吉林省长春市2024届中考数学四模试卷含解析

吉林省长春市第二实验校2024学年中考数学四模试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.将一根圆柱形的空心钢管任意放置，它的主视图不可能是（）

2.如图1是2019年4月份的日历，现用一长方形在日历表中任意框出4个数（如图2）,下列表示a,b,c,d之间关

系的式子中不正确的是（）

日一二三四五六

1234,56

7S9「1011：1113

：：

14151617IS1920园

21222324252627

2S2930

图⑴图⑵

A.a-d=b-cB.a+c+2=b+dC.ii+b+14=c+dD.a+d=b+c

3.如图，平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG,若ZBAE=40°,ZCEF=15°,

则ND的度数是

5.如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB〃CD,E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC±）,

设NBAE=a,ZDCE=p.下列各式：①a+0,②a-p,③p-a,@360°-a-0,ZAEC的度数可能是（）

B

D

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

6.若一个三角形的两边长分别为5和7,则该三角形的周长可能是（)

A.12B.14C.15D.25

7.下列各数中，相反数等于本身的数是（）

A.-1B.0C.1D.2

8.如图，在△ABC中，ZC=90°,点D在AC上，DE〃AB,若NCDE=165。，则/B的度数为（）

A.15°B.55°C.65°D.75°

9.如果数据XI,X2,Xn的方差是3,则另一组数据2X1,2X2,...»2xn的方差是（）

A.3B.6C.12D.5

10.如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，沿CE折叠△CDE,点D恰好落在AC的中点F处，若CD=6,

则小ACE的面积为（）

A.1B.73C.2D.273

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.一个不透明的袋中共有5个小球，分别为2个红球和3个黄球，它们除颜色外完全相同，随机摸出两个小球，摸

出两个颜色相同的小球的概率为一.

12.一只不透明的袋子中装有红球和白球共30个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小组做摸球实验，将球搅匀

后任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是0.2,则袋中有个红

球.

13.如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长为1,以RtAABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰直角三

角形ACD,再以RtAACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰直角三角形ADE……依此类推，直到第五个等

腰直角三角形AFG,则由这五个等腰直角三角

形所构成的图形的面积为.

EF

14.如图，中，NC=90°,3c=15,tanA=—，则AB=

8

15.若正六边形的内切圆半径为2,则其外接圆半径为.

16.已知：如图，在AAOB中，ZAOB=90°,AO=3cm,BO=4cm.将AAOB绕顶点。，按顺时针方向旋转到△AiOBi

处，此时线段031与A3的交点O恰好为的中点，则线段510=cm.

17.已知一组数据Xi,X2,X3,X4,X5的平均数是3,则另一组新数据Xl+LX2+2,X3+3,X4+4,X5+5的平均数是

三、解答题(共7小题，满分69分)

18.(10分)抛物线y=-x2+(m-1)x+m与y轴交于(0,3)点.

(2)求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；

(3)x取什么值时，抛物线在x轴上方？

(4)x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？

19.（5分）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围

成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2?

住房墙

20.（8分）二次函数y=ax?+bx+c（a,b,c为常数，且arl）中的x与y的部分对应值如表

X-1113

y-1353

下列结论：

①ac<l；

②当x>l时，y的值随x值的增大而减小.

③3是方程ax2+（b-1）x+c=l的一个根；

④当-l<x<3时，ax2+（b-1）x+c>l.

其中正确的结论是一.

21.（10分）2013年我国多地出现雾霾天气，某企业抓住商机准备生产空气净化设备，该企业决定从以下两个投资方

案中选择一个进行投资生产，方案一：生产甲产品，每件产品成本为a元（a为常数，且40<aV100）,每件产品销售

价为120元，每年最多可生产125万件；方案二：生产乙产品，每件产品成本价为80元，每件产品销售价为180元，

每年可生产120万件，另外，年销售x万件乙产品时需上交0.5x2万元的特别关税，在不考虑其它因素的情况下：

（1）分别写出该企业两个投资方案的年利润yi（万元）、y2（万元）与相应生产件数x（万件）（x为正整数）之间的

函数关系式，并指出自变量的取值范围；

（2）分别求出这两个投资方案的最大年利润；

（3）如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案？

22.（10分）如图，正方形ABCD的边长为2,BC边在x轴上，BC的中点与原点O重合，过定点M（—2,0）与动点

P（0,t）的直线MP记作1.

⑴若1的解析式为y=2x+4,判断此时点A是否在直线1上，并说明理由；

⑵当直线1与AD边有公共点时，求t的取值范围.

23.（12分）某公司计划购买A,B两种型号的电脑，已知购买一台A型电脑需0.6万元，购买一台B型电脑需0.4

万元，该公司准备投入资金y万元，全部用于购进35台这两种型号的电脑，设购进A型电脑x台.

