2024届北京市学高三年级下册数学统练试卷二（解析版）

下学期数学统练二

(高21级)2024.3

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项.

1.抛物线的焦点坐标为()

A，1一3°]R"C.(TO)D.(1,0)

【答案】B

【解析】

【分析】由抛物线的方程即可确定焦点位置和焦点坐标.

【详解】由抛物线的方程F=2x可知，抛物线的焦点位于x轴正半轴，由2。=2,可得：言=g,即焦

点坐标为.

故选：B.

2.已知集合2={32工—3x〉0},B={0,l,2,3,4},则幺口5=()

A.{0}B.{1,2,3}C.{0,4}D.{3,4}

【答案】C

【解析】

【分析】根据所给集合，把集合B中元素代入集合A中检验即可得解.

【详解】由2={/2'—3x〉0},8={0』,2,3,4},

把0,1,2,3,4代入2、—3x〉0检验，可得0,4成立，

故ZcB={0,4},

故选：C

3.曲线y=/(x)与曲线V=cosx关于x轴对称，则()

A./(x)=sinxB./(x)=-sinxC./(x)=cosxD./(x)=-cosx

【答案】D

【解析】

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【分析】根据两个函数图象关于X对称，利用对称性求解解析式即可.

【详解】设y=图象上任意点尸(X/),

则P点关于X轴对称的对称点P'(x,-内在^=cosx图象上，

所以_>=cosx,即y=—cosx,

所以/(x)=-cosx.

故选：D

4.已知数列｛%｝为等差数列，也｝为等比数列，%="=4,则()

A,贴52a3%B,bi+bi>a3+a5C.b3b5<a3a5D,b3+b5<a3+a5

【答案】A

【解析】

【分析】根据等差数列、等比数列的性质，利用二次函数及均值不等式可得解.

【详解】因为数列｛%｝为等差数列，所以%+%=2%=8，

因为｛4｝为等比数列，所以贴$=才=16,

2

而a3a5=(8-a5)a5=-aj+Sa5=-Q-4)+16<16,

所以用a>a3a5,故A对C错；

因为%+%=8,而%a可同为正数也可同为负数，

当a，&<0时，b3+b5<a3+a5,当4也>。时，"+4-2db3b5=8»/+%

所以%+%，a+々大小不确定，故BD错误.

故选：A

5.如图，在口OACB中，E是AC的中点，F是BC上的一点，且BC=3BF,若云=m^+〃而，其中m,

neR,贝!]m+n的值为()

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【解析】

【分析】根据题意将双用基底向量方,无表示出来，然后通过基底向量进行计算.

【详解】在平行四边形中瓦=而，赤=%,*=况+砺

因为E是AC中点，

所以近=!正=,砺

22

所以赤=03+冠=厉+工砺,

2

因为5C=3B/

所以而=1就=工刀

33

所以砺=砺+而=砺+1次

3

因为OC=mOE+nOF

4

m+—n=\m=—

35

1,解得＜

3

~m+n=\n=一

[25

所以m+n=—

5

故选C

【点睛】本题考查向量的运算，解题的关键是找到一组基底，将所求向量用基底表示，然后再进行运算.

6.已知彳表示复数Z的共轨复数，Z]/2为非零复数，"Z]Z2eR”是“存在非零实数右使得马=此2”（）

A,充分不必要条件B,必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】求出Z]Z2cR的等价条件ad+bc=O,4=/^的等价条件。=化,6=—以，分别讨论复数为纯虚

数，实数，a,b,c,d都不为0的情况，结合充分条件、必要条件可得解.

