2024届河北省邢台市某中学中考数学四模试卷含解析

2024学年河北省邢台市第十九中学中考数学四模试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.如图，四边形ABCD中，AB=CD,AD〃BC,以点B为圆心，BA为半径的圆弧与BC交于点E,四边形AECD

是平行四边形，AB=3,则*E的弧长为（）

7137r

A.——B.71C.D.3

2T

2.一元二次方程x2-5x-6=0的根是（）

A.xi=l,X2=6B.XI=2,X2=3C.xi=l,X21=-6D.xi=-1,X2=6

3.如图，口ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC+BD=16,CD=6,则△ABO的周长是（）

A.10B.14C.20D.22

4.如图，要使DABCD成为矩形，需添加的条件是（）

A.AB=BCB.ZABC=90°C.AC±BDD.Z1=Z2

5.若|a|=-a,则a为（）

A.a是负数B.a是正数C.a=0D.负数或零

6.如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解

释这一现象的数学知识是（）

A.垂线段最短B.经过一点有无数条直线

C.两点之间，线段最短D.经过两点，有且仅有一条直线

3

7.已知点4匹,3）、6（々,6）都在反比例函数丁=-一的图象上，则下列关系式一定正确的是（）

x

A.再<%2<°B.玉<0<%2C.%2<再<°D.x2<0<Xj

8.如图，在ABC中，D、£分别在边A3、AC上，DEHBC,EF/ICD交AB于F,那么下列比例式中正确的是

AFDEDFAFEFDEAFAD

---------

A.-----B.-----二-------C.------------D.-----

DFBCDBDFCDBCBDAB

9.若代数式一L

+有意义，则实数X的取值范围是（）

x-1

A.B.x>0C.x邦D.。。且*1

10.如图，四边形ABCD是菱形，ZA=60°,AB=2,扇形BEF的半径为2,圆心角为60。，则图中阴影部分的面积是

D.兀-6

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.已知二次函数y=«%2+bx+c（awo）,y与x的部分对应值如下表所示:

・・・-101234•・・

y・・・61-2-3-2m・・・

下面有四个论断：

①抛物线y^ax2+bx+c(a^t0)的顶点为(2,-3)；

②4ac=0;

③关于》的方程就2+陵+0=-2的解为西=1,々=3；

④m=-3.

其中，正确的有.

12.两个完全相同的正五边形都有一边在直线1上,且有一个公共顶点O,其摆放方式如图所示，则NAOB等于

13.二次函数7=(x-2m)2+1,当wVxC/n+l时，y随x的增大而减小，则机的取值范围是.

14.如图，在△ABC中，NB=40。，NC=45。，AB的垂直平分线交BC于点D,AC的垂直平分线交BC于点E,则

ZDAE=

15.如图，将量角器和含30。角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使三角板的0cm刻度线与量角器的0。线在

同一直线上，且直径OC是直角边5c的两倍，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E,则点E在量角器上所

对应的度数是——.

16.如图，AABC中，ZBAC=75°,BC=1,AABC的面积为14,。为8C边上一动点(不与3,。重合),

将AABZ)和AACD分别沿直线AB,AC翻折得到AABE和AACP,那么△4£厂的面积的最小值为

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）如图所示，A、B两地之间有一条河，原来从A地到B地需要经过桥DC,沿折线A-D-C-B到达，现

在新建了桥EF（EF=DC）,可直接沿直线AB从A地到达B地，已知BC=12km,ZA=45°,NB=30。，桥DC和AB

平行.

（1）求桥DC与直线AB的距离；

（2）现在从A地到达B地可比原来少走多少路程？

（以上两问中的结果均精确到0.1km,参考数据：72-1.14,51.13）

18.（8分）有两把不同的锁和四把不同的钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，其余的钥匙不能打开这两把

锁.现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁.

（1）请用列表或画树状图的方法表示出上述试验所有可能结果；

（2）求一次打开锁的概率.

19.（8分）已知关于x的方程x】+（lk-1）x+k-1=0有两个实数根xi,xi.求实数k的取值范围；若xi,xi满足

xj+xii=16+xixi,求实数k的值.

20.（8分）如图，AB、CD是。。的直径，DF、BE是弦，且DF=BE,求证：ZD=ZB.

