福建2023-2024学年中考三模数学试题含解析

福建师范大第二附属中学2023-2024学年中考三模数学试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.在0,-2,3,百四个数中，最小的数是（）

A.0B.-2C.3D.75

2.把不等式组2［3x—-4，>>0。的解集表示在数轴上'正确的是（）

D-012

3.函数y=ax?+l与y=@（a,0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

4.如图，在边长为6的菱形A6CD中,NZMB=60°,以点。为圆心，菱形的高。少为半径画弧，交AO于点E,交CD于

点G,则图中阴影部分的面积是（）

A.18—3万B.18百一9万C.96一事D.186一3兀

5.某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进

件数比第一批多40%,每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x

件衬衫，则所列方程为（）

10000147001000014700

10=

A.--（l+40%）xB.丁+10=（1+40%）,

1°°°°147001°°°°14700

C-（l-40%）x-10=-D-（l-40%）x+10=-

6.吉林市面积约为27100平方公里，将27100这个数用科学记数法表示为（）

A.27.1X102B.2.71X103C.2.71xl04D.0.271X105

7.如图，二次函数y=ax?+bx+c（a/0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0,1）和（T,0）.下列结论：①ab<0,

②b?>4a,③0<a+b+c<2,④0<b<L⑤当x>-l时，y>0,其中正确结论的个数是

一人;

/JV

A.5个B.4个C.3个D.2个

8.如图，DE是线段AB的中垂线，AE//BC,/AEB=120，AB=8,则点A到BC的距离是（）

cB

A.4B.4GC.5D.6

9.根据《九章算术》的记载中国人最早使用负数，下列负数中最大的是（）

A.-1B.-C.rD.-n

tr.

10.将一把直尺和一块含30。和60。角的三角板ABC按如图所示的位置放置,如果NCDE=40。，那么NBAF的大小为

（）

C

A.10°B.15°C.20°D.25°

11.观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形共有（）个。.

o

oo

oo

oooooooooooooooooo

ooo

第4个

A.6055B.6056C.6057D.6058

12.如图，嘉淇同学拿20元钱正在和售货员对话，且一本笔记本比一支笔贵3元，请你仔细看图，1本笔记本和1支

笔的单价分别为（）

A.5元，2元B.2元，5元

C.4.5元，1.5元D.5.5元，2.5元

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.函数丁=石工+，；中自变量x的取值范围是

x—3

已知点A（2,4）与点B（b-1,2a）关于原点对称，则ab=

15.如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AFLDE于点O,那么方等于（

2小

亍

16.如图，在△ABC中，AB=AC=2逐，BC=1.点E为BC边上一动点，连接AE,作NAEF=NB,EF与△ABC

的外角/ACD的平分线交于点F.当EFLAC时，EF的长为.

17.正多边形的一个外角是60。，边长是2,则这个正多边形的面积为.

18.如图，一艘轮船自西向东航行，航行到A处测得小岛C位于北偏东60。方向上，继续向东航行10海里到达点B

处，测得小岛C在轮船的北偏东15。方向上，此时轮船与小岛C的距离为海里.（结果保留根号）

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）（2016山东省烟台市）某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了

旗杆的高度.如图2,某一时刻，旗杆的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长

3c为4米，落在斜坡上的影长CZ＞为3米，ABVBC,同一时刻，光线与水平面的夹角为72。，1米的竖立标杆P?在

斜坡上的影长。R为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1米）.（参考数据：sin72-0.95,cos72K0.31,tan72%3.08）

20.（6分）计算：（兀-3.14）O+|V2-1|-2sin45°+（-1）L

21.（6分）如图，一次函数丫=1«+1）的图象与反比例函数y=3的图象交于点A（4,3）,与y轴的负半轴交于点B,

x

连接OA,且OA=OB.

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）过点P（k,0）作平行于y轴的直线，交一次函数y=2x+n于点M,交反比例函数的图象于点N,若NM

x

=NP,求n的值.

22.（8分）如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径作半圆。O,交BC于点D,连接AD.过点D作DELAC,

垂足为点E.求证：DE是。。的切线；当。O半径为3,CE=2时，求BD长.

2-12-712|+4sin60°；

24.（10分）如图，在AABC中，NACB=90°,点P在AC上运动，点。在AB上，始终保持与K4相等，BD

的垂直平分线交于点E,交BD于F,

判断OE与OP的位置关系，并说明理由；若AC=6,BC=8,PA=2,

求线段DE的长.