【详解】设

Z]=a+bi,z2=c+di(a,b,c,deR),

则

zx-z2=(ac-bd)+(ad+bc)i,

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若2逐2€R,则ad+Z?c=0,

若Z[=，Z2，则a+bi=—w0）,即a=Jc,b=Td,

由于4/2为非零复数，所以，当a=0,c=0,6wO,d。0时，满足ad+/?c=O,

此时存在非零实数，，使。=%/=-4成立，反之亦成立；

当b=d=O,a。0,。。0时，满足ad+/?c=O,此时存在非零实数"使。=%,6=-以成立，反之亦成立;

ac

当aw0,6w0,cw0,dw0时，满足ad+bc=O,则ad=-be,即一=——，

bd

所以a=tc,b=Td,反之亦成立；

综上，“平26"是“存在非零实数/,使得4="”成立的充要条件.

故选：C

7.斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如下

图是重庆千厮门嘉陵江大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.已知拉索上端相邻两个锚的间距

|学=1,2,3,L,9）均为3.4m,拉索下端相邻两个锚的间距=1，2,端L,9）均为16m.最短拉

索的锚8，4满足制=66m,|（?4]=86m,则最长拉索所在直线的斜率为（）

A.±0.47B.±0.45C.±0.42D.±0.40

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意利用已知长度可分别计算|。40|,|。40|,再利用斜率的定义可解.

【详解】根据题意，最短拉索的锚耳，4满足|。用=66m,|O4|=86m,

且|单浦«=1,2,3,L,9）均为3.4m,拉索下端相邻两个锚的间距|44+」«=L2,3,L,9）均为16m,

则|=|。41+144。|=86+9x16=230,即点&（230,0）,

同理吕。（-230,0）,

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又\OPW\=\OP,\+电oI=66+9x3.4=96.6,即点又（0,96.6）,

96.6-0"42,

二

所以的尸—0.42,k‘即t勺。

Aono0-230

故选：c.

8.已知三棱锥S—NBC中,SC=2&AB=2,E,歹分别是S4,BC的中点，EF=1,则跖与所

成的角大小为（）

71717171

A.一B.一C.—D.一

2346

【答案】B

【解析】

【分析】取SS的中点G,然后根据异面直线所成角的定义证明NGE/（或其补角）是£尸与48所成的

角，进而求得答案.

【详解】取部的中点G,连接GF,GE,如图,

又E为”的中点，所以EG//4B,EG=L48=1,同理可得GE//SC,GE=LSC=G,

22

所以NG£E（或其补角）是£尸与48所成的角.

取GE的中点连接EH,则尸，

所以sin/HM=—=—^NHEF=-，

EF23

2兀7T

则NGEE=——，所以E尸与48所成的角为一.

33

故选：B.

9.已知函数/（x）=,l["刊若实数2,0],贝！||/（x）—/（—1）|在区间阿，加+2]上的最大值

x-2x,x>0

的取值范围是（）

A.[1,4]B.[2,4]C.[1,3]D.[1,2]

【答案】D

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【解析】

【分析】

先求出〃T)=1，进而可知|/(x)—/(—l)|=|/(x)—1],由机直一2,0],可知区间[掰，冽+2]口[—2,2],且

该区间长度为2,然后画出函数/(x)的图象，进而可得到y=|/(x)-1|在[-2,2]上的图象，结合图象可求

得^=1/(幻-1|在区间[见加+2]上的最大值的取值范围.

【详解】由题意，当x4-l时，/(x)=x+2；当一l<x<0时，f(x)=-x；当xNO时，f(x)=x2-2x.

所以〃一1)=1,则"(X)―/(-1)1=1/(X)—11，

因为加e[-2,0],所以区间[7%加+2]7[—2,2],且该区间长度为2.

作出函数/(x)的图象，如图1，进而可得到^=|/(》)-1]在[-2,2]上的图象，如图2,

根据图象可知y=|/(x)-11在区间“am+2]上的最大值的取值范围是工2].

【点睛】本题考查函数图象的应用，考查分段函数的性质，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属

于中档题.

