辽宁七校协作体2024年下学期高二联考数学试卷含答案

辽宁七校协作体2024年下学期高二联考数学试卷含答案

2023-2024学年度(下)七校协作体高二联考

数学试题

考试时间：120分钟满分：150分

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.等差数列｛4｝的前九项和为S”.若。2=1吗=3同=()

A.12B.10C.8D.6

2.如图是变量x,V的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：

根据图中所有数据，得到回归直线方程；9=入+4,相关系数为八；方案二：

剔除点(10,32),根据剩下数据，得到回归直线方程：y=b2x+a2＞相关系数为。,

则()

49

3

2

1oh

orL■X>

O

A.0(勺＜弓＜1B.0＜弓＜(＜1c.-i＜n＜ri＜°D.-1＜弓＜八＜0

3.下列求导运算中错误的是()

A.(3*)'=3*1113

Z

C.(x+lna)=1+—D.(sinx•cosx)r=cos2x

a

4.下列说法正确的是()

A.一组数据7,8,8,9,11,13,15,17,20,22的第80百分位数为17

B.根据分类变量X与丫的成对样本数据，计算得到力2=4.712,根据小概率

同一双子犬/火gA火

值a=0.05的独立性检验（“3=3.841）,可判断X与V有关联，此推断犯错误的

概率不大于0.05

C.“事件48互斥”是“事件48对立”的充分不必要条件

D.若随机变量3〃满足〃=34-2,则仇〃）=3。（9-2

5.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《胁

子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三

三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?现有这样一个相关的问

题：被3除余2且被5除余3的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列

｛4｝,记数列｛4｝的前，项和为S”，则空誉的最小值为（）

A.60B.61C.75D.76

6.点尸是曲线y=f-lnx+1上任意一点，则点尸到直线v=x-2的最小距离（）

A.1B.①C.2五D.也

2-2

7.下列说法不・・正・确的是（）

A.若随机变量X〜N（2,〃），贝IJ产（XN2）=3

B.若随机变量y服从两点分布，且”）=；,则。（2丫）=1

（।乙

C.若随机变量Z的分布列为尸（Z=i）=2/,=-1,0,1,2,贝l」a=10

a

D.若随机变量T~5（8,£|,则T的分布列中最大的只有P（T=3）

8.斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1,1,2,3,5,

8,13,.…即从第三项开始，每一项都是它前两项的和•后人为了纪念他，就把

这一列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列｛。“｝说法正确的是（）

A,^14=233B.。2024是偶数

C・出024=%+0+%+•',+&022D.42020+“2024=3生022

高二数学共7页第2页

二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中,

有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0

分・

9.已知数列｛%｝的前〃项和是4,则下列说法正确的是()

A.若则｛4｝是等差数列

B.若q=2,32。+3,则包+3｝是等比数列

C.若｛4｝是等差数列，则S”，H，S^-S.成等差数列

D.若｛4｝是等比数列，则S”，S2„-Sn,53”一52”成等比数歹!)「

10.一工厂将两盒产品送检，甲盒中有4个一等品，3个二等品和3个三等品，

乙盒中有5个一等品，2个二等品和3个三等品.先从甲盒中随机取出一个产

品放入乙盒，分别以4，4和4表示由甲盒取出的产品是一等品，二等品和三

等品的事件；再从乙盒中随机取出一产品，以5表示由乙盒取出的产品是一等

品的事件.则下列结论中正确的是()

A.尸⑶今B.尸修⑷4

C.事件3与事件4相互独立，D.4,4,4是两两互斥的事件

11.设等比数列｛(｝的公比为夕，其前"项和为S",前〃项积为北，且满足条件

q>1,40244023>1，(。2024-1)(%)23-1)<0,则下列选项正确的是()

A.0<q<1B.$2023>$2024-1

C.乙24是数列｛4｝中的最大项D.T4W<1

三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知等比数列｛q｝中，%=2,%=18,则a」=.

13.设函数y=/"(x)是，=f'(x)的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三

向一乐于女/火点，火

次函数/(x)=ox3+阮2+ex+d(aH0)的图像都有对称中心(%,/&)),其中小满

足/"(%o)=O.已知三次函数/(%)=%3+2%-1,若巧+*2=0则

/U)+/(X2)=-------.

