2024年高考数学专项练习：导数与三角函数结合问题的研究（解析版）

2024年高考数学专项练习导数与三角函数结合问题的研究（解

析版）

导教身三角褊毅辂合同殿的研究

■考■

有关导数与三角函数交汇的试题在高考与模拟试题中频频出现.在函数与导数试题中加入三角函数，由于三角

函数具有周期性,无法通过多次求导使三角函数消失，使得后续问题的处理比较困难,从而造成学生思维上的

难度.我们可从以下几个角度来突破此类问题的难点.

1.分段讨论

①以一卷，0,彳■，兀，…为端点分区间讨论；②以三角函数的最值点为端点分段讨论•

2.巧用放缩，消去三角函数

①正弦函数：当2>0时,2>sina;>x—-^-a;2.②余弦函数:cosrc>1—-^-rc2.

③正切函数：当/e（0,g）时,sin/VrcVtanc.④数值域:sineG[—l,l],cosa?E[—1,1].

3.分离函数:将含有三角函数的式子放到一起.

4.分离参数:转化为函数值域问题.

5.半分离参数:将不等式等价转化，化为左右两边函数是一直线与一曲线,考虑端点处的切线斜率.

_L题■—

【精选例题】

题目工|已知函数/（C）=e"—aa?,aER,/（z）是/（2）的导数.

（1）讨论/（，）的单调性,并证明：e">2,；

（2）若函数g（c）=/'（2）—rreose在区间[0,+8）内有唯一的零点，求a的取值范围.

题目可已知函数/⑺=sin力一比一ae。其中Q为实数,e是自然对数的底数.

⑴若a=—l,证明:/（力）＞0;

（2）若f（x）在（0,兀）上有唯一的极值点,求实数a的取值范围.

目已知函数/（力）=e力gQ）=sin/+cosx.

（1）求证：/（力）＞力+1；

（2）若力＞0,问/（力）+g{x）—2—ax^0（a6R）是否恒成立？若恒成立，求。的取值范围;若不恒成立，请说

明理由

•••

题目二|已知函数/(力)=e/+cos/—Q(QeR).

(1)讨论，(力)在[—兀,+8)上的单调性；

(2)当力e[0,+oo)时,e^+sina;>ax+1恒成立，求Q的取值范围.

题目支|已知函数/(劣)=asin力，其中Q>0.

(1)若/(力)《力在[0,+oo)上恒成立，求。的取值范围；

(2)证明:V宏G(0,+oo)，有2e*>(6+—)[ln(rc+1)+sinx].

•••

题目五|已知函数/⑺=ae°+4sin力—5力.

(1)若Q=4,判断/(力)在［0,+8)上的单调性；

(2)设函数p(力)=3sinc—2力+2,若关于力的方程/(力)=0(/)有唯一的实根，求Q的取值范围.

题目可已知函数/(比)=6,，g(力)=2—sinx—cosx.

(1)求证：当力6(0,+oo),x>sinrr；

(2)若力G(0,+oo),f(jj)>gQ)恒成立，求实数Q的取值范围.

•••

题目瓦|已知函数/(力)=asina;—ln(l+a;)(aGR).

(1)若a=—1,求证：V力>0,/(a;)+2力>0；

(2)当a>1时,对任意①C［。,寺］,都有/(⑼>0,求整数k的最大值.

题目可已知函数/(c)=(力一l)e"+ac+1.

(1)若/(，)有两个极值点,求a的取值范围；

(2)若力>0,/(力)>2sin/，求a的取值范围.

•••

^^■工口已知函数/(力)=%—sin(~^c)—aln/,N=1为其极小值点.

(1)求实数Q的值；

(2)若存在力1W+2,使得/(0)=/(◎)，求证：力1+力2>2.

题目叵(2023全国新高考2卷)⑴证明：当0VcV1时，/一/VsincV/；

(2)已知函数/(力)=cosax—ln(l—力9,若/=0是/(力)的极大值点，求Q的取值范围.

•••

【限踪训练】

［题目|1］已知函数/㈤^xeTx+asmx,e是自然对数的底数，若土=0恰为了㈤的极值点.

(1)求实数a的值；

(2)求/(,)在区间(-oo,^)上零点的个数.

题目可已知函数/(2)=2cosc+ln(l+/)一1.

(1)判断函数/(⑼在区间(01)上零点和极值点的个数,并给出证明;

(2)若，＞0时,不等式/(切Vac+1恒成立，求实数a的取值范围.

•••

题目可已知函数/（力）=xex—l,g⑸=a（x+lnx）且/（劣）一gQ）>0恒成立.