10.已知半圆C：x2+V2=1(^>0),A、B分别为半圆C与x轴的左、右交点，直线m过点B且与x轴

垂直，点P在直线m上，纵坐标为t,若在半圆C上存在点Q使N3尸。=5,则t的取值范围是()

A.[一行^,0)。(0,向B-[-^3,0)u(0,

C.[―，,0)U(0,g]D.[一手,0)U(0,手]

【答案】A

【解析】

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【分析】根据题意，设尸。与X轴交于点7,分析可得在RtZ^T羽中，|*=口|阳=口㈤，分。在X

33

轴上方、下方和X轴上三种情况讨论，分析|87|的最值，即可得力的范围，综合可得答案.

【详解】根据题意，设园与x轴交于点7,则|必|="|,

兀

由于彼与X轴垂直，且NBPQ=—,则在Rt△阳T中，

3

\BT\=—\PB\=—\t\,

33

当户在x轴上方时，尸7与半圆有公共点0,PT与半圆相切时，有最大值3,此时t有最大值百，

当尸在x轴下方时，当0与/重合时，有最大值2,有最大值2叵，则t取得最小值—2叵，

33

t=0时，户与方重合，不符合题意，

则力的取值范围为［—答，0)u(0，V3］；

-2U

【点睛】本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于中档题.

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分.

11.在(1—2x)5—(1—x)4的展开式中，含V项的系数为.

【答案】-76

【解析】

【分析】利用组合方法分别求出展开式中含V项，合并同类项即可得解.

【详解】由组合知识知，(1-2x)5展开式中含/的项为c：(-2x)3=_80/,

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(1—x)4的展开式中含V的项为C：(—x)3=—4d,

合并同类项可得—80d—(―4/)=-76/,即含/项的系数为—76.

故答案为：-76

12.请写出一个焦点在〉轴上，且与直线y=2x没有交点的双曲线的标准方程：.

【答案】匚-必=1(答案不唯一)

4

【解析】

【分析】根据双曲线的渐近线与双曲线无交点，即可得到满足条件的双曲线可以为=2(彳〉0),即

可求解.

2

【详解】与直线J=2x没有交点，则j=2x可以作为双曲线的渐近线,故满足"-/="彳〉0),取％=1,

则满足条件的一个双曲线方程可以为且-V=i.

4

故答案为：^-x2=l

4

13.已知函数/(x)=9+办+同在区间[0,4]上的最大值为跖当实数°,6变化时,M最小值为.

【答案】2

【解析】

【分析】/(x)=|x2-4x-[-(tz+4)x-Z)]|,则M即为函数g(x)=/一4x与函数h(x)=-(a+4)x-b图

象上点的纵向距离的最大值中的最小值，作出函数图象，由图象观察即可得出答案.

【详解】/(x)=|x2-4x+(a+4)x+b|=|x2-4x-[-(a+4)x-Z)]|,

上述函数可理解为当横坐标相同时，函数g(x)=/—4x,xe[0,4]与函数=-(a+4)x-b,xe[0,4]

图象上点的纵向距离，

则”即为函数g(x)=V—以与函数%(x)=-(a+4)x-b图象上点的纵向距离的最大值中的最小值，

作出函数g(x)"(x)图象，如图，

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由图象可知，当函数/z(x)的图象刚好为了=-2时此时。=-4,6=2,M取得最小值为2.

故答案为：2

14.已知函数/(x)=sin(0x+°),其中0>0,且恒成立，/(x)在^上单调,

则(0的取值范围是,

【答案】［o,|

【分析】由|〃x)|"0)可知说)=1,则夕专-詈+2®，"Z,由正弦函数的单调性建立不等式组，解之

即可求解.

【详解】由题意知，|/(x)|</(5,则/G)=l,即sinGo+°)=l,解得夕?+2板丘Z.