14.已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检

测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结

束，则恰好检测四次停止的概率为.(用数字作答).

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、二贾过程或演算

步骤.(

15.(13分)记S”为等差数列｛4｝的前〃项和，已知%=$3=15.

⑴求血｝的通项公式；

⑵记4吟,求数列也｝的前"项和九

16.(15分)已知函数，(力=9一办2+8(a,be及)的图象过点(2,4),且，。)=1.

⑴求a,b的值；

⑵求曲线y=/(x)过点的切线方程.

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17.（15分）某企业响应国家“强芯固基”号召，为汇聚科研力量，准备科学合

理增加研发资金.为了解研发资金的投入额%（单位：千万元）对年收入的附

加额y（单位：千万元）的影响，对2017年至2023年研发资金的投入额不和

年收入的附加额”进行研究，得到相关数据如下:

年份2017201820192020202120222023

投入额不103040608090110

年收入的附加额乂3.204.004.806.007.307.309.25

（1）求V关于x的线性回归方程；

（2）若年收入的附加额与投入额的比值大于0.1,则称对应的年份为“优”，从上面

的7个年份中任意取3个，记X表示这三个年份为“优”的个数，求X的分布列

及数学期望.：

777

参考数据：»历=2976,£>,=42,'£片=32800.

1=1j=l

附：回归方程的斜率和截晅的最小二乘估计公式分别为：

nn

八£（玉-工）（乂-刃»通-国

―A

b=---n-----------）------a=y-bx'

以玉-可为X”反2

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18.（17分）5G网络是第五代移动通信网络的简称，是新一轮科技革命最具代

表性的技术之一.2020年初以来，我国5G网络正在大面积铺开.A市某调查机构

为了解市民对该市5G网络服务质量的满意程度，从使用了5G手机的市民中随

机选取了200人进行了问卷调查，并将这200人根据其满意度得分分成以下6组:

［40,50）、［50,60）、［60,70）、…、［90,100］,统计结果如图所示：

（1）由直方图可认为A市市民对5G网络满意度得分z（单位:分）工以笳服

从正态分布Nj。?），其中〃近似为样本平均数白。近似为样本的标准差s,

并已求得s=14.31.若A市恰有2万名5G手机用户，试估计这些5G手机用户中满

意度得分位于区间（56.19,99.12］的人数（每组数据以区间的中点值为代表）；

（2）该调查机构为参与本次调查的5G手机用户举行了抽奖活动，每人最多有10

轮抽奖活动，每一轮抽奖相互独立，中奖率均为，每一轮抽奖，若中奖，奖金

为10。元话费且继续参加下一轮抽奖；若未中奖，则抽奖活动结束，现小王参与

了此次抽奖活动.

（i）求小王获得900元话费的概率;，

（ii）求小王所获话费总额X的数学期望（结果精确到0.01）.

（

，I

参考数据：若随机变量z服从正态分布NJ,/），即z〜则

P（"-b<z44+cr）=0.6827,P（〃-2cr<z4〃+2cr）=0,9545.

而二数学共7页第6页

19.（17分）设数列｛q｝的前〃项和为S.，2s“+4=3,neN,,数列圾｝满足:

对于任意的〃eN,都有砧”+,限1+g1+-+（4=（工）+3〃-3成立•

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）求数列他｝的通项公式;

（3）设数列%=“也，问：数列出｝中是否存在三项，使得它们构成等差数列？

若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由.

高二数学联考试题参考答案

一、单选题

12345678

CACBBDDD

二、多选题

91011

BCABDAB

三、填空题

121314

6-23

5

CL-j—15

15.【详解】(1)设数列｛%｝的公差为d,由

“1++43=15’

a,+6d=15q=3

得11，解得

ax+a=5d=2

an=2n+\；6分

〃(3+2〃+1)=〃2+2〃,

(2)由(1)知，a=2n+l,：.S8分

nn2

=旦=____3___=—311

,b10分

,,"Snw(n+2)2n〃+2

111

•*-Tn=4+8+…+4=

n-1H+1nn+2

331196〃+9

13分

2\2n+1n+242(H+1)(n+2)*

16.【详解】(1)因为函数/■(尤)=x3-办2+6的图象过点(2,4),所以6=40-4①.

