2024年新高考数学一轮复习-幂函数与二次函数（学生版）

专题09塞函数与二次函数

一、【知识梳理】

【考纲要求】

11

1.了解新函数的概念；结合函数/=入，y=x,y=x,y=x,尸-的图象，了解它们的变化

22x

情况；

2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.

【考点预测】

1.暴函数

(1)嘉函数的定义

一般地，函数y=x"叫做幕函数,其中x是自变量，。是常数.

(2)常见的五种募函数的图象

(3)幕函数的性质

①幕函数在(0,+8)上都有定义；

②当。＞0时，塞函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+8)上单调递增;

③当时，幕函数的图象都过点(1,1),且在(0,+8)上单调递减.

2.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

一般式：f(x)=ag+6x+c(a#0).

顶点式：F(x)=a(x—0)2+〃(aWO),顶点坐标为(必，n).

零点式：F(x)=a(x—xi)(x—X2)(a=0),荀，也为/1(x)的零点.

(2)二次函数的图象和性质

y=ax+bx~\-cy=ax+bx~\-c

函数

(a>0)(a<0)

j

图象

/

i\]

(抛物线)1

定义域R

4ac—B、4ac-B

值域[4a，+sj—oo

'4a_

b

对称轴片二逋

顶点（_A_4ac~/^\

（一^^4a）

坐标

奇偶性当6=0时是偶函数，当6W0时是非奇非偶函数

在(在(61

上是遮函数；—8,F_上是增函数；

单调性

+)上是增函数+)上是遮函数

在总°°,在总°°,

【常用结论】

1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.

仿>0,[a<0,

2.若/'(x)=8/+方匠+。(己/0),则当《时，恒有/1(x)>0；当，时，恒有/'(x)<0.

[A<0[zl<0

3.(1)嘉函数y=x“中，。的取值影响塞函数的定义域、图象及性质；

⑵募函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限.

【方法技巧】

1.幕函数的形式是尸x°(aGR),其中只有一个参数a,因此只需一个条件即可确定其解

析式.

2.在区间(0,1)上，塞函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区

间(1,+8)上，幕函数中指数越大，函数图象越远离x轴.

3.在比较幕值的大小时，必须结合塞值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，

准确掌握各个幕函数的图象和性质是解题的关键.

4.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两

个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线;

“一开口”是指抛物线的开口方向.

5.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条

件.

6.闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点

和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.

7.不等式恒成立求参数范围，一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，直接

借助于函数图象求最值.这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题.

二、【题型归类】

【题型一】幕函数的图象与性质

【典例1】若累函数了=/1,尸4与尸/在第一象限内的图象如图所示，则加与〃的取值

情况为()

A.—1<2ZK0<77<1

1

B.-1.〈水0〈冰5

c.一i〈水o〈水;

D.—1〈水0〈加1

【典例2】累函数/U)=(以2—3〃+3)/的图象关于y轴对称，则实数0=.

1

【典例3】若事函数/5)=(3-5a-5)1-针在(0,+8)上单调递增，则a等于()

A.1B.6C.2D.-1

【题型二】求二次函数的解析式

【典例1】已知二次函数f(x)满足F(2)=—1,且f(x)的最大值是8,试确

定此二次函数的解析式.

【典例2］己知尸/1(x)是二次函数，且｛—■!+，=/1—对xGR恒成立,

方程f(x)=0的两实根之差的绝对值等于7.求此二次函数的解析式.

【典例3]若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,6eR)满足条件f(一力=f(x),定义域为R,

值域为(-8,4],则函数解析式_f(x)=.

【题型三】二次函数的图象问题

【典例1]在同一坐标系中，函数尸石与尸石X+6(劭#0)的图象可能是()

【典例2】设aZ?c>0,二次函数F(x)=aX2+6匠+。的图象可能是()

【典例3]一次函数尸石X+6(HW0)与二次函数尸a/+6x+c在同一坐标系中的图象大致

是()

【题型四】二次函数的单调性与最值问题

【典例1］已知广(x)=ax—2x+l.

(1)若Ax)在［0,1］上单调，求实数a的取值范围;

⑵若［0,1］,求广(x)的最小值g®.

【典例2】设函数Mx)=x2—2x—1在区间［［，方+1］上有最小值g1),求g1)的解析式.

【典例3】已知函数/'(x)=f+ax+6(a,6GR),记“(a,6)是|f(x)］在区间［―1,1］上的

最大值.

(1)证明：当⑶22时，〃(a,方)22；

⑵当a,6满足〃(a,6)W2时，求|a|+|引的最大值.

【题型五】二次方程根的分布问题

【典例1】(多选)已知函数Hx)=x2—2x+a有两个零点荀，也，以下结论正确的是()

A.a<l

112

B.若荀恁#0,则一十—=一

XiX2a

C./,(-1)=/(3)

D.函数y=f(|x|)有四个零点

【典例2］己知二次函数f(x)=f+26x+c(6,cGR)满足/U)=0,且关于x的方程/"(x)

+x+6=0的两个实数根分别在区间(—3,-2),(0,1)内，求实数6的取值范围.

［典例3］已知关于x的二次方程x+2,/nx+2m+1=0.

(1)若方程有两根，其中一根在区间(—1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求加的取值范围;

(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求0的取值范围.

【题型六】二次函数中的恒成立问题

【典例1］已知二次函数『(X)满足/'(x+D—f(x)=2x,且f(O)=l,若不等式/•(x)>2x+/

在区间

［—1,1］上恒成立，则实数力的取值范围为.

【典例2】函数/■(x)=a2'+3/—2(a〉l),若在区间［―1,1］上f(x)(8恒成立，则a的最大

值为.

