福建省福州某中学2024届高三年级下册第十六次检测（三模） 数学 含解析

福州三中2023-2024学年高三第十六次质量检测

数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.(1—ax，的展开式中V的系数为16°,则()

A.2B.-2C.4D.-4

2.设S“是等比数列｛%｝的前〃项和，若S3=4,%+%+4=8,贝()

752

A.2B.-C.D.

337

3.某学校运动会男子100m决赛中，八名选手的成绩(单位：S)分别为：13.09,13.15,12.90,

13.16,12.96,13.11,x,13.24,则下列说法错误的是()

A.若该八名选手成绩的第75%百分位数为13.155,则x=13.15

B.若该八名选手成绩的众数仅为13.15,则x=13.15

C.若该八名选手成绩的极差为0.34,则12.904x<13.24

D.若该八名选手成绩的平均数为13.095,则x=13.15

在，中，

4.ABCC=t,AB=AC+BC=5,则ABC的面积为()

3

A拒B.26C.3A/3D.473

Ti17

5.已知0<P<a<—,sinasm/3=历,cosacos'=-,则cos2a=()

724

A.0B.——C.D.1

2525

6.第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往

3个场馆A,5c开展志愿服务工作.若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆A时,场馆B仅有2

名志愿者的概率为()

32163

A-B.—C.—D.-

550114

7.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点4(-3,4)的直线

/的一个法向量为(1,-2),则直线/的点法式方程为：lx(x+3)+(-2)x(y-4)=。，化简得

x-2丁+11=0.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点”(1,2,3)的平面的一个法向量为

m=（i,<2）,则该平面的方程为（）

A,x-4y+2z+l=0B.%-4y-2z+l=0

C,x+4y-2z+l=0D.%+4y-2z-l=0

8.曲线。是平面内与三个定点耳鸟。,0）和鸟（0,1）的距离的和等于2&的点的轨迹.给出下列

四个结论：

①曲线。关于x轴、y轴均对称；

②曲线C上存在点尸，使得归闾=半；

③若点尸在曲线。上，则△片P鸟的面积最大值是1；

④曲线。上存在点尸，使得/可尸工钝角.

其中所有正确结论的序号是（）

A.②③④B.②③C.③④D.①②③④

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

（冗冗\

9.已知函数/（x）=Asin（0x+044〉0,。〉0,一»<°<万）的部分图象如图所示，贝!|（）

A.“X）的最小正周期为兀

JT11

B.当X60,—时，/（%）的值域为一W5

C,将函数外力的图象向右平移4个单位长度可得函数g（x）=sin2x的图象

6

D.将函数/（尤）的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点

[T，0）对称

10.已知Z],Z2是两个虚数，则下列结论中正确的是()

A.若4=2，则Z1+Z2与Z]Z2均为实数B.若Z1+Z?与Z]Z2均为实数，则4=马

C.若4/2均为纯虚数，则2为实数D.若无为实数，则4*2均为纯虚数

Z2Z2

11.已知函数〃%)及其导函数/'(力的定义域均为R，若“可是奇函数，/(2)=-/(1)^0,且对

任意％”R,/(x+y)=/(x)/,(y)+/,(x)/(y),则()

A-r(l)=-1B./(6)=0

20242024

c.£f(k)=lD.£f(k)=-l

k=lk=l

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知集合4={—2,0,2,4},3={乂|无一3|<根},若AB=A,则机的最小值为.

a—2c—

13.已知三个实数a、b、c,当c>0时，b<2a+3cKbc=a1>则----的取值范围是.

b

14.已知棱长为8正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为2的小正四面体(如图)，剩余中间

部分的八面体可以装入一个球形容器内(容器壁厚度忽略不计)，则该球形容器表面积的最小值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.己知函数g(x)一公2—2xlnx+2x.

4

(1)当。=1时，求g(x)的图象在点(Lg(D)处的切线方程；

(2)若g'(x)20,求实数。的取值范围.