⑴求Q的值；

⑵证明:x3ex>（a?2+3）lna;+2sinrc.

（注:其中e=2.71828…为自然对数的底数）

题目⑷已知函数/（力）=力+sine，力eR.

（1）设gQ）=/（/）--^-x，求函数gQ）的极大值点；

（2）若对V力G［。考］，不等式/（力）'馆/cos6（m>0）恒成立，求加的取值范围.

•••

面目回已知函数/（力）=或？一Q（力sin力+cos力）+cosT+a（a;＞0）.

（1）当Q=1时，

（1）求（兀,/（兀））处的切线方程；（〃）判断/（力）的单调性,并给出证明;

（2）若/（力）＞1恒成立，求a的取值范围.

题目五|已知/（/）=arc2—COST—xsinx+a（aER）.

⑴当a=］时，求g=/Q）在［一兀，兀］内的单调区间；

（2）若对任意的力GR时,/（力）＞2恒成立,求实数Q的取值范围.

•••

题目可已知函数/（力）=ex~a—x—cosx,x6（―兀,兀）其中e=2.71828…为自然对数的底数.

（1）当Q=0时，证明：/（力）＞0;

（2）当。=1时，求函数"=/（力）零点个数.

~8^|已知函数/（力）=（a一l）ex+ax+1.

⑴若a=-e,求/⑺的极值；

（2）若力＞0,/（力）＞2sin/,求a的取值范围.

•••

题目目|已知函数/(,)=2sinrc—ln(l+s)(0<a:<7t).

(1)证明：函数/(2)有唯一的极值点a,及唯一的零点6；

(2)对于⑴问中a,万，比较2a与6的大小，并证明你的结论.

题目:乙已知函数/(2)=aa?+a；—ln2c.

(1)若/(，)在［1,+oo)上单调递增，求a的取值范围；

(2)若函数g(0)=但士1叫—sine在(0㈤上存在零点，求a的取值范围.

•••

题目11）已知函数/（力）=ln/+sin/.

（1）求函数/（力）在区间［l,e］上的最小值;

（2）判断函数/（力）的零点个数，并证明.

题目已知函数/（6）=］Q62_（Q—2）/—21n力.

⑴当Q=2时，证明：—>sinx.

（2）讨论了（为的单调性.

•••

题目叵)⑴证明:当C<1时，工+l4e，W匚3；

(2)是否存在正数a，使得/(①)=2e"+asin工-a/_g+2)/在R上单调递增,若存在，求出a的取值范围;

若不存在,请说明理由.

导裁E三龟占裁传会闽发妁祈窕

■考点J

有关导数与三角函数交汇的试题在高考与模拟试题中频频出现.在函数与导数试题中加入三角函数，由于三角

函数具有周期性,无法通过多次求导使三角函数消失，使得后续问题的处理比较困难,从而造成学生思维上的

难度.我们可从以下几个角度来突破此类问题的难点.

1.分段讨论

①以一个，0,彳■，兀，…为端点分区间讨论；②以三角函数的最值点为端点分段讨论•

2.巧用放缩，消去三角函数

①正弦函数：当力>0时，力>sin/>®—②余弦函数:cos/>1—4"/.

③正切函数：当力E（°，"!"）时,sin/V力Vtan力.④数值域:sine6［—1,1］,cos力G［—1,1］.

3.分离函数:将含有三角函数的式子放到一起.

4.分离参数:转化为函数值域问题.

5.半分离参数:将不等式等价转化，化为左右两边函数是一直线与一曲线,考虑端点处的切线斜率.

■题型J

【精选例题］

题目工|已知函数/（/）=eJQN,aER,f（x）是/（力）的导数.

（1）讨论/（力）的单调性,并证明：2力；

（2）若函数gQ）=/'（力）一/cos%在区间［0,+8）内有唯一的零点，求a的取值范围.

【答案】（1）答案见解析；（2）Q>1

【详解】⑴因为/（力）=e*—a力，所以/'（力）=ex—a,当a<0时，/'（力）=e"—Q>0,则/（2）=e"一ar在R上单

调递增，当Q>0时，令/'（力）=ex-a>0得6>Ina,令/'⑺=ex—a<0得reVIna,所以函数/（力）的增区间

为（Ina,+8）,减区间为（―oojna）,令FQ）=e°—2力，则F\x）=e*—2,令F'（力）=e°-2>0得比>ln2,

令尸Q）=e'—2Vo得力Vln2,所以函数FQ）的增区间为（ln2,+oo）,减区间为（-8,ln2）,所以当力=ln2

ln2

时，尸（力）取得最小值为F（ln2）=e-21n2=2-21n2>0,所以e*>2/,得证；y..