（1）求y关于x的函数解析式；

（2）若购进B型电脑的数量不超过A型电脑数量的2倍，则该公司至少需要投入资金多少万元？

24.（14分）为了解中学生“平均每天体育锻炼时间”的情况，某地区教育部门随机调查了若干名中学生，根据调查结

果制作统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：

图①图②

（1）本次接受随机抽样调查的中学生人数为,图①中m的值是；

（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；

（3）根据统计数据，估计该地区250000名中学生中，每天在校体育锻炼时间大于等于1.5h的人数.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、A

【解题分析】

试题解析：•••一根圆柱形的空心钢管任意放置,

...不管钢管怎么放置，它的三视图始终是

，主视图不可能是/

故选A.

2、A

【解题分析】

观察日历中的数据，用含a的代数式表示出b,c,d的值，再将其逐一代入四个选项中，即可得出结论.

【题目详解】

解：依题意，得：b=a+l,c=a+7,d=a+l.

A、Va-d=a-(a+l)=-1,b-c=a+l-(a+7)=-6,

a-d^b-c,选项A符合题意；

B、,:a+c+2=a+(a+7)+2=2a+9,b+d=a+l+(a+l)=2a+9,

a+c+2=b+d,选项B不符合题意；

C、Va+b+14=a+(a+l)+14=2a+15,c+d=a+7+(a+l)=2a+15,

/.a+b+14=c+d,选项C不符合题意；

D、■:a+d=a+(a+l)=2a+l,b+c=a+l+(a+7)=2a+l,

a+d=b+c,选项D不符合题意.

故选：A.

【题目点拨】

考查了列代数式，利用含a的代数式表示出b,c,d是解题的关键.

3、A

【解题分析】

分析：首先求出NAEB,再利用三角形内角和定理求出NB,最后利用平行四边形的性质得ND=NB即可解决问题.

详解：・・•四边形ABCD是正方形，

:.ZAEF=90°,

VZCEF=15°,

:.ZAEB=180o-90°-15o=75°,

VZB=180o-ZBAE-ZAEB=180o-40o-75o=65°,

・・・四边形ABCD是平行四边形，

:.ZD=ZB=65°

故选A.

点睛：本题考查正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决

问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型.

4、B

【解题分析】

根据俯视图是从上面看到的图形解答即可.

【题目详解】

锥形瓶从上面往下看看到的是两个同心圆.

故选B.

【题目点拨】

本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的平面图形.从正面看到的图是正视图，从上面看到的

图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线.

5、D

【解题分析】

根据E点有4中情况，分四种情况讨论分别画出图形，根据平行线的性质与三角形外角定理求解.

【题目详解】

E点有4中情况，分四种情况讨论如下：

由AB〃CD,可得NAOC=NDCEi=0

,/ZAOC=ZBAEl+ZAEiC,

:.ZAEiC=p-a

过点E2作AB的平行线，由AB〃CD,

可得N1=NBAE2=a,Z2=ZDCE2=p

:.ZAE2C=a+p

由AB〃CD,可得/BOE3=NDCE3=6

,:ZBAE3=ZBOE3+ZAE3C,

:.ZAE3C=a-p

由AB〃CD,可得

ZBAE4+ZAE4C+ZDCE4=360°,

ZAE4C=360°-a-p

.••NAEC的度数可能是①a+0,②a-0,③p-a,@3600-a-p,故选D.

B

B

【题目点拨】

此题主要考查平行线的性质与外角定理，解题的关键是根据题意分情况讨论.

6、C

【解题分析】

先根据三角形三条边的关系求出第三条边的取值范围，进而求出周长的取值范围，从而可的求出符合题意的选项.

【题目详解】

.•.三角形的两边长分别为5和7,

.♦.2〈第三条边＜12,

•*.5+7+2〈三角形的周长＜5+7+12,

即14〈三角形的周长＜24,

故选C.

【题目点拨】

本题考查了三角形三条边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此解答即可.

7、B

【解题分析】

根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数.

【题目详解】

解：相反数等于本身的数是1.

故选B.

【题目点拨】

本题考查了相反数的意义.注意掌握只有符号不同的数为相反数，1的相反数是1.

8、D

【解题分析】

根据邻补角定义可得NADE=15。，由平行线的性质可得NA=NADE=15。，再根据三角形内角和定理即可求得NB=75。.

【题目详解】

解：VZCDE=165°,.,.ZADE=15°,

VDE//AB,.*.ZA=ZADE=15°,

/.ZB=180°-ZC-ZA=180°-90°-15°=75°,

故选D.