66626

,715兀八/口〃>兀兀

由一<x<—,69〉0,得--\-(p<cox+(p<-------F(p,

3636

71371_,712o)Tt_T

nrt—l-----F2kli<cox+夕<—l--------F2左7兀4£Z,

2623

若函数/(x)在(工型)上单调递增，贝IJ一乙+2祈4乌+丝+2kit<-+—+%M来印eZ,

36226232

兀C7,兀刃兀

-----F2左兀<—+-----Fi207kjl

226CO>-6

兀①兀-,71兀

即H------F2左兀<-+——+2kn,上cZ,解得G>0,则不等式组无解;

12623

0Vo

兀2〃沉一71一

【2++ZkTiV+2kit

32

若函数仆)在上单调递减，贝吟+2E甘+干+2加<尹等+如吟+如匕eZ,

第9页/共22页

兀_,兀

76971_7

—+2左兀<—+-----F2左兀

226co>0

口口兀G兀C7兀2G兀〜keZ,解得卜＞。，则0＜。/，

即〈—I----F2ATI<—I-----F2左兀，

2623一32

兀2G兀,3兀…

—I-----F2kliV-----F2左兀

1232

所以实数。的取值范围为

故答案为：(0,1]

15.数列｛4｝的前«项和为S“，若数列｛%｝与函数/(X)满足:①/(X)的定义域为R；②数列｛%｝与函数/(X)

均单调递增；③m〃eN*使S“=/(a〃)成立，则称数列｛4｝与函数/(刈具有“单调偶遇关系”.有下面四个

结论：

(1)%=2〃+1与/(x)=x具有“单调偶遇关系”

(2)%=2"与/(x)=2x-2不具有“单调偶遇关系”

(3)与数列｛2〃+1｝具有“单调偶遇关系的函数有有限个

(4)与数列｛2"｝具有"单调偶遇关系”的函数有无数个

其中正确结论的序号为.

【答案】(1)(4)

【解析】

【分析】根据“单调偶遇关系”的新定义可判断选项(1),(2)；以一次函数为例，/(x)=Ax+3可判断(3)；

令=通过计算可判断(4),进而可得正确选项.

【详解】对于(1)：数列｛%｝中，由%=2〃+1可知任意两项不相等，/(x)=x定义域为R满足①，数

列4=2〃+1和/(x)=x均单调递增满足②，｛4｝的前“项和S),=〃(3+2〃+1)=/+2”,由

5“=/(。“)得/+2〃=2〃+1，解得〃=1，所以加eN*使S〃=/(a,)成立‘满足③,故(1)正确;

对于(2)：数列｛4｝中，由g=2"可知任意两项不相等，/(x)=2x—2定义域为R满足①，数歹Ua“=2"

和/(x)=2x—2均单调递增满足②，｛%｝的前"项和S“=2向—2,由S“=得2向—2=2x2"—2

恒成立，所以加eN*使8“=/(%)成立满足③，故

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=2"与/（力=2%-2具有“单调偶遇关系”，故⑵说法不正确;

2

对于（3）：以一次函数为例，f[x｝=kx+b,Sn=n+2n,Sn=/（＜2„）,即〃？+2〃=左（2〃+l）+b整理

得〃2+（2—2左）（左+6）=0,只要方程有正整数解且左＞0即可，如方程中取〃=1,则有3=3k+6,

即左=1-g,对6进行不同的取值即可保证数列｛2〃+1｝具有“单调偶遇关系”的函数有无数组，故（3）说

法不正确；

2

对于（4）：中S.=2"+i—2,令=由S,=/（a“）得2向—2=4x2"，取4=2—三即可保证

Sn=/（4）恒成立,故选项（4）正确,

故答案为：（1）（4）.

三、解答题共6道小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

16.如图，在A4BC中，AB=2,cos3=1，点。在线段5C上.

3

(II)若BD=2DC,A4CD的面积为逑，求竺刍竺■的值.

3sinZCAD

Q

【答案】⑴-；(2)472.

【解析】

【详解】(1)在三角形中，•••cos5=1,.•"吊8=迪.

33

在A48D中，由正弦定理得———=也，

sinZADBsinB

又AB=2,ZADB=~,sinB=^./.AD=-.