⑵由⑴知，g（力）=e"—a—rccos/，因为函数gQ）在区间［0,+8）内有唯一勺零点，所以方/

程a=6°—力cos/在区间［0,+8）内有唯一解，令九（%）=e‘一/cos力逆>0,则函数“力）=e*/

一力cos）与g=a在［0,+co）上只有一个交点，记nz（6）=e,—6一1,（力>0）,则*（6）=e°—1/

>0,所以a（名）在［0,+8）上单调递增，所以m{x}—ex—x—1>e°—1=0,即ex>rc+1,故］匕»

,0|x

K［x}=e*—cos/+力sin力>1—cosx+x（l+sin/）>0,

所以ZzQ）=e。一/cos力在［0,+oo）上单调递增，又无（0）=1,如图：要使方程a=e“一/cos）在区间［0,+oo）内

有唯一解，则.所以a的取值范围是a>l.A

题目可已知函数/（力）=sin力一比一ae。其中Q为实数,e是自然对数的底数.

⑴若a=—l,证明:/（力）>0;

（2）若f（x）在（0,兀）上有唯一的极值点,求实数a的取值范围.

xx

【解析】⑴证明:Q=—1时,/（力）=sin①一力+e1令。（6）=e—xf则g（x）=e—1,当力V0时,g'（力）VO,g（力）

在（一oo,0）上为减函数，当％>0时,g'⑺>O,gQ）在（0,+8）上为增函数，函数g{x}的极小值也是最小值

为g（。）=L所以g（x）>g（0）=1,而—sine41,所以ex—x>—sinrr,即/（x）>0.

（2）/（力）在（0,兀）上有唯一^勺极值点等价于/'（劣）=COST—1—aex—0在（0,兀）上有唯一^勺变号零点,/'（/）=

0等价于a=cos/—1,设％（①）=cos/—1丁6（0,兀），

exex

if/\—sin/—cos力+11―"2sin（"+«）兀兀5兀\业一兀口为

h（力）=----------------=-----------------，因为力e（0,兀），所以6十二-e工，丁，当ov力〈宫时，力

ee4'44，2

+£e（争争'sin（力+十）>彳^，八'（力）v0,无（方）在（°，5）上为减函数，当5V6V兀时，/+me

（e+］）（^^,"（力））0,九（名）在（寺兀）上为增函数，所以函数h{x}的极小值也是最小值为

Mg）=——,又%（0）=0,九⑺=--—,所以当一-—<a<0时，方程a=cos/—^在（0,兀）上有唯一的变号

\2'食e兀6兀ex

e

零点，所以Q的取值范围是［一々,0）.

题目瓦|已知函数/（力）=e3g（劣）=sin/+cos/.

（1）求证：/（力）>6+1；

（2）若力>0,问/（力）+g（a?）—2—>0（QGR）是否恒成立？若恒成立，求a的取值范围；若不恒成立,请说

明理由

【答案】（1）证明见解析；（2）Q42

【详解】⑴令FQ）=e—力一l,F'Q）=eZ-L,当今6（一8,0）,F'Q）V0,所以此时FQ）单调递减；

当力£（0,+8）,F'O）>0,所以此时FQ）单调递增；即当力=0时，FQ）取得极小值也是最小值F（0）=0,

所以尸（力）>0,得证；

（2）设九（n）=f（8）+g（x）—2—a力，即证h（x）=e"+sini+cosx—2—a/>0在［0,+oo）上恒成立，易得M

（力）=ex+cosx—sin/—Q,当/=0时，若九'（0）=2—a>0=>a&2,下面证明：当a42时，h（x）—e*+sinN

+COST—2—Q力>0,在［0,+oo）上恒成立，因为K（x）—e^+cosrc-sin/一a,设u{x）—//（力）,

令o（i）=x—sinx,v（x）=1—cos1>0,所以oQ）在［0,4-oo）上是单调递增函，所以"（力）>o（0）=0,

又因为1—cos1>0,则u\x）—ex—sinx-cosx>C+1—sin/—cosx—x—sinrr+1—cosx>0所以//（6）

在［0,+8）上是单调递增函数，所以九'（/）>〃（0）=2-a>0,所以九（力）在［0,+8）上是严格增函数，若a

>2时，―（0）V0,即h（x）在6=0右侧附近单调递减,此时必存在h（xo）<h（0）=0,不满足/（%）+g（x）—

2—Q/>0（QE/?）恒成立，故当a42时，不等式恒成立.