22

16.已知椭圆C:二+4=l(a〉6〉0)的右焦点工与抛物线/=4x的焦点重合，且其离心率为白

ab

(1)求椭圆C的方程;

(2)已知与坐标轴不垂直的直线/与椭圆C交于M,N两点，线段"N的中点为尸，求证：kMN-k0P

(。为坐标原点)为定值.

17.如图，在正四棱台ABC。—44G。中，A5=2A耳=4.

(1)求证：平面ABCD1平面ACGA；

(2)若直线用C与平面ACG4所成角的正切值为鱼，求二面角8-CG-A的正弦值.

6

18.某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北

区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求.

就餐区域

性合

南北

别计

区区

男331043

女38745

合

711788

计

(1)现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据

«=0.100的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？

(2)张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为3；如果前一

12

天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为二，如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，

33

乙餐厅的概率均为:•张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为工，

/442

a0.1000.0500.0250.010

2.7063.8415.0246.635

(i)求第2天他去乙餐厅用餐的概率;

(ii)求第九(HeN*)天他去甲餐厅用餐的概率

n(ad-be)’

附：z2n=a+b+c+d；

(a+6)(c+d)(a+c)(〃+d)

19.己知定义域为R的函数九)满足：对于任意的尤eR,者B有”(％+2兀)=/7(力+/2(2兀)，则称函数

,尤)具有性质尸.

⑴判断函数/(x)=2羽g(x)=cosx否具有性质尸；(直接写出结论)

(2)己知函数/(x)=sin(0x+9)［<0<'!」9|<_|］，判断是否存在。，0，使函数/(%)具有性质

P?若存在，求出私。的值；若不存在，说明理由；

(3)设函数/(£)具有性质尸,且在区间［0,2可上的值域为"⑼,〃2切.函数g(x)=sin(/(x)),

满足g(x+27i)=g(x),且在区间(0,2兀)上有且只有一个零点.求证：/(2兀)=2兀.

福州三中2023-2024学年高三第十六次质量检测

数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.（1—融）6的展开式中/的系数为160,则（）

A.2B.-2C.4D.-4

【答案】B

【解析】

【分析】写出展开式的通项，再令厂=3,即可求出展开式中V的系数，从而得解.

【详解】二项式（l—ax）6展开式的通项为（+]=c：（—依丫（其中04r<6且reN）,

令r=3可得方=或（-ax）3=或（—”-%3,

所以C：（-«/=160,解得a=—2.

故选：B

2.设5“是等比数列｛4｝的前几项和，若S3=4,%+4+&=8,则^=（）

753

A.2B.—C.—D.一

337

【答案】B

【解析】

【分析】S3，S6-S3，S9-S6成等比数列，得到方程，求出品=28,得到答案.

【详解】由题意得S6-S3=8,S6=S3+8=4+8=12,

因为S3，S6_S3，S9—S6成等比数列，故（S6—S3）2=S3（Sg_S6），

即82=4（89—12）,解得$9=28,

S9287

故豆-17-

故选：B

3.某学校运动会男子100m决赛中，八名选手的成绩（单位：S）分别为：13.09,13.15,12.90,

13.16,12.96,13.11,413.24,贝U下列说法错误的是（）

A.若该八名选手成绩的第75%百分位数为13.155，则x=13.15

B.若该八名选手成绩的众数仅为13.15,则x=13.15

若该八名选手成绩的极差为0.34,则12.90<x<13.24

D.若该八名选手成绩的平均数为13.095,则x=13.15

【答案】A

【解析】

【分析】举反例判断A,利用众数和平均数定义判断B、D,分情况讨论x判断C.

【详解】对A,因为8x75%=6,当％=13,八名选手成绩从小到大排序

12.90,12.96,13,13.09,13.11,13.15,13.16,13.24,,故该八名选手成绩的第75%百分位数为

13.15+13.16

=13.155,但尤=13W13.15,故A错误;

2

对B,由众数是出现次数最多的数据，B正确;

对C,当x<12.9,极差为13.24—x>0.34,不符合题意舍去;

当12.90VxW13.24,极差为13.24—12.9=0.34,符合题意

当x>13.24,极差为x—12.9>0.34不符合题意舍去，综上，12.904尤413.24,C正确;

12.90+12.96+13.09+13.11+13.15+13.16+13.24+x

对D,平均数为=13.095,解得x=13.15,故D正确.

