核心考点：课题学习 方案选择问题（解析版）

核心考点：课题学习方案选择问题题型1租车方案1．（2016•天津）公司有330台机器需要一次性运送到某地，计划租用甲、乙两种货车共8辆，已知每辆甲种货车一次最多运送机器45台、租车费用为400元，每辆乙种货车一次最多运送机器30台、租车费用为280元（Ⅰ）设租用甲种货车x辆（x为非负整数），试填写表格．表一：租用甲种货车的数量/辆37x租用的甲种货车最多运送机器的数量/台13531545x租用的乙种货车最多运送机器的数量/台15030﹣30x+240表二：租用甲种货车的数量/辆37x租用甲种货车的费用/元12002800400x租用乙种货车的费用/元1400280﹣280x+2240（Ⅱ）给出能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案，并说明理由．【思路引领】（Ⅰ）根据计划租用甲、乙两种货车共8辆，已知每辆甲种货车一次最多运送机器45台、租车费用为400元，每辆乙种货车一次最多运送机器30台、租车费用为280元，可以分别把表一和表二补充完整；（Ⅱ）由（Ⅰ）中的数据和公司有330台机器需要一次性运送到某地，可以解答本题．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，在表一中，当甲车7辆时，运送的机器数量为：45×7＝315（台），则乙车8﹣7＝1辆，运送的机器数量为：30×1＝30（台），当甲车x辆时，运送的机器数量为：45×x＝45x（台），则乙车（8﹣x）辆，运送的机器数量为：30×（8﹣x）＝﹣30x+240（台），在表二中，当租用甲货车3辆时，租用甲种货车的费用为：400×3＝1200（元），则租用乙种货车8﹣3＝5辆，租用乙种货车的费用为：280×5＝1400（元），当租用甲货车x辆时，租用甲种货车的费用为：400×x＝400x（元），则租用乙种货车（8﹣x）辆，租用乙种货车的费用为：280×（8﹣x）＝﹣280x+2240（元），故答案为：表一：315，45x，30，﹣30x+240；表二：1200，400x，1400，﹣280x+2240；（Ⅱ）能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案是甲车6辆，乙车2辆，理由：当租用甲种货车x辆时，设两种货车的总费用为y元，则两种货车的总费用为：y＝400x+（﹣280x+2240）＝120x+2240，又∵45x+（﹣30x+240）≥330，解得x≥6，∵120＞0，∴在函数y＝120x+2240中，y随x的增大而增大，∴当x＝6时，y取得最小值，即能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案是甲种货车6辆，乙种货车2辆．【总结提升】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出相应的方程和不等式．2．（2020春•朝阳县校级月考）某公交公司有A，B型两种客车，它们的载客量和租金如表：AB载客量（人/辆）4530租金（元/辆）400280红星中学根据实际情况，计划租用A，B型客车共5辆，同时送七年级师生到基地参加社会实践活动，设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题：（1）用含x的式子填表：车辆数（辆）载客量租金（元）Ax45x400xB（5﹣x）30（5﹣x）280（5﹣x）（2）若要保证租车费用不超过1900元，求x的最大值．【思路引领】（1）设租用A型客车x辆，则租用B型客车（5﹣x）辆，租用的A型客车可载客45x人，租金为400x元，租用的B型客车可载客30（5﹣x）人，租金为280（5﹣x）元，此问得解；（2）根据租车费用不超过1900元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．【解答】解：（1）设租用A型客车x辆，则租用B型客车（5﹣x）辆，租用的A型客车可载客45x人，租金为400x元，租用的B型客车可载客30（5﹣x）人，租金为280（5﹣x）元．故答案为：45x；400x；（5﹣x）；30（5﹣x）；280（5﹣x）．（2）依题意，得：400x+280（5﹣x）≤1900，解得：x≤25又∵x为整数，∴x的最大值为4．【总结提升】本题考查了列代数式以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）用含x的代数式表示出各数量；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．题型2购买方案3．（2022•下陆区校级模拟）某市在创建国家级园林城市中，绿化档次不断提升．某校计划购进A，B两种树木共100棵进行校园绿化升级，经市场调查：购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380元．（1）求A种，B种树木每棵各多少元？（2）因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其他因素），实际付款总金额按市场价八折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用【思路引领】（1）设A种树每棵x元，B种树每棵y元，根据“购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380元”列出方程组并解答；（2）设购买A种树木为a棵，则购买B种树木为（100﹣a）棵，根据“购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍”列出不等式并求得a的取值范围，结合实际付款总金额＝0.9（A种树的金额+B种树的金额）进行解答．