题目工|已知函数/（力）—a（aGR）.

⑴讨论/（/）在［—兀,+8）上的单调性;•••

(2)当力e[0,+co)时,ex-^-smx>ax+1恒成立，求Q的取值范围.

【答案】⑴/(力)在[—兀,+8)上的单调递增；(2)(—8,2]

【详解】(l)f(力)=ex—sinx,当一兀<力<0时，1>0,sin/V0,.•./(/)=ex—sinx>0,当x>0时，ex>l,

sin力&1,.,./(/)=e*—sin力>0,即：/'(力)>0在[—兀,+8)上恒成立，所以/(力)在[—兀,+8)上的单调递增.

(2)方法一:由ex+sinT>。力+1得：e^+sina;—ax—1^0当力=0时，e^+sin)一一1二0恒成立，符合题

意

令9(6)—e筮+sin力—ax—1,x>Og'Q)=e"+cos力—a—f(x),由⑴得:g(x)在(0,+co)上的单调递增，,g

3)>2—a,①当a<2时，g'3)>2—a>0,所以g㈤在(0,+8)上的单调递增，所以g㈤〉g(0)=0,符合

题意②当a>2时，g'(0)=2—a<0,g'(ln(2+a))=2+cos(ln(2+a))>0,/.存/〃(x)

在(0,ln(2+a)),使得g'(g)=0,当0c力Vg时，g'(力)Vg'(g)=0;所以/、、

//y=2x+\

g{x}在(0,g)上的单调递减，当0〈力Vg时，g(/)<g(0)=0,这不符合题意综//

上，a的取值范围是(—8,2]./

方法二：令h{x}—e^+sinx,s(力)—ax力)0贝U九(0)=s(0)=1,符合题意h'

(力)=e*+cosc=/(力)+a,/'(力)=ex—sinx由⑴得：/'(力)>0在(0,+8)上恒成&

立，h!(x)在(0,4-oo)上单调递增所以，片(力)>矶0)>0,所以八(比)在(0,4-oo)上单

调递增，其图象是下凸的，如图：•・・〃(())=2,所以，曲线九㈤在点(0,1)处的切线方程为：g=2/+1,要使

得九(力)>s(6)在[0,+oo)上恒成立，只需a02

所以，a的取值范围是(一8,2].

题目回已知函数/(力)=asin力，其中a>0.

(1)若/(力)《]在[0,+oo)上恒成立，求a的取值范围；

(2)证明：V/e(0,+GO)，有2ex>(%+—^[ln(rc+1)+sinx].

【答案】(1)(0」];(2)证明见解析

【详解】(1)令h(x)—x—asinx,xE[0,+oo)，则K{x}=1—acosrc,当aW(0,1]时，h\x)>0,h(x)单调递

增，所以h{x}>无(0)=0,当aC(l,4-oo)时，令m,(力)=//(力)=1—QCOSC,贝Um(x)=asin力,所以对VrcE

(0号),m{x}>0,则片(x)在(。4)上单调递增，又因为九'(0)=1—aV0,=1>。,所以由零点存

在定理可知,3XQE(0号)使得"(g)=0,所以当xE(0,g)时，h!(x)<0,h(x)单调递减，h(x)</i(0)=

0,与题意矛盾，综上所述，aG(0,1].

(2)由(1)知，当a=1时，sin/W力，VreE[0,+co).先证ln(/+1)&力，/G[0,+co)，令(p(x)—x—

In(a;+1)，则(p\x)=1—力；]40,所以(p(x)单调递增,0(6)>0(0)=0,即In(re+1)所以当力G

(0,+oo)时，ln(x+1)+sinc&2力，(力+!)[InQ+1)+sinrr]42(x2+l).要证xE(0,+oo)，有2式>

(6+—^[ln(x+1)+sin6]，只需证ex>x2+l.令g(x)=(re2+l)e-:E—1,xE(0,+oo),则g'(c)=

(2x—a?—1L)e~x=—(x—1)%一。&0.所以g(%)在(0,+oo)上单调递减，所以g(x)Vg(0)=0,即ex>x2+l.综

•••

上可得可力W(0,+oo),有2ex>[x+2+1)+sin4].

题目百］已知函数/(劣)=ae"+4sin力—5x.

(1)若。=4,判断/(力)在［0,+8)上的单调性；

(2)设函数p(力)=3sin6—2劣+2,若关于力的方程/(劣)=「(力)有唯一的实根，求Q的取值范围.