8

故选：A

4.在j45c中,C=—,AB=y/13,AC+BC=5,则的面积为（）

A.73B.2出C.3A/3D.4A/3

【答案】A

【解析】

【分析】根据余弦定理可求解ab=4,由面积公式即可求解.

【详解】在中，C=|,AB=c=y/13AC+5C=b+a=5,

由余弦定理可得c?="+/.2abcos^=(a+-2ab-ab,解得次?=4,

=—absin—=’仓必

所以SMC

232*5

故选：A

jr17

5.已知0夕<5，sincifsin/=历，cosacos/=而，则cos2a=()

24

A.0Bc.—D.1

-125

【答案】A

【解析】

【分析】由两角和与差的三角函数，结合

cos2a=cos[(cr+/?)+(o-/?)]=cos(cr+/?)cos(cr-j3)-sin(a+/?)sin(<z-0求解.

17

【详解】已知sinosin£=—,coscifcosB--,

1010

则cos(cr-p)-cosacos+sinorsin=—+—=—,

cos(cif+尸)=cosacosy^-sincifsin^=,

兀71

O</?<6/<5，..O<6/—,<5,0<。+,<兀，

则sin（tz-0）=-y1-cos2（«-/?）=—,sin（tz+'）=^/l-cos2（«+/?）=—,

则cosla=cos［（a+尸）+（a-尸）］=cos（«+尸）cos（（z-/?）-sin（（z+13）sin（a-/3）

3443c

=­x------x—=0.

5555

故选：A.

6.第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往

3个场馆A5C开展志愿服务工作.若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆A时，场馆B仅有2

名志愿者的概率为（）

32163

A-B.—C.—D.一

550114

【答案】B

【解析】

2

【分析】首先得甲去场馆区或。的总数为150x—=100,进一步由组合数排列数即可得所求概率.

3

（r2r2\

【详解】不考虑甲是否去场馆A,所有志愿者分配方案总数为C+戏”A；=150,

、A?）

2

甲去场馆A,B,C的概率相等，所以甲去场馆5或C的总数为150x—=100,

3

甲不去场馆A,分两种情况讨论，

情形一，甲去场馆8,场馆8有两名志愿者共有C；C；国=24种；

情形二，甲去场馆C,场馆8场馆C均有两人共有C；C；=12种，

场馆B场馆A均有两人共有C：=6种，所以甲不去场馆A时，

24+12+64221

场馆B仅有2名志愿者的概率为----------=——二一.

10010050

故选：B.

7.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点4(-3,4)的直线/

的一个法向量为(1,-2),则直线/的点法式方程为：lx(x+3)+(-2)x(y-4)=0,化简得x—2y+11=0.

类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点”(1,2,3)的平面的一个法向量为加=(1,T,2),则该平面

的方程为()

A.x-4_y+2z+l=0B.x-4y-2z+l=0

C.x+4y-2z+l=0D.x+4y-2z-l=0

【答案】A

【解析】

分析】根据题意进行类比，利用平面法向量与面内任意向量垂直，即可求得结论.

【详解】根据题意进行类比，在空间任取一点尸(%,%z),

则=(无一l,y_2,z_3)

，平面法向量为根=(LT,2),

lx(x-l)-4x(y-2)+2x(z-3)=0

x—4y+2z+l=0

故选：A.

8.曲线C是平面内与三个定点^(-1,0),F2(1,0)和耳(0,1)的距离的和等于2、历的点的轨迹.给出下列

四个结论：

①曲线c关于x轴、y轴均对称；

②曲线c上存在点P,使得归阊=竽；

③若点尸在曲线C上，则△4PK的面积最大值是1；

④曲线C上存在点尸，使得/耳尸马为钝角.