【典例3】已知函数f(x)=/—2ax+2a+4的定义域为R,值域为［1,+°°),则a的值为

【题型七】二次函数的综合问题

【典例1】设函数F(x)=f—2x+2,xe［t,t+1］,teR,求函数f(x)的最小值.

【典例2]已知函数f{x)=tx,g(x)=(2—t)x—4x+l.若对于任一实数xo,函数值Hxo)

与g(加中至少有一个为正数，则实数t的取值范围是()

A.(—8,-2)U(0,2]

B.(-2,0)U(0,2]

C.(-2,2]

D.(0,+°°)

【典例3]已知f(x)=〃(x—24(x+勿+3),g(x)=2"—2.若同时满足条件：

①f(<x)<0或g(x)〈0；

②8,—4),f(x)g{x)<0.

求实数〃的取值范围.

三、【培优训练】

【训练一】已知函数/1(X)=(f—2X—3)(f+ax+6)是偶函数，则f(x)的值域是.

【训练二】已知二次函数f(x)=V—2力x+2力+1,xG［—1,2］.若f(x)2—1恒成立，求

力的取值范围.

【训练三】若函数0(工)=/+加了-1］在［0,+8)上单调递增，则实数力的取值范围是

【训练四工是否存在实数ae［—2,1］,使函数/■(x)=V—2ax+a的定义域为［-1,1］时,

值域为［—2,2］?若存在，求a的值；若不存在，请说明理由.

【训练五】已知二次函数F(x)=ax2+6x+l(a,bGR且aWO),xGR.

(1)若函数/(x)的最小值为F(—1)=0,求/'(x)的解析式，并写出单调区间；

(2)在⑴的条件下，/'(x)>x+/在区间［—3,—1］上恒成立，试求4的取值范围.

【训练六】已知a,6是常数且aWO,f(x)=a/+6x且f⑵=0,且使方程f(x)=*有等根.

⑴求f(x)的解析式；

(2)是否存在实数如欣成垃,使得f(x)的定义域和值域分别为［0，加和［2q2加？

四、【强化测试】

【单选题】

1

1.函数y=的图象是()

2.若/U)是募函数，且满足盟=3,则f/等于()

11

3-3C---

A.B.3D.3

3.若幕函数/(为=(加2—4加+4>x"-6〃，+8在(0,+8)上为增函数，则0的值为()

A.1或3B.1C.3D.2

4.函数f(x)=aV+(a—3)x+l在区间［-1,十8)上单调递减，则实数a的取值范围是

A.[—3,0)B.(—8,—3]

C.[-2,0]D.[-3,0]

5.已知&b,c£R,函数广(x)若广(0)=_f(4)>_f(l),贝！J()

A.a〉0,4a+6=0B.水0,4a+8=0

C.a>0,2a+6=0D.水0,2a+8=0

6.若函数f(x)的图象与x轴的交点为(1,0)和(3,0),则函数f(x)()

A.在(一8,2)上递减，在[2,+8)上递增

B.在(一8,3)上递增

C.在[1,3]上递增

D.单调性不能确定

7.若函数f(x)=x2+a|x|+2,xGR在区间[3,+-)^[-2,-1]上均为增函数，则实数

a的取值范围是()

A.—-3B.[—6,—4]

C.[—3,—2^2]D.[—4,—3]

8.已知函数/'(x)=2axJax+1(a〈0),若水热，xi+x2=0,则/1(为)与f(xz)的大小关系是

()

A.f(xi)=f(x2)B.

C.A^1)<f(,X2)D.与x的值无关

【多选题】

9.已知函数f(x)=3x°—2(R+3)X+R+3的值域为[0,+8),则实数m的取值范围为()

A.0B.[-3,0]

C.3D.-3

10.若二次函数旷=反2—4x+2在区间[1,2]上是单调递增函数，则实数k的取值可以是

()

A.0B.1

C.2D.3

11.由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y=a/+6x+c的图象

过点(1,0),…，求证：这个二次函数的图象关于直线x=2对称.根据现有信息，题中的

二次函数可能具有的性质是()

A.在x轴上截得的线段的长度是2

B.与y轴交于点(0,3)

C.顶点是(一2,—2)

D.过点(3,0)

12.设函数f{x)=aV+6x+c(aH0),对任意实数/都有A4+t)=f(一力)成立，则函数值

f(—1),f(l),f(2),f(5)中，最小的可能是()

A.A-l)B.AD

C./(2)D./(5)

【填空题】

13.已知累函数y=Rx"C®,〃eR)的图象经过点(4,2),则加一〃=.

14.二次函数/=@夕+公+。(4矛0)的图象如图所示，确定下列各式的正负：b0,

ac0,a-b+c0.(填“>”“<”或“=”)

15.如果函数/'(x)=x2—ax—a在区间［0,2］上的最大值为为1,那么实数a=.

16.定义：如果在函数y=『(x)定义域内的给定区间［a,6］上存在xo(a〈xo〈6),满足f(xo)

=’")三,(a),则称函数尸a*)是［a,句上的“平均值函数”，荀是它的一个均值点,

Da

如尸X4是［—1,1］上的平均值函数，0就是它的均值点.现有函数f(x)=—/+%+1是［一

1,1］上的平均值函数，则实数小的取值范围是.

【解答题】

17.已知函数/'(x)=x2+2ax+2,xG［―5,5】.

(1)当a=—1时，求函数/<x)的最大值和最小值；

(2)求实数a的取值范围，使y=f(x)在区间［—5,5］上是单调函数.

18.已知二次函数/"(X)的二次项系数为a,且不等式f(x)>—2