知AC为圆面A3C的直径，平面A8C,

因为。，M分别为瓦)，BN的中点，所以OM//DN,

所以ON1平面ABC,

V-—x—x1x1xDN——DN=V2,

lDy—ZAiBocC.rc，"

32o

J?

即在RtZVIBC中，AB=BC=1,

2

历

••BM=---,・,・BO=尺=1,・,•球。的表面积为S=4位之=4兀.

2

故选：D.

8.已知Q=0.16,b=e0-4-1，c=0.8-21nl.4,则mb,c的大小关系为()

A.a>c>bB.a>b>cC.b>a>cD.c>b>a

【答案】C

【解析】

【分析】〃与6可看作0.42与e°4—l,从而可构造函数/(%)=e"-l_炉比大小,

22

a与c可看作0.4与2(0.4—ln(l+0.4)),从而可构造函数g(x)=2x-21n(l+x)-x比大小.

【详解】构造函数/(x)=e*-l-x3x〉0),则/(x)=e*-2x,令/z(x)=e*-2x,贝!I

/2'(x)=e、—2.令”(x)=0,得x=ln2,所以人⑺在(0,In2)上单调递减，在(in2,y)上单调递

增，故丸⑴2/z(ln2)=2—21n2>0,因此“力在(0,+“)上单调递增，所以/(x)>/■⑼=0.令x

=0.4,则/(0.4)=e°4—I—O.42>0,所以eg—i>o16，BPa<b.

r\r\2

构造函数g(x)=2x—2ln(l+x)-x2(x>0),贝Ug'(x)=2—----2x=二^<0,因此g(%)在［0,+")

1+x1+x

上单调递减，所以g(x"g(O)=O,令x=0.4,则g(0.4)=0.8—21nL4—0.16<0,所以

0.8—21nl.4<0.16,所以c<a.故6>a>c.

故选：C.

【点睛】本题使用构造函数并利用函数的单调性判断函数值大小关系，在构造函数时首先把要比较的值变

形为含有一个共同的数值，将这个数值换成变量x就有了函数的形式，如在本题中。=0.16,&=e04-b

将a=0.16化为0.4?的目的就是出现0.4,以便与Z7=e°4—1中的0.4一致，从而只需比较>=必与

y=e*-1这两个函数大小关系即可.

在构造函数后比较大小还可以借助于函数不等式、切线不等式放缩等手段比大小.

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求)

cosBb

9.在vABC中，a,b,。分别为角A,B,C的对边，口□工KUn——'SABC=，且。=3,

cosC2a-c

则()

A.cosB=—B.sinB=C.a-c=y/3D・a+c=342

22

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用正弦定理边化角，再结合余弦定理即可求解.

cosB_b_sinB

【详解】解:

cosC2a-c2sinA-sinC

整理可得：sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB

可得sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA=2sinAcosB

A为三角形内角，sinAwO

cosB=—,sinB='3，故AB正确

22

・・・6£(0,万)，.♦.5=%

..Q_3A/3

•SABC-彳,b-3

/▲Caxcx旦旦c，

解得ac=3,

42224

由余弦定理得9=/+/—etc=(a+c>—3cle=(o+—9，

9—/+c?—ac—(a—c)2+cic—(a—+3,

解得a+c=3行，a-c=土娓,故C错误，D正确.

故选:ABD.

10.已知a>0,b>0,且a+Z?=4则下列结论一定正确的有（）

B.-U+^>2A/^F

A.(。+2〃)228。〃

[aJb

14

C,仍有最大值4D.—I—有最小值9

ab

【答案】AC

【解析】

【分析】A、C选项，分别根据基本不等式计算即可得到；B选项找出反例即可；D选项由基本不等式“1

的代换计算，漏除了4.