其中所有正确结论的序号是()

A.②③④B.②③C.③④D.①②③④

【答案】C

【解析】

22

【分析】根据题意得曲线C的方程为^(x+l)+/+^(x-l)+/+G+(y—1)2=2后，可判断①错

误；②假设结论成立，推得曲线C不存在；当点P为工点时，△耳P玛的面积最大，最大值是1,故③正

确；在曲线C上再寻找一个特殊点P(0,>),验证/耳尸马〉90即可判断④正确.

【详解】设曲线C上任意一点P(羽丁)，由题意可知C的方程为

j(x+])2+)2+J(x-1)2+y2+也2+(y-1)2=2^2■

①错误，在此方程中用-X取代X,方程不变，可知c关于y轴对称；

同理用-y取代y,方程改变，可知。不关于x轴对称，故①错误.

②错误，若“=半,则忸团+忸国=殍<国闻=2,

曲线。不存在，故②错误.

③正确，凰+|P与闫期|+|P4|+归阊=2"

2

P应该在椭圆Q:土+/=1内(含边界)，

2

曲线C与椭圆。有唯一的公共点招(0,1),此时闺闾=2,|0闾=1,

当点尸为工点时，的面积最大，最大值是1,故③正确；

④正确，由③可知，取曲线C上点招(0,1),此时/可骂工=90,

下面在曲线C上再寻找一个特殊点P(0,y),0<y<l,

则2jl+/+1—y=20，

把2丁+/=2a-1+y两边平方,

整理得3y2+(2-4&)y+4后-5=0,

解得。=4四一2；(8一4五),即或

因为0<4后一5<i，则取点p[o,生\二2,

此时/月「月〉90故④正确.

故答案为：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.己知函数/(x)=45m(0》+9)卜〉0,0〉0,-5<°<]]的部分图象如图所示，则()

।%\

A./(九)的最小正周期为兀

JT11

B.当XE0,—时，/(%)的值域为一5Q

C.将函数/(%)的图象向右平移四个单位长度可得函数g(x)=sin2x的图象

6

D.将函数/(X)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点

,o1对称

【答案】AD

【解析】

【分析】利用图象求函数解析式，根据解析式求函数最小正周期和区间内的值域，求出函数图象变换后的解

析式，判断新图象的对称中心.

【详解】由函数图象可知，A=l,的最小正周期为T=4石■-q=兀，A选项正确；

T=7t=—,①=2,/I—I=smI2x—+I=1,

rtc兀兀At(ir-r\i47T.兀

则2x—F(p——\-2kli(keZ),由---</<一,行(p=一,

62226

所以/(%)=5也12%+^].

,「c兀1,C兀兀7兀

当X£0,一时，2%H---£—,----sin[2%+^-je4了(%)的值域为-，B选项错误;

L2J6664

将函数八％)的图象向右平移：个单位长度可得函数g(x)=sin21—£=sin12x—向的图象,

C选项错误；

将函数"％)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数丸(x)=sin卜+看]

的图象，

=sin+=sin7r=0,函数"(x)=sin\+^]的图象关于点,0对称，D选项正确

故选：AD

10.己知4/2是两个虚数，则下列结论中正确的是()

A.若马=马，则4+Z2与ZE均为实数B.若Z|+Z2与Z]Z2均为实数，则4=马

C.若4衣2均为纯虚数，则1k为实数D.若且为实数，则4/2均为纯虚数

Z2

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据复数的四则运算，结合共辗复数的定义即可求解ABC,举反例即可求解D.

【详解】设4=.+历，z2=c+di(a,Z?,c,d£R,Z?w0,dw0).Z]+z2=Q+c+(Z?+d)i,

平2=ac-bd+[ad+bc^\.