【题目点拨】

本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理等，熟练掌握平行线的性质以及三角形内角和定理是解题的关键.

9、C

【解题分析】

【分析】根据题意，数据XI,X2,…，Xn的平均数设为a,则数据2X1,2X2,...»2xn的平均数为2a,再根据方差公式

222

进行计算：S-=^[(%[-X)+(x2-X)+(%3-%)++(%—可2]即可得到答案.

【题目详解】根据题意，数据XI,X2,…，Xn的平均数设为a,

则数据2X1,2X2,2xn的平均数为2a,

22222

根据方差公式：S=1[(%1-«)+(x2-a)+(x3-«)++(x„-a)]=3,

则S?=工[(2玉_2a)2+(2々_24)2+(2%3_24)2++(2x„-2a)2

=—4(%1-aY+4(X-a.y+4(x-aX++4(5-a)，

nL23-

=4x一[(%-a)+(x2-a)+(%-a)++(x“-a)

=4x3

=12,

故选C.

【题目点拨】本题主要考查了方差公式的运用，关键是根据题意得到平均数的变化，再正确运用方差公式进行计算即

可.

10、B

【解题分析】

由折叠的性质可得。=3=JLDE=EF,AC=2y[3,由三角形面积公式可求EF的长，即可求AACE的面积.

【题目详解】

解：•••点尸是AC的中点，

1

：.AF=CF=-AC,

2

•将△CDE沿CE折叠到△CFE,

：.CD=CF=yj3,DE=EF,

:.AC=26，

在RfAACD中，AD=1AC2_CD2=1-

■:SAAPC=SAAEC+SACDE,

111

:.-xADxCD=-xACxEF+-xCDxDE

222

：.lxW)=2也EF+拒DE,

：.DE=EF=1,

：.SAAEC=yx2-73X1=A/3.

故选瓦

【题目点拨】

本题考查了翻折变换，勾股定理，熟练运用三角形面积公式求得OE=EV=1是解决本题的关键.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

【解题分析】

解：根据题意可得：列表如下

红1红2黄1黄2黄3

红1红1,红2红1,黄1红1,黄2红1,黄3

红2红2,红1红2,黄1红2,黄2红2,黄3

黄1黄1,红1黄1,红2黄1，黄2黄1，黄3

黄2黄2,红1黄2,红2黄2,黄1黄2,黄3

黄3黄3,红1黄3,红2黄3,黄1黄3,黄2

共有20种所有等可能的结果，其中两个颜色相同的有8种情况,

Q2

故摸出两个颜色相同的小球的概率为二=一.

205

【题目点拨】

本题考查列表法和树状图法，掌握步骤正确列表是解题关键.

12、1

【解题分析】

在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设袋中有X个红

X

球，列出方程一=20%,求得x=L

30

故答案为1.

点睛：此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率.关键是根据红球

的频率得到相应的等量关系.

13、12.2

【解题分析】

VAABC是边长为1的等腰直角三角形，・・・SAABC=LX1X1=L=11”；

22

AC=+仔=9AD=^(^/2)2+(^2)2=1，••SAACD=gxV2x=1=11-1

，第n个等腰直角三角形的面积是HL・・・SAAEF=14-I=4,SAAFG=121=8,

由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为L+1+1+4+8=12.2.故答案为12.2.

2

14、17

【解题分析】

-BC

•.•RtZkABC中，ZC=90°,/.tanA=—,

AC

VBC=15,tanA=—,.*.AC=8,

8

.\AB=7BC2+AC2=17,

故答案为17.

4百

13、----

3

【解题分析】

根据题意画出草图，可得OG=2,ZOAB=60°,因此利用三角函数便可计算的外接圆半径OA.

【题目详解】

解：如图，连接。4、OB,作OGLAB于G；

则OG=2,

•••六边形ABCDEF正六边形，

二Q4B是等边三角形，

：.ZOAB=60°,

“OG_2_4百

.。=嬴/=页F，

...正六边形的内切圆半径为2,则其外接圆半径为逑.

3

故答案为速.

3

【题目点拨】

本题主要考查多边形的内接圆和外接圆，关键在于根据题意画出草图，再根据三角函数求解，这是多边形问题的解题

思路.

16、1.1

【解题分析】

试题解析：•.,在AAOB中，ZAOB=90°,AO=3cm,BO=4cm,：.AB=y/o^+OB2=lcin>:点。为A3的中点，

：.OD^-AB^2Acm.1•将AA05绕顶点。，按顺时针方向旋转到△AiOBi处，/.OBi=OB^4cm,：.BiD^OBi-

2

OD=lAcm.

故答案为1.1.

