北京市和平北路校2024届中考数学最后冲刺模拟试卷含解析

北京市和平北路校2024届中考数学最后冲刺模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.如图，点0（0,3）,0（0,0）,C（4,0）在。A上，30是。A的一条弦，则cosN030=（）

2.如图是由若干个小正方体块搭成的几何体的俯视图，小正方块中的数字表示在该位置的小正方体块的个数，那么这

个几何体的主视图是（）

3.下列关于x的方程中一定没有实数根的是（

x~-x—1—0B.4尤2-6%+9=0x=-xD.%-mx-2—O

4.方程2x2-x-3=0的两个根为（

Xl=—,X2=-3D.xi=-----,X2=3

5.如图，一个斜坡长130m,坡顶离水平地面的距离为50m,那么这个斜坡的坡度为（

512513

A.—B.—C.—D.—

12131312

6.如图，在AABC中，点D为AC边上一点，/。8。=/4,3。=#,人。=3则©口的长为（）

13

B.-C.2D.-

22

7.1903年、英国物理学家卢瑟福通过实验证实，放射性物质在放出射线后，这种物质的质量将减少，减少的速度开

始较快，后来较慢，实际上，放射性物质的质量减为原来的一半所用的时间是一个不变的量，我们把这个时间称为此

种放射性物质的半衰期，如图是表示镭的放射规律的函数图象，根据图象可以判断，镭的半衰期为（）

C.3240年D.4860年

8.如图，一个斜边长为10cm的红色三角形纸片，一个斜边长为6cm的蓝色三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼

成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是（)

C.40cm2D.30cm2

9.如图，A,B是半径为1的。O上两点，且OALOB.点P从A出发，在（DO上以每秒一个单位长度的速度匀速运

动，回到点A运动结束.设运动时间为x,弦BP的长度为y,那么下面图象中可能表示y与x的函数关系的是

10.平面直角坐标系内一点p（-2,3）关于原点对称点的坐标是（）

A.（3,-2）B.（2,3）C.（-2,-3）D.（2,-3）

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.化简3m-2（m-n）的结果为.

12.有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c=0,N：cx2+bx+a=0,其中a+c=0,以下列四个结论中正确的是（填写

序号）.

①如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根；

②如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同；

③如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=l；

④如果5是方程M的一个根，那么:是方程N的一个根.

13.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100。，得到△AOE.若点。在线段3c的延长线上，则的大小为—

14.在直角坐标系平面内，抛物线y=3x?+2x在对称轴的左侧部分是的（填“上升”或“下降”）

15.如图，点A在双曲线y="的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴与点B,点C在x轴正半轴上，且OC

2AB,

X

点E在线段AC上，且AE=3EC,点D为OB的中点，若△ADE的面积为3,则k的值为•

16.已知一次函数的图象与直线y=；x+3平行，并且经过点（-2,-4）,则这个一次函数的解析式为

三、解答题（共8题，共72分）

17.(8分)如图，AABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4)

(1)请画出将小ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△AiBiCi；

(2)请画出△A8C关于原点。成中心对称的图形△A2&C2;

(3)在x轴上找一点P,使BL+P5的值最小，请直接写出点尸的坐标.

18.(8分)某中学开展了“手机伴我健康行”主题活动，他们随机抽取部分学生进行“使用手机目的”和“每周使用手机

的时间”的问卷调查，并绘制成如图①，②所示的统计图，已知“查资料”的人数是40人.

使用于矶的目的便用手机的时间

(0-1衰示大于0同时小于等于1,以此类推)

请你根据图中信息解答下列问题：

⑴在扇形统计图中，“玩游戏”对应的圆心角度数是。;

⑵补全条形统计图；

(3)该校共有学生1200人，试估计每周使用手机时间在2小时以上(不含2小时)的人数.