若Z]=Z2，则。=。，b+d=3所以4+Z2=2awR,2^2+Z22GR,所以A正确;

若4+z2与2理2均为实数，则/?+d=0,且必+/?c=0,又bwO,dwO,所以。=c,所以B正确;

若Z],Z2均为纯虚数，则a=c=O,所以,=：£R,所以C正确；

z?a

Y.Z1

取Z=2+2i,z2=l+l,则心为实数，但z?不是纯虚数，所以D错误.

Z2

故选：ABC.

11.已知函数/(X)及其导函数/'(九)的定义域均为R,若/(X)是奇函数，/(2)=—/⑴W0,且对任

意x,yeR,f(x+y)=f(x)f'(y)+f'(x)f(y),则()

A.r(i)=-1B./(6)=o

20242024

c.£f(k)=lD.£f(k)=-l

k=lk=l

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据函数的性质和导函数的运算法则，结合赋值法可得相关结论.

【详解】因为/(x+y)=〃x)r(y)+r(X)/(y)，

令x=y=l得：/(2)=2/(1)/,(1),又因为〃2)=_/(1片0,所以/")=_:，故A正确；

因为〃龙)是定义域为R的奇函数，所以/(。)=0,且/'(£)为偶函数.

令y=i,可得：/(x+i)=/(x)r(i)+r(x)/(i)@

再用一刀代替x可得：/(i-x)=/(-x)r(i)+r(-x)/(i)=-/(x)r(i)+r(x)/(i)

=⑴②

①+②得：/(x+l)+/(x-l)=2/(x)r(l)^/(x+l)=-/(x)-/(x-l)

所以：/(x+2)=-/(x+l)-/(x),

/(x+3)=-/(x+2)-/(x+l)=/(%+l)+/(x)-/(x+l)=/(x)

所以“可是周期为3的周期函数，所以：/(6)=/(3)=/(0)=0,故B正确.

因为：f(O)=O,f(2)=-f(l)^f(l)+f(2)=0,所以:/(1)+/(2)+/(3)=0,

2024

所以：2“左)=674X[/⑴+〃2)+〃3)]+[/⑴+〃2)]=0,故c错误；

k=\

又因为/'（力亦为周期为3的周期函数，且为偶函数，所以/'（—2）=/'⑴=—g=/'（2）

令1=1,>=0可得：/（i）=/（i）r（o）+r（i）/（o）^r（o）=i=r（3）,

所以r（i）+r（2）+r（3）=o.

2024

所以：£/'（左）=674义[0⑴+广（2）+广（3）]+[0⑴+广（2）]=-1.故D正确.

k=\

故选：ABD

【点睛】方法点睛：对于可导函数/（%）有：奇函数的导函数为偶函数；偶函数的导函数为奇函数.

若定义在R上的函数/（%）是可导函数，且周期为T，则其导函数/'（x）也是周期函数，且周期也为T.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知集合A={—2,0,2,4},3={用无一3区时，若AB=A,则加的最小值为.

【答案】5

【解析】

【分析】由A3=A可得A。8,解出集合8后结合集合的关系计算即可得.

【详解】由AB=A,故

由机，^—m+3<x<m+3i

4<m+3fm>1

故有「，即〈厂，即加N5,

-2>-m+3[m>5

即加的最小值为5.

故答案为：5.

a—2c—

13.已知三个实数以b、c,当c>0时，且=,则------的取值范围是.

b

【答案】（一甩g

【解析】

分析】当c>0时满足：b,,2a+3c且秘=/,可得£,,2a+3c,进而得4—2ac—3c?«0,解得

ca3

或£<一1.于是二^=竺之=£_2（£[=/（与，令£=/,可得加）=”2»,利用二次函数的单调性

abaa\ajaa

即可求解最值.

【详解】当c>0时满足：6,,2。+3。且拉?=",

2

„2a+3c,§Pa2-2ac-3c2<Q，进而（与？一2工一3,,0,解得一啜己3.

cCCC

C]C

所以一2一或一V—1,

a3a

a-2cac-2c1c（cVc

A―2―\——j（一），

baaya）a

令土=t,tG—,+oo|o（-oo-l],

.•./（/）=—2〃+/=—2,—；]+

由于feI，（-℃-1]

所以在/?（?,1]单调递增，在“管，？区单调递减，

当时,璃当"T时，/（T）=—3，

3秒，

所以

z1,

故答案为：寡？y.