433

(II)*.*BD=2DCfS*BD~2sMDC，;队建*虹零

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又S“DC=§也，S^BC=4A/2,

SMRC=—ABBCsin/ABC,BC=6,

S..„=-AB-ADsinABAD,S=-ACADsinACAD,

LX/1DnUiMs/iUnLr2

sinZBADAC

SWBD~2s，................-2'-----

AsinZCADAB'

在AABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2一2ABBCcos/ABC.

,l.sinZBADAC“后

••AC—4V2，•-------------=2------=4\2.

7sinZCADAB

17.某大学N学院共有学生千余人，该学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，按性别分层抽样，已

知/学院男生与女生人数之比为16：9,从该学院所有学生中抽取若干人作为样本，对样本中的每位学生在

5月份的累计跑步里程进行统计，得到下表.

跑步里程s(km)0<5<3030<5<6060<5<905>90

男生a9106

女生6642

用样本频率估计总体概率,

(1)求a的值，并估计从N学院所有学生中抽取一人，该学生5月份累计跑步里程s(km)在［0,30)中

的概率；

(2)从N学院所有男生中随机抽取2人，从N学院所有女生中随机抽取2人，估计这4人中恰有2人在5

月份的累计跑步里程不低于60km的概率；

(3)该大学8学院男生与女生人数之比为X,5学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，也按性别

进行分层抽样已知A学院和B学院的样本数据整理如下表.

5月份累计跑步里程平均值(单位：km)

学院性别AB

男生5059

女生4045

设/学院样本中学生5月份累计跑步里程平均值为乙，3学院样本中学生5月份累计跑步里程平均值为马，

是否存在X,使得乙如果存在，求的最大值；如果不存在，说明理由.

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13

【答案】（1）a=7,概率为历

⑵得

（3）存在满足条件的X,且X的最大值为工

9

【解析】

【分析】（1）先根据男女比即可求出。，再根据古典概型即可求出所求概率;

（2）先分别求出在/学院所有男生中任取1人，跑步里程不低于60km的概率及在/学院所有女生中任取1

人，跑步里程不低于60km的概率，再根据乘法公式求解即可;

（3）设8学院女生人数为x,则男生人数为Xx,求出％,xB，即可得到不等式，解得即可.

【小问1详解】

tz+9+10+616.,

依题息------------=—,解得<2=7,

6+6+4+29

__________1+6__________13

所以在［0,30）中的概率为

7+9+10+6+6+6+4+250

【小问2详解】

A学院所抽取的学生中男生有7+9+10+6=32人，

其中5月份的累计跑步里程不低于60km有10+6=16人，

女生有6+6+4+2=18人，

其中5月份的累计跑步里程不低于60km有4+2=6人，

所以在4学院所有男生中任取1人，跑步里程不低于60km的概率为—

322

在N学院所有女生中任取1人，跑步里程不低于60km的概率为9，

183

所以4人中恰有2人累计跑步里程不低于60km的概率为

【小问3详解】

设2学院女生有x人，则男生有人,

一1659八232

x——x50H----x40-------,

“A25255

——592x+45%592+45

xR----------

Ax+x2+1

—口口232592+45

依题思xA>xB,即—^―>--―--

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显然2〉0,解得0<2<,，所以2的最大值为

99

18.四棱锥P—48CD中，底面48c。为平行四边形，平面尸48_1_平面48CD,PALAB,E为棱PA

的中点，过点8,C,£的平面交棱PD于点足

（1）求证：F为PD中点、;

（2）若归/|=|45|=2,怛。|=3,再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使四棱锥唯一确定,

求二面角D-CF-E的余弦值.

条件①：PC1BD

条件②：|尸。|=忸。|

条件③：PC与平面45CD所成角的正切值为2

如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计

分.