17、1

【解题分析】

根据平均数的性质知，要求、的平均数，只要把数、、、、的和表示出即可.

Xl+Lx2+2,X3+3,X4+4X5+5XIX2X3X4X5

【题目详解】

•・,数据Xl,X2,X3,X4,X5的平均数是3,

Xl+X2+X3+X4+X5=15,

则新数据的平均数为石+1+.+2+工3；3+/+4+%+5=15+15=1

故答案为：1.

【题目点拨】

本题考查的是样本平均数的求法.解决本题的关键是用一组数据的平均数表示另一组数据的平均数.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(1)w=5;(2)(-1,0).(3,0),(1,4);(1)-1<x<3i(2)x>1

【解题分析】

试题分析：(1)由抛物线y=-x?+(m-1)x+m与y轴交于(0,1)得：m=l.

，抛物线为y=-x2+2x+l=-(x-1)2+2.

列表得：

-1

X0121

y01210

图象如下.

(2)由-X2+2X+1=0,得：xi=-1,X2=l.

二抛物线与x轴的交点为(-1,0),(1,0).

Vy=-x2+2x+l=-(x-1)2+2

二抛物线顶点坐标为(1,2).

(1)由图象可知：

当-1VX<1时，抛物线在x轴上方.

(2)由图象可知：

当x>l时，y的值随x值的增大而减小

考点：二次函数的运用

19、10,1.

【解题分析】

试题分析：可以设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为■m,可以得出平行于墙的一边的长为:©尽-能斗？gm,由题意得出

方程「二一二-1二'，求出边长的值.

试题解析：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为m,可以得出平行于墙的一边的长为，二,-2.m,由题意得

化简，得：'-二三匚；，；“刷=硼，解得：-：-

当x=5时，25-2?.-1=25-25-1=16>12(舍去)，

当x=8时，25-2x+l=25-2x8+l=10<12«

答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为1m.

考点：一元二次方程的应用题.

20、①③④.

【解题分析】

a-b+c=-l

试题分析：•；x=T时y=-Lx=l时，y=3,x=l时，y=5,.\{c=3,

a+b+c=5

a=-1

解得{c=3,.*.y=-X2+3X+3,/.ac=-1x3=-3<1,故①正确；

a=3

333

对称轴为直线%=-丁1；=7,所以，当x>—时，y的值随x值的增大而减小，故②错误；

2x(-1)22

方程为-x2+2x+3=l,整理得，x2-2x-3=1,解得xi=-1,X2=3,

所以，3是方程ax?+(b-1)x+c=l的一个根，正确，故③正确；

-1VXV3时，ax2+(b-1)x+c>l正确，故④正确；

综上所述，结论正确的是①③④.

故答案为①③④.

【考点】二次函数的性质.

21、(1)yi=(120-a)x(l<x<125,x为正整数)，y2=100x-0.5x2(l<x<120,x为正整数)；(2)110-125a(万元)，10

(万元)；(3)当40VaV80时，选择方案一；当a=80时，选择方案一或方案二均可；当80VaV100时，选择方案二.

【解题分析】

(1)根据题意直接得出yi与y2与x的函数关系式即可；

(2)根据a的取值范围可知yi随x的增大而增大，可求出yi的最大值.又因为-0.5V0,可求出y2的最大值；

(3)第三问要分两种情况决定选择方案一还是方案二.当2000-200a>l以及2000-200a<l.

【题目详解】

解：(1)由题意得：

yi=(120-a)x(l<x<125,x为正整数)，

y2=100x-0.5x2(l<x<120,x为正整数);

(2)@V40<a<100,/.120-a>0,

即yi随x的增大而增大，

.,.当x=125时，yi最大值=(120-a)xl25=110-125a(万元)

@y2=-0.5(x-100)2+10,

Va=-0.5<0,

•,.x=100时,y2最大值=10(万元)；

(3)Vi110-125a>10,

/.a<80,

.•.当40<aV80时，选择方案一；

由110-125a=10,得a=80,

当a=80时，选择方案一或方案二均可；

由110-125a<10,得a>80,

.,.当80<a<100时，选择方案二.

考点：二次函数的应用.

4

22、(1)点A在直线1上，理由见解析；(2)]WtW4.

【解题分析】

(1)由题意得点B、A坐标，把点A的横坐标x=-l代入解析式y=2x+4得出y的值，即可得出点A在直线1上;

(2)当直线1经过点D时，设1的解析式代入数值解出即可

【题目详解】

⑴此时点A在直线1上.

VBC=AB=2,点O为BC中点，

.•.点B(T,0),A(-l,2).

把点A的横坐标x=-l代入解析式y=2x+4,得

y=2,等于点A的纵坐标2,

.••此时点A在直线1上.

(2