21.（8分）如图，在AABC中，AB=AC,AE是8C边上的高线，平分NABC交AE于点M,经过B,M

两点的）。交8C于点G,交AB于点F,FB为。的直径.

A

M

B---GEC

（1）求证：A"是。的切线；

2

（2）当BE=3,cosC=不时，求0。的半径.

22.（10分）已知：正方形ABC。绕点A顺时针旋转至正方形但‘G,连接CE、OR.如图，求证：CE=DF；如

图，延长CB交EF于M,延长/G交CD于N,在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出如图中的四个角，使写

出的每一个角的大小都等于旋转角.

23.（12分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD,BC=DC,AC、BD相交于点O,点E在AO上，且OE=OC.求

证：Z1=Z2；连结BE、DE,判断四边形BCDE的形状，并说明理由.

R

24.随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷.某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”

调查问卷（每人必选且只选一种），在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，

请结合图中所给的信息解答下列问题：

⑴这次统计共抽查了名学生，最喜欢用电话沟通的所对应扇形的圆心角是一一°;

⑵将条形统计图补充完整；

⑶运用这次的调查结果估计1200名学生中最喜欢用QQ进行沟通的学生有多少名？

(4)甲、乙两名同学从微信，QQ,电话三种沟通方式中随机选了一种方式与对方联系，请用列表或画树状图的方法求

出甲乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率.

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、B

【解题分析】

V四边形AECD是平行四边形，

.\AE=CD,

VAB=BE=CD=3,

；.AB=BE=AE,

.,.△ABE是等边三角形，

.•.NB=60°,

607rx2x3

AAE的弧长==71.

360

故选B.

2、D

【解题分析】

本题应对原方程进行因式分解，得出(x-6)(x+1)=1,然后根据“两式相乘值为1,这两式中至少有一式值为1.”来

解题.

【题目详解】

x2-5x-6=l

(x-6)(x+1)=1

Xl=-1,X2=6

故选D.

【题目点拨】

本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根

据方程的提点灵活选用合适的方法.本题运用的是因式分解法.

3、B

【解题分析】

直接利用平行四边形的性质得出AO=CO,BO=DO,DC=AB=6,再利用已知求出AO+BO的长，进而得出答案.

【题目详解】

•.•四边形ABCD是平行四边形，

/.AO=CO,BO=DO,DC=AB=6,

VAC+BD=16,

/.AO+BO=8,

.•.△ABO的周长是：1.

故选B.

【题目点拨】

平行四边形的性质掌握要熟练，找到等值代换即可求解.

4、B

【解题分析】

根据一个角是90度的平行四边形是矩形进行选择即可.

【题目详解】

解：A、是邻边相等，可判定平行四边形ABCD是菱形；

B、是一内角等于90。，可判断平行四边形ABCD成为矩形；

C、是对角线互相垂直，可判定平行四边形ABCD是菱形；

D、是对角线平分对角，可判断平行四边形ABCD成为菱形；

故选:B.

【题目点拨】

本题主要应用的知识点为：矩形的判定.①对角线相等且相互平分的四边形为矩形.②一个角是90度的平行四边形

是矩形.

5、D

【解题分析】

根据绝对值的性质解答.

【题目详解】

解:当aWO时，|a|=-a,

/.|a|=-a时,a为负数或零，

故选D.

【题目点拨】

本题考查的是绝对值的性质，①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的

相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零.

6、C

【解题分析】

用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，

线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，

二能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短，

故选C.

【题目点拨】

根据“用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小”得到线段AB的长小于

点A绕点C到B的长度，从而确定答案.本题考查了线段的性质，能够正确的理解题意是解答本题的关键，属于基础

知识，比较简单.

7、A

【解题分析】

分析：根据反比例函数的性质，可得答案.

详解：由题意，得

k=-3,图象位于第二象限，或第四象限，

在每一象限内，y随x的增大而增大，

V3<6,

.\X1<X2<O,

故选A.

点睛：本题考查了反比例函数，利用反比例函数的性质是解题关键.

8、C

【解题分析】

根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质找准线段的对应关系，对各选项分析判断.