25.（10分）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0,3）、B（3,4）、C（2,2）（正方形网

格中每个小正方形的边长是一个单位长度）.画出AABC向下平移4个单位长度得到的△AiBiCi,点G的坐标

是;以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2c2,使△A2B2c2与△ABC位似，且位似比为2：1,点C2的坐

标是；△A2B2C2的面积是平方单位.

26.（12分）（1）如图①已知四边形ABC。中，AB=a,BC=b,ZB=ZD=90°,求：

①对角线长度的最大值；

②四边形ABC。的最大面积；（用含。，沙的代数式表示）

（2）如图②，四边形ABC。是某市规划用地的示意图，经测量得到如下数据：AB=20cm,BC=30cm,ZB=120°,

ZA+ZC=195°,请你利用所学知识探索它的最大面积（结果保留根号）

阁②

27.（12分）咸宁市某中学为了解本校学生对新闻、体育、动画、娱乐四类电视节目的喜爱情况，随机抽取了部分学

生进行问卷调查，根据调查结果绘制了如下图所示的两幅不完整统计图，请你根据图中信息解答下列问题：

⑴补全条形统计图，“体育”对应扇形的圆心角是度；

⑵根据以上统计分析，估计该校2000名学生中喜爱“娱乐”的有人；

⑶在此次问卷调查中，甲、乙两班分别有2人喜爱新闻节目，若从这4人中随机抽取2人去参加“新闻小记者”培训,

请用列表法或者画树状图的方法求所抽取的2人来自不同班级的概率

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、B

【解析】

根据实数比较大小的法则进行比较即可.

【详解】

•.•在这四个数中3>0,、6>0,-2<0,

工-2最小.

故选B.

【点睛】

本题考查的是实数的大小比较，即正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的

反而小.

2、A

【解析】

分别求出各个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分并在数轴上表示出来即可.

【详解】

2x-4>00

[3->0②

由①，得xN2,

由②，得xVl,

所以不等式组的解集是：2Wx<l.

不等式组的解集在数轴上表示为：

-----Ij>——».

01234

故选A.

【点睛】

本题考查的是解一元一次不等式组.熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此

题的关键.

3、B

【解析】

试题分析：分a>0和a<0两种情况讨论:

当a>0时，y=ax2+l开口向上，顶点坐标为（0,1）；y=@位于第一、三象限，没有选项图象符合；

X

当aVO时，y=ax2+l开口向下，顶点坐标为（0,1）；y=@位于第二、四象限，B选项图象符合.

x

故选B.

考点：1.二次函数和反比例函数的图象和性质；2.分类思想的应用.

4、B

【解析】

由菱形的性质得出AD=AB=6,ZADC=120°,由三角函数求出菱形的高DF,图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面

积-扇形DEFG的面积，根据面积公式计算即可.

【详解】

:四边形ABCD是菱形，ZDAB=60°,

，AD=AB=6,ZADC=180°-60°=120°,

VDF是菱形的高，

/.DF±AB,

.,.DF=AD«sin60°=6x辿=3币,

2

,阴影部分的面积=菱形ABCD的面积-扇形DEFG的面积=6x373—於生券曳=18上月加

故选B.

【点睛】

本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键.

5、B

【解析】

根据题意表示出衬衫的价格，利用进价的变化得出等式即可.

【详解】

解：设第一批购进x件衬衫，则所列方程为：

10000—1470°_

一『1+40%*

故选B.

【点睛】

此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题关键.

6,C

【解析】

科学记数法的表示形式为axlO-的形式，其中lW|a|V10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移

动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负

数.

【详解】

将27100用科学记数法表示为：.2.71x104.

故选：C.

【点睛】

本题考查科学记数法一表示较大的数。

7、B

【解析】

解：,二次函数y=ax3+bx+c(a彳3)过点(3,3)和(-3,3),

•*.c=3,a-b+c=3.

①•.•抛物线的对称轴在y轴右侧，

b

x-------,x>3・

2a

•・•a与b异号.

ab<3,正确.

②•・•抛物线与x轴有两个不同的交点，

b3-4ac>3.

Vc=3,

Ab3-4a>3,BPb3>4a.正确.

④•・•抛物线开口向下，・・・aV3.