19.(8分)已知四边形ABCD为正方形，E是BC的中点，连接AE,过点A作NAFD,使NAFD=2NEAB,AF交

CD于点F,如图①，易证：AF=CD+CF.

(1)如图②，当四边形ABCD为矩形时，其他条件不变，线段AF,CD,CF之间有怎样的数量关系？请写出你

的猜想，并给予证明；

(2)如图③，当四边形ABCD为平行四边形时，其他条件不变，线段AF,CD,CF之间又有怎样的数量关系？

请直接写出你的猜想.

图①图②图③

20.（8分）据城市速递报道，我市一辆高为2.5米的客车，卡在快速路引桥上高为2.55米的限高杆的上端，已知引桥

的坡角/A3C为14。，请结合示意图，用你学过的知识通过数据说明客车不能通过的原因.（参考数据：sinl4*0.24,

cos14°=0.97,tanl40=0.25）

21.（8分）（1）如图1,半径为2的圆O内有一点P,切OP=1,弦AB过点P,则弦AB长度的最大值为:

最小值为.

（2）如图2,△ABC是葛叔叔家的菜地示意图，其中NABC=90。，AB=80米，BC=60米，现在他利用周边地的情况,

把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建鱼塘.已知葛叔叔想建的鱼塘

是四边形ABCD,且满足NADC=60。，你认为葛叔叔的想法能实现吗？若能，求出这个四边形鱼塘面积和周长的最大

值；若不能，请说明理由.

AB

图②

22.（10分）某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种.已知乙种树苗

的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同.求甲、乙两种树

苗每棵的价格各是多少元？在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一

次购买时降低了10%,乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买

多少棵乙种树苗？

23.（12分）一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外完全相同，其中红球有1个，若从中随

2

机摸出一个球，这个球是白球的概率为一.

3

（1）请直接写出袋子中白球的个数.

（2）随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率.（请结合树状图或

列表解答）

24.淘宝网举办“双十一”购物活动许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动.甲网店销售的A商品的成本

为30元/件，网上标价为80元/件.“双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售A商品吸引顾客，问该店平均

每次降价率为多少时，才能使A商品的售价为39.2元/件？据媒体爆料，有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天先

提高商品的网上标价后再推出促销活动，存在欺诈行为.“双十一”活动之前，乙网店销售A商品的成本、网上标价与

甲网店一致，一周可售出1000件A商品.在“双十一”购物活动当天，乙网店先将A商品的网上标价提高“％,再推出

五折促销活动，吸引了大量顾客，乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A商品数量相比原来一周增加了2a%,“双

十一”活动当天乙网店的利润达到了3万元，求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、C

【解析】

根据圆的弦的性质，连接DC,计算CD的长,再根据直角三角形的三角函数计算即可.

【详解】

y.

Kt

VD(O,3),C(4,0),

：.OD=3,OC=4,

VZCOP=90°,

CD=^32+42=5,

连接CD,如图所示：

ZOBD=ZOCDf

•//OC4

••cosNOBD=cosNOCD==—.

CD5

故选：C.

【点睛】

本题主要三角函数的计算，结合考查圆性质的计算，关键在于利用等量替代原则.

2、B

【解析】

根据俯视图可确定主视图的列数和每列小正方体的个数.

【详解】

由俯视图可得，主视图一共有两列，左边一列由两个小正方体组成，右边一列由3个小正方体组成.

故答案选B.

【点睛】

由几何体的俯视图可确定该几何体的主视图和左视图.

3、B

【解析】

根据根的判别式的概念，求出A的正负即可解题.

【详解】

解:A.X2-X-1=0,A=1+4=5>0,...原方程有两个不相等的实数根，

B.4X2-6X+9=0,A=36-144=-108<0,二原方程没有实数根，

x2=-x,X2+X=0,A=1>0,/.原方程有两个不相等的实数根,

D.x2-mx-2=0,A=m2+8>0,:.原方程有两个不相等的实数根,

故选B.