【题目详解】

AF_AEAE_DEAFDE

A、VEF/7CD,DE〃BC,:.——一,VCE^AC,:.----W-----9故本选项错误;

DFECAC-BC,DFBC

AF_AEAE_AD.AFADDFAF

B、VEF/7CD,DE〃BC,:.——一,••---------,VAD^DF,----W故本选项错误;

DFECEC~BD'DFBDDB而,

DEAEEF_AEEFDE

C、VEF#CD,DE/7BC,:.——一,・•・一,故本选项正确；

BCACCD~AC'CDBC

AD_AEAF_AEAFADAFAD

D、VEF/7CD,DE/7BC,:.——一,•*•一,VAD^DF,:.----W故本选项错误.

ABACAD-AC,ADABBDAB,

故选c.

【题目点拨】

本题考查了平行线分线段成比例的运用及平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的新三角形与原三角形相似的定

理的运用，在解答时寻找对应线段是关健.

9、D

【解题分析】

试题分析：,••代数式,+石有意义，

x-1

x—1w0

x>0

解得xK）且存1.

故选D.

考点：二次根式，分式有意义的条件.

10、B

【解题分析】

根据菱形的性质得出△DAB是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出△ABG之△DBH,得出四边形GBHD的

面积等于AABD的面积，进而求出即可.

【题目详解】

连接BD,

:四边形ABCD是菱形，ZA=60°,

.,.ZADC=120°,

；.N1=N2=6O°,

.,.△DAB是等边三角形，

VAB=2,

AAABD的高为君，

•.•扇形BEF的半径为2,圆心角为60。，

.,.Z4+Z5=60°,N3+N5=60°,

•*.Z3=Z4,

设AD、BE相交于点G,设BF、DC相交于点H,

在4ABG和ADBH中，

ZA=Z2

[AB=BD,

Z3=Z4

/.△ABG^ADBH(ASA),

二四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，

二图中阴影部分的面积是：S扇形EBF-SAABD=6°乃义2——*2x6

3602

故选B.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、①③.

【解题分析】

根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数性质逐一判断即可.

【题目详解】

由二次函数y=ax?+bx+c(a/0),y与x的部分对应值可知：

该函数图象是开口向上的抛物线，对称轴是直线x=2,顶点坐标为(2,-3)；与x轴有两个交点，一个在0与1之间,

另一个在3与4之间；当y=-2时，x=l或x=3；由抛物线的对称性可知，m=l；

二①抛物线y=ax?+bx+c(a/))的顶点为(2,-3),结论正确；

(2)b2-4ac=0,结论错误，应该是b2-4ac>0；

③关于x的方程ax?+bx+c=-2的解为xi=LX2=3,结论正确；

@m=-3,结论错误，

..•其中，正确的有.①③

故答案为：①③

【题目点拨】

本题考查了二次函数的图像，结合图表信息是解题的关键.

12、108°

【解题分析】

如图，易得△OCD为等腰三角形,根据正五边形内角度数可求出NOCD,然后求出顶角NCOD,再用360。减去NAOC、

NBOD、NCOD即可

【题目详解】

•••五边形是正五边形，

.•.每一个内角都是108°,

:.ZOCD=ZODC=180°-108°=72°,

.\ZCOD=36O,

.•.ZAOB=360°-108o-108o-36o=108°.

故答案为108°

【题目点拨】

本题考查正多边形的内角计算，分析出AOCD是等腰三角形，然后求出顶角是关键.

13、m>l

【解题分析】

由条件可知二次函数对称轴为x=2m,且开口向上，由二次函数的性质可知在对称轴的左侧时y随x的增大而减小，

可求得m+lV2m,即m>L

故答案为m>L

点睛：本题主要考查二次函数的性质，掌握当抛物线开口向下时，在对称轴右侧y随x的增大而减小是解题的关键.

14、10°

【解题分析】

根据线段的垂直平分线得出40=80,AE=CE,推出N3=NBAZ>,NC=NCAE,求出NA4O+/CAE的度数即可得到

答案.

【题目详解】

,:鼠D、E分别是A3、AC边的垂直平分线与5c的交点，

：.AD=BD,AE=CE,

；.NB=NBAD,NC=NCAE,

VZB=40°,ZC=45°,

：.ZB+ZC=85°,

：.ZBAD+ZCAE=85°,

：.ZDAE=ZBAC-(ZBAD+ZCAE)=180o-85°-85o=10°,

故答案为100

【题目点拨】

本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，线段的垂直平分线的性质等知识点的理解和掌握，能综合

运用这些性质进行计算是解此题的关键.