Vab<3,Ab>3.

Va-b+c=3,c=3,/.a=b-3..\b-3<3,即bV3./.3<b<3,正确.

③Ta-b+c=3,/.a+c=b.

:.a+b+c=3b>3.

Vb<3,c=3,a<3,

/.a+b+c=a+b+3<a+3+3=a+3<3+3=3.

.\3<a+b+c<3,正确.

⑤抛物线y=ax3+bx+c与x轴的一个交点为（-3,3）,设另一个交点为（X3,3）,则X3>3,

由图可知，当-3VxVx3时，y>3；当x>X3时，y<3.

・••当x>-3时，y>3的结论错误.

综上所述，正确的结论有①②③④.故选B.

8、A

【解析】

作AHJ_BC于H.利用直角三角形30度角的性质即可解决问题.

【详解】

解：作AHLBC于H.

EA=EB，

^EAB=^EBA,

NAEB=120,

.•./EAB=/ABE=30,

,AE//BC,

.•./EAB=/ABH=30，

/AHB=90，AB=8,

AH=-AB=4,

2

故选A.

【点睛】

本题考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线,

构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型.

9、B

【解析】

根据两个负数，绝对值大的反而小比较.

【详解】

解：•；—,＞一1＞一r＞F,

IV，

负数中最大的是-,.

故选：B.

【点睛】

本题考查了实数大小的比较，解题的关键是知道正数大于0,0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小.

10、A

【解析】

先根据NCDE=40。，得出NCED=50。，再根据DE〃AF,即可得到NCAF=50。，最后根据NBAC=60。，即可得出NBAF

的大小.

【详解】

由图可得,NCDE=40。，NC=90。，

.,.ZCED=50°,

又；DE〃AF,

.,.ZCAF=50°,

VZBAC=60°,

.,.ZBAF=60°-50o=10°,

故选A.

【点睛】

本题考查了平行线的性质，熟练掌握这一点是解题的关键.

11,D

【解析】

设第n个图形有a”个O（n为正整数），观察图形,根据各图形中O的个数的变化可找出"a“=l+3n（n为正整数）”，再代入

a=2019即可得出结论

【详解】

设第n个图形有小个为正整数），

观察图形，可知：ai=l+3xl,02=1+3x2,03=1+3x3,04=1+3x4,…，

.*.a„=l+3n(n为正整数)，

:.412019=1+3x2019=1.

故选：D.

【点睛】

此题考查规律型：图形的变化，解题关键在于找到规律

12、A

【解析】

可设1本笔记本的单价为x元，1支笔的单价为y元，由题意可得等量关系：①3本笔记本的费用+2支笔的费用=19

元，②1本笔记本的费用-1支笔的费用=3元，根据等量关系列出方程组，再求解即可.

【详解】

设1本笔记本的单价为x元，1支笔的单价为y元，依题意有：

3x+2y=20-lfx=5

.，解得：

x-y=3[y=2

故1本笔记本的单价为5元，1支笔的单价为2元.

故选A.

【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系设出未知数，列出方程组.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、x<2

【解析】

2-x>0

试题解析：根据题意得：｛。

x-37n0

解得：x<2.

14、1.

【解析】

由题意，得

b-l=-Lla=-4,

解得b=T,a=-l,

Aab=(-1)x(-l)=l,

故答案为1.

15、D

【解析】

利用△DAO与4DEA相似，对应边成比例即可求解.

【详解】

ZDOA=90°,ZDAE=90°,NADE是公共角，ZDAO=ZDEA

/.△DAO^ADEA

.AODO

"AE-DA

即也=竺

DODA

1

VAE=-AD

2

•A0..l

"l)O~2

故选D.

16、l+y/5

【解析】

当AB=AC,ZAEF=ZB时，ZAEF=ZACB,当EF±AC时，ZACB+ZCEF=90°=ZAEF+ZCEF,即可得至!jAE1BC,

2r-

依据RtACFG^RtACFH,可得CH=CG=-V5,再根据勾股定理即可得到EF的长.