【点睛】

本题考查了根的判别式，属于简单题，熟悉根的判别式的概念是解题关键.

4、A

【解析】

利用因式分解法解方程即可.

【详解】

解：(2x-3)(x+1)=0,

2x-3=0或x+l=0,

3

所以Xl=—,X2=-l.

2

故选A.

【点睛】

本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一

次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进

行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).

5、A

【解析】

试题解析：•••一个斜坡长130m,坡顶离水平地面的距离为50m,

,这个斜坡的水平距离为：^/1302-502=10m,

这个斜坡的坡度为:50：10=5：1.

故选A.

点睛：本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是明确坡度的定义.坡度是坡面的铅直高度h和水平

宽度1的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=l：m的形式.

6、C

【解析】

CD瓜

根据NDBC=NA,ZC=ZC,判定△BCDsaACB,根据相似三角形对应边的比相等得到，代入求值即可.

【详解】

VZDBC=ZA,ZC=ZC,

/.△BCD^AACB,

.CDBC

••—,

BCAC

.CD46

‘'IT与'

/.CD=2.

故选:C.

【点睛】

主要考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.

7、B

【解析】

根据半衰期的定义，函数图象的横坐标，可得答案.

【详解】

由横坐标看出1620年时，镭质量减为原来的一半，

故镭的半衰期为1620年，

故选B.

【点睛】

本题考查了函数图象，利用函数图象的意义及放射性物质的半衰期是解题关键.

8、D

【解析】

标注字母，根据两直线平行，同位角相等可得NB=NAED,然后求出△ADE和△EFB相似，根据相似三角形对应边

DF5FF5

成比例求出——=—,即——=—,设BF=3a,表示出EF=5a,再表示出BC、AC,利用勾股定理列出方程求出a的

BF3BF3

值，再根据红、蓝两张纸片的面积之和等于大三角形的面积减去正方形的面积计算即可得解.

【详解】

解:如图，•.•正方形的边DE〃CF,

，NB=NAED,

VZADE=ZEFB=90°,

AAADE^AEFB,

.DEAE105

"BF~BE~6-31

•••EF—―5,

BF3

设BF=3a,贝!)EF=5a,

BC=3a+5a=8a,

540

AC=8ax—=—a

33

在RtAABC中，AC】+BCi=ABi,

40

即(——a)]+(8a)i=(10+6)L

3

aZ,

解得

17

.............140

红、蓝两张纸片的面积之和=—x—ax8a-(5a)

23

160,।

=-----a1-lSa1,

3

85,

=—a1,

3

8518

——X—9

317

=30cm1.

故选D.

【点睛】

本题考查根据相似三角形的性质求出直角三角形的两直角边，利用红、蓝两张纸片的面积之和等于大三角形的面积减

去正方形的面积求解是关键.

9、D

【解析】

分两种情形讨论当点P顺时针旋转时，图象是③，当点P逆时针旋转时，图象是①，由此即可解决问题.

【详解】

解：当点尸顺时针旋转时，图象是③，当点P逆时针旋转时，图象是①.

故选D.

10、D

【解析】

根据“平面直角坐标系中任意一点P(x,y),关于原点的对称点是(-x,-j),即关于原点的对称点，横纵坐标都变成

相反数”解答.

【详解】

解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，

:,点A(-2,3)关于原点对称的点的坐标是(2,-3),故选D.

【点睛】

本题主要考查点关于原点对称的特征，解决本题的关键是要熟练掌握点关于原点对称的特征.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、m+2n

【解析】分析：先去括号，再合并同类项即可得.

详解：原式=3m-2m+2n=m+2n,

故答案为：m+2n.

点睛：本题主要考查整式的加减，解题的关键是掌握去括号与合并同类项的法则.