15、60.

【解题分析】

首先设半圆的圆心为。，连接。E,OA,由题意易得AC是线段的垂直平分线，即可求得NAOC=NABC=60。，

又由AE是切线，易证得RtAAOE义R3AOC,继而求得/AOE的度数，则可求得答案.

【题目详解】

设半圆的圆心为O,连接。E,OA,

'：CD=2OC=2BC,

：.OC=BC,

VZACB=90°,ACLOB,

^.OA=BAf

ZAOC=ZABC9

VZBAC=30°,

AZAOC=ZABC=60°,

,：AE是切线，

ZAEO=90°,

:.ZAEO=ZACO^90°,

•在RtAAOE和RtAAOC中，

AO=AO

OE=OC'

ARtAAOE^RtAAOC(HL),

:.NAOE=NAOC=60°,

:.ZEOD=1SO°-NAOE-ZAOC=60°,

...点E所对应的量角器上的刻度数是60°,

故答案为：60.

【题目点拨】

本题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质以及垂直平分线的性质，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意掌

握数形结合思想的应用.

16、4.

【解题分析】

过E作EGLAF,交FA的延长线于G,由折叠可得NEAG=30。，而当AD^BC时，AD最短，依据BC=7,△ABC

的面积为14,即可得到当AD_LBC时，AD=4=AE=AF,进而得到△AEF的面积最小值为：—AFxEG=—x4x2=

22

4.

【题目详解】

解：如图，过E作EGLAF,交FA的延长线于G,

由折叠可得，AF=AE=AD,ZBAE=ZBAD,ZDAC=ZFAC,

；NBAC=75。，

.,.ZEAF=150°,

.\ZEAG=30°,

11

，EG=—AE=—AD,

22

当ADLBC时，AD最短,

VBC=7,△ABC的面积为14,

.•.当AD_LBC时，

-BCAD=14,

2

即：AD=14x24-7=4=AF=AE,

：.EG=-AE=-x4=2.

22

/.△AEF的面积最小值为：

11

-AFxEG=-x4x2=4,

22

故答案为：4.

【题目点拨】

本题主要考查了折叠问题，解题的关键是利用对应边和对应角相等.

三、解答题(共8题，共72分)

17、(1)桥DC与直线AB的距离是6.0km；(2)现在从A地到达B地可比原来少走的路程是4.1km.

【解题分析】

⑴过C向AB作垂线构建三角形，求出垂线段的长度即可；⑵过点D向AB作垂线，然后根据解三角形求出AD,CB

的长，进而求出现在从A地到达B地可比原来少走的路程.

【题目详解】

解：(1)作CHLAB于点H,如图所示，

VBC=12km,ZB=30°,

/.CH=^BC=6km,B11=6^3km,

即桥DC与直线AB的距离是6.0km；

(2)作DMLAB于点M,如图所示,

•.•桥DC和AB平行，CH=6km,

；.DM=CH=6km,

；NDMA=90°,ZB=45°,MH=EF=DC,

.卫J"友

•*.AD=sin45J2km,AM=DM=6km,

,现在从A地到达B地可比原来少走的路程是：(AD+DC+BC)-(AM+MH+BH)=AD+DC+BC-AM-MH-

BH=AD+BC-AM-BH=6&+12-6-66=6+6万6石«4.1km,

即现在从A地到达B地可比原来少走的路程是4.1km.

【题目点拨】

做辅助线，构建直角三角形，根据边角关系解三角形，是解答本题的关键.

18、(1)详见解析(2)-

4

【解题分析】

设两把不同的锁分别为A、B,能把两锁打开的钥匙分别为〃、b,其余两把钥匙分别为加、",根据题意，可以画

出树形图，再根据概率公式求解即可.

【题目详解】

(1)设两把不同的锁分别为A、B,能把两锁打开的钥匙分别为。、b,其余两把钥匙分别为机、〃，根据题意，可

以画出如下树形图：

由上图可知，上述试验共有8种等可能结果；

(2)由(1)可知，任意取出一把钥匙去开任意一把锁共有8种可能的结果，一次打开锁的结果有2种，且所有结果

的可能性相等.

21

AP(一次打开锁)

84

【题目点拨】

ITJ

如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率尸(A)=—.

n

5

19、(2)k<-;(2)-2.