【详解】A选项，（。+2匕丫=。2+482+4出222/・2人+4。匕=8。6,A正确；

、11/T-

B选项，找反例，当。二人=2时，—/=+-7=-V2,2y/ab=4，~f=+-/7<2A/^,B不正确;

7a7byja7b

C选项，^：a+b=A>2y[ab./.ab<4,当且仅当Q=Z?=2时取“="，C正确；

141141b4a1ib4a9

D选项，—+—=—(—+—)(〃+>)=—(l+4+2+/)2—(5+2]2・』)=二，D不正确.

ab4ab4ab4\ab4

故选：AC.

11.下列命题中，正确的是（）

A.已知随机变量X服从正态分布N（l,b2）,若P（XV0）=0.2,则P（X<2）=0.8

B.“。<11”是“BxeR,7一？％+“<。”的充分不必要条件

C.用X表示九次独立重复试验中事件A发生的次数，0为每次试验中事件A发生的概率，若

石（X）=50,D（X）=30,贝Up=]

D.一组数据Xj巧，L,玉00的平均值为27,则玉+1,x2+1,L,玉00+1的平均值为28.

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据正态分布的对称性、充分和必要条件、二项分布、平均数等知识确定正确答案.

【详解】A选项，随机变量X服从正态分布N（l,cy2）,p（X<0）=0.2,

P（O<X<1）=0.5-0.2=0.3,

.-.P（l<X<2）=P（0<X<l）=0.3.

所以P（X<2）=0.5+0.3=0.8,故A正确；

B选项，.3xeR,%2-21+々<0，

A=4-4Q>0,「.QVI,

「.avll是玉:wR,x2-2x+a<0的必要不充分条件，故B错误；

C选项，因为随机变量服从二项分布5（八,p）,E（X）=50,D（X）=30,

2

所以叩=50,np（l-p）=30,解得'故C正确；

D选项，若数据耳，矛2,L,西00的平均值为27,

则X]+1+%+1+「+西二+1=芯+々+-+Xioo+10°=+%2+=+=00+]=28

100100100

故D正确.

故选：ACD

12.已知抛物线C:/=4x的焦点为歹，A,B为C上两个相异的动点，分别在点A,8处作抛物线C

的切线4，4，4与12交于点尸，贝U（）

A.若直线A5过焦点p，则点P一定在抛物线C的准线上

B.若点P在直线x+y+4=0上，则直线A5过定点（4,—2）

C.若直线AB过焦点产，则,A3P面积的最小值为1

D.若|A@=4,则一A3。面积的最大值为1

【答案】AB

【解析】

/2\/2、

【分析】设A不，%,B，P(布％)，与抛物线。相切的切线方程为

I4JI4)

x=my+b(b^O),与抛物线方程联立，求出直线A3的方程结合韦达定理可得用=-6,%=2口，根

据直线A3过焦点可判断A；根据点P在直线x+y+4=。上，把/=-4-%,代入直线AB的方程可

判断B；根据直线A3过焦点，求出|AB|,求出点尸到直线A3的距离，求出A3P面积由基本不等式

可判断C；由弦长公式求出可得点P(-42相)到直线阳-人=。的距离，再由基本不等式可得

面积最大值可判断D.

【详解】设A号，%,3号，%，*不，％)，与抛物线C相切的切线方程为

I4)【4)