12、①②④

【解析】

试题解析：①在方程ax2+bx+c=0中小=b2-4ac,在方程cx2+bx+a=0中4=b2-4ac,

...如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根，正确；

②和区符号相同，2和£符号也相同，

...如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，正确；

③、M・N得：(a-c)x2+c-a=0,即(a-c)x2=a-c,

Va#,

x2=l,解得：x=±l,错误；

④T5是方程M的一个根，

:.25a+5b+c=0,

11

:.a+—b+—+c=0,

525

是方程N的一个根，正确.

故正确的是①②④.

13、40°

【解析】

根据旋转的性质可得出AB=AD、ZBAD=100°,再根据等腰三角形的性质可求出NB的度数，此题得解.

【详解】

根据旋转的性质，可得：AB=AD,ZBAD=100°,

/.ZB=ZADB=-x(180°-100°)=40°.

2

故填:40°.

【点睛】

本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求出NB的度数是解题的关键.

14、下降

【解析】

根据抛物线y=3x2+2x图像性质可得，在对称轴的左侧部分是下降的.

【详解】

解：，.,在=3x?+2x中，a=3>0,

二抛物线开口向上，

...在对称轴左侧部分y随x的增大而减小，即图象是下降的，

故答案为下降.

【点睛】

本题考查二次函数的图像及性质.根据抛物线开口方向和对称轴的位置即可得出结论.

,16

15、—・

3

【解析】

由AE=3EC,△ADE的面积为3,可知AADC的面积为4,再根据点D为OB的中点，得到△ADC的面积为梯形

_k

BOCA面积的一半，即梯形BOCA的面积为8,设A(x,—),从而

x

表示出梯形BOCA的面积关于k的等式，求解即可.

【详解】

VAE=3EC,△ADE的面积为3,的面积为1.

.,.△ADC的面积为4.

•••点A在双曲线y=幺的第一象限的那一支上，

X

・••设A点坐标为(X上).

x

VOC=2AB,AOC=2x.

•・•点D为OB的中点，.二△ADC的面积为梯形BOCA面积的一半，，梯形BOCA的面积为8.

Ik\k]6

二梯形BOCA的面积=—(x+2x>—=—―3x・一=8,解得k=一.

2x2x3

【点睛】

反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，同底三角形面积的计算，梯形中位线

的性质.

1

16、y=—x-1

2

【解析】

分析：根据互相平行的两直线解析式的左值相等设出一次函数的解析式，再把点(-2,-4)的坐标代入解析式求解

即可.

详解：♦.•一次函数的图象与直线尸gx+1平行，,设一次函数的解析式为方gx+b.

•.•一次函数经过点(-2,-4),/.1x(-2)+b=-4,解得：b=-l,所以这个一次函数的表达式是：产gx-1.

故答案为尸;x-L

点睛：本题考查了两直线平行的问题，熟记平行直线的解析式的"值相等设出一次函数解析式是解题的关键.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)详见解析；(2)详见解析；(3)图见解析，点尸坐标为(2,0).

【解析】

⑴根据网格结构找出点4、5、C平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可；

(2))找出点A、B、C关于原点。的对称点的位置，然后顺次连接即可；

(3)找出A的对称点4,连接与x轴交点即为P.

【详解】

(1)如图1所示，△AiBiCi,即为所求:

(2)如图2所示,AA2B2C2,即为所求:

⑶找出A的对称点4(1,-1),

连接54,与x轴交点即为P;

如图3所示，点P即为所求，点尸坐标为(2,0).

【点睛】

本题考查作图-旋转变换，平移变换，轴对称最短问题等知识，得出对应点位置是解题关键.

18、(1)126；(2)作图见解析(3)768

【解析】

试题分析：(1)根据扇形统计图求出所占的百分比，然后乘以360。即可；

(2)利用“查资料”人人数是40人，查资料”人占总人数40%,求出总人数100,再求出32人；

⑶用部分估计整体.

试题解析：(1)126°

(2)404-40%-2-16-18-32=32A

(3)1200x*宅=768人

11蜘

考点：统计图

19、(1)图②结论：AF=CD+CF.(2)图③结论：AF=CD+CF.