【答案】⑴函数fQ)在［0,+oo)上单调递增.(2)Q40或Q=2

【详解】(1)当a=4时JQ)=4e*+4sin%—5x,fr(x)=4e*+4cos力一5,令g(力)=f(re)=4e*+4cos比一5,则

g'(x)=4e"一4sin力.当力G［0,+oo)时，4e°>4(力=0时等号成立)；一4sinN>—4(力=£■+2kn,keZ时等号

成立),所以g(x)=4e°—4sin6>0,即函数/'⑺=4e"+4cos/一5在［0,+oo)上递增，所以/'(力)>/'(0)=3

>0,即函数/(6)在［0,+8)上单调递增.

(2)方程/(力)=p(x)即aei+dsin力-5力=3sin力一24+2有唯一的实根，则a=阮+2—sin*只有一个解,

等价于直线g=a与函数y=3,+2—sine的图象只有一个交点,令h(x\=3-+2—sin*,则〃⑶=

exex

sine—c°s<+1—3°，因为屋>0,所以h，@)=simr—cosA+l—3/的符号由分子决定，令利氏)=

e。e±

—COST+1—3/，则m'⑸=cosx+sinre—3=2〃^sin(力+于)-3V0.所以m{x}—sinre-cos力+1—3力

在7?上递减，因为m(0)=0,所以当xE(—oo,0)时，m(T)>m(0)=0;当力e(0,+GO)时，m(x)<m(0)=

0.即当力E(—oo,0)时，K(x)>0;当xE(0,+oo)时，K(x)<0.所以函数h(x)—呢+2—sinx在/QQ^QA

ex

上递增，在(0,+oo)上递减，当力趋于一00时，1趋于0且大于0,分子3%+2

—sin/趋于一8,则3“.2°si"，趋于—co；当力=0时，拉max(力)=以。)=

3x+2-sinx

2;当rc趋于+8时，e”趋于+8,分子3力+2—sin/也趋于+8,令0(力)=e*/ex

—(3/+2—sina?),则cp(x)=ex—3+cosx,——/-J----------\

当力>2时，/(/)=ex—3+cos力>0,则⑦趋于+8时，e*增长速率大于3x/

+2—simr的增长速率，故:趋于+8时，3「+2；simr趋于0.画出函数

h［x)=.+2—‘in%的草图，并画出直线g=Q,要使直线g=Q与函数y=.)2—鱼生的图象只有一个

exex

交点.则a&O或Q=2.所以当Q&0或Q=2时，方程/(2)=p(a?)有唯一■的实根.

题目1I已知函数/(劣)=e*，g{x}=2—sine—cosc.

(1)求证:当宏W(0,+oo),x>sinx；

(2)若NG(0,+oo),y(j；)>gQ)+a力恒成立,求实数Q的取值范围.

【答案】(1)证明见解析；(2)(—8,2］

【详解】(1)证明：设F(rc)—x—sin力，力>0,则尸(力)=1—cos力>0,所以尸(劣)在区间(0,+8)上单调递

增，所以FQ)>尸(0)=0,即力〉sin/.

(2)由/(力)>g(x)+a宏在区间(0,+oo)上恒成立，即e*+sin/+cos/一a力一2>0在区间(0,+oo)上恒成

•••

设3（力）=e"+sinc+cos6—a/一2,则（p{x}>0在区间（0,+8）上恒成立，而（p{x）—e^+cosrr—sinx—a,

令？nQ）=d（力）,则m{x）—e①一sin力—cos力，设无（力）=ex—x—1,则K{x}—ex—l，当力>0时，hf（x）>0,

所以函数h（x）在区间（0,+8）上单调递增，故在区间（0,+oo）上,h（x）>h（0）=0,即在区间（0,+oo）上,e"

>力+1,由⑴知：在区间（0,+oo）上,ex>x+l>sin/+cosx,即m（x）=ex—sinx-cosx>0,所以在区

间（0,+8）上函数”（c）单调递增，当a&2时，"（0）=2-a>0,故在区间（0,+8）上函数夕'（力）>0,所以

函数0（力）在区间（0,+8）上单调递增，又夕（0）=0,故0（力）>0,即函数/（力）>g{x}+QN在区间（0,+oo）上

恒成立.当a>2时，d（0）=2—a,^[ln（a+2）]=a+2+cos[In（a+2）]—sin[ln（a+2）]—a=2—

V2sin（[ln（a+2）]—>0,故在区间（0,ln（Q+2））上函数”（力）存在零点/0,即d（/o）=。，又在区间

（0,+co）上函数”（力）单调递增，故在区间（0,%）上函数d（①）<0'（力0）=0,所以在区间（0,60）上函数0（宓）

单调递减，由0（0）=0,所以在区间（0,60）上0（/）<9（0）=0,与题设矛盾.综上，Q的取值范围为（一8,2].