x=my+Z?(Z?^O),

y2=4X…,

则｛9化间得9y-Amy-4/?=0,

x=my+b,

由A=0,可得人=—m2，

2v

将A点坐标代入方程％=加丁一加2,可得加2一+^=0,m=^~,

2

所以过A的切线方程为x=

2-4

2

同理，过B的切线方程为》=涯＞-&,

2-4

所以直线A3的方程为x0=^-y-x,

22

又/二年为一^-，①xo=^yo'②

联立①②可得毛=学，％=无支，

因为46在抛物线＞2=4x上，所以％+%=4瓶，%为=-46,

所以飞=-6,为=2根，

对于A,若直线A3过焦点/。，0),则匕=1，故/=-6=-1,

所以点尸一定在抛物线C的准线上，故A正确；

对于B,若点尸在直线x+y+4=。上，则/=-4一％,

代入直线A3的方程得—4—%=£丁—x,解得x=4,y=—2,

所以直线A5过定点（4,—2）,故B正确；

对于C,若直线AB过焦点*1，0），贝UP（-1,2m），

直线AB的方程为_1=阳_%,即％_阳_1=0,

吐》7田3^+2

16m2+8

+2=4m2+4，

4

J1

点P到直线AB的距离为~,——7=2J1+/，

+m2

1____2

所以ABP面积为S.x（4m2+4）x2jlKP=4（l+机2），24,当且仅当加=0时等号成立，故C

错误;

对于D,|AB|=&+"『.|必-9|=+苏.'（%+%不-4%%

=A/1W.716m2+16^=4-可得人=看一"落

/、\-b-2m2-b\mi2+b\

点P（-b,2in）到直线x-my-b=0的距离为J——一=2-1,1

+Jl+m2

当且仅当m=0时等号成立,

所以..ABP面积的最大值为工x4x2=4,故D错误.

2

【点睛】关键点点睛：利用与抛物线C相切的切线方程与抛物线方程联

立，由韦达定理得到人在直线与圆锥曲线的位置关系中，常常利用韦达定理解决相关问题.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.数据：2,5,7,9,1b8,7,8,10中的第80百分位数是.

【答案】10

【解析】

【分析】将数据按照从小到大顺序排序，根据百分位数的计算方法直接求解即可.

【详解】将数据按照从小到大顺序排列为：2，5,7,7,8,8,9,10,11；

.共有9个数据，9x80%=7.2,.•.第80百分位数即为从小到大的第8个数，

即第80百分位数为10.

故答案为：10.

14.已知圆f+y2-6x=0,过点（2,1）的直线被该圆所截的弦长的最小值为.

【答案】2s

【解析】

【分析】设圆心为C，直线过点。（2,1）,当直线与CD所在的直线垂直时d最大，弦长最小，求解即可.

【详解】将圆的一般方程化为（x—3）2+丁=9

设圆心为C,直线过点。（2/），与圆交于A,B两点，则。（3,0）,半径厂=3,

设圆心到直线的距离为d,则弦长=产一解,

当直线与CD所在的直线垂直时d最大，此时最小,

故答案为：2币.

，椭圆C的方程为二+y2=1；

4-

设M（x0,y0）,N（x0,-y0）,y0>0,可得尤=i一段,

直线A"的方程为：丁=一\（%+2）,

%+2

x+2x+2

DELAM,■■koE^-——,直线。E的方程：y=一」一（x-x0）,

%%

直线BN的方程：>=二1（%一2）,

%-2

%+2/、

y=----------（x-x0）

直线DE与直线BN的方程联立可得\1°,

Lxo-2

整理为："^（%-/）=“57（”一2），即（石—4）（%—%）=%—2）,

（x；_4）（x_%o）=4J（x—2）,计算可得4=4'；、，

代入直线DE的方程可得yE=「°+2.2“°=//=一金％,则二竺二：,

为55%5%4

又SBDE—；忸°口M一九一4

SDnv1IDFilI、，IYH5

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.已知函数/（X）=gsin2x+2cos2x+加在区间0g上的最大值为6.

(1)求常数冽的值;

⑵求使"x"4成立的x的取值集合.

兀J71

【答案】(1)3(2)x------ku<x<------Fku,左eZ>

1212

【解析】

JT

【分析】(1)先利用倍角公式和辅助角公式整理函数/(%)的解析式，根据函数/(X)在区间0,-上的

最大值为6,可得用的值；

先由)得+《7T

(2)/(xN4sin|2x>0,进而得2E〈2%+—W兀+2E,ZeZ,可得x的取值集合.