【答案】（1）证明见解析

（2）选条件①：不合题意；选条件②：-2；选条件③：-2；

55

【解析】

【分析】（1）根据线面平行的判定定理及性质定理可得结果；

（2）选条件①：根据面面垂直的性质定理结合已知，不合题意；选条件②：根据面面垂直的性质定理结合

已知，建立空间直角坐标系，由向量法求二面角可得结果；选条件③：根据面面垂直的性质定理得NFC4为

PC与平面A8CD所成角，建立空间直角坐标系，由向量法求二面角可得结果.

【小问1详解】

因为四边形/BCD为平行四边形，所以BC//4D,

又平面P/。，40u平面尸40,所以5C//平面P4D,

又BCu平面CBEF,平面CBEFn平面PAD=EF,

所以BC//EF,所以EF//4D,又E为棱PZ的中点，

所以歹为尸。中点.

【小问2详解】

选条件①：

第14页/共22页

因为平面尸48,平面48CD，平面048c平面48CD=48,PA1AB,

所以PA±平面ABCD，所以PZ_L5。，，40,又尸C，,且上4npe=P,P4,PC<=平面上4。,

所以平面上4C,所以AD1/C,故四边形/BCD为菱形，

但归/|=|/即=2,忸。|=3,在RtZXP/。中，\AD\=^\PD^-\AD^=V5\AB\>

这与四边形/BCD为菱形矛盾，不合题意；

选条件②：

因为平面尸48_L平面48cD,平面「48c平面48CD=48,PALAB,

所以尸平面48cO,所以尸又归/|=|/4=2,怛。|=3,

在RtAP4D中，|超=J即2-=正=忸q,所以|PC|=|5C|=JL

所以在RtAPZC中，|/C|=1,在AB/C中，|48『+以。『=忸。『，

所以481ZC,如图，以/为坐标原点建立空间直角坐标系，

所以C（0,l,0）,0（-2,1,0）,P（0,0,2）,E（0,0,1）,

设平面£尸0的一个法向量为&=（XQ],Z]）,又赤g,l],丽=1-l,g,0

--------1

〃],CF——X[---必+Zj—0

n^CF

因为<所以《彳，令必=2,则玉=I/1=2,

--—-1

nxL~EF

nx-EF=-x{+-yx=0

故成=(1,2,2),

(x,y,z),又而=，l,—g,l；*=(2,0,0),

设平面。尸。的一个法向量为%=222

一一»1

Z-LCF4,CF——x9y9+z9=0

因为《」一，所以2，令刑=2，则％=0,z2=1,

n2_LDC

n2-DC=2X2=0

故句=(0,2,1),

6275

贝ICOS%,%二^^=飞—，因为二面角D—CF—E为钝角,

所以二面角D-CF-E的余弦值为-拽

5

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选条件③：因为平面尸48,平面48CD,平面「45c平面48CD=48,PA1AB,

所以R4，平面ABCD,所以4c为PC在平面ABCD内的射影，

1Pzi2

故ZPCA为PC与平面ABCD所成角，即tanZPCA=舄=——=2,

\AC\\AC\

所以Ma=i,在AB/C中,|^5|2+|^C|2=|5C|2,

所以481/C,如图，以/为坐标原点建立空间直角坐标系,

所以。（0,1,0）,£»（—2,1,0）,P（0,0,2）,E（O,O,1）,"—',1],

=（再,必，4）,又。尸=（一1,一（,11,跖

设平面£FC的一个法向量为加T3,

4.CF=-%1--y+Z]=0

nLCFx

因为《x所以《，令％=2,则/=L4=2,

n^EF-»»1

ncEF=-Xl+-yI=0

故*=（1,2,2）,

设平面C的一个法向量为0=（x2,y2,z2）,又而灰=（2,0,0）,

n,±CF〃，,CF=—x,—y?+z,=0

因为<二一，所以＜一2.-"，令%=2,则％=0,=1,

n2LDC

n2-DC=2X2=0

故第=（0,2,1）,

6275

则COS（〃1，〃2

"J亚=飞一，因为二面角£>—CE—E为钝角,

所以二面角D-CF-E的余弦值为-35

5

19.已知点，!V22

在椭圆£：—+方=1（。〉/）〉0）上，且£的离心率为］

a

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(1)求£的方程；

(2)设尸为椭圆£的右焦点，点尸(加,〃)是£上的任意一点，直线尸产与直线3M+4即=0相交于点。,

求|尸。|的值.