【解答】解：（1）设A种树每棵x元，B种树每棵y元，依题意得：2x解得x=100答：A种树每棵100元，B种树每棵80元；（2）设购买A种树木为a棵，则购买B种树木为（100﹣a）棵，则a≥3（100﹣a），解得a≥75．设实际付款总金额是y元，则y＝0.8[100a+80（100﹣a）]，即y＝16a+6400．∵16＞0，y随a的增大而增大，∴当a＝75时，y最小．即当a＝75时，y最小值＝16×75+6400＝7600（元）．答：当购买A种树木75棵，B种树木25棵时，所需费用最少，最少为7600元．【总结提升】本题考查了一次函数的应用和二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．4．（2020•陕西模拟）某公司计划购买A、B两种类型的电脑，已知购买一台A型电脑需要0.5万元，购买一台B型电脑需要0.3万元，该公司准备投入资金y万元，全部用于购进20台这两种类型的电脑，设购进A型电脑x台．（1）求y关于x的函数表达式；（2）若购进B型电脑的数量不超过A型电脑数量的3倍，则该公司至少需要投入资金多少万元？【思路引领】（1）由A型电脑费用+B型电脑费用＝投入资金，可得y关于x的函数表达式；（2）由题意列出不等式，可得x≥5，由一次函数的性质可求解．【解答】解：（1）y＝0.5x+0.3（20﹣x）＝0.2x+6（0＜x＜20）；（2）由题意可得：20﹣x≤3x，∴x≥5，∵y＝0.2x+6中，0.2＞0，∴y随x的增大而增大，∴当x＝5时，y最小值＝0.2×5+6＝7（万元）答：该公司至少需要投入资金7万元．【总结提升】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，列出正确的函数关系式是本题的关键．题型3生产方案5．（2017•郴州）某工厂有甲种原料130kg，乙种原料144kg．现用这两种原料生产出A，B两种产品共30件．已知生产每件A产品需甲种原料5kg，乙种原料4kg，且每件A产品可获利700元；生产每件B产品需甲种原料3kg，乙种原料6kg，且每件B产品可获利900元．设生产A产品x件（产品件数为整数件），根据以上信息解答下列问题：（1）生产A，B两种产品的方案有哪几种；（2）设生产这30件产品可获利y元，写出y关于x的函数解析式，写出（1）中利润最大的方案，并求出最大利润．【思路引领】（1）根据两种产品所需要的甲、乙两种原料列出不等式组，然后求解即可；（2）根据总利润等于两种产品的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性求出最大利润即可．【解答】解：（1）根据题意得：5x解得18≤x≤20，∵x是正整数，∴x＝18、19、20，共有三种方案：方案一：A产品18件，B产品12件，方案二：A产品19件，B产品11件，方案三：A产品20件，B产品10件；（2）根据题意得：y＝700x+900（30﹣x）＝﹣200x+27000，∵﹣200＜0，∴y随x的增大而减小，∴x＝18时，y有最大值，y最大＝﹣200×18+27000＝23400元．答：利润最大的方案是方案一：A产品18件，B产品12件，最大利润为23400元．【总结提升】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，准确找出题中的等量关系和不等量关系是解题的关键．6．（2022秋•历城区期末）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为11万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．【思路引领】（1）根据题意，可以列出相应的一元一次方程，从而可以求得这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为多少吨；（2）根据题意，可以得到利润与甲种特产数量的函数关系式，再根据甲种特产的取值范围和一次函数的性质，可以得到利润的最大值．【解答】解：（1）设销售甲种特产x吨，则销售乙种特产（100﹣x）吨，10x+（100﹣x）×1＝235，解得x＝15，∴100﹣x＝85，答：这个月该公司销售甲、乙两种特产分别为15吨，85吨；（2）设利润为w万元，销售甲种特产a吨，w＝（11﹣10）a+（1.2﹣1）×（100﹣a）＝0.8a+20，∵0≤a≤20，∴当a＝20时，w取得最大值，此时w＝36，答：该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润是36万元．【总结提升】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和方程的知识解答．题型4利润方案7．（2023春•鼓楼区校级期中）某商店销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台的利润为400元，B型电脑每台的利润为500元，该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．（1）试写出y关于x的函数解析式，并指出自变量x的取值范围；（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？【思路引领】（1）根据题意列出关系式为：y＝400x+500（100﹣x），化简整理，再根据两种型号电脑共100台，B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，确定自变量的取值范围；（2）根据一次函数的增减性质和x的取值范围，解答即可．【解答】解：（1）y＝400x+500（100﹣x）＝﹣100x+50000，由100﹣x≤2x，得x≥∵x≤100，∴1003故y＝﹣100x+50000(100（2）∵y＝﹣100x+50000中，﹣100＜0，∴y随x的增大而减小，∵1003≤x∴当x＝34时，y取最大值，最大值为﹣100×34+50000＝46600（元），此时100﹣x＝100﹣34＝66（台）．