14.已知棱长为8的正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为2的小正四面体（如图），剩余中间

部分的八面体可以装入一个球形容器内（容器壁厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为.

【答案】48K

【解析】

【分析】先求出正四面体尸-A5C的外接球半径，再利用0。1=尸。-尸。],结合外接球知识求出该八面

体的外接球半径即可求解.

【详解】如图：

设。为正四面体尸—ABC的外接球球心，。|为的中心,“为_45。的中心，M为的中点，

由正四面体尸—ABC可知PH_L平面ABC,

因为AHu平面ABC,所以

又因为P—ABC棱长为8,所以河=走*8=还，尸》=,82-(88］=巫,

33VI3J3

设正四面体外接球球心为。，则。在PH，则OP=QA=H为外接球半径，

2

由A”2+O“2=AO2得［孚］+1乎一尺)=R，解得尺=2而，

即PO=2A/6,

在正四面体P—A31C中，易得4a=2万下=26，po=J22r手：=孚，所以

4A/6

0。1=P0—POI=、一,

则该八面体的外接球半径4。=q00；+=2百,

故答案为：48兀

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数g(x)=—/-奴2-2xlnx+2x.

(1)当。=1时，求g(x)的图象在点(Lg(D)处的切线方程;

(2)若g'(x)NO,求实数。的取值范围.

9

【答案】(1)y—=0；

4

(2)ci<—.

2

【解析】

【分析】(1)把a=1代入，利用导数的几何意义求出切线方程.

(2)求出g'a),由已知分离参数，构造函数并利用导数求出最小值即得.

【小问1详解】

当。=1时，g(x)一x?—2xlnx+2x,求导得g'(x)=三一2x-21nx,

559

则g(l)=—1,而g(l)=—,于是y——=—(X—1),即x+y——=0,

4-4-4

9

所以g(无)的图象在点(1,g⑴)处的切线方程是x+j—=0.

4

【小问2详解】

函数g(x)=Z%4-ax2-2xlnx+2x定义域为(0,+℃),求导得g'(x)=%3-2ax-21nx,

由g'(x)20,得令/(x)=f—^^,x>0,

XX

求导得f'(x)=2x-2-21nx=2x，+2d，令函数以X)=2/+2InX—2,X>0,

XX

显然函数力(%)在(0,+8)上单调递增,而飘1)=0,则当Ov%V1时，h(x)<09f\x)<0,

当%>1时，h(X)>QffV)>0,函数/⑺在(0,1)上递减，在Qy)上递增，/(%)min=/⑴=1，

因此2a<1,解得aV—，

2

所以实数。的取值范围是。三L.

2

22

16.已知椭圆。：\+27=1(。〉)〉0)的右焦点工与抛物线>2=4%的焦点重合，且其离心率为£.

ab

(1)求椭圆C方程；

(2)已知与坐标轴不垂直的直线,与椭圆C交于N两点,线段的中点为P,求证：kMN-kOP

(。为坐标原点)为定值.

22

【答案】(1)土+匕=1

43

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)由抛物线的焦点得椭圆焦点，即可结合离心率求解a,4c,

(2)联立直线与椭圆的方程，根据跟与系数的关系，结合斜率公式即可求解.

【小问1详解】

..•抛物线y2=4x的焦点为(1,0),

椭圆。的半焦距为c=l,

c]_______

又e=「=5'得。=2,b=Ja，-/=A/3-

22

...椭圆C的方程为土+匕=1

43

【小问2详解】

证明：由题意可知，直线/的斜率存在且不为0,设直线/的方程为丁=履+加(左。0),

y=kx+m

联立口匚1,得(3+4左2)尤2+8bnx+4〃z2-12=0.