【解析】

试题分析：（1）作。C,AE的延长线交于点G.证三角形全等，进而通过全等三角形的对应边相等验证ARCF,CD

之间的关系；

（2）延长庄交A6的延长线于点〃，由全等三角形的对应边相等验证ARCF,CD关系.

试题解析：（1）图②结论：AF=CD+CF.

证明：作。C,AE的延长线交于点G.

1•四边形ABC。是矩形，

:.NG=ZEAR

ZAFD=2ZEAB=2ZG=ZFAG+Z.G,

:.NG=NFAG.

：.AF=FG=CF+CG.

由E是中点，可证CGEqBAE,

：.CG=AB=CD.

:.AF^CF+CD.

(2)图③结论：AF=CD+CF.

延长EE交A5的延长线于点H,如图所示

图3

因为四边形ABC。是平行四边形

所以A6〃CD且=CD,

因为E为的中点，所以E也是EH的中点,

所以FE=HF,BH=CF,

又因为ZAFD=2ZEAB,

ZBAF=ZEAB+ZFAE,

所以NE4B=/EA/，

又因为=

所以EA”

所以=

因为AH=AB+BH=CD+CF,

：.AF=CF+CD.

20、客车不能通过限高杆，理由见解析

【解析】

DF

根据OE_LBC,。尸_L43,得到NEZ>F=NA5C=14。.在RtAEDF中，根据cos/EZ>F=——,求出DF的值，即可判

DE

断.

【详解】

,:DELBC,DFVAB,

：.ZEDF=ZABC=14°.

在尸中，

R3EDZDFE=9Q09

DF

VcosXEDF=-----,

DE

.•・DP=OE・cosNEDF=2.55xcosl40k2.55x0.97k2,l.

•・,限高杆顶端到桥面的距离DF为2.1米，小于客车高2.5米，

.•.客车不能通过限高杆.

【点睛】

考查解直角三角形，选择合适的锐角三角函数是解题的关键.

21、(1)弦AB长度的最大值为4,最小值为26；(2)面积最大值为(2500G+2400)平方米，周长最大值为340

米.

【解析】

(1)当AB是过P点的直径时，AB最长；当ABLOP时，AB最短，分别求出即可.(2)如图在△ABC的一侧以AC

为边做等边三角形AEC,再做AAEC的外接圆，则满足NADC=60。的点D在优弧AEC上(点D不与A、C重合)，

当D与E重合时，SAADC最大值=SAAEC,由SAABC为定值，故此时四边形ABCD的面积最大，再根据勾股定理和等

边三角形的性质求出此时的面积与周长即可.

【详解】

(1)(1)当AB是过P点的直径时，AB最长=2x2=4；

当AB_LOP时，AB最短，AP=yJo^-OP2=722-12=73

-,.AB=2V3

(2)如图，在小ABC的一侧以AC为边做等边三角形AEC,

再做△AEC的外接圆，

当D与E重合时，SAADC最大

故此时四边形ABCD的面积最大，

VZABC=90°,AB=80,BC=60

AC=y/AB2+BC2=100

:.周长为AB+BC+CD+AE=8O+6O+1O0+1OO=34O(米)

SAADC=-ACX/Z=-X100X50A/3=2500A/3

22

SAABC=—ABxBC=—x80x60=2400

22

J四边形ABCD面积最大值为(2500班+2400)平方米.

【点睛】

此题主要考查圆的综合利用，解题的关键是熟知圆的性质定理与垂径定理.

22、(1)甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元；(2)他们最多可购买11棵乙种树苗.

【解析】

(1)可设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是(x+10)元，根据等量关系：用480元购买乙种树苗

的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，列出方程求解即可；

(2)可设他们可购买y棵乙种树苗，根据不等关系：再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，列出不等式求解即

可.

【详解】

(1)设