6

【小问1详解】

/(x)=V3sin2x+2cos2x+m=^sin2x+cos2x+m+1=2sin2x+—+m+l

,八兀717l7兀所以一;<sin(2x+看

由九£0,—,得+-T?--<1,

2666

JT

故当xe0,-时，/(X)的最大值为"2+3,

故%+3=6,

解得m=3.

【小问2详解】

由(1)得/(x)=2sin(2x+t1+4,

因为/(x)»4,所以sin]2x+E)2°,

兀

所以2E〈2%+—W兀+2E,左eZ,

6

7T757cT7

得------\-kit<x<----卜kit,keZ

1212

JT571

所以无的取值集合为《尤---+kn<x<—+E,keZ>

1212

18.设S“为等差数列｛4｝的前〃项和，且4=3,项=25.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)若4=2"T,令分=/2，求数列｛%｝的前几项和T”.

【答案】(1)4=2〃—1

(2)£=3+(2九-3>2"

【解析】

【分析】(1)根据已知条件求得力,d,由此求得a,.

(2)利用错位相减求和法求得7；.

【小问1详解】

设等差数列｛a“｝的首项为为,公差为d,

q+d=3

由题意，得<u5x4,一，

5aH----a=25

12

q—1

解得《，：.a=2/2-1.

d=2n

【小问2详解】

由已知北=l-2°+3-21+5-22++（2M-1）-2"-1,

故24=l-2)+3-21+5-^++(2/z-l)-2\

两式相减，得—<=1+22+23++2n-(2«-l)-2n=-3+(3-2«)-2\

所以〈=3+(2〃—3)2.

19.如图，在几何体ABCD跖中，菱形A3CD所在的平面与矩形应用;尸所在的平面互相垂直.

(1)若M为线段上的一个动点，证明：CM//平面ADE；

（2）若NRM>=60，AB=2,直线Cb与平面BCE所成角的正弦值为上士，求3户的长.

10

【答案】（1）证明见解析

（2）23或1

【解析】

【分析】（1）利用面面平行的性质定理证明；

（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量公式求解.

【小问1详解】

由题知，四边形5DER为矩形，所以BF//DE,

又因为5F二*平面4£>£,DEu平面ADE,所以5歹〃平面ADE,

同理可证BC//平面ADE,又因BCBF=B,BC、5尸u平面

所以平面BCF7/平面ADE,又因为CMu平面所以CM//平面ADE.

【小问2详解】

因为平面ABCD±平面BDEF,

且平面ABCDc平面BDEF=BD，DE±DB，

DEu平面BDEF,所以DE工平面ABCD

又因为底面ABCD为菱形，且NBAD=60，AB=2,

所以△板）为等边三角形，且A5=5D=2,设BF=a,

取A3的中点为G,连接。G,以。为坐标原点，分别以OG,DC，OE的方向为x轴、,轴、z轴正方向,

建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z,

则3（点1,0）,C（0,2,0）,E（0,0,a）,*6

则”=（6,—l,a）,BC=（-A1,O）,CE=（O,-2,a）,

n-BC=0-\/3x+y=0

设平面BCE的法向量为〃=(x,y,z),<

n-CE=0-2y+az=0

取X=l,则y=0,z=也,即〃=

设直线W与平面BCE所成角为。，则

ICF,77叵

sin3=|cos<CF,n>\=———

is•旧「kJ

化简可得々4—13^2+12=0，解得a=2退或a=1，

故BP的长可为2g或1.

20.为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模

式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经

过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M对乙队的每名

队员的胜率均为』，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为;.(注：比赛结果没有平局)

(1)求甲队明星队员M在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率;

(2)求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；

(3)若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员M上场的概率.

【答案】(1)三3

【解析】

【分析】(1)事件5="甲乙两队比赛4局甲队最终获胜“，事件4="甲队第/局获胜”，利用互斥事件的

概率求法求概率即可；

(2)讨论M上场或不上场两种情况，应用全概率公式求甲队获得最终胜利的概率；

(3)利用贝叶斯公式求甲队明星队员M上场的概率.