4

【解题分析】

试题分析：(2)根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=-4k+5K),解之即可得出实数k的取值范围；(2)由

根与系数的关系可得X2+X2=2-2k、X2X2=k2-2,将其代入X22+X22=(X2+X2)2-2X2X2=26+X2X2中，解之即可得出k的

值.

试题解析：(2)•.•关于X的方程x2+(2k-2)x+k2-2=0有两个实数根X2,X2,

q

.*.△=(2k-2)2-4(k2-2)=-4k+5>0,解得：k<,

•••实数k的取值范围为公,.

(2)I•关于x的方程x?+(2k-2)x+k?-2=0有两个实数根X2,X2,

.*.X2+X2=2-2k,X2X2=k2-2.X22+X22=(X2+X2)2-2X2X2=26+X2X2>

:.(2-2k)2-2x(k2-2)=26+(k2-2),即k2-4k-22=0,

解得：女=-2或1<=6(不符合题意，舍去)....实数k的值为-2.

考点：一元二次方程根与系数的关系,根的判别式.

20、证明见解析.

【解题分析】

根据在同圆中等弦对的弧相等，AB、CD是。。的直径，则=由FD=EB,得，FD=EB>由等量减去

等量仍是等量得：CFD-FD=AEB-EB，即EC=AE，由等弧对的圆周角相等，得ND=NB.

【题目详解】

解：方法(一)

证明：•；AB、CD是。O的直径，

•*-CFD=AEB-

VFD=EB,

,,FD=EB•

••CFD-FD=AEB-EB-

即FC=AE-

；.ND=NB.

方法(二)

证明：如图，连接CF,AE.

VAB,CD是。O的直径，

.-.ZF=ZE=90°(直径所对的圆周角是直角).

VAB=CD,DF=BE,

/.RtADFC^RtABEA(HL).

/.ZD=ZB.

【题目点拨】

本题利用了在同圆中等弦对的弧相等，等弧对的弦，圆周角相等，等量减去等量仍是等量求解.

21、(1)见解析；(2)。的半径是

【解题分析】

(1)连结易证由于AE是边上的高线，从而可知所以AM是。的切线.

(2)由于=从而可知EC=BE=3,由cosC=—=—，可知：AC=-EC=—,易证AAOM:AABE,

5AC22

所以”=也，再证明COSNAOM=COSC=2,所以=从而可求出。”.

BEAB527

【题目详解】

解：(1)连结.

•/3M平分NABC,

•**Nl=N2,又0M=0B,

：./2=/3,

：.OMPBC,

：AE是边上的高线,

：.AE±BC,

：.AMLOM,

是。的切线.

(2)'：AB=AC,

：.ZABC=AC,AELBC,

是BC中点，

：.EC=BE=3,

EC

cosC=-

5AC

15

AC=-EC

2~2

•：OMPBC,ZAOM=ZABE,

：.AAOM:\ABE,

.OMAO

••一f

BEAB

又；ZABC=ZC,

ZAOM=ZC,

在HAAOM中，

2

cosZAOM=cosC=—,

5

.OM_2

••——9

AO5

AO=-OM,

2

57

AB=-OM+OB=-OM,

22

而AB=AC="，

2

k。的半径是不

【题目点拨】

本题考查圆的综合问题，涉及锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，综合程度较高,

需要学生综合运用知识的能力.

22、(1)证明见解析；(2)ZDAG,ZBAE,ZCNF,ZFMC.

【解题分析】

(1)连接AF、AC,易证NEAC=NDAF,再证明AEACWADAF,根据全等三角形的性质即可得CE=DF；(2)由旋

转的性质可得NDAG、/BAE都是旋转角，在四边形AEMB中，NBAE+NEMB=180。，ZFMC+ZEMB=180°,可

得NFMC=NBAE,同理可得NDAG=NCNF,由此即可解答.

【题目详解】

(1)证明：连接

正方形ABC。旋转至正方形AEFG

:.NDAG二NBAE,ZBAC=ZGAF=45°

：.ZBAE+ZBAC=ZDAG+ZGAF

：.ZEAC=ZDAF

在AE4c和AZM/中，

AE=AD

<ZEAC=ZFAD,

AC=AF

：.NEAC=ADAF

:.CE=DF

(2).NDAG、N