题目瓦|已知函数/㈤=asinx—ln（l+力）（aER）.

（1）若a=—1,求证：V力>0,/（力）+2力>0；

⑵当a>1时,对任意①e[o,却都有了㈤>0,求整数k的最大值.

【答案】（1）证明见解析;（2）3

【详解】（l）a=-1时，设g（rc）=/（c）+2x=—sine—ln（l+c）+2rr,则g'（c）=—cosa:——----F2,a;>0

1+6

x+1>1-----^―-€（—1,0）VCOSTE[—1,1]cosrc------^―-+2>0,即g'（力）>0在（0,+8）上恒成立，

x-\-lx+1

g（x）在（0,+co）上单调增，又g（0）=0g（%）>g（0）=0,即V>>0,/（x）+2rc>0;

（2）a=1时，当k=4时，/（2）=sin2—ln3V0,所以kV4.下证k=3符合.

k=3时，当力G曰]时，sin力>0,所以当时，/（劣）=asinrr—ln（l+力）>sin/—ln（l+力）.记h{x）

-sina;—ln（l+力），则只需证人（力）=sin®—ln（l+力）>0对力G[o,年]恒成立.

//（力）=COST---匚，令。（力）=COST------=T，贝”。'（力）=—sinx+-^-―在（0,9）递减，

又。'（0）=1>0,。'管）=-1+（冗1]）2〈0，所以存在的€（0,））,使得°'（力0=0,则化。（0,g）,。'（g）>0,

。（⑼在（0,刈）递增，xG（%]）,“（劣1）<O,0（rc）在（g，]）递减；又。（0）=0,。管）=一"7r1]V0,所以存

__

在电6使得0（力2）=0,且力6（O,T2）,0（T）>O,TG（劣2,|）,。（力）V0,所以九（力）在（。,力2）递增，在

（力2,£■）递减，又无（°）==1—+所以h{x）>0对力G恒成立，因为[。，1]Q

[o,5],所以k=3符合.

综上，整数k的最大值为3・

题目可已知函数/（力）=（力一l）e1+aN+1.•••

⑴若/（力）有两个极值点,求a的取值范围；

（2）若力>0,/（力）>2sin力,求a的取值范围.

【答案】⑴（0,（）;（2）[2,+oo）.

【详解】（1）由/（rc）=（6一l）ex-\-ax+1,得/'（2）=xex-\-a,因为/（力）有两个极值点，则/'（力）=0,即方程一a=

力e,有两个不等实数根，令gQ）=a;e*,则g（x）=（力+l）e",知比V—1时，g（x）<0,g（x）单调递减，

x>—l时，g[x）>0,g（x）单调递增，则x=—1时，g（力）取得极小值g（—1）=―'也即为最小值，且力

e

时，g（力）<0,x——00时，g（力）一0,力>0时，gQ）>0,力->8时，g（力）->+oo,故——<—aV0,即OVaV^

ee

时，方程一a=力/有两个实数根，不妨设为x1962（力1<%2）.可知力V为时，/（力）>0,力1V力Vg时，/'（力）<

0,x>x2时，/'（力）>0,即如力2分别为『3）的极大值和极小值点.所以/（力）有两个极值点时，a的取值范

围是（。，十），

⑵令h（x）=（%—l）ex+ax—2sinx+1,原不等式即为h[x}>0,可得九（0）=0,h!（x）=xex+a-2cos力,h'

（0）=a—2,令"Q）="（%）=ce*+a—2cos力，则u{x）=（%+l）ex+2sinrc,又设力（力）=（力+l）ex,则t\x）=

（力+2）ex,力>0时，右'（力）>0,可知t{x）在[0,+8）单调递增，若力G[0,兀），有（/+l）ex>0,sinx>0,则u

Q）>0;若力e[兀,+oo），有（a+l）ex>（7T+l）e，>2,则u（x）>0,所以,力>0,u{x}>0,则”（力）即h'（x）单

调递增，

①当@一2>0即0>2时，"（力）>九'（0）>0,则九3）单调递增,所以，九3）>九（0）=0恒成立，则Q>2符合

题意.