【小问1详解】

事件3="甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，

事件&="甲队第/局获胜”，其中，=1，2,3,4,4相互独立

若耳（1,1）,月（0,月），川也—⑹在双曲线上,

11

=1V2

/一层Z7=---

则，解得＜2，不满足aeN；

23

耳一屏二1b=l

若£（1,0）,虱发网,舄（0,-百）在双曲线上,

1o

一

2-一二1

。a=l

则

2，解得＜「，满足〃£N；

后历=6

一-

42二1

2

综上所述：双曲线C的方程为好-二=1.

3

【小问2详解】

设直线PA与直线的斜率分别为匕水2，

2P2B

如果直线/斜率不存在，则左1+&=0,不符合题设,

设直线/：y=kx+m,(m^l),B(x2,y2),

y=kx+m

1

联立《2y,整理得(3—左2)12—_3=0,

x----=1

3

‘3-42Ho

上2H3

2,//2\：<

2八22，化简得

A=4Fm+4(3-^)(m+3)>0加2—左2+3>0.

e2kmm2+3

则记x.x=-------

23-k2

y_kx-\-m^kx+m2kxiX]+(m-^)(x1+x2)-2m

贝qk[+k]~2x2=一1,

%工2—(再+%2)+1

整理得(2左+1)+(加-k—1)(%+4)+1—2相—0,

(2k+l)(nr+3)2km(m-k-1)

即—+1-2m=0，

3-k23-k2

化简得：k1+（2m+6jk+m2+6m—Q,解得上=-〃z-6或左=一/〃，

当左二一加时，直线/的方程为y=THX+加=一加

令x=l时，y=0,所以直线/过定点（l,o）,

又因为直线/不经过6点，不合题意；

当上=一加一6时，直线/的方程为丁=履一左一6=左（1-1）-6,

当x=l时，y=—6,所以直线/过定点（1,—6）；

综上所述：/过定点（1,-6）.

【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法

（1）动直线/过定点问题.解法：设动直线方程（斜率存在）为丁=依+乙由题设条件将r用上表示为

t=mk+n,^y=k（x+m）+n,故动直线过定点（一加,“）；

（2）动曲线C过定点问题.解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数

等于零，得出定点.

Z7Y

22.已知函数/（X）=ln（x+l）-----（6ZeR）.

x+1

（1）若〃龙）在区间（0,+8）上单调递增，求。的取值范围；

(2)证明：VHeN*----7=y||1---X——■-1---r\——<4

I24rl22Vn+1JI2V4n2-l)e

【答案】⑴(-8,1]

(2)证明见解析

【解析】

【分析】（1）直接求导，讨论和时函数的单调性即可求解;

（2）先通过分析法将要证结论转化为证

2V«2+1-1J++ln1+—/—,再结合(1)得到

(2A/4W2-1-1J

Y

ln（x+l）＞——,由累加法结合放缩、裂项相消即可证明.

x+1

【小问1详解】

1a{x+V)-ax_x-(«-l)

广（力=,当a<l时，Vxe(0,4<o),x-(a-l)>0,.•.当x>0

x+1(x+以(x+丁

时，〃尤）在区间（0,+"）上单调递增,

当a>l时，Vx«0,a—l),x-(a-l)<0,.•.当0<x<a—l时，/(x)<0,/(x)在区间

（0,a-1）上单调递减，不合题意,

若〃龙）在区间（0,+。）上单调递增，则实数0的取值范围为（—85.

【小问2详解】

c11

欲证1-<—,只需证

2-Jrr+lI274n2—i)e

2（2,4九2—1—1、

-1'n+1-1^1

A/«2+1J214n2—1</'

7

，中、Tn2〃^"2，/+12,4"-1

只需证e〃<―7=-X—言=~X,