[43

A〉0,即加＜442+3,

设Af(4％),N(x2,y2),

8km,/、〜6m

贝ij周+%=-3+4公'%+%=左(%+%)+2根=§+4左2'

.(4km3m

"〔一3+4左2'3+4+2

3m

k=3+4左2=3

op~4km—4k.

―3+4-2

17.如图，在正四棱台ABC。—44GR中，A3=24与=4.

（1）求证：平面ABCD1平面ACG4；

（2）若直线4c与平面ACGA所成角的正切值为立，求二面角8-CG-A的正弦值.

6

【答案】（1）证明见解析

⑵也

17

【解析】

【分析】（1）将正四棱台补成正四棱锥尸-A5CD,证明尸平面A3CD,再根据面面垂直的判定定理,

即可证明结论；

（2）建立空间直角坐标系，利用直线片。与平面ACG4所成角的正切值求出棱台的高，求出相关点坐标,

求出平面5CG用的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案.

【小问1详解】

延长,四,CQ,DDX交于一点P,连接BD交AC于0；

P

由正四棱台定义可知，四条侧棱交于点P,且四棱锥尸—A6CD为正四棱锥,

即/，4=必=2。=?。，又点O分别为AC,的中点，

故尸OLACPOLBD,而ACBD=O,AC,8。u平面ABQ）,

故尸01平面ABCD,又POu平面ACQA,

18.某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北

区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求.

就餐区域

性合

南北

别计

区区

男331043

女38745

合

711788

计

(1)现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据

«=0.100的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？

(2)张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为3；如果前一

12

天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为一，如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙

33

餐厅的概率均为张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为4，--

2442

a0.1000.0500.0250.010

Xa2.7063.8415.0246.635

(i)求第2天他去乙餐厅用餐的概率;

(ii)求第〃(«eN*)天他去甲餐厅用餐的概率

附：_______Mad-bcy______

n=a+b+c+d；

(〃+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

【答案】(1)没有关联

(2)(i)-；

8

【解析】

【分析】(1)根据卡方的公式代入计算，与临界值比较，即可求解；

(2)(i)根据相互独立事件的概率，结合全概率公式即可求解；(ii)根据递推关系，结合等比数列的定

义即可求解.

【小问1详解】

零假设“。：在不同区域就餐与学生性别没有关联，

根据表中的数据可得，*=88x(33x7-10x38)土°&37<2706，

43x45x71x17

依据a=0.100的独立性检验，没有充分证据推断不成立，

因此可以认为Ho成立，即认为在不同区域就餐与学生性别没有关联.

【小问2详解】

设4="第i天去甲餐厅用餐”，用="第i天去乙餐厅用餐”，

C,="第i天去丙餐厅用餐”，

则4,4.，G两两独立，，=1,2,-n,

由题意可得，p(a)=p(3j=；,P(G)=；，p(a+4a)=g，

p(a+iB)=g，p(aMG)=:，p(%|a)=:,网/匕)=}

P(G+M=§，

(i)由为=生儿+B2q,结合全概率公式可得，

P(3J=P(与4+32G)=P(A)P(因A)+P(G)P(32|G)

11113

=—x——I——X—=—,

42228

所以张同学第2天去乙餐厅用餐的概率为、3

O

(ii)记第〃(〃eN*)天他去甲，乙，丙餐厅用餐的概率分别为

,11

则nPi=d=4'，=5，

由全概率公式可得a=P(4)=P(AA-1+442T+4G-)

=P(44T)+P(4%J+P(4GI)

=P(4_1)P(A|4_1)+P(B„_1)P(A|B„_1)+P(C„_1)P(A|C„_1)

故P“=5Pn-l+-纵-1+122)①，

同理可得％=gp“_i+g*(“22)②，

2

③,pn+qn+rn=l@,

由①②可得Pn=%§纵一，由④可得P-i=1-纭T—*1，

代入②中可得纵=J—,即=

乙乙JN1°J

口1111

*3—43-12)

故数列［