∴购进A型电脑34台，B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润为46600元．【总结提升】本题主要考查了一次函数的应用，解决问题的关键是熟练掌握一次函数值随自变量值的增减情况．8．（2017•黑龙江）为了推动“龙江经济带”建设，我省某蔬菜企业决定通过加大种植面积、增加种植种类，促进经济发展．2017年春，预计种植西红柿、马铃薯、青椒共100公顷（三种蔬菜的种植面积均为整数），青椒的种植面积是西红柿种植面积的2倍，经预算，种植西红柿的利润可达1万元/公顷，青椒1.5万元/公顷，马铃薯2万元/公顷，设种植西红柿x公顷，总利润为y万元．（1）求总利润y（万元）与种植西红柿的面积x（公顷）之间的关系式．（2）若预计总利润不低于180万元，西红柿的种植面积不低于8公顷，有多少种种植方案？（3）在（2）的前提下，该企业决定投资不超过获得最大利润的18在冬季同时建造A、B两种类型的温室大棚，开辟新的经济增长点，经测算，投资A种类型的大棚5万元/个，B种类型的大棚8万元/【思路引领】（1）根据总利润＝三种蔬菜的利润之和，计算即可；（2）由题意，列出不等式组即可解决问题；（3）由题意，列出二元一次不等式，求出整数解即可；【解答】解：（1）由题意y＝x+1.5×2x+2（100﹣3x）＝﹣2x+200．（2）由题意﹣2x+200≥180，解得x≤10，∵x≥8，∴8≤x≤10．∵x为整数，∴x＝8，9，10．∴有3种种植方案，方案一：种植西红柿8公顷、马铃薯76公顷、青椒16公顷．方案二：种植西红柿9公顷、马铃薯73公顷、青椒18公顷．方案三：种植西红柿10公顷、马铃薯70公顷、青椒20公顷．（3）∵y＝﹣2x+200，﹣2＜0，∴x＝8时，利润最大，最大利润为184万元．设投资A种类型的大棚a个，B种类型的大棚b个，由题意5a+8b≤18∴5a+8b≤23，∴a＝1，b＝1或2，a＝2，b＝1，a＝3，b＝1，∴可以投资A种类型的大棚1个，B种类型的大棚1个，或投资A种类型的大棚1个，B种类型的大棚2个，或投资A种类型的大棚2个，B种类型的大棚1个，或投资A种类型的大棚3个，B种类型的大棚1个．【总结提升】本题考查一次函数的应用．一次一次不等式组等知识，解题的关键是学会利用一次函数解决最值问题，学会利用不等式求整数解解决问题，属于中考常考题型．9．（2018•云南）某驻村扶贫小组为解决当地贫困问题，带领大家致富．经过调查研究，他们决定利用当地盛产的甲、乙两种原料开发A、B两种商品．为科学决策，他们试生产A、B两种商品共100千克进行深入研究，已知现有甲种原料293千克，乙种原料314千克，生产1千克A商品，1千克B商品所需要的甲、乙两种原料及生产成本如表所示．甲种原料（单位：千克）乙种原料（单位：千克）生产成本（单位：元）A商品32120B商品2.53.5200设生产A种商品x千克，生产A、B两种商品共100千克的总成本为y元，根据上述信息，解答下列问题：（1）求y与x的函数解析式（也称关系式），并直接写出x的取值范围；（2）x取何值时，总成本y最小？【思路引领】（1）根据题意表示出两种商品需要的成本，再利用表格中数据得出不等式组进而得出答案；（2）利用一次函数增减性进而得出答案．【解答】解：（1）由题意可得：y＝120x+200（100﹣x）＝﹣80x+20000，3x解得：24≤x≤86；（2）∵y＝﹣80x+20000，∴y随x的增大而减小，∴x＝86时，y最小．【总结提升】此题主要考查了一次函数的应用以及不等式的应用，正确利用表格获得正确信息是解题关键．题型5其他方案10．（2020春•鼓楼区校级期中）福州电信公司开设了A、B两种市内移动通信业务：A种使用者每月需缴18元月租费，然后每通话1分钟，再付话费0.1元：B种使用者不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.3元，若一个月内通话时间为x分钟，A、B两种的费用分别为y1和y2元．（1）试分别写出y1、y2与x之间的函数关系式；（2）每月通话时间为多长时，开通A种业务和B种业务费用一样．【思路引领】（1）根据题意，可以直接写出y1、y2与x之间的函数关系式；（2）根据（1）中的函数关系式可以解答本题．【解答】解：（1）由题意可得，y1＝0.1x+18（x≥0），y2＝0.3x（x≥0）；（2）令0.1x+18＝0.3x，解得：x＝90，答：每月通话时间为90分钟时，开通A种业务和B种业务费用一样．【总结提升】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．11．（2022秋•通榆县期中）某游泳馆推出了两种收费方式．方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元．方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，（1）则选择方式一的总费用为（200+30x）元，选择方式二的总费用为40x元．（2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数为30次时，选择哪种方式更省钱，并说明理由．【思路引领】（1）根据题意，可以分别用含x的代数式表示出两种方式的总费用；（2）先判断，然后根据（1）中的结果，分别计算出当x＝30时两种方式的花费，再比较大小即可解答本题．【解答】解：（1）由题意可得，选择方式一的总费用为（200+30x）元，选择方式二的总费用为40x元，故答案为：（200+30x），40x；（2）选择方式一省钱，理由：当x＝30时方式一：30x+200＝30×30+200＝1100，方式二：40×30＝1200，∵1100＜1200，∴选择方式一更省钱．【总结提升】本题考查列代数式，解答本题的