Xf'(x)=3x2-2ax,/,(1)=1,所以/(l)=3xl2_2q=3_2a=l②，

由①②解得。=1,6=0；.......6分

(2)由(1)知〃力=X3—/,

设所求切线在曲线＞=/(x)上的切点为(也加3_疗)，则/(")=3/―2加，

所以切线方程为了-4+M=(3加2

又切线过点(0,-1),所以2/一/一1=0,

可得2/-2-〃z2+1=0,

2(m3-l)-(m2-l)=0,

(m-l)(2m2+m+1)=0,解得冽=1,

所以切点为(1,0),切线方程为x-y-l=0.

故曲线了=/(无)过点(O,T)的切线方程为x-y-i=o.15分

_i

17.【详解】(1)依题意，x=,x(10+30+40+60+80+90+110)=60,

_i

y二,x(3.2+4+4.8+6+7.3+7.45+9.25)=6,

7_

2976-7x60x6”

b=^-------------------------------=0.06,

32800-7x3600

，x：-nx

i=l

a=y-bx=6-0.06x60=2.4,

所以y关于x的线性回归方程为y=0.06x+2.4；7分

(2)由题意，7个年收入的附加额与投入额的比值大于0.1的有3个,

所以X的可能取值为0,1，2,3,

尸(x=0)=等=：,尸(x=l)=等=||,

2l

尸(X=2)=者CC=1£?,尸(X=3)=CW3=1(,

X的分布列如下:

X0123

418121

p

35353535

41R1?1Q

所以X的期望是E(X)=0x(+lx!|+2xj|+3x或=m15分

18.【详解】解：(1)由题意知样本平均数为嚏=45x0.1+55x0.15+65x0.2+75x0.3+85x0.15+95x0.1=70.5,

.."—x—70.5，

cr=s=14.31,所以，(〃-d4+2cr]=(56.19,99.12],

而尸(〃一4+2cr)=g尸(〃一b<zW"+b)+；(4-2b<2(〃+2cr)=0.8186,

故2万名5G手机用户中满意度得分位于区间(56.19,99.12］的人数

约为20000x0.8186=16372(人)；...6分

(2)(i)小王获得900元话费表明其前9轮连续中奖且第10轮未中奖，故所求的概率为尸=

⑶21024

……8分

(ii)由题意可知X的可能取值有0、100、200、300、400、500、600、700、800、900、1000,即X=100i,

0<z<10,ieN,

当1<三9,ieN时，X=100z,说明小王前i轮连续中奖且第i+1轮未中奖，此时

P(X=100z)=出!=击

又尸(x=o)=；满足尸(x=ioo，)=m=击，尸(x=iooo)=击，

-L,O<z<9,/e7V

所以，尸(X=100i)=j,

1=10

所以E(x)=0x1+:+|+，…+击｝100+柴,

人「1239mle1239

令$=尹+>+梦+…+洒’则2s=尹+/+尹+…+尹'

口决言小笺T*口冲殂1111922^29J9119111

上述两I寸式相减何5s=合+了+于+-+9FH=-^-------即=-源-皿=］一齐’

~2

化简得5=1-7，所以，E(X)=(1-/)x100+曙=10()1。99.90(元).……17分

19.【详解】(1)由2s,+%=3,①

得25,1+。向=3(〃》2),②

由①-②得2a.+-=0,即％>,i("22)，

对①取〃=1得，%=1力0,所以尸0,所以a为常数,

an-lJ

所以｛%｝为等比数列，首项为1,公比为:，

5分

(2)由见,可得对于任意〃eN*有

“+'1+［：矶+•••+（：4=1：+3”3,

则%+；"_2+，］3+…+3（/7-1）-3（M>2）,

④

则>CT］矶+...+1］乙=由+"2（心2）,

⑤

由③-⑤得〃=2“-1（〃22）,

对③取"=1得，4=1也适合上式,

因止匕2=2〃-1,neN*;