【详解】

解：如图，

当AB=AC,NAEF=NB时，ZAEF=ZACB,

当EF±AC时，ZACB+ZCEF=90°=ZAEF+ZCEF,

/.AE±BC,

1

/.CE=-BC=2,

2

又，：kC=2亚,

AExCE4r-

.\AE=1,EG=------------=-V5,

AC5

f----------------2IT-

：•CG=y/cE2-EG2=-V5,

作FH_LCD于H,

VCF平分NACD,

/.FG=FH,而CF=CF,

/.RtACFG^RtACFH,

/.CH=CG=|x/5,

4；-

设EF=x,贝！］HF=GF=X--V5,

；R3EFH中，EH2+FH2=EF2,

22

...（2+2逐）2+（x.iV5）=x,

55

解得X=1+75，

故答案为1+6.

【点睛】

本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理以及等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是掌握等腰三角形的顶角

平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.

17、673

【解析】

多边形的外角和等于360。，因为所给多边形的每个外角均相等，据此即可求得正多边形的边数，进而求解.

【详解】

正多边形的边数是：360。+60。=6.

正六边形的边长为2cm,

由于正六边形可分成六个全等的等边三角形，

且等边三角形的边长与正六边形的边长相等，

所以正六边形的面积=6x^xsin60°x22=6j§cm\

一2

故答案是：6y/3•

【点睛】

本题考查了正多边形的外角和以及正多边形的计算，正六边形可分成六个全等的等边三角形，转化为等边三角形的计

算.

18、572

【解析】

如图，作BHLAC于H.在RtAABH中，求出BH,再在RtABCH中，利用等腰直角三角形的性质求出BC即可.

【详解】

如图，作BH_LAC于H.

在RtAABH中，VAB=10海里，ZBAH=30°,

，NABH=60。，BH=-AB=5（海里），

2

在RtABCH中，；NCBH=NC=45。，BH=5（海里），

/.BH=CH=5海里，

.•.CB=50（海里）.

故答案为：5血.

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、13.1.

【解析】

试题分析：如图，作CM〃AB交AD于M,MNLAB于N,根据?=鲤，可求得CM的长，在RTAAMN中利用三

CDQR

角函数求得AN的长，再由MN〃:BC,AB/7CM,判定四边形MNBC是平行四边形，即可得BN的长，最后根据

AB=AN+BN即可求得AB的长.

试题解析：如图作CM〃AB交AD于M,MN_LAB于N.

由题意里骂，BP—=-,CM=2

CDQR322

在RTAAMN中，VZANM=90°,MN=BC=4,ZAMN=72°,

..”Abi

..tan72=——,

NM

，ANH2.3,

VMN/7BC,AB//CM,

四边形MNBC是平行四边形,

3

/.BN=CM=-,

2

/.AB=AN+BN=13.1米.

考点：解直角三角形的应用.

20、-1

【解析】

直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数塞的性质化简，进而求出答案.

【详解】

原式=1+虚—1—2x曰+(—1)

=—1.

【点睛】

考核知识点：三角函数混合运算.正确计算是关键.

12

21、20(1)y=2x-5,y=—；(2)n=-4或n=l

x

【解析】

(1)由点A坐标知OA=OB=5,可得点B的坐标，由A点坐标可得反比例函数解析式，由A、B两点坐标可得直线

AB的解析式；

(2)由k=2知N(2,6),根据NP=NM得点M坐标为(2,0)或(2,12),分别代入y=2x-n可得答案.

【详解】

解：(1)•.•点A的坐标为(4,3),

OA=5,

VOA=OB,

.*.OB=5,

•.,点B在y轴的负半轴上，

二点B的坐标为(0,-5),

将点A(4,3)代入反比例函数解析式y=@中，

X

12

・・・反比例函数解析式为y=—,

x

将点A(4,3)、B(0,-5)代入y=kx+b中，得：

k=2>b=-5,

...一次函数解析式为y=2x-5；

(2)由(1)知k=2,

则点N的坐标为(2,6),

VNP=NM,

点M坐标为(2,0)或(2,12),

分别代入y=2x-n可得：

n=-4或n=l.

【点睛】

本题主要考查直线和双曲线的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及分类讨论思想的运用.

22、(1)证明见解析；(2)BD=26.

【解析】

(1)连接OD,AB为。。的直径得NADB=90。，由AB=AC,根据等腰三角形性质得AD平分BC,即DB=DC,贝!J

OD为△ABC的中位线，所以OD〃AC,而DELAC,则ODLDE,然后根据切线的判定方法即可得到结论；

(2)由NB=NC,NCED=NBDA=90。,得出△DECs^ADB,得出空=乌，从而求得BD«CD=AB«CE,由BD=CD,

BDAB

即可求得BD2=AB・CE,然后代入数据即可得到结果.