22

【答案】(1)土+土=1;

43

(2)|PQ|=2.

【解析】

19,

------1---------1

a24b2----'

c1

【分析】(1)由题意得一=彳，求出即可得椭圆方程；

a2

a2=b2+c2,

(2)由题意可得3/+4〃2=12，当掰=1时，求出的值；当加时，联立直线尸尸与直线

3〃ix+4町=0的方程求出点。的坐标，根据3加2+4/=12求解「即可.

【小问1详解】

191

/十加一户2,

由题意得］£=不，解得|分=百，

a2

a2=b2+c2,I。“

22

所以椭圆E的方程为土+土=1.

43

【小问2详解】

因为点尸(外〃)是£上的任意一点，所以3/+4/=12.

①当加=1时，点尸或P11，一

当点尸时，直线依与直线x+2y=0相交于点0。,—；I止匕时归。|=2.

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当点尸］1‘一』时，直线"与直线X—2y=0相交于点止匕时归。|=2.

②当加W1时，直线尸厂的方程为y=——(X-1),

m-1

c\An2

,了二----？(xT)-rz12-3m,A4M--mn

由《m—1，可得B《，所Eff以rQ—；―-—，-----

,-mn[12-3m4-m

3amx+4Any=0ny=-----'

、4-m

(、

4n2V(-mnY12m-3m2-4n22(,4n-mn+mn

所以|PQ『=m---------

+C-4-mJ、12—3加)14-m

12-3m?

4加-4丫(4nY(4*4)2+16](4加-4『+4(12-3/)

4-m)\4-m)(4-m)2(4-m)2

4(加之一8加+16)4(加黄)2斗

(4-m)2(4-m)"

所以|PQ|=2.

综上所述，|尸。|=2.

【点睛】总结点睛：

(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与

系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.

(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.

20.设函数/(x)=ln("+l)-x,aeR,曲线了=/(x)在原点处的切线为x轴,

(1)求°的值；

V2

(2)求方程—的解;

x+2

20242023.5

(3)证明:e<

2023

【答案】(1)1(2)0

(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据题意可知/(x)在x=0处的导数值为0,解方程即可;

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(2)构造函数g(x)=ln(x+l)---,利用导数证明其单调性,再通过观察法得x=0是g(x)的零点,

x+2

从而得解;

20241

(3)利用(2)中结论证明In——>--------，由此得证.

20232023.5

【小问1详解】

n

因为/(x)=ln(at+l)—x,所以/(x)=—■——1,

ax+\

因为曲线y=在原点处的切线为x轴，所以/'(0)=。—1=0,即a=1.

【小问2详解】

由(1)知f(x)=ln(x+1)-x

丫22x

所以方程/(x)=-—可化为ln(x+1)———=0(x>-1),

x+2x+2

22

2x14_(x+2)-4(x+l)X

令g(x)=ln(x+1)--------，则g'(x)=>0,

x+2x+1(x+2)2(x+l)(x+2)2(x+l)(x+2)2

所以g(x)在(―1,+8)上单调递增，又g(0)=0,所以g(x)在(―1,+8)上有唯一零点X=0,

r2

所以方程/(x)=—二」有唯一解x=0.

x+2

【小问3详解】

2024产工5202420241

要证e<，即证1<2023.5><ln------即证ln」^〉------

2023I202320232023.5

下证4〉，

20232023.5

2x小、

由(2)中g(x)单调递增且g(0)=0,Wln(x+1)>——-X€(0+oO),

x+2??

2x^—.

20241

所以In2竺=In/+1>2023.2

20231c40472023.5

2023

20242023.5

故可得证6<

2023