②当a—2Vo即aV2时,"（0）<0,h!（3—Q）=（3—a）e°°）+。—2cos（3—a）>3—Q+Q—2COS（2—a）>

0,

存在XQE（0,3—Q）,使得"（g）=0,当OV力Vg时，K（x）V0,则h[x）单调递减，所以h（x）Vh（O）=0,与题

意不符，综上所述，a的取值范围是[2,+oo）.

题目10）已知函数/⑺=a;—sin（"|■力）一aln/，C=1为其极小值点.

（1）求实数a的值；

（2）若存在gW力2,使得/（为）=/（力2），求证：/1+力2>2.

【答案】（l）a=l;（2）证明见解析

【详解】⑴/㈤的定义域为（0,+oo）,/（^）=1—4cos（弓~力）一旦，依题意得/'⑴=1—a=0,得a=l,

2'2，x

此时/（2）=1—卷cos（多r）一工当。<必<1时,0<看土<看,0<--cos（^-x）<,工>1,故/3）<

2v27x222v272x

0,/（力）在（0,1）内单调递减，当IV/V2时，ReV兀，gcosd力）<0,工V1,故/'（力）>0,/（力）在（1,

2）内单调递增，故/（/）在力=1处取得极小值，符合题意.综上所述：a=1.

（2）由⑴知，/（6）—X—sin（拳r）—In/，不妨设0Vx2,当1<电〈x2时，不等式力1+g>2显然成立；

当0<的<1,g>2时，不等式为+/2>2显然成立；当0<的<1,0Vg<2时，由⑴知/（/）在（0,1）内单调

•••

递减，因为存在力1Wg,使得/(◎)=/(62)，所以1V力2V2,要证力1+力2>2,只要证Xr>2—x2,

因为1<◎<2,所以0V2—x2<1,又/(劣)在(0,1)内单调递减，所以只要证/(/J</(2—/2),又/(g)=

/(力2)，所以只要证/(g)</(2-力2),设尸3)=/3)一/(2—1)(1V力V2),则F\x)=f\x)+f(2-x)=l-

■fcos居0)心+1—5cos借(2_⑼)_=2-

1(cos(^)-cos传明=2—(《+

令。(工)=2—C+占则也)=十一/=因为1<zV2,所以g'(x)<

0,g[x｝在(1,2)上为减函数，所以gQ)<g⑴=0,即F\x)V0,所以F(rc)在(1,2)上为减函数，所以OQ)<

尸⑴=o,即/(啊)</(2-电).综上所述:Xl+x2>2.

颖目叵(2023全国新高考2卷)⑴证明：当OVwVl时，c—/VsincVg

(2)已知函数/(劣)=COSQN—ln(l—/),若力=0是/(力)的极大值点，求Q的取值范围.

【答案】⑴证明见详解(2)(-oo,-V2)U(V2,+OO)

【详解】(1)构建F(N)—X—sinx,xE(0,1),则F\x)=1—cos/>0对V/e(0,1)恒成立，则F(x)在(0,1)

上单调递增，可得F(x)>F(0)=0,所以力>sin力，力E(0,1);构建G(x)=sin力—(x—x2)=x2—x+sin/,力

e(0,1),

则G'Q)=2力-1+cosx,xG(0,1)，构建g(rc)=G'Q),力E(0,1),则g'(优)=2—sin力>0对V%G(0,1)恒成

立，则g(宏)在(0,1)上单调递增，可得g(x)>g(0)=0,即G\x)>0对V/G(0,1)恒成立，则G[x}在(0,1)

上单调递增，可得G(力)>G(0)=0,所以sinx>x—x2,xE(0,1);综上所述：x—x2<Zsin6<x.

22

⑵令1—x>0,解得—1V力V1,即函数J(T)的定义域为(一1,1),若Q=0,则/(/)=1—ln(l—x),xG

(-14),

因为g=—In”在定义域内单调递减，g=1—力之在(—1,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，则于(岔)=1—

ln(l—力之)在(—1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，故力=0是/(力)的极小值点，不合题意，所以aW0.

22

当QWO时，令b=|a|>0因为J(x)=cosax—ln(l—x)=cos(|a|rr)—ln(l—x)=cosbx—ln(l—T2)，且

/(—力)=cos(—ba;)—ln[l—(—a?)2]=cosb力一ln(l—x2)=/(力)，所以函数/(劣)在定义域内为偶函数，由题

意可得:/'(6)=-bsinbx--奖不/♦(—1,1),⑴当0<2时，取m=min{„,xE(0,m)，则bxE

(0，l)，

由⑴可得/'(rc)=—bsin(bc)—^^>-62力一^^="十？「⑺，且。卷一一,2>

X—1X—11—X

所以/(劣)〉力、7+2匕)>0,即当xe(0,m)Q(0,1)时，/'(力)>0,则/(劣)在(0,771)上单调递增，结合

1-x

偶函数的对称性可知：/(力)在(一772,0)上单调递减，所以/=0是/(力)的极小值点，不合题意；

(ii)当心>2时，取/C(o,1)u(0,1),则bxE(0,1),由(1)可得f(rc)=-bsinbx-<-b(bx-b2x2)-

'b，x—1

=37^-b^+b^+b^x+2-62),构建九(c)^-b3x3+b2x2+b3x+2-b2,xe(0,-^),则h'(x)=—3〃

力-11—x'b"