【详解】

VAB为。0的直径,

.\ZADB=90°,

；.AD_LBC,

VAB=AC,

AAD平分BC,即DB=DC,

；OA=OB,

.•.0口为4ABC的中位线，

/.OD/7AC,

VDE±AC,

AOD1DE,

；.DE是。0的切线；

(2)VZB=ZC,NCED=NBDA=90。，

/.△DEC^AADB,

.CECD

••一9

BDAB

；.BD-CD=AB・CE,

VBD=CD,

/.BD2=AB»CE,

；。0半径为3,CE=2,

-,.BD=76x2=273.

【点睛】

本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点且与半径垂直的直线为圆的切线.也考查了等腰三角形的性质、三角形

相似的判定和性质.

23、1.

【解析】

分析：本题涉及乘方、负指数幕、二次根式化简、绝对值和特殊角的三角函数5个考点.在计算时，需要针对每个考

点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.

详解：原式=1+4-(273-2)+4x3,

2

=1+4-26+2+26，

=1.

点睛：本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟练掌握负整

数指数塞、零指数幕、二次根式、绝对值等考点的运算.

24、(1)DELDP.理由见解析；(2)DE=—.

4

【解析】

(1)根据PE)=JR4得到NA=NPDA,根据线段垂直平分线的性质得到N£DB=N3,利用NA+/B=90°,得到

ZPDA+ZEDB=90°,于是得到结论；

(2)连接PE,设DE=x,则EB=ED=x,CE=8-x,根据勾股定理即可得到结论.

【详解】

(1)DEA.DP.理由如下，

,/ZACB=9Q°,

：.ZA+ZB=90°,

■:PD=PA,

：.ZPDA=ZA,

垂直平分3。，

:.ED=EB,

:.ZEDB=ZB,

：.ZPDA+ZEDB=90°,

:.ZPDE=180°-ZPDA-ZEDB=90°,

即DELDP.

(2)

连接PE,设=

由(1)BE=DE=x>CE-BC—BE=8—x,又PD=PA=2,PC=C4—H4=6—2=4,

；NPDE=NC=90。,

:.PC2+CE~=PD2+DE2=PE2,

/.22+X2=42+(8-X)\

1919

解得x=—，即。E=—.

44

【点睛】

本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线解题的关键.

25、(1)(2,-2)；

(2)(1,0)；

试题分析：(1)根据平移的性质得出平移后的图从而得到点的坐标;

(2)根据位似图形的性质得出对应点位置，从而得到点的坐标；

(3)利用等腰直角三角形的性质得出AAzB2c2的面积.

试题解析：(1)如图所示：Ci(2,-2)；

故答案为(2,-2)；

(2)如图所示：C2(1,0)；

故答案为(1,0)；

(3)V=20,B2C；=2Q，：3=40,

△A2B2c2是等腰直角三角形，

AA2B2C2的面积是：2X2.X;..,7=1平方单位.

2

考点：1、平移变换；2、位似变换；3、勾股定理的逆定理

cc/«、g厂

26、(1)①Ja?—+b27；—②-------------2--a-b-(2)150百+475夜+475.

4

【解析】

(1)①由条件可知AC为直径，可知30长度的最大值为AC的长，可求得答案；②连接AC,求得A02+C02,利用

不等式的性质可求得AO・C。的最大值，从而可求得四边形ABCD面积的最大值；

(2)连接AC,延长C3,过点A做AELC3交C3的延长线于E,可先求得ZkABC的面积，结合条件可求得

45°,且A、C、。三点共圆，作AC、CZ)中垂线，交点即为圆心。，当点。与AC的距离最大时，△AC。的面积最大,

AC的中垂线交圆。于点。，交AC于凡尸少即为所求最大值，再求得

△ACZK的面积即可.

【详解】

(1)①因为/8=/。=90。，所以四边形ABC。是圆内接四边形，AC为圆的直径，则3。长度的最大值为AC,此时

即=耳+52，

②连接AC,则AC2=A52+5C2=，+"=AO2+CZ)2,S^ACD^-ADCD<-(AD2+CD2)=-(a2+Z>2),所以四边

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形A3C。的最大面积=