•••

x^+2b2x+b3,x€（0,1）,

且片（0）=b3>0,片什）=b3-b>0,则"㈤>0对V工C（0,恒成立,可知h{x}在（0,y）上单调递增，

且无（0）—2—b2<0,从；）=2>0,所以h{x}在（o1）内存在唯一的零点nC（0,卷），当/C（0,n）时，则

h（£）V0,且c>0,1—/>0,则f\x）<—^-^-^—b3x3+b2x2+b3x+2-/）V0,即当reC（0,n）Q（0,1）时，/'

\—x"

（为<0,则/（为在（0,九）上单调递减，结合偶函数的对称性可知：/（为在（一n,o）上单调递增，所以立=0是

/（a;）的极大值点，符合题意；综上所述：b2>2,即a2>2,解得a>四或a<-V2,故a的取值范围为

（一℃）,-A/2）U（V2,+CO）.

［展踪训练］

题目Q已知函数/（c）=，e-"+asin;r,e是自然对数的底数，若c=0恰为/（①）的极值点.

（1）求实数a的值；

（2）求/（力在区间（一上零点的个数.

【答案】⑴-1;⑵1

【详解】（1）由题意得了'（*）=———+acosrc,因为c=0为/（re）的极值点，故/'（0）=1+a=0,a=—1,

ex

此时f（x）=-———cos/,则/V0时，-——>1,故/（/）>0,则/（T）在（―GO,0）上单调递增；由/'（①）=

exex

e

—~~&-COST=———-——c°s*,令g（6）—\—x—e，cosc,g'（6）=-1—e，（cos4—sinx），当0VcV弓时，

exex4

cosx—sinN>0,则g'Q）V0,则g{x）在（。，1）上单调递减，故gQ）Vg（0）=0,即/（力）V0,故/（力）在

（0,1）上单调递减，则n=0为/（力）的极大值点，符合题意，故Q=—1.

（2）由⑴知/（6）=xeTx—smx,f\x）—————cosx,力V0时，/（力）>0,J（x）在（一8,0）上单调递增，则

ex

/㈤V/（0）=0,故/（力）在（—00,0）上不存在零点；当0V/v£时，/㈤V0,故/（力）在（06）上单调递减,

则于（x）<y（o）=o,故/（力）在（。，1）上不存在零点；当⑦=o时，/（o）=o,即N=o为y（x）的零点，综合上

述，/3）在区间（一00,£）上零点的个数为1.

［题目2）已知函数/（力）=2cosre+ln（l+/）一1.

⑴判断函数/（⑼在区间（0,5）上零点和极值点的个数,并给出证明；

（2）若力>0时，不等式/（力）VaC+1恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】（1）函数/（，）在区间（0,5）上只有一个极值点和一个零点，证明见解析；（2）实数a的取值范围是

［1,+00）

【详解】（1）函数/（c）在区间（。，专）上只有一个极值点和一个零点，证明如下,f'{x）=—2sina;H---/］，设

t(x)=/(rc)=—2sin/+力；1,力'(力)=-2cos®---；产，当力E(0,

减，又/(0)=1>0,"等)=-2+^^=-2+47Vo，所以存在唯一的(0,与)，使得/'(0=0,所

'Z)A_i_1兀十2v27

2土,

以当力e(o,df)时，/'(力)>0,当力e时，/⑸<0,所以/(力)在(0,。)单调递增，在单调递减，

所以a是/(力)的一个极大值点，因为/(0)=2—1=1>0,/((2)>y(o)>0,/(］•)=ln(l+—1V0,所

以/(c)在(0,a)无零点，在(a,5)上有唯一零点，所以函数/(①)在区间(0,5)上只有一个极值点和一个零

点；

(2)由/(x)&a力+1,得2cos力+ln(l+力)一a力一2W0,令g(x)=2cos力+ln(l+力)一a力一2,(力>0),贝1

g(o)=。，

g